1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya “tempat”
dan logos yang artinya “ilmu” merupakan cabang matematika yang bersangkutan
dengan tata ruang. Kata topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan
untuk keluarga himpunan dengan beberapa sifat yang digunakan untuk
menentukan ruang topologi, objek dasar dari topologi.
Topologi merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Beberapa
sifat dari ruang topologi X bergantung kepada distribusi dari himpunan-himpunan
terbuka dalam ruang topologi tersebut. Ruang topologi X disebut ruang Hausdorff
atau ruang topologi terpisah jika setiap pasangan titik yang berbeda a dan b di X
masing-masing termasuk ke dalam himpunan-himpunan terbuka yang disjoint.
Dalam tugas akhir ini akan diberikan sifat yang harus dipenuhi pada suatu
himpunan dalam ruang Hausdorff agar himpunan tersebut dikatakan kompak.
1.2. Permasalahan
Berdasarkan uraian di atas permasalahan yang diambil dalam tugas akhir ini
adalah bagaimana sifat himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi
terpisah) ?

2. 2
1.3. Pembatasan Masalah
Dari permasalahan yang dihadapi tersebut akan dikaji atau dipelajari
bagaimana sifat himpunan-himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang
topologi terpisah) meliputi definisi-definisi, teorema serta bukti-bukti yang terkait
dengan materi tersebut.
1.4. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan dari tugas akhir ini adalah dapat mempelajari tentang sifat
himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi terpisah).
1.5. Sistematika Penulisan
Di dalam penyusunan tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri dari 4 bab
yang dilengkapi oleh kata pengantar, daftar isi, daftar lampiran dan lampiranlampiran yang mendukung. Secara garis besar, sistematika pembahasan pada
tugas akhir ini adalah sebagai berikut : Bab I Pendahuluan, pada bab ini
dikemukakan tentang latar belakang masalah pembuatan tugas akhir, perumusan
masalah yang dihadapi di dalam menyusun tugas akhir, pembatasan masalah tugas
akhir, tujuan tugas akhir dan sistematika pembahasan laporan tugas akhir yang
menerangkan sekilas dari isi tiap bab yang terdapat pada laporan tugas akhir ini.
Bab II Materi Penunjang, pada bab ini dibahas mengenai materi yang terkait
dengan teori himpunan dan ruang topologi. Bab III Pembahasan, pada bab ini
dibahas mengenai bagaimana sifat himpunan kompak dalam ruang Hausdorff
(ruang topologi terpisah). Bab IV Penutup, bab ini merupakan bab akhir laporan

3. 3
yang memuat kesimpulan dari seluruh proses penyelesaian tugas akhir ini. Selain
itu juga dimuat mengenai saran-saran penulis untuk mengembangkan sistem
pendukung keputusan dalam tugas akhir ini.

4. 4
BAB II
MATERI PENUNJANG
Untuk mempermudah pemahaman pada bab selanjutnya, pada bab ini
akan dibahas beberapa definisi, teorema dan contoh yang mendukung materi
pokok. Bab ini terdiri dari dua subbab yaitu himpunan dan ruang topologi.
Adapun untuk himpunan terdiri dari lima subbab yaitu : himpunan dan elemen,
himpunan bagian (subset) dan superset, himpunan universal dan himpunan
kosong, kelas, dan operasi-operasi pada himpunan. Sedangkan untuk ruang
topologi terdiri dari 6 subbab yaitu : definisi ruang topologi, titik limit, himpunan
tertutup, penutup dari himpunan, (tititk interior, titik eksterior, batas) dan
(persekitaran dan sistem persekitaran).
2.1 Teori Himpunan
Himpunan adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam
semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu himpunan adalah sesuatu yang
didefinisikan dengan tepat atau suatu kumpulan dari obyek-obyek, dan biasanya
dinotasikan oleh huruf besar ‫ … ,ܻ ,ܺ ,ܤ ,ܣ‬Obyek-obyek yang terdapat di dalam
suatu himpunan disebut elemen-elemen dan biasanya dinotasikan dengan huruf
kecil ܽ, ܾ, ‫… ,ݕ ,ݔ‬
Pernyataan “‫ ݌‬adalah elemen dari ‫ ”ܣ‬atau “‫ ݌‬termasuk di dalam ‫”ܣ‬
dinotasikan oleh “‫ .”ܣ ∈ ݌‬Negasi dari “‫ ܣ∈݌‬ditulis “‫ ”ܣ ב ݌‬dan ini berarti “‫݌‬
bukan elemen ‫ ”ܣ‬atau “p tidak termasuk di dalam ‫.”ܣ‬

5. 5
2.1.1 Himpunan, Elemen (unsur)
Ada dua cara untuk menyatakan suatu himpunan yaitu
(a) Bila
mungkin
semua
elemennya
ditulis
‫ ܣ‬ൌ ሼܽ, ݁, ݅, ‫݋ ,ݑ‬ሽ yaitu suatu himpunan
(cara
Roster),
misalnya
‫ ܣ‬yang elemennya huruf vokal
(ܽ, ݁, ݅, ‫.)݋ ݊ܽ݀ ,ݑ‬
elemen yang satu dengan yang lainnya dipisahkan oleh tanda “koma” dan
dituliskan di antara dua kurung kurawal {}.
(b) Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan (cara Rule).
Contoh: ‫ ܤ‬ൌ ሼ‫ ݔ ,ݐ݈ܽݑܾ ݈ܾ݊ܽ݃݊ܽ݅ ݔ|ݔ‬൐ 0ሽdibaca “‫ ܤ‬adalah himpunan dari
‫ ݔ‬sedemikian hingga ‫ ݔ‬adalah bilangan bulat dan x adalah lebih dari nol”,
yaitu bahwa ‫ ܤ‬adalah himpunan semua bilangan bulat positif”.
Huruf ‫ ݔ‬menyatakan sebarang elemen dari ‫ ,ܤ‬garis tegak “ ” dibaca
“sedemikian hingga”, dan koma (,) sebagai “dan”.
Contoh 2.1.1.1
Himpunan B tersebut di muka dapat ditulis ‫ ܤ‬ൌ ሼ1,2,3, … . ሽ
Catatan : െ6 ‫ ,ܤ ∈ 3 ,ܤ ב‬dan ߨ ‫.ܤ ב‬
Contoh 2.1.1.2
Misalkan Թ = himpunan semua bilangan riil dengan ܽ dan ܾ ∈ Թ dan ܽ ൏ ܾ .
Berikut ini didefinisikan.
Interval terbuka dari ܽ sampai ܾ ൌ (ܽ, ܾ) ൌ ሼ‫ ∈ݔ‬Թ: ܽ ൏ ‫ ݔ‬൏ ܾሽ

6. 6
Interval tertutup dari ܽ sampai ܾ ൌ ሾܽ, ܾሿ ൌ ሼ‫ ∈ݔ‬Թ: ܽ ൑ ‫ ݔ‬൑ ܾሽ
Interval terbuka-tertutup dari ܽ sampai ܾ ൌ (ܽ, ܾሿ ൌ ሼ‫ ∈ݔ‬Թ: ܽ ൏ ‫ ݔ‬൑ ܾሽ
Interval tertutup-terbuka dari ܽ sampai ܾ ൌ ሾܽ, ܾ) ൌ ሼ‫ ∈ݔ‬Թ: ܽ ൑ ‫ ݔ‬൏ ܾሽ
Interval terbuka-tertutup dan tertutup-terbuka disebut juga interval setengah
terbuka.
Dua himpunan ‫ ܣ‬dan ‫ ܤ‬dikatakan sama, ditulis ‫ ܣ‬ൌ ‫ ,ܤ‬bila ‫ ܣ‬dan
‫ ܤ‬mempunyai elemen-elemen yang sama, yaitu bila setiap elemen dari ‫ ܣ‬termasuk
di dalam ‫ ܤ‬dan setiap elemen ‫ ܤ‬termasuk di dalam ‫ .ܣ‬Negasi dari ‫ ܣ‬ൌ ‫ ܤ‬adalah
‫.ܤ ് ܣ‬
Contoh 2.1.1.3
Misal ‫ ܧ‬ൌ ሼ‫ ݔ|ݔ‬ଶ െ 3‫ ݔ‬൅ 2 ൌ 0 ሽ, ‫ ܨ‬ൌ ሼ2,1ሽ dan ‫ ܩ‬ൌ ሼ1,2,2,1ሽ, maka ‫ ܧ‬ൌ ‫ ܨ‬ൌ
‫.ܩ‬
Suatu himpunan disebut terhingga (finite), bila himpunan tersebut
memuat n elemen yang berbeda, di mana n sebarang bilangan bulat positif, yang
lainnya disebut himpunan tak hingga (infinite). Himpunan yang memuat tepat satu
anggota disebut himpunan singelton (singleton).
2.1.2 Subset, Superset
Himpunan ‫ ܣ‬disebut subset dari ‫ ܤ‬ditulis ‫ ܤ ك ܣ‬bila dan hanya bila
setiap elemen dari ‫ ܣ‬terdapat di dalam ‫ ,ܤ‬atau ‫ ܤ‬adalah superset dari ‫ ܣ‬ditulis
‫ ܣ ل ܤ‬bila ‫ ܣ ∈ ݔ‬maka ‫ .ܤ ∈ ݔ‬Dapat dikatakan juga bahwa ‫ ܣ‬termuat di dalam

