Dokumen tersebut membahas tentang aturan-aturan trigonometri yang terkait dengan unsur-unsur segitiga dan cara menghitung luas segitiga dan segiempat. Aturan sinus dan cosinus digunakan untuk menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga jika diketahui informasi tertentu seperti dua sisi dan satu sudut atau tiga sisi. Luas segitiga dapat dihitung jika diketahui dua sisi dan satu sudut, satu sisi dan dua sud

1. Oleh :
Franxisca Kurniawati, S.Si.

2. Aturan
Trigonometri
Unsur – unsur Segitiga
Aturan Sinus
Aturan Cosinus
3 sudut
3 sisi
S, Sd, Sd
S, S, Sd
S, Sd, S
S, S, S
Luas Segitiga
Luas Segiempat
Luas Segi-n Beraturan
S, Sd, S
Sd, S, Sd
S, S, S

4. Unsur – unsur dalam segitiga yaitu :
2. Memiliki 3 sisi, yaitu :
sisi a (depan sudut A)
sisi b (depan sudut B)
sisi c (depan sudut C)
1. Memiliki 3 sudut, yaitu :
sudut A, sudut B dan sudut C
a
c
b
A B
C
Untuk mengetahui unsur – unsur tersebut. Kita dapat
menggunakan aturan sinus dan cosinus, yaitu :

6. Aturan Sinus digunakan untuk segitiga yang diketahui:
1. Sisi, Sudut, Sudut ( S, Sd, Sd )
Contoh :
2. Sisi, Sisi, Sudut ( S, S, Sd )
Contoh :
A B
b
Bc
b

7. Diketahui :
∆ 𝐀𝐁𝐂 sembarang dan lancip
𝐂𝐃 adalah garis tinggi ∆ 𝐀𝐁𝐂 dari titik 𝐂
A B
C
a
c
b
D
Lihat ∆ 𝐀𝐂𝐃
Maka : 𝐂𝐃 = 𝐀𝐂 . 𝐬𝐢𝐧 𝐀
𝐂𝐃 = 𝐛 . 𝐬𝐢𝐧 𝐀 …(1)
Lihat ∆ 𝐁𝐂𝐃
Maka : 𝐂𝐃 = 𝐁𝐂 . 𝐬𝐢𝐧 𝐁
𝐂𝐃 = 𝐚 . 𝐬𝐢𝐧 𝐁 …(2)
Dari (1) dan (2) didapat :
𝐛 . 𝐬𝐢𝐧 𝐀 = 𝐚 . 𝐬𝐢𝐧 𝐁
𝒃
𝒔𝒊𝒏 𝑩
=
𝐚
𝒔𝒊𝒏 𝑨
…(3)
Perhatikan gambar berikut :

8. Dengan cara yang sama, yaitu melukis garis
tinggi ∆ 𝐀𝐁𝐂 dari titik 𝐀 didapat :
𝒃
𝒔𝒊𝒏 𝑩
=
𝐜
𝒔𝒊𝒏 𝐂
…(4)
Dari (3) dan (4) didapat :
𝐚
𝒔𝒊𝒏 𝑨
=
𝒃
𝒔𝒊𝒏 𝑩
=
𝐜
𝒔𝒊𝒏 𝐂
Aturan Sinus
( S, Sd, Sd )
( S, S, Sd )

10. Aturan Cosinus digunakan untuk segitiga yang diketahui:
1. Sisi, Sudut, Sisi ( S, Sd, S )
Contoh :
2. Sisi, Sisi, Sisi ( S, S, S )
Contoh :
A c
b
a
c
b

11. Diketahui :
∆ 𝐀𝐁𝐂 sembarang dan lancip
𝐂𝐃 adalah garis tinggi ∆ 𝐀𝐁𝐂 dari titik 𝐂
A B
C
a
c
b
D
Perhatikan gambar berikut :
𝒙 𝒄 − 𝒙
𝒕
Lihat ∆ 𝐀𝐂𝐃
Maka : 𝐀𝐂 𝟐 = 𝐀𝐃 𝟐 + 𝐃𝐂 𝟐
𝒃 𝟐
= 𝒙 𝟐
+ 𝒕 𝟐
…(1)
Dengan : 𝒄𝒐𝒔 𝑨 =
𝒙
𝒃
𝒙 = 𝒃. 𝒄𝒐𝒔 𝑨 …(2)
Lihat ∆ 𝐁𝐂𝐃
Maka : 𝐁𝐂 𝟐
= 𝐂𝐃 𝟐
+ 𝐃𝐁 𝟐
𝐚 𝟐
= 𝒕 𝟐
+ (𝒄 − 𝒙) 𝟐
𝐚 𝟐 = 𝒕 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝟐. 𝒄. 𝒙 + 𝒙 𝟐
𝐚 𝟐 = 𝒕 𝟐 + 𝒙 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝟐. 𝒄. 𝒙
(1) → 𝐚 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝟐. 𝒄. 𝒙
(2) → 𝐚 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝟐. 𝒄. 𝒃. 𝒄𝒐𝒔 𝑨