7. 7
‫ ܤ‬atau “‫ ܤ‬memuat ‫ .”ܣ‬Negasi dari ‫ ܤ ك ܣ‬ditulis ‫ ܤ م ܣ‬atau ‫ ܣ ن ܤ‬dan
dinyatakan bahwa “ada ‫ ܣ א ݔ‬sedemikian hingga ‫.”ܤ ב ݔ‬
Contoh 2.1.2.1
Misal diketahui ‫ ܣ‬ൌ ሼ1,3,5,7, … ሽ, ‫ ܤ‬ൌ ሼ5,10,15,20, … ሽ
‫ ܥ‬ൌ ሼ‫ ݔ ,ܽ݉݅ݎ݌ ݔ|ݔ‬൐ 2ሽ= ሼ3,5,7,11, … ሽ
‫ ,ܣ ك ܥ‬karena setiap bilangan prima yang lebih dari 2 adalah ganjil. Tetapi
‫ ,ܣ م ܤ‬karena 10∈ ‫ ,ܤ‬sedangkan 10 ‫.ܣ ב‬
Contoh 2.1.2.2
Misal ܰ adalah himpunan semua bilangan bulat positif,
ܼ adalah himpunan semua bilangan bulat
ܳ adalah himpunan semua bilangan rasional
ܴ adalah himpunan semua bilangan riil
Maka ܰ ‫.ܴ ك ܳ ك ܼ ك‬
Definisi 2.1.2.1
Dua himpunan ‫ ܣ‬dan ‫ ܤ‬adalah sama bila dan hanya bila ‫ ܤ ك ܣ‬dan ‫ .ܣ ك ܤ‬Dalam
hal ‫ ܤ ك ܣ‬tetapi ‫ ܤ ് ܣ‬dan ‫ ,׎ ് ܣ‬dikatakan bahwa ‫ ܣ‬adalah himpunan bagian
murni dari ‫ ܤ‬atau ‫ ܤ‬memuat ‫ ܣ‬dan biasanya ditulis ‫.ܤ ؿ ܣ‬

8. 8
Teorema 2.1.2.2
Bila ‫ ܤ ,ܣ‬dan ‫ ܥ‬sebarang himpunan maka :
(i) ‫ܣ ك ܣ‬
(ii) Bila ‫ ܤ ك ܣ‬dan ‫ ܥ ك ܤ‬maka ‫ܥ ك ܣ‬
2.1.3 Himpunan Universal dan Himpunan Kosong
Dalam teori himpunan, semua himpunan dibentuk oleh himpunan bagianhimpunan bagian dari suatu himpunan tetap. Himpunan tetap seperti itu disebut
himpunan universal atau semesta pembicaraan dan di dalam tugas akhir ini
himpunan universal dinotasikan dengan ܷ. Ada pula suatu himpunan yang tidak
mempunyai elemen, dan himpunan ini disebut himpunan kosong, yang diberi
notasi ‫ ׎‬atau { }, yang merupakan himpunan terhingga dan merupakan himpunan
bagian dari setiap himpunan. Jadi untuk sebarang himpunan ‫.ܷ ك ܣ ك ׎ ,ܣ‬
Contoh 2.1.3.1
Misal dipunyai ‫ ݔ‬ଶ ൅ 1 ൌ 0, jika semestanya himpunan semua bilangan real maka
persamaam tersebut tidak mempunyai penyelesaian tetapi jika semestanya
himpunan semua bilangan komplek persamaan tersebut mempunyai penyelesaian.
Contoh 2.1.3.2
Bila ‫ ܣ‬ൌ ሼ‫ ݔ|ݔ‬ଶ ൌ 4, ‫݈݆݅݊ܽ݃ ݔ‬ሽ maka ‫ ܣ‬adalah himpunan kosong, atau ‫ ܣ‬ൌ ‫.׎‬

9. 9
Contoh 2.1.3.3
Bila ‫ ܤ‬ൌ {‫ ,}׎‬maka ‫ ,׎ ് ܤ‬karena ‫ ܤ‬berisi satu anggota.
2.1.4 Kelas
Terdapat suatu himpunan yang elemen-elemennya adalah himpunan
misalnya himpunan garis, garis sendiri merupakan himpunan dari tititk-titik.
Himpunan yang elemennya terdiri dari himpunan-himpunan disebut kelas.
Contoh 2.1.4.1
Elemen dari kelas ሼሼ2,3ሽ, ሼ2ሽ, ሼ5,6ሽሽ adalah himpunan-himpunan ሼ2,3ሽ, ሼ2ሽ, dan
ሼ5,6ሽ.
Contoh 2.1.4.2
Misalkan ‫ ܣ‬adalah suatu himpunan. Himpunan kuasa dari ‫ ,ܣ‬ditulis P (‫ )ܣ‬atau 2஺
adalah kelas dari semua himpunan bagian dari ‫ .ܣ‬Jadi, bila ‫ ܣ‬ൌ ሼܽ, ܾ, ܿሽ, maka
P (‫ )ܣ‬ൌ ሼ ‫ ,ܣ‬ሼܽ, ܾሽ, ሼܽ, ܿሽ, ሼܾ, ܿሽ, ሼܽሽ, ሼܾሽ, ሼܿሽ, ‫׎‬ሽ Umumnya, bila ‫ ܣ‬terhingga
dengan ݊ elemen di dalamnya, maka P (‫ )ܣ‬mempunyai 2௡ anggota.
2.1.5 Operasi-operasi pada himpunan
Gabungan dari dua himpunan ‫ ܣ‬dan ‫ ,ܤ‬ditulis ‫ ,ܤ ׫ ܣ‬adalah himpunan
dari semua elemen yang termasuk ke dalam ‫ ܣ‬atau ‫ ,ܤ‬yaitu
‫ ܤ ׫ ܣ‬ൌ ሼ‫ݔ‬ሃ‫ܤ א ݔ ݑܽݐܽ ܣ א ݔ‬ሽ

10. 10
Irisan dari dua himpunan ‫ ܣ‬dan ‫ ,ܤ‬ditulis ‫ ,ܤ ת ܣ‬adalah himpunan yang
elemen-elemennya termasuk di dalam ‫ ܣ‬dan ‫ ,ܤ‬yaitu ‫ ܤ ת ܣ‬ൌ ሼ‫ݔ‬ሃ‫א ݔ‬
‫ܤ א ݔ ݊ܽ݀ ܣ‬ሽ
Bila ‫ ܤ ת ܣ‬ൌ ‫ ,׎‬yaitu bila ‫ ܣ‬dan ‫ ܤ‬tak mempunyai elemen persekutuan,
maka ‫ ܣ‬dan ‫ ܤ‬tak mempunyai elemen persekutuan, maka ‫ ܣ‬dan ‫ ܤ‬disebut lepas
(disjoint) atau tak beririsan. ࣛ adalah kelas dari himpunan-himpunan disebut
kelas lepas (disjoint) dari himpunan-himpunan, bila tiap-tiap pasangan himpunanhimpunan yang berbeda di dalam ࣛ adalah lepas.
Komplemen relatif dari himpunan ‫ ܤ‬terhadap himpunan ‫ ,ܣ‬atau selisih ‫ܣ‬
dan ‫ ,ܤ‬ditulis “‫ ܣ‬െ ‫ ,”ܤ‬adalah himpunan yang elemen-elemennya termasuk ‫ܣ‬
tetapi tidak termasuk di ‫ ,ܤ‬yaitu
‫ ܣ‬െ ‫ ܤ‬ൌ ሼ‫ݔ‬ሃ‫ܤ ב ݔ ݊ܽ݀ ܣ א ݔ‬ሽ
Dapat diketahui bahwa ‫ ܤ – ܣ‬dan ‫ ܤ‬adalah lepas, yaitu (‫ ܣ‬െ ‫ ܤ ת )ܤ‬ൌ ‫׎‬
Komplemen absolut atau disebut komplemen dari suatu himpunan ‫,ܣ‬
ditulis ‫ܣ‬௖ adalah himpunan yang elemen-elemennya bukan elemen dari ‫ ,ܣ‬yaitu
‫ܣ‬௖ ൌ ሼ‫ݔ‬ሃ‫ܣ ב ݔ ݊ܽ݀ ܷ א ݔ‬ሽ
Dapat dikatakan pula bahwa ‫ܣ‬௖ adalah selisih ܷ dan ‫.ܣ‬
Teorema 2.1.5.1
Untuk setiap ‫ ܷ ك ܥ ,ܤ ,ܣ‬berlaku hukum-hukum aljabar himpunan sebagai
berikut:

11. 11
1. ܽ. ‫ ܣ ׫ ܣ‬ൌ ‫ܣ‬
Hukum sama kuat
ܾ. ‫ ܣ ת ܣ‬ൌ ‫ܣ‬
2. ܽ. (‫ ܥ ׫ )ܤ ׫ ܣ‬ൌ ‫)ܥ ׫ ܤ( ׫ ܣ‬
Hukum Asosiatif
ܾ. (‫ ܥ ת )ܤ ת ܣ‬ൌ ‫)ܥ ת ܤ( ת ܣ‬
3. ܽ. ‫ ܤ ׫ ܣ‬ൌ ‫ܣ ׫ ܤ‬
Hukum Komutatif
ܾ. ‫ ܤ ת ܣ‬ൌ ‫ܣ ת ܤ‬
4. ܽ. ‫ )ܥ ת ܤ( ׫ ܣ‬ൌ (‫)ܥ ׫ ܣ( ת )ܤ ׫ ܣ‬
Hukum Distributif
ܾ. ‫ )ܥ ׫ ܤ( ת ܣ‬ൌ (‫)ܤ ת ܣ( ׫ )ܤ ת ܣ‬
5. ܽ. ‫ ׎ ׫ ܣ‬ൌ ‫ܣ‬
Hukum Identitas
ܾ. ‫ ܷ ת ܣ‬ൌ ‫ܣ‬
ܿ. ‫ ܷ ׫ ܣ‬ൌ ܷ
݀. ‫ ׎ ת ܣ‬ൌ ‫׎‬
6. a. ‫ܣ ׫ ܣ‬஼ ൌ ܷ
Hukum komplemen
b. ‫ܣ ת ܣ‬஼ ൌ ‫׎‬
c. (‫ܣ‬஼ ) ൌ ‫ܣ‬
d. ܷ ஼ = ‫׎ ,׎‬஼ ൌ ܷ
7. a. (‫)ܤ ׫ ܣ‬஼ = ‫ܣ‬஼ ‫ ܤ ת‬஼
Hukum De Morgan
b. (‫)ܤ ת ܣ‬஼ = ‫ܣ‬஼ ‫ ܤ ׫‬஼
Catatan:
Tiap-tiap hukum di muka analogi dengan hukum-hukum logika.

12. 12
Misalnya, ‫ ܤ ת ܣ‬ൌ ሼ‫ݔ‬ሃ‫ܤ א ݔ ݊ܽ݀ ܣ א ݔ‬ሽ ൌ ሼ‫ݔ‬ሃ‫ܣ א ݔ ݊ܽ݀ܤ א ݔ‬ሽ ൌ ‫.ܣ ת ܤ‬
Pernyataan majemuk “‫ ݌‬dan ‫ ”ݍ‬ditulis “‫ ”ݍ ר ݌‬adalah equivalen logis dengan “‫ݍ‬
dan ‫ ”݌‬yaitu “‫.”݌ ר ݍ‬
Teorema 2.1.5.2
Diberikan himpunan ‫ ܣ‬dan ‫ ܤ ك ܣ ,ܤ‬bila dan hanya bila
(i) ‫ ܤ ת ܣ‬ൌ ‫ܣ‬
(ii) ‫ ܤ ׫ ܣ‬ൌ ‫ܤ‬
(iii) ‫ ܤ‬஼ ‫ܣ ك‬஼
(iv) ‫ ܤ ת ܣ‬஼ ൌ ‫׎‬
(v) ‫ܣ ׫ ܤ‬஼ ൌ ܷ
2.2 Ruang Topologi
2.2.1 Topologi dan Ruang Topologi
Dalam subbab ini dibahas mengenai topologi dan ruang topologi yang
merupakan dasar dari pembahasan berikutnya. Untuk lebih jelas diberikan
definisi-definisi dan teorema yang mendukung dalam topologi sebagai berikut:
Definisi 2.2.1.1
Misal ܺ adalah suatu himpunan tidak kosong. Suatu kelas ߬ yang anggotanya
himpunan bagian-himpunan bagian dari ܺ disebut topologi pada ܺ, bila dan hanya
bila ߬ memenuhi ketiga aksioma berikut :

13. 13
[01] ܺ dan ‫ ׎‬termasuk dalam ߬
[02] Gabungan dari himpunan-himpunan anggota dari ߬ adalah anggota ߬
[03] Irisan dari dua himpunan anggota ߬ adalah anggota ߬.
Anggota-anggota dari ߬ disebut himpunan-himpunan terbuka, dan ܺ bersama ߬
yaitu (ܺ, ߬) disebut ruang topologi.
Catatan :
Untuk penulisan ruang topologi (ܺ, ߬) secara umum cukup ditulis dengan
ܺ kecuali topologinya ingin ditonjolkan.
Contoh-contoh topologi
Contoh 2.2.1.1
Topologi biasa (usual topology) pada himpunan semua bilangan riil Թ
Թ = Himpunan semua bilangan riil
τ: ሼ‫ ك ܩ‬Թሃ‫ ߜ ׌ ,ܩ א ݔ ׊‬൐ 0 ‫ ݔ( ݄݃ݏ‬െ ߜ, ‫ ݔ‬൅ ߜ) ‫ܩ ك‬ሽ
Akan ditunjukkan bahwa (Թ, ߬) adalah ruang topologi disebut topologi biasa
(usual topologi).
1. ‫ ߬ א ׎‬karena, jika ‫ ߜ ׌ ܽ݇ܽ݉ , ׎ א ݔ‬൐ 0 sehingga (‫ ݔ‬െ ߜ, ‫ ݔ‬൅ ߜ) ‫,׎ ك‬
implikasi ini bernilai benar sebab antisidennya bernilai salah. Dimana Թ ‫߬ א‬
sebab ‫ א ݔ ׊‬Թ, ‫ ߜ ׊‬൐ 0 (‫ ݔ‬െ ߜ, ‫ ݔ‬൅ ߜ) ‫ ك‬Թ.
2. ሼ‫ܩ‬௜ |݅ ‫ܩ ,ܫ א‬௜ ‫ ߬ א‬ሽ akan ditunjukkan
UG
i∈ I
i
∈ ߬.

14. 14
Ambil sebarang ‫א ݔ‬
UG
i
֜ ‫ܩ א ݔ‬௜ untuk suatu i ‫ א‬I ֜ ‫ ߜ ׌‬൐ 0 sehingga
i∈ I
(x െ δ, x ൅ δ) ‫ ك‬G୧ .
Jadi (x െ δ, x ൅ δ) ‫ ك‬G୧ ‫ك‬
UG
i
.
i∈ I
Jadi
U
G୧ ∈ τ.
i∈ I
3. Jika ‫ܩ‬ଵ , ‫ܩ‬ଶ ∈ ߬ maka ‫ܩ‬ଵ ‫ܩ ת‬ଶ ∈ ߬ sebab untuk sebarang ‫ܩ ∈ ݔ‬ଵ ‫ܩ ת‬ଶ
‫ܩ ∈ ݔ‬ଵ ֜ ‫ߜ ׌‬ଵ ൐ 0 sehingga (‫ ݔ‬െ ߜଵ , ‫ ݔ‬൅ ߜଵ ) ‫ܩ ك‬ଵ .
‫ܩ ∈ ݔ‬ଶ ֜ ‫ߜ ׌‬ଶ ൐ 0 sehingga (‫ ݔ‬െ ߜଶ , ‫ ݔ‬൅ ߜଶ ) ‫ܩ ك‬ଶ .
ߜ ൌ min( ߜଵ , ߜଶ ) ֜ (‫ ݔ‬െ ߜ, ‫ ݔ‬൅ ߜ) ‫ ݔ( ك‬െ ߜଵ , ‫ ݔ‬൅ ߜଵ ) ‫ܩ ك‬ଵ .
(‫ ݔ‬െ ߜ, ‫ ݔ‬൅ ߜ) ‫ ݔ( ك‬െ ߜଶ , ‫ ݔ‬൅ ߜଶ ) ‫ܩ ك‬ଶ .
Jadi (‫ ݔ‬െ ߜ, ‫ ݔ‬൅ ߜ) ‫ܩ ك‬ଵ ‫ܩ ת‬ଶ .
Contoh 2.2.1.2
Misalkan ܺ ൌ ሼܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ. ߬ଵ , ߬ଶ , ݀ܽ݊ ߬ଷ masing-masing himpunan bagian dari
2௫ . Manakah yang merupakan topologi pada X, bila
߬ଵ ൌ ሼ ܺ, ‫ ,׎‬ሼܽሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܿ, ݀ሽ, ሼܾ, ܿ, ݀, ݁ሽሽ.
߬ଶ ൌ ሼ ܺ, ‫ ,׎‬ሼܽሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܿ, ݀ሽ, ሼܾ, ܿ, ݀, ሽሽ.
߬ଷ ൌ ሼ ܺ, ‫ ,׎‬ሼܽሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܾ, ݀, ݁, ሽሽ.
Jawab :
߬ଵ adalah topologi pada ܺ, karena memenuhi ketiga sifat (aksioma) diatas.
߬ଶ bukan topologi pada ܺ, karena himpunan ሼܽሽ dan ሼܾ, ܿ, ݀ሽ merupakan
elemen ߬ଶ tetapi ሼܽሽ ‫ ׫‬ሼܾ, ܿ, ݀ሽ ൌ ሼܽ, ܾ, ܿ, ݀ሽ ‫߬ ב‬ଶ .