12. Dengan cara yang sama, didapat :
Jika diketahui ketiga sisinya (S, S, S) maka kita dapat menentukan ketiga sudutnya yaitu
:
𝐚 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐. 𝒃. 𝒄. 𝒄𝒐𝒔 𝑨
𝒃 𝟐
= 𝐚 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐. 𝐚. 𝒄. 𝒄𝒐𝒔 𝑩
𝒄 𝟐
= 𝐚 𝟐
+ 𝒃 𝟐
− 𝟐. 𝐚. 𝒃. 𝒄𝒐𝒔 𝑪
𝐚 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐. 𝒃. 𝒄. 𝒄𝒐𝒔 𝑨
𝟐. 𝒃. 𝒄. 𝒄𝒐𝒔 𝑨 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝐚 𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝑨 =
𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝐚 𝟐
𝟐. 𝒃. 𝒄
Dengan cara yang sama, didapat :
𝒄𝒐𝒔 𝑨 =
𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝐚 𝟐
𝟐. 𝒃. 𝒄
𝒄𝒐𝒔 𝑩 =
𝐚 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝒃 𝟐
𝟐. 𝐚. 𝒄
𝒄𝒐𝒔 𝑪 =
𝐚 𝟐 + 𝒃 𝟐 − 𝒄 𝟐
𝟐. 𝐚. 𝒃
Aturan Cosinus
( S, Sd, S )
Aturan Cosinus
( S, S, S )

14. Perhatikan gambar berikut :
A B
C
𝜶
c
b
D
Sehingga :
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 =
𝟏
𝟐
. 𝒂𝒍𝒂𝒔. 𝒕𝒊𝒏𝒈𝒈𝒊
=
𝟏
𝟐
. 𝑨𝑩 . 𝑪𝑫
(1) → =
𝟏
𝟐
. 𝒄 . 𝒃 . 𝒔𝒊𝒏 𝑨
Tarik garis tinggi dari titik C ke
sisi AB, yaitu CD sebagai tinggi
∆ 𝐀𝐁𝐂
∆ 𝐀𝐁𝐂 sembarang diketahui
panjang sisi b, besar sudut A=
𝜶, dan panjang sisi c
Maka :
𝒔𝒊𝒏 𝑨 =
𝑪𝑫
𝑨𝑪
𝑪𝑫 = 𝑨𝑪. 𝒔𝒊𝒏 𝑨
𝑪𝑫 = 𝒃 . 𝒔𝒊𝒏 𝑨 …(1)
1. Mencari luas ∆ 𝐀𝐁𝐂 sembarang jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut
( S, Sd, S )

15. Dengan cara yang sama, didapat :
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 =
𝟏
𝟐
. 𝒃. 𝒄. 𝒔𝒊𝒏 𝑨
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 =
𝟏
𝟐
. 𝒂. 𝒄. 𝒔𝒊𝒏 𝑩
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 =
𝟏
𝟐
. 𝒂. 𝒃. 𝒔𝒊𝒏 𝑪
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂
( S, Sd, S )

16. 2. Mencari luas ∆ 𝐀𝐁𝐂 sembarang jika diketahui 1 sisi dan 2 sudut
( Sd, S, Sd )
Kita sudah mendapatkan formula : 𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 =
𝟏
𝟐
. 𝒃. 𝒄. 𝒔𝒊𝒏 𝑨
Dari formula 𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 tersebut dan aturan sinus dapat
dikembangkan untuk mencari formula 𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 yang diketahui 1 sisi
dan 2 sudut, yaitu :