15. 15
߬ଷ bukan topologi pada ܺ, karena himpunan ሼܽ, ܿ, ݀ሽ dan ሼܽ, ܾ, ݀, ݁ሽ merupakan
elemen ߬ଷ tetapi ሼܽ, ܿ, ݀ሽ ‫ ת‬ሼܽ, ܾ, ݀, ݁ሽ ൌ ሼܽ, ݀ሽ ‫߬ ב‬ଷ .
Contoh 2.2.1.3
Misal ‫ ܦ‬adalah kelas dari semua himpunan bagian dari ܺ, atau ‫ ܦ‬ൌ 2௫ . Maka ‫ܦ‬
adalah topologi pada ܺ, karena memenuhi [01], [02], [03]. ‫ ܦ‬disebut topologi
diskrit, dan (ܺ, ‫ )ܦ‬disebut ruang topologi diskrit, atau secara singkat disebut
ruang diskrit.
Contoh 2.2.1.4
Dari aksioma [01], suatu topologi pada ܺ harus memuat himpunan ܺ dan ‫ .׎‬Kelas
ܻ ൌ ሼܺ, ‫׎‬ሽ yang hanya memuat ܺ dan ‫ ׎‬adalah topologi pada ܺ.
ܻ ൌ ሼܺ, ‫׎‬ሽ disebut topologi indiskrit, dan (ܺ, ܻ) disebut ruang topologi indiskrit
atau ruang indiskrit.
Contoh 2.2.1.5.
Diberikan himpunan tak hingga ܺ, topologi ߬ pada ܺ didefinisikan dengan ‫,ܺ ك ܣ‬
‫ ߬ א ܣ‬jika hanya jika ‫ ܣ‬ൌ ‫ ׎‬atau ‫ܣ‬஼ = berhingga. Akan ditunjukkan bahwa ߬
topologi pada ܺ:
(i) ܺ dan ‫ ׎‬termasuk dalam ߬.
Bukti :
Dari Definisi 2.2.1.1 sudah diketahui bahwa ܺ dan ‫ ׎‬termasuk dalam ߬.

16. 16
(ii) Gabungan dari himpunan-himpunan anggota dari ߬ adalah anggota ߬.
Bukti :
Diketahui bahwa ‫߬ א ܤ ,ܣ‬
‫ ߬ א ܣ‬maka ‫ ܣ‬ൌ ‫ ׎‬atau ‫ܣ‬஼ = berhingga
‫ ߬ א ܤ‬maka ‫ ܤ‬ൌ ‫ ׎‬atau ‫ ܤ‬஼ = berhingga, selanjutnya
‫ ܤ ׫ ܣ‬ൌ ‫ ׎‬atau (‫)ܤ ׫ ܣ‬஼ = ‫ܣ‬஼ ‫ ܤ ת‬஼
Karena ‫ܣ‬஼ dan ‫ ܤ‬஼ berhingga maka (‫)ܤ ׫ ܣ‬஼ = ‫ܣ‬஼ ‫ ܤ ת‬஼ juga berhingga
jadi ‫. ߬ א ܤ ׫ ܣ‬
(iii) Irisan dari dua himpunan anggota ߬ adalah anggota ߬.
Bukti :
Diketahui bahwa ‫߬ א ܤ ,ܣ‬
‫ ߬ א ܣ‬maka ‫ ܣ‬ൌ ‫ ׎‬atau ‫ܣ‬஼ = berhingga, selanjutnya
‫ ߬ א ܤ‬maka ‫ ܤ‬ൌ ‫ ׎‬atau ‫ ܤ‬஼ = ‫ܣ‬஼ ‫ ܤ ׫‬஼
Karena ‫ܣ‬஼ dan ‫ ܤ‬஼ berhingga maka (‫)ܤ ת ܣ‬஼ = ‫ܣ‬஼ ‫ ܤ ׫‬஼ juga berhingga
jadi ‫.߬ א ܤ ת ܣ‬
Maka topologi ߬ tersebut disebut topologi kofinit.
Teorema 2.2.1.2
Jika τଵ ݀ܽ݊ τଶ topologi pada ܺ maka irisan τଵ ‫ ת‬τଶ juga merupakan topologi
pada ܺ.
[01]. ܺ, ‫ א ׎‬τଵ ‫ ת‬τଶ , karena ܺ, ‫ א ׎‬τଵ dan ܺ, ‫ א ׎‬τଶ .

17. 17
[03]. Bila ‫ א ܪ ,ܩ‬τଵ ‫ ת‬τଶ , maka ‫ א ܪ ,ܩ‬τଵ , dan ‫ א ܪ ,ܩ‬τଶ . Karena τଵ dan τଶ
topologi pada ܺ, ‫ א ܪ ת ܩ‬τଵ dan ‫ א ܪ ת ܩ‬τଶ jadi ‫ א ܪ ת ܩ‬τଵ ‫ ת‬τଶ .
[02]. Bila ‫ א ܪ ,ܩ‬τଵ ‫ ת‬τଶ , maka ‫ א ܪ ,ܩ‬τଵ dan ‫ א ܪ ,ܩ‬τଶ karena τଵ dan τଶ
topologi pada ܺ, maka ‫ א ܪ ׫ ܩ‬τଵ , ݀ܽ݊ ‫ א ܪ ׫ ܩ‬τଶ , jadi ‫ א ܪ ׫ ܩ‬τଵ ‫ ת‬τଶ .
Dalam contoh 2.2.1.6 berikut ditunjukkan bahwa gabungan dari
topologi-topologi belum tentu topologi.
Contoh 2.2.1.6.
Diberikan topologi pada ܺ ൌ ሼܽ, ܾ, ܿሽ dengan Kelas-kelas ߬ଵ = ሼܺ, ‫ ,׎‬ሼܽሽሽ dan ߬ଶ
= ሼܺ, ‫ ,׎‬ሼܾሽሽ
Diketahui bahwa ߬ଵ ‫߬ ׫‬ଶ = ሼܺ, ‫ ,׎‬ሼܽሽ, ሼܾሽሽ bukan topologi pada ܺ, karena
ሼܽሽ, ሼܾሽ ‫߬ א‬ଵ ‫߬ ׫‬ଶ , tetapi ሼܽሽ ‫ ׫‬ሼܾሽ = ሼܽ, ܾሽ ‫߬ ב‬ଵ ‫߬ ׫‬ଶ .
Bila ‫ ܩ‬adalah himpunan terbuka yang memuat titik ‫ ,ܺ א ݌‬maka
‫ ܩ‬disebut lingkungan terbuka dari p atau persekitaran terbuka dari ‫ ,݌‬dan ‫ ܩ‬tanpa
‫ ݌‬yaitu ‫ ܩ‬െ ሼ‫݌‬ሽ disebut persekitaran terbuka terhapuskan dari ‫.݌‬
2.2.2 Titik Limit (࡭’)
Misal ܺ adalah ruang topologi. Suatu titik ‫ ܺ א ݌‬disebut titik limit dari
himpunan ‫ ܺ ك ܣ‬bila dan hanya bila setiap himpunan terbuka ‫ ܩ‬yang memuat ‫,݌‬
memuat suatu titik anggota ‫ ܣ‬yang berbeda dengan ‫ ,݌‬atau “bila ‫ ܩ‬terbuka,
‫ ,ܩ א ݌‬maka (‫ ܩ‬െ ሼ‫݌‬ሽ) ‫.)׎ ് ܣ ת‬

18. 18
Himpunan dari titik-titik limit dari ‫ ܣ‬ditulis ‫ ’ܣ‬dan disebut set derive dari
‫.ܣ‬
Contoh 2.2.2.1
ܺ ൌ ሼܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ dengan ߬ = ሼܺ, ‫ ,׎‬ሼܽሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܿ, ݀ሽ, ሼܾ, ܿ, ݀, ݁ሽሽ
dan ‫ = ܣ‬ሼܽ, ܾ, ܿሽ ‫.ܺ ؿ‬
Perhatikan bahwa ܾ ‫ ܺ א‬adalah titik limit dari ‫ ,ܣ‬karena himpunan-himpunan
terbuka yang memuat ܾ yaitu ܺ dan {ܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ masing-masing memuat titik dari
‫ ܣ‬yang berbeda dengan ܾ yaitu ܿ. Tetapi titik ܽ ‫ ܺ א‬bukan titik limit dari ‫,ܣ‬
karena himpunan terbuka ሼܽሽ, tidak memuat titik dari ‫ ܣ‬yang berbeda dengan ܽ.
Dengan cara yang sama ݀ dan ݁ adalah titik limit dari ‫ ܣ‬sedangkan ܿ bukan titik
limit dari ‫ .ܣ‬Jadi ‫ = ’ܣ‬ሼܾ, ݀, ݁ሽ yang disebut set derive dari ‫.ܣ‬
Contoh 2.2.2.2
Misal ܺ ruang topologi indiskrit yaitu (ܺ, ܻ) dengan ܻ = ሼܺ, ‫׎‬ሽ. Maka ܺ adalah
himpunan terbuka yang memuat sebarang ‫ .ܺ א ݌‬Jadi p adalah titik limit dari
setiap himpunan bagian dari ܺ, kecuali himpunan kosong ‫ ׎‬dan himpunan ሼ‫݌‬ሽ.
Jadi, himpunan dari titik-titik limit dari ‫ ܺ ؿ ܣ‬yaitu ‫ ’ܣ‬adalah:
φ, bila A = φ


c
A = 
{p} = X- {p}, b ila A = {p}
 X, bila A memuat dua titik ata u lebih

'

19. 19
Bukti :
‫ ׎ = ܣ‬untuk ‫ܺ א ݌ ׊‬
‫ – ܺ ת ܣ‬ሼ‫݌‬ሽ ൌ ‫׎‬
‫׎ =’ܣ‬
‫=ܣ‬ሼ‫݌‬ሽ, ‫ܺ א ݌‬
‫ – ܺ ת ܣ‬ሼ‫݌‬ሽ ൌ ‫ ׎‬jadi ‫ ݌‬bukan titik limit ‫ܣ‬
‫݌ ് ݍ,ܺא ݍ‬
‫ – ܺ ת ܣ‬ሼ‫ݍ‬ሽ ൌ ሼ‫݌‬ሽ ് ‫׎‬
Jadi ‫ ׊‬q ‫א‬X, q≠ p merupakan titik limit ‫ܣ‬
‫ = ܣ‬ሼ‫݌‬ሽ ‫ ’ܣ‬ൌ ܺ െ ሼ‫݌‬ሽ
Jika ‫ ܣ‬memuat dua atau lebih elemen ܺ
Misal ‫ܣ א ݍ ,݌‬
‫ ܺ א ݎ ׊‬maka ‫ – ܺ ת ܣ‬ሼ‫ݎ‬ሽ ് ‫׎‬
sebab jika ‫ ݎ‬ൌ ‫ – ܺ ת ܣ א ݍ , ݌‬ሼ‫ݎ‬ሽ
‫ ݎ‬ൌ ‫ – ܺ ת ܣ א ݌ ,ݍ‬ሼ‫ݎ‬ሽ
‫ ݍ ് ݎ ,݌ ് ݎ‬maka ‫ – ܺ ת ܣ ݍ ,݌‬ሼ‫ݎ‬ሽ
jadi ‫ ܺ א ݎ ׊‬merupakan titik limit ‫ܣ‬
jadi ‫.ܺ = ’ܣ‬
2.2.3 Himpunan tertutup
Misal ܺ adalah ruang topologi. Himpunan bagian ‫ ܣ‬dari ܺ disebut
himpunan tertutup bila dan hanya bila ‫ܣ‬஼ adalah himpunan terbuka.

20. 20
Contoh 2.2.3.1.
Diberikan
himpunan
ܺ ൌ ሼܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ
dengan
kelas
߬ ൌ ሼܺ, ‫ ,׎‬ሼܽሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܿ, ݀ሽ, ሼܾ, ܿ, ݀, ݁ሽሽ himpunan bagian-himpunan bagian
tertutup dari ܺ adalah ሼ‫ ,ܺ ,׎‬ሼܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ, ሼܽ, ܾ, ݁ሽ, ሼܾ, ݁ሽ, ሼܽሽሽ adalah komplemen –
komplemen dari himpunan bagian terbuka dan tertutup dari ܺ, sedangkan
ሼܽ, ܾሽ bukan himpunan bagian terbuka dan bukan himpunan bagian tertutup dari
ܺ.
Contoh 2.2.3.2.
Misal ܺ adalah ruang diskrit yaitu setiap himpunan bagian dari ܺ adalah terbuka.
Maka setiap himpunan bagian dari ܺ adalah juga tertutup, karena komplemennya
selalu terbuka. Dengan kata lain, setiap himpunan bagian dari ܺ adalah terbuka
dan tertutup.
Diketahui bahwa ‫ܣ‬஼஼ = ‫ ,ܣ‬untuk setiap himpunan bagian ‫ ܣ‬dari ܺ, maka
diperoleh proposisi berikut:
Teorema 2.2.3.1
Dalam ruang topologi ܺ, himpunan bagian ‫ ܣ‬dari ܺ adalah terbuka bila dan hanya
bila komplemennya tertutup.
Aksioma [01], [02], dan [03] dari ruang topologi dan hukum De Morgan
memberikan teorema berikut :

21. 21
Teorema 2.2.3.2
Bila ܺ ruang topologi, maka kelas dari himpunan bagian-himpunan bagian
tertutup dari ܺ memilki sifat-sifat berikut :
(i) ܺ dan ‫ ׎‬adalah himpunan himpunan tertutup
(ii) Irisan dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
(iii) Gabungan dari dua himpunan tertutup adalah tertutup
Bukti:
Misal ܺ adalah ruang topologi dan ‫ = ܥ‬kelas himpunan bagian tertutup dari ܺ
memiliki sifat:
(i) ܺ dan ‫ ׎‬adalah anggota ‫ܥ‬
Sebab ܺ ൌ ‫׎‬஼ sehingga ‫ ܺ = ׎‬஼ dimna ‫ ׎‬dan ܺ terbuka.
(ii) ‫ ܥ א ܤ ,ܣ‬maka ‫,ܥ א ܤ ת ܣ‬
‫ ܤ ,ܣ‬tertutup ֜ ‫ܣ‬஼ terbuka ‫ א‬τ
֜ ‫ ܤ‬஼ terbuka ‫ א‬τ
Jadi (‫)ܤ ת ܣ‬஼ = ‫ܣ‬஼ ‫ ܤ ׫‬஼ terbuka maka ‫ ܤ ת ܣ‬tertutup
(iii) ‫ ܥ א ܤ ,ܣ‬maka ‫ܥ א ܤ ׫ ܣ‬
‫ ܤ ,ܣ‬tertutup ֜ ‫ܣ‬஼ terbuka ‫ א‬τ
֜ ‫ ܤ‬஼ terbuka ‫ א‬τ
Jadi (‫)ܤ ׫ ܣ‬஼ = ‫ܣ‬஼ ‫ ܤ ת‬஼ terbuka maka A‫ ׫‬B tertutup

22. 22
2.2.4 Penutup dari Himpunan
Misal ‫ ܣ‬himpunan bagian dari ruang topologi ܺ. Penutup dari ‫ ,ܣ‬ditulis ‫ܣ‬ҧ
atau ‫ ିܣ‬adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat ‫ .ܣ‬Dengan kata
lain, bila ሼ‫ܨ‬௜ |݅ ‫ܫ א‬ሽ adalah kelas dari semua himpunan bagian tertutup dari ܺ yang
memuat ‫ ,ܣ‬maka ‫ܣ‬ҧ = ‫ת‬iFi . Dapat diketahui bahwa ‫ܣ‬ҧ adalah tertutup, karena ‫ܣ‬ҧ
adalah irisan dari himpunan-himpunan tertutup. Selanjutnya juga, ‫ܣ‬ҧ adalah
superset tertutup terkecil dari ‫ ,ܣ‬dengan demikian, bila ‫ ܨ‬adalah himpunan
tertutup yang memuat ‫ ,ܣ‬maka ‫ ܣ ك ܣ‬ҧ ‫.ܨ ك‬
Berdasarkan hal tersebut, himpunan ‫ ܣ‬adalah tertutup bila dan hanya bila
‫ ܣ‬ൌ ‫ܣ‬ҧ, dan diperoleh pernyataan berikut :
Teorema 2.2.4.1
Bila ‫ܣ‬ҧ penutup dari himpunan ‫ ,ܣ‬maka
(i) ‫ܣ‬ҧ adalah tertutup
(ii) Bila ‫ ܨ‬superset tertutup dari ‫ ,ܣ‬maka ‫ܣ ك ܣ‬ҧ ‫ ;ܨ ك‬dan
(iii) ‫ ܣ‬adalah tertutup bila dan hanya bila ‫ܣ = ܣ‬ҧ
Bukti :
(i) ‫ܣ‬ҧ =
∩ F , ‫݅ܨ‬
i∈I
i
himpunan tertutup memuat ‫ ,ܣ‬karena irisan dari himpunan
tertutup adalah tertutup maka ‫ܣ‬ҧ tertutup.
ഥ
(ii) ‫ܣ‬ҧ ‫ܣ , ܨ ك‬ҧ tertutup, ‫ܣ ك ܣ ݆݅݀ܽ ܫ ׊ ݅ܨ ك ܣ‬ҧ
(iii) Jika ‫ ܣ‬tertutup ‫ܣ ك ܣ ,ܣ ك ܣ‬ҧ ‫ ܣ ك‬jadi ‫ ܣ‬ൌ ‫ܣ‬ҧ.