17. Ingat :
𝒃
𝒔𝒊𝒏 𝑩
=
𝐚
𝒔𝒊𝒏 𝑨
𝒃 =
𝐚 . 𝒔𝒊𝒏 𝑩
𝒔𝒊𝒏 𝑨
…(1)
Ingat :
𝒄
𝒔𝒊𝒏 𝑪
=
𝐚
𝒔𝒊𝒏 𝑨
𝐜 =
𝐚 . 𝒔𝒊𝒏 𝑪
𝒔𝒊𝒏 𝑨
…(2)
Maka : 𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 =
𝟏
𝟐
. 𝒃 . 𝒄 . 𝒔𝒊𝒏 𝑨
(1)(2) →=
𝟏
𝟐
.
𝐚. 𝒔𝒊𝒏 𝑩
𝒔𝒊𝒏 𝑨
.
𝐚. 𝒔𝒊𝒏 𝑪
𝒔𝒊𝒏 𝑨
. 𝒔𝒊𝒏 𝑨
=
𝟏
𝟐
.
𝐚. 𝒔𝒊𝒏 𝑩
𝒔𝒊𝒏 𝑨
. 𝐚. 𝒔𝒊𝒏 𝑪
=
𝐚 𝟐
. 𝒔𝒊𝒏 𝑩. 𝒔𝒊𝒏 𝑪
𝟐 . 𝒔𝒊𝒏 𝑨
Perhatikan gambar berikut :
∆ 𝐀𝐁𝐂 sembarang diketahui panjang sisi a, besar
sudut B = 𝜷, dan besar sudut C = 𝜸
A B
C
𝜶
a
𝜷
𝜸
Sebuah segitiga jika diketahui 2 sudutnya maka
kita dapat mencari sudut yang lain dengan cara:
𝜶 = 𝟏𝟖𝟎° − (𝜷 + 𝜸)

18. Dengan cara yang sama, didapat :
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 =
𝐚 𝟐. 𝒔𝒊𝒏 𝑩. 𝒔𝒊𝒏 𝑪
𝟐 . 𝒔𝒊𝒏 𝑨
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 =
𝒃 𝟐. 𝒔𝒊𝒏 𝑨. 𝒔𝒊𝒏 𝑪
𝟐 . 𝒔𝒊𝒏 𝑩
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 =
𝒄 𝟐. 𝒔𝒊𝒏 𝑨. 𝒔𝒊𝒏 𝑩
𝟐 . 𝒔𝒊𝒏 𝑪
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂
( Sd, S, Sd )

19. 3. Mencari luas ∆ 𝐀𝐁𝐂 sembarang jika diketahui 3 sisi
( S, S, S )
A B
C
𝐜
a
b
Perhatikan gambar berikut :
∆ 𝐀𝐁𝐂 sembarang diketahui panjang sisi a,
panjang sisi b , dan panjang sisi c
Maka : 𝑲∆ 𝐀𝐁𝐂 = 𝐚 + 𝒃 + 𝒄
𝟏
𝟐
𝑲 =
𝟏
𝟐
(𝐚 + 𝒃 + 𝒄)
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂 = 𝒔(𝒔 − 𝐚)(𝒔 − 𝒃)(𝒔 − 𝒄)
dengan 𝐬 =
𝟏
𝟐
𝑲
𝑳∆ 𝐀𝐁𝐂
( S, S, S )

21. Perhatikan gambar berikut :
Segi-4 𝐀𝐁𝐂𝐃 sembarang dan P adalah
titik potong ke dua diagonal.
Jika diketahui panjang diagonal AC,
panjang diagonal BD dan besar sudut 𝜶
maka luas segi-4 𝐀𝐁𝐂𝐃,
Yaitu : 𝑳 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑳∆ 𝐀𝐁𝑫 + 𝑳∆ 𝐁𝐂𝑫
A
B
C
𝜶
D
P
𝑳∆ 𝐀𝐁𝑫 = 𝑳∆ 𝐀𝑫𝑷 + 𝑳∆ 𝐀𝐁𝑷
=
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑨. 𝑷𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝜶 +
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑨. 𝑷𝑩. 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟖𝟎° − 𝜶
=
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑨. 𝑷𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝜶 +
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑨. 𝑷𝑩. 𝒔𝒊𝒏 𝜶
=
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑨. 𝑷𝑫 + 𝑷𝑩 . 𝒔𝒊𝒏 𝜶
=
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑨. 𝑩𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝑳∆ 𝐁𝐂𝑫 = 𝑳∆ 𝐁𝑪𝑷 + 𝑳∆ 𝑪𝑫𝑷
=
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑪. 𝑩𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝜶

22. A
B
C
𝜶
D
P
𝑳 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑳∆ 𝐀𝐁𝑫 + 𝑳∆ 𝐁𝐂𝑫
=
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑨. 𝑩𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝜶 +
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑪. 𝑩𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝜶
=
𝟏
𝟐
. 𝑷𝑨 + 𝑷𝑪 . 𝑩𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝜶
=
𝟏
𝟐
. 𝑨𝑪. 𝑩𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝜶
maka luas Segi-4 𝐀𝐁𝐂𝐃 sembarang
Yaitu :
𝑳 𝑨𝑩𝑪𝑫 =
𝟏
𝟐
. 𝑨𝑪. 𝑩𝑫. 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝑳 𝐬𝐞𝐠𝐢−𝟒 𝒔𝒆𝒎𝒃𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈

24. Perhatikan gambar berikut :
Segi-5 beraturan 𝐀𝐁𝐂𝐃𝐄 dengan O
sebagai titik pusatnya.
Jika diketahui panjang rusuk AO = r, maka
luas segi-5 𝐀𝐁𝐂𝐃𝐄,
Yaitu : 𝑳 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 = 𝟓. 𝑳∆ 𝐎𝐀𝐁
𝛂 =
𝟑𝟔𝟎°
𝟓
= 𝟕𝟐° A B
C
D
O
E
𝜶
𝒓
𝑳 𝐀𝐁𝑪𝑫𝑬 = 𝟓 . 𝑳∆ 𝐎𝐀𝑩
= 𝟓 .
𝟏
𝟐
. 𝑶𝑨. 𝑶𝑩. 𝒔𝒊𝒏 𝜶
=
𝟓
𝟐
. 𝒓. 𝒓. 𝒔𝒊𝒏 𝟕𝟐°
=
𝟓
𝟐
. 𝒓 𝟐. 𝒔𝒊𝒏 𝟕𝟐°
𝑳 𝒔𝒆𝒈𝒊−𝟓 𝒃𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒏 =
𝟓
𝟐
. 𝒓 𝟐. 𝒔𝒊𝒏 𝟕𝟐°

25. Perhatikan gambar berikut :
Segi-6 beraturan 𝐀𝐁𝐂𝐃𝐄𝐅 dengan O
sebagai titik pusatnya.
Jika diketahui panjang rusuk AO = r, maka
luas segi-6 𝐀𝐁𝐂𝐃𝐄𝐅,
Yaitu : 𝑳 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭 = 𝟔. 𝑳∆ 𝐎𝐀𝐁
𝛂 =
𝟑𝟔𝟎°
𝟔
= 𝟔𝟎°
𝑳 𝐀𝐁𝑪𝑫𝑬𝑭 = 𝟔 . 𝑳∆ 𝐎𝐀𝑩
= 𝟔 .
𝟏
𝟐
. 𝑶𝑨. 𝑶𝑩. 𝒔𝒊𝒏 𝜶
= 𝟑. 𝒓. 𝒓. 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°
= 𝟑. 𝒓 𝟐. 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°
𝑳 𝒔𝒆𝒈𝒊−𝟔 𝒃𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒏 = 𝟑. 𝒓 𝟐. 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°
A B
C
D
O
E
𝜶
𝒓
F

26. Secara umum:
Segi-n beraturan dengan O sebagai titik pusatnya.
Jika diketahui panjang rusuknya = r, maka luas segi-n beraturan,
Yaitu : 𝑳 𝒔𝒆𝒈𝒊−𝒏 𝒃𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒏 = 𝒏. 𝑳∆ 𝐎𝐀𝐁
𝛂 =
𝟑𝟔𝟎°
𝒏
𝑳 𝒔𝒆𝒈𝒊−𝒏 𝒃𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒏 = 𝒏 . 𝑳∆ 𝐎𝐀𝑩
= 𝒏 .
𝟏
𝟐
. 𝑶𝑨. 𝑶𝑩. 𝒔𝒊𝒏 𝜶
=
𝒏
𝟐
. 𝒓. 𝒓. 𝒔𝒊𝒏
𝟑𝟔𝟎°
𝒏
=
𝒏
𝟐
. 𝒓 𝟐
. 𝒔𝒊𝒏
𝟑𝟔𝟎°
𝒏
𝑳 𝒔𝒆𝒈𝒊−𝒏 𝒃𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒏 =
𝒏
𝟐
. 𝒓 𝟐. 𝒔𝒊𝒏
𝟑𝟔𝟎°
𝒏