23. 23
Contoh 2.2.4.1
Diberikan
himpunan
ܺ ൌ ሼܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ
dan
߬ ൌ ሼܺ, ‫ ,׎‬ሼܽሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܿ, ݀ሽ, ሼܾ, ܿ, ݀, ݁ሽሽ dengan kelas himpunan tertutup dari ܺ
adalah ሼ‫ ,ܺ ,׎‬ሼܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ, ሼܽ, ܾ, ݁ሽ, ሼܾ, ݁ሽ, ሼܽሽሽ.
Dari definisi diatas diperoleh
ത
തതതതത
ሼܾሽ ൌ ሼܾ, ݁ሽ, ሼܽ, ܿ ൌ ܺ, ሼܾ, ݀ ሽ ൌ ሼܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ.
തതതതሽ
Contoh 2.2.4.2
Misal ܺ adalah ruang topologi kofinit, yaitu komplemen dari himpunan-himpunan
terbuka. Maka himpunan-himpunan tertutup dari topologi tersebut adalah
himpunan bagian - himpunan bagian terhingga dari ܺ dengan ܺ. Jadi bila ‫ك ܣ‬
ܺ terhingga, penutup ‫ܣ‬ҧ adalah ‫ ܣ‬sendiri, karena ‫ ܣ‬tertutup. Sebaliknya, bila
‫ ܺ ك ܣ‬tak hingga, maka ܺ adalah superset tertutup dari ‫ ;ܣ‬jadi ‫ܣ‬ҧ adalah ܺ.
Selanjutnya, untuk suatu ‫ ܣ‬himpunan bagian dari ruang kofinit ܺ, maka ‫ܣ‬ҧ =
 A bila A terhingga
A= 
 X bila A tak hingga
Penutup dari suatu himpunan dapat dinyatakan dengan pengertian dari
titik-titik limit dari himpunan tersebut sebagai berikut :

24. 24
Teorema 2.2.4.2
Diberikan ruang topologi ܺ jika ‫ ,ܺ ك ܣ‬maka
‫ܣ‬ҧ = ሼ‫ܣ ݊ܽ݃݊݁݀ ݊ܽݏ݅ݎ݅ݎܾ݁ ݔ ݊ܽݎܽݐ݅݇݁ݏݎ݁݌ ݌ܽ݅ݐ݁ݏ|ܺ א ݔ‬ሽ.
Bukti :
Andaikan ‫ܣ‬ҧ ് ሼ‫ܣ ݊ܽ݃݊݁݀ ݊ܽݏ݅ݎ݅ݎܾ݁ ݔ ݊ܽݎܽݐ݅݇݁ݏݎ݁݌ ݌ܽ݅ݐ݁ݏ|ܺ א ݔ‬ሽ dan ini
berarti terdapat ‫ܣ א ݔ‬ҧ yang mana terdapat persekitaran ܺ yang tidak beririsan
dengan ‫.ܣ‬
Misal : ܸ persekitaran terbuka dari ܺ dan tidak beririsan dengan ‫ .ܣ‬Ini berarti ܸ
௫
௫
‫ ׎ = ܣ ת‬sehingga ‫ ܸ ك ܣ‬c tertutup. Jadi ܸ c merupakan himpunan tertutup yang
௫
௫
memuat ‫.ܣ‬
Dari definisi ‫ܣ‬ҧ (irisan semua himpunan tertutup yang memuat ‫ )ܣ‬maka pasti
memuat ‫ ܣ‬atau ‫ܣ‬ҧ ‫ ܸ ك‬c. Jadi didapatkan ‫ܣ א ݔ‬ҧ ‫ ܸ ك‬c sedangkan ‫ ܸ ∈ ݔ‬berarti
௫
௫
௫
‫ ܸ ב ݔ‬c.
௫
Merupakan kontradiksi jadi pengandaian salah
Jadi ‫ܣ‬ҧ ൌ ሼ‫ܣ ݊ܽ݃݊݁݀ ݊ܽݏ݅ݎ݅ݎܾ݁ݔ ݊ܽݎܽݐ݅݇݁ݏݎ݁݌ ݌ܽ݅ݐ݁ݏ|ܺ א ݔ‬ሽ.

25. 25
Teorema 2.2.4.3
Bila ‫ ܣ‬himpunan bagian dari ruang topologi ܺ, maka penutup dari ‫ ܣ‬adalah
gabungan dari ‫ ܣ‬dengan ‫ ,’ܣ‬yaitu ‫ܣ‬ҧ ൌ ‫ ’ܣ ׫ ܣ‬dimana ‫ ’ܣ‬ൌ himpunan semua
titik limit dari ‫.ܺ ك ܣ‬
Bukti :
Ambil sebarang ‫ܣ א ݔ‬ҧ (menurut Teorema 2.2.4.2 diatas) setiap persekitaran
‫ ݔ‬beririsan dengan ‫ ܣ‬maka ‫ ܣ א ݔ‬atau jika ‫ ,ܣ ב ݔ‬maka ‫ ݔ‬titik limit ‫)’ܣ א ݔ( ܣ‬
Jadi ‫ ’ܣ ׫ ܣ א ݔ‬maka ‫ܣ‬ҧ ‫.’ܣ ׫ ܣ ك‬
Jika ‫ ’ܣ ׫ ܣ א ݔ‬maka setiap persekitaran x beririsan dengan ‫ ܣ‬sehingga
‫ܣ ك ’ܣ ׫ ܣ‬ҧ jadi ‫ܣ‬ҧ = ‫.’ܣ ׫ ܣ‬
Teorema 2.2.4.4
Misal ܺ ruang topologi, ‫ ܺ ك ܣ‬tertutup jika hanya jika ‫ ܣ‬memuat semua titik
limit ‫ ܣ‬dengan kata lain ‫ ܣ‬tertutup jika hanya jika ‫.ܣ ك ’ܣ‬
Bukti :
Dari teorema 2.2.4.1 point (iii) dan teorema 2.2.4.3 diatas diperoleh :
Untuk ‫ ܣ‬tertutup jika hanya jika ‫ ܣ‬ൌ ‫ܣ‬ҧ ൌ ‫’ܣ ׫ ܣ‬
‫ ’ܣ ׫ ܣ =ܣ‬jika hanya jika ‫.ܣ ك ’ܣ‬

26. 26
Contoh 2.2.4.3
Diberikan himpunan semua bilangan rasional ܳ. Di dalam topologi biasa untuk Թ,
setiap bilangan real ܽ ‫ א‬Թ adalah titik limit dari ܳ sebab ‫ א ܽ ׊‬Թ, ‫ ߜ ׊‬൐ 0,
ത
ത
ܰߜ (ܽ) ‫ ܳ ת‬െ ܽ ് ‫ ׎‬berarti ܳ’ ൌ Թ, ܳ ൌ ܳ ‫ ’ܳ ׫‬ൌ ܳ ‫ ׫‬Թ maka ܳ = ܳ ‫ ׫‬Թ ൌ
ത
Թ. Jadi penutup dari ܳ adalah himpunan semua bilangan real Թ, yaitu ܳ = Թ.
Definisi 2.2.4.5
Himpunan bagian ‫ ܣ‬dari ruang topologi ܺ disebut padat (dense) dalam ‫,ܺ ك ܤ‬
bila ‫ ܤ‬termasuk dalam penutup ‫ ,ܣ‬yaitu ‫ܣ ك ܤ‬ҧ. Khususnya, ‫ ܣ‬adalah padat
dalam ܺ atau himpunan bagian padat dari ܺ bila dan hanya bila ‫ܣ‬ҧ ൌ ܺ.
Contoh 2.2.4.4
Diberikan
himpunan
ܺ=
ሼܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ
dengan
kelas
߬ ൌ ሼܺ, ‫ ,׎‬ሼܽሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܿ, ݀ሽ, ሼܾ, ܿ, ݀, ݁ሽሽ himpunan bagian-himpunan bagian
tertutup dari ܺ adalah ሼ‫ ,ܺ ,׎‬ሼܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ, ሼܽ, ܾ, ݁ሽ, ሼܾ, ݁ሽ, ሼܽሽሽ. Dapat diketahui
തതതതത
തതതതሽ
bahwa {ܽ, ܿ = ܺ dan {ܾ, ݀ ሽ = {ܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ. Jadi himpunan ሼܽ, ܿሽ adalah himpunan
bagian padat dari ܺ, tetapi himpunan ሼܾ, ݀ሽ bukan himpunan bagian padat dari ܺ.

27. 27
Teorema 2.2.4.5
Diberikan ruang topologi ܺ dan ‫ ,ܺ ك ܤ ,ܣ‬maka memenuhi :
ഥ
(i) ‫׎ = ׎‬
(ii) ‫ܣ ك ܣ‬ҧ
ത
(iii) തതതതതതത ൌ ‫ܣ‬ҧ ‫ܤ ׫‬
‫ܤ׫ܣ‬
(iv) (‫ܣ‬ҧ)
−
ൌ ‫ܣ‬ҧ
Bukti :
Untuk point (iii) dimana
‫ܣ‬ҧ = A‫׫‬A’
തതതതതതത = ‫ܣ‬ҧ ‫( = ܤ ׫ ܣ , ܤ ׫‬A ‫ ׫‬B) ‫( ׫‬A ‫ ׫‬B)’
ത തതതതതതത
‫ܤ׫ܣ‬
(A‫׫‬B)’ = A’ ‫ ׫‬B’
֜ ‫ ’)ܤ ׫ ܣ( ∈ ݔ‬maka ‫ ݔ‬adalah titik limit ‫ܤ ׫ ܣ‬
֜ ∀0௫ , 0௫ ‫ – )ܤ ׫ ܣ( ת‬ሼ‫ݔ‬ሽ ് ‫׎‬
֜ ∀0௫ , (0௫ ‫0( ׫ )ܣ ת‬௫ ‫ )ܤ ת‬െ ሼ‫ݔ‬ሽ ് ‫׎‬
֜ ∀0௫ , (0௫ ‫ ܣ ת‬െ ሼ‫ݔ‬ሽ) ‫0( ׫‬௫ ‫ ܣ ת‬െ ሼ‫ݔ‬ሽ ് ‫׎‬
֜ 0௫ ‫ – ܣ ת‬ሼ‫ݔ‬ሿ ് ‫ ׎‬dan 0௫ ‫ – ܤ ת‬ሼ‫ݔ‬ሿ ് ‫׎‬
֜ ‫’ܤ ∈ ݔ ׫ ’ܣ ∈ ݔ‬

28. ‫82‬
‫’ܤ ׫ ’ܣ ∈ ݔ ֜‬
‫’ܤ ׫ ’ܣ ك ’)ܤ ׫ ܣ( ‪Jadi‬‬
‫’ܤ ∈ ݔ ‪’ atau‬ܣ ∈ ݔ ‪’ maka‬ܤ ׫ ’ܣ ∈ ݔ‬
‫׎ ് ‪ሽ‬ݔ‪ – ሼ‬ܤ ת ‪ atau ∀0௫ , 0௫‬׎ ് ‪ሽ‬ݔ‪ – ሼ‬ܣ ת ‪֜ ∀0௫ , 0௫‬‬
‫׎ ് )‪ሽ‬ݔ‪ – ሼ‬ܤ ת ‪ (0௫‬׫ )‪ሽ‬ݔ‪ – ሼ‬ܣ ת ‪֜ ∀0௫ , (0௫‬‬
‫’)ܤ ׫ ܣ( ∈ݔ ,׎ ് ‪ሽ‬ݔ‪) – ሼ‬ܤ ׫ ܣ( ת ‪֜ ∀0௫ , 0௫‬‬
‫’)ܤ ׫ ܣ( ك ’ܤ ׫ ’ܣ ‪Jadi‬‬
‫’ܤ ׫ ’ܣ ‪)’ ൌ‬ܤ ׫ ܣ( ‪Jadi‬‬
‫‪തതതതതതത‬‬
‫’)ܤ ׫ ܣ( ׫ )ܤ ׫ ܣ( = ܤ ׫ ܣ ‪Jadi‬‬
‫)’ܤ ׫ ’ܣ( ׫ )ܤ ׫ ܣ( =‬
‫)’ܤ ׫ ܤ( ׫ )’ܣ ׫ ܣ( =‬
‫‪ത‬‬
‫.ܤ ׫ ‪ҧ‬ܣ =‬

29. 29
2.2.5 Titik Interior, Eksterior dan Batas
2.2.5.1 Titik Interior
Misal ‫ ܣ‬himpunan bagian dari ruang topologi ܺ. titik ‫ܺ ∈ ݌‬
disebut titik interior dari ‫ ,ܣ‬bila p termasuk himpunan terbuka ‫ ܩ‬himpunan
bagian dari ‫ ,ܣ‬yaitu ‫ ܩ ,ܣ ك ܩ ∈ ݌‬himpunan terbuka.
0
Himpunan dari titik-titik interior dari ‫ ,ܣ‬ditulis int(‫ ,)ܣ‬A atau
‫ܣ‬଴ disebut interior dari ‫.ܣ‬
Misal:
Diberikan ܺ ={ܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁ሽ, ߬ ‫ ׷‬ሼ‫ ,ܺ ,׎‬ሼܽ, ܾ, ܿሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܾ, ܿሽ, ሼܿሽ ሽ
‫ = ܣ‬ሼܿ, ݀, ݁ሽ
‫ܣ‬଴ = ሼܿ, ݀ሽ
Interior dari ‫ ܣ‬dapat dinyatakan sebagai berikut :
Teorema 2.2.5.1.1
Interior dari himpunan ‫ ܣ‬adalah merupakan gabungan dari semua himpunan
bagian terbuka dari ‫ ܣ‬atau
‫ܣ‬଴ : himpunan semua titik interior ‫: ܣ‬
UG
a
a∈A
‫ܩ‬௔ : himpunan terbuka yang memuat ܽ dan ‫ܩ‬௔ ‫.ܣ ∈ܽ ,ܣ ك‬
‫{ : ܫ‬G a G a ∈ τ,a ∈ G a ⊆ A,a ∈ A}
Selanjutnya juga bahwa :
(i) ‫ܣ‬଴ adalah terbuka

30. 30
(ii) ‫ܣ‬଴ himpunan bagian terbuka terbesar dari ‫ ;ܣ‬yaitu bila ‫ ܩ‬himpunan
bagian terbuka dari ‫ ܣ‬maka ‫ܣ ك ܩ‬଴ ‫ ;ܣ ك‬dan
(iii) ‫ ܣ‬adalah terbuka bila dan hanya bila ‫ ܣ‬ൌ ‫ܣ‬଴
Bukti :
(i) ‫ܣ‬଴ :
UG
a
a∈A
karena ‫ܩ‬௔ terbuka maka ‫ܣ‬଴ terbuka.
(ii) ‫ܣ‬଴ himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam ‫ ,ܣ‬yaitu jika ‫ك ܩ‬
‫ ܣ‬dan ‫ ܩ‬terbuka , maka ‫ܣ ك ܩ‬଴ .
(iii) ‫ ܣ‬terbuka bila hanya bila ‫ ܣ‬ൌ ‫ܣ‬଴ .
֚ Jika ‫ ܣ‬ൌ ‫ܣ‬଴ maka ‫ ܣ‬terbuka karena ‫ܣ‬଴ himpunan terbuka terbesar
yang termuat dalam ‫.ܣ‬
֜ Jelas ‫ܣ‬଴ ‫ ܣ ك‬jika ‫ ܣ‬terbuka maka ‫ܣ ك ܣ‬଴
Jadi ‫ ܣ‬ൌ ‫ܣ‬଴ .
2.2.5.2 Titik Eksterior
Eksterior dari ‫ ܣ‬ditulis eks (‫ ,)ܣ‬adalah interior dari
komplemen ‫ ,ܣ‬yaitu ݅݊‫ܣ( ݐ‬஼ ). atau
‫ ܺ ∈݌‬titik eksterior, ‫ ,ܺ ك ܣ‬jika p merupakan titik interior ‫ܣ‬஼ .
Himpunan semua titik eksterior ‫ ܣ‬ൌ ‫ )ܣ( ݐݔܧ‬ൌ ‫ܣ(ݐ݊ܫ‬஼ ) ൌ (‫ܣ‬஼ )0.

31. 31
Contoh 2.2.5.2.1
‫=ܣ‬ሼܿ, ݀, ݁ሽ
‫ܣ‬஼ =ሼܽ, ܾሽ
‫ )ܣ( ݐݔܧ‬ൌ ‫ܣ( ݐ݊ܫ‬஼ ) ൌ ‫׎‬
Contoh 2.2.5.2.2
‫ ܣ‬ൌ ሾ1,2) ‫ ׫‬ሼ3ሽ
‫ )ܣ( ݐݔܧ‬ൌ ‫ܣ( ݐ݊ܫ‬஼ )
‫ܣ‬஼ ൌ (െ∞, 1) ‫ ׫‬ሾ2,3) ‫)∞ ,3( ׫‬
‫ )ܣ( ݐݔܧ‬ൌ ‫ܣ( ݐ݊ܫ‬஼ )
= (െ∞, 1) ‫.)∞ ,3( ׫ )3,2( ׫‬
Contoh 2.2.5.2.3
Dipunyai titik ܺ ൌ ሼܽ, ܾ, ܿሽ, ߬ ‫ ׷‬ሼ‫ ,ܺ ,׎‬ሼܽሽ, ሼܾ, ܿሽሽ
‫ = ܣ‬ሼܾሽ
‫ܣ‬଴ = ‫ )ܣ( ݐ݊ܫ‬ൌ ‫׎‬
‫ܣ( ݐ݊ܫ = )ܣ( ݐݔܧ‬஼ ) ൌ ‫ ݐ݊ܫ‬ሼܽ, ܿሽ ൌ ሼܽሽ
2.2.5.3 Batas
Batas dari ‫ ,ܣ‬ditulis ܾ(‫ ,)ܣ‬adalah himpunan dari titik-titik yang
tidak termasuk interior dan tidak termasuk eksterior dari ‫.ܣ‬
Contoh 2.2.5.3.1:
ܺ = ሼܽ, ܾ, ܿ, ݀ሽ, ߬ ‫ ׷‬ሼ‫ ,ܺ ,׎‬ሼܾ, ܿሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܿሽ, ሼܾ, ܿ, ݀ሽሽ

32. 32
‫ =ܣ‬ሼܽ, ܾ, ܿሽ
‫ܣ‬଴ = ሼܾ, ܿሽ
‫ )ܣ( ݐݔܧ‬ൌ ‫ܣ( ݐ݊ܫ‬஼ ) = ‫( ݐ݊ܫ‬ሼ݀ሽ) ൌ ‫׎‬
ܾ(‫ = )ܣ‬ሼܽ, ݀ሽ.
Contoh 2.2.5.3.2:
ܺ = Թ , ߬ = topologi biasa
‫2,1( = ܣ‬ሿ ‫ ׫‬ሼ3ሽ
‫ܣ‬଴ = (1,2)
‫ = )ܣ( ݐݔܧ‬ሼ(െ∞, 1) ‫)∞ ,3( ׫ )3,2( ׫‬ሽ
ܾ(‫ = )ܣ‬ሼ1,2,3ሽ.
Berikut ini hubungan titik interior, titik eksterior, dan batas .
Teorema 2.2.5.3.1
Misal ‫ ܣ‬himpunan bagian dari ruang topologi ܺ. Maka penutup dari ‫ ܣ‬adalah
gabungan dari interior dan batas dari ‫ ,ܣ‬yaitu ‫ܣ‬ҧ = ‫ܣ‬଴ ‫.)ܣ(ܾ ׫‬
Contoh :
Diberikan
ܽ, ܾ
di
Թ
dan
interval
–
interval
‫ܦ ,ܥ ,ܤ ,ܣ‬
ሾܽ, ܾሿ, (ܽ, ܾ) (ܽ, ܾሿ dan ሾܽ, ܾ) dimana ܽ dan ܾ adalah titik-titik akhir.
yaitu

33. 33
ሾܽ, ܾሿ ሼ‫ ∈ ݔ‬Թ, ܽ ൑ ‫ ݔ‬൑ ܾሽ
‫=ܣ‬
a
b
‫ )ܣ( ݐ݊ܫ‬ൌ (ܽ, ܾ)
(ܽ, ܾ) ሼ‫ ∈ ݔ‬Թ, ܽ ൏ ‫ ݔ‬൏ ܾሽ ൌ (ܽ, ܾ)
‫=ܤ‬
a
b
‫ )ܤ( ݐ݊ܫ‬ൌ (ܽ, ܾ)
(ܽ, ܾሿ ሼ‫ ∈ ݔ‬Թ, ܽ ൏ ‫ ݔ‬൑ ܾሽ ൌ (ܽ, ܾ)
‫=ܥ‬
a
b
‫ )ܥ( ݐ݊ܫ‬ൌ (ܽ, ܾ)
ሾܽ, ܾ) ሼ‫ ∈ ݔ‬Թ, ܽ ൑ ‫ ݔ‬൏ ܾሽ ൌ (ܽ, ܾ)
‫=ܦ‬
a
b
I݊‫ )ܦ( ݐ‬ൌ (ܽ, ܾ)
Jadi ‫ )ܣ( ݐ݊ܫ‬ൌ ‫ )ܤ( ݐ݊ܫ‬ൌ ‫ )ܥ( ݐ݊ܫ‬ൌ ‫ )ܦ(ݐ݊ܫ‬ൌ (ܽ, ܾ)
ܾ(‫ )ܣ‬ൌ ܾ(‫ )ܤ‬ൌ ܾ(‫ )ܥ‬ൌ ܾ(‫ )ܦ‬ൌ ሼܽ, ܾሽ,
‫ܣ‬ҧ = ‫ܣ‬଴ ‫ )ܣ(ܾ ׫‬ൌ ሾܽ, ܾሿ
ത
‫ ܤ = ܤ‬଴ ‫ )ܤ(ܾ ׫‬ൌ ሾܽ, ܾሿ
‫ܥ‬ҧ = ‫ ܥ‬଴ ‫ )ܥ(ܾ ׫‬ൌ ሾܽ, ܾሿ
ഥ
‫ = ܦ‬D0 ‫ )ܦ(ܾ ׫‬ൌ ሾܽ, ܾሿ
2.2.6 Persekitaran dan Sistem Persekitaran
Misal p adalah titik di ruang topologi ܺ. Suatu himpunan bagian ܰ dari ܺ
disebut persekitaran dari ‫ ݌‬jika dan hanya jika ܰ adalah suatu superset dari
himpunan terbuka ‫ ܩ‬yang memuat ‫ ݌‬yaitu :
‫ ܰ ك ܩ∈݌‬dengan ‫ ܩ‬himpunan terbuka

34. 34
Kelas dari semua persekitaran dari ‫ ,ܺ ∈ ݌‬ditulis ܰ௣ , disebut sistem
persekitaran dari ‫.”݌‬
Contoh 2.2.6.1:
Misal diberikan himpuan ܺ ൌ ሼܽ, ܾ, ܿ, ݀ሽ dengan topologi τ : {‫ ,׎‬X, {b,c}, {c,d},
{c}, {b,c,d}} dan ܿ∈ ܺ.
ܰ௔ = ሼܺሽ
ܰ௕ = ሼܺ, ሼܾ, ܿሽ, ሼܾ, ܿ, ݀ሽ, ሼܽ, ܾ, ܿሽሽ
ܰ௖ = ሼܺ, ሼܾ, ܿሽ, ሼܿሽ, ሼܿ, ݀ሽ, ሼܾ, ܿ, ݀ሽ, ሼܾ, ܿ, ܽሽ, ሼܽ, ܿሽሽ
Misal dipunyai himpunan ‫ ܣ‬ൌ ሼܽ, ܿ, ݀ሽ, ‫ ܣ‬bukan merupakan persekitaran dari
titik ܽ, tetapi merupakan persekitaran dari titik ܿ dan ݀ karena memuat himpunan
terbuka dari topologi tersebut.
‫ ܣ‬ൌ ሼܽ, ܾሽ bukan persekitaran karena ‫ܰ ב ܣ‬௕
ሼܽ, ܾ, ݀ሽ ‫ܰ ב‬௕ bukan persekitaran karena tidak ada himpunan terbuka yang
memuat ܾ dalam himpunan ሼܽ, ܾ, ݀ሽ.
{ܽ, ܿሽ ∈ ܰ௖ merupakan persekitaran.
Jika ܰ persekitaran ‫ ,݌‬maka ‫.)ܰ( ݐ݊ܫ ∈ ݌‬
Untuk suatu sistem persekitaran ܰ௣ dari suatu titik ‫ ܺ ∈ ݌‬ada 4 sifat yang
dinyatakan dalam proposisi berikut, yang disebut aksioma persekitaran, seperti
berikut :

35. 35
Teorema 2.2.6.1.
Misalkan ܺ adalah ruang topologi dan ‫.ܺ ∈ ݌‬
(i) ܰ௣ ് ‫ ׎‬dan ‫ ݌‬termasuk ke dalam tiap anggota ܰ௣ ( jadi jika ‫ܰ ∈ ܣ‬௣ , maka
‫ܣ ∈ ݌‬ሽ
(ii) Irisan dari dua anggota ܰ௣ termasuk ܰ௣ .
Bukti :
Jika ‫ܰ ∈ ܤ ,ܣ‬௣ , ‫ܰ ∈ ܤ ת ܣ‬௣
‫ܰ ∈ܣ‬௣ ֜ ‫ܩ ׌‬ଵ ∈ ߬ sehingga ‫ܩ ∈ ݌‬ଵ ‫ ك‬A
B∈ ܰ௣ ֜ ‫ܩ ׌‬ଶ ∈ ߬ sehingga ‫ܩ∈ ݌‬ଶ ‫ܤ ك‬
‫ܩ∈݌‬ଵ ‫ ܤ ת ܣ ك 2ܩ ת‬dengan ‫ܩ‬ଵ ‫ܩ ת‬ଶ ∈ ߬
jadi ‫ܰ ∈ ܤ ת ܣ‬௣ .
(iii) Setiap superset dari anggota ܰ௣ termasuk ܰ௣ .
(Jika ‫ܰ ∈ ܣ‬௣ dan ‫ ܤ ك ܣ‬maka ‫ܰ ∈ ܤ‬௣ )
Bukti:
Misal ‫ܰ ∈ ܣ‬௣ dan ‫ ,ܤ ك ܣ‬A∈ ܰ௣ ֜ ‫ ׌‬himpunan terbuka ‫ ܩ‬dimana ‫ك ܩ∈ ݌‬
‫ .ܤ ك ܣ‬Jadi ‫ܰ ∈ ܤ‬௣ .
(iv) Tiap anggota ܰ∈ ܰ௣ adalah superset dari anggota ‫ܰ ∈ ܩ‬௣ dengan ‫ ܩ‬adalah
persekitaran dari tiap-tiap titik dari ‫ ܩ‬yaitu ‫ܰ ∈ܩ‬௚ untuk tiap ݃ ∈ ‫.ܩ‬
Bukti :
‫ܰ ∈ ܩ‬௚ , ‫ ܩ ∈ ݃ ׊‬jika hanya jika ‫ ܩ‬terbuka.
Jika ܰ ∈ ܰ௣ maka ‫ ׌‬himpunan terbuka ‫ ܩ‬sehingga ‫ܰ ֜ ܰ ك ܩ ∈ ݌‬
superset dari ‫ ܩ‬maka ‫ܰ ∈ ܩ‬௣ dan ‫ܰ ∈ ܩ‬௚ untuk ‫.ܩ ∈ ݃ ׊‬