Contoh Laporan Akhir Praktikum Fisika "Metode Kuadrat Terkecil"

1. METODE KUADRAT TERKECIL
(A-2)
I. Tujuan Percobaan
Tujuan dari percobaan ini adalah :
1. Menentukan garis lurus terbaik dari sejumlah pasangan data yang secara
teoritis memiliki hubungan linier
2. Menentukan fungsi linier dari fungsi kuadratis.
3. Menentukan koefisien korelasi dari beberapa pasangan data
II. Alat-Alat Percobaan dan Fungsinya
• Kalkulator : berfungsi untuk menghitung angka secera cepat
• Seperangkat komputer : untuk mengolah angka yang telah disediakan
III. Tinjauan Pustaka
Tabel yang diperoleh dari percobaan fisika biasanya besaran tabel
mengandung kesalahan inherent. Terlebih lagi, kesalahan inherent ini
biasanya tidak akan dapat dinyatakan dengan derajat ketidaktentuan; yaitu
dikatakan bahwa kesalahan inherent didistribusikan menurut pola statistik
tertentu, dan ada kemungkinan yang wajar bila beberapa kesalahan akan
cukup besar.
Pertimbangan inilah yang mendasari kita untuk mencari metode pengolahan
data bagi tabel data percobaan untuk memperoleh formula yang
menghubungkan y dan x. Diharapkan bahwa formula ini cukup sederhana.
Hal pertama yang harus diperhatikan adalah bagaimana dapat disimpulkan
bahwa suatu formula merupakan pendekatan yang baik dari tabel data. Dalam
hal grafis, pertanyaan diterjemahkan sebagai: Bagaimana dapat diputuskan
bahwa kurva tersebut merupakan kurva yang paling “tepat” pada titik-titik
data.
Salah satu metode yang digunakan untuk dapat menanggulangi terjadi adanya
kesalahan yaitu dengan penerapan Metode Kuadrat Terkecil (Least Squares).
1

2. Sebagai contoh, misalkan dari pengamatan kecenderungan umum data, dapat
kita pilih y merupakan fungsi linier :
y = ax + b
dengan x dan y merupakan variabel bebas, sedangkan a dan b merupakan
parameter. Jika kita mempunyai sekumpulan data pasangan (x,y), dan data
tersebut digambarkan dalam bentuk grafik linear, maka akan diperoleh suatu
garis lurus.
Dengan menganggap bahwa x memiliki sesatan yang lebih kecil dari pada
sesatan pada y, maka garis lurus terbaik dapat diperoleh berdasarkan metode
kuadrat terkecil (regresi terhadap y). Nilai a terbaik dituliskan dengan notasi at
sedangkan nilai b terbaik dituliskan dengan notasi bt dengan:
N ∑=
N
i 1
( x yi )- ∑=
N
i
x
1
i ∑=
N
i
y
1
i
at =
N ∑=
N
i
x
1
i
2
- ∑=
N
i
x
1
i
2
Dan
∑=
N
i
x
1
i
2
∑=
N
i
y
1
i - ∑=
N
i
x
1
i ∑=
N
i
x
1
( i yi )
bt=
N ∑=
N
i
x
1
i
2
- ∑=
N
i
x
1
i
2
Sesatan pada nilai statistik a dan b bersifat statistik dan diperoleh:
a∆ t = N
N ∑=
N
i
x
1
i
2
- ∑=
N
i
x
1
i
2
2

3. b∆ t= ∑=
N
i
x
1
i
2
N ∑=
N
i
x
1
i
2
- ∑=
N
i
x
1
i
2
Dengan:
Sy =
1
1
−N
{∑=
N
i
y
1
i – (atxibt ) } 2
Sebaran titik-titik data dari garis lurus dapat diukur berdasarkan nilai
koefisien korelasinya (r) berdasarkan rumus :
N ∑=
N
i
x
1
( i yi ) - ∑=
N
i
x
1
i ∑=
N
i
y
1
i



∑=
N
i
xN
1
i
2
- 





∑=
N
i
x
1
2



∑=
N
i
y
1
i
2
- 


∑=
N
i
y
1
i
2
dengan nilai -1 .1≤≤ r Jika r 1≈ berarti titik-titik datanya dekat dengan
garis terbaik. Sedangkan jika r 0≈ titik-titik datanya berjauhan dari garis
lurus terbaik.
Beberapa fungsi yang tidak linier, dalam batas-batas tertentu da[at dilinierkan.
Setelah diperoleh fungsi linier dapat digunakan metode kuadrat terkecil untuk
menentukan parameter terbaiknya.
IV. Prosedur Percobaan
a) Amati selembar data yang akan dibagikan oleh asisten
b) Urutkan ketiga kelompok data tersebut,tentukan
parameter a dan b berikut sesatannya jika diperkirakan data tersebut
memenuhi fungsi :
3

4. • Y = ax + b
• Y = ax2
+ bx
• Y = ax2
+ b
c) Tentukan koefisien korelasi untuk ketiga fungsi
perkiraan pada tugas no 2 diatas. Berdasarkan nilai koefisien korelasi
tersebut tentukan fungsi mana yang paling memenuhi data yang tersedia.
d) Kerjakan seperti pada tugas 2 dan 3 diatas untuk ketiga
pasangan data yang diberikan asisten.
4

5. V. Tugas Pendahuluan
1. Buktikan bahwa :
∑ ∑ ∑−=− )(
1
)( x
n
xxx
2. Suatu fumgsi secara teoritis dinyatakan sebagai y = ax2
+ bx. Dalam
hal ini x dan y merupakan variabel sedangkan a dan b merupakan
parameter. Bagaimanakah kita harus memilih sumbu koordinat agar
diperoleh fungsi garis lurus.
3. Kerjakan seperti soal nomor 2 untuk fungsi y = ax2
+ b
Jawaban :
1. Misal didapat suatu data sebagai berikut :
X = ∑ =x 20/4 = 5
∑ =− )( xx (2-5)2
+ (4-5)2
+ (6-5)2
+ (8-5)2
∑ =− )( xx 20
∑ =x 120 ∑ === 100)400(
4
1
)20(
4
1
)(
1
x
N
∑ ∑ =−=−→ 20100120)
1
x
N
x
x x2
2 4
4 16
6 36
8 64
∑ =x 20 ∑ =x 12
0
5

6. Terbukti bahwa ∑ ∑ ∑−=− )(
1
)( x
n
xxx adalah sama yaitu 20.
2. - Dengan mencari titik sentroid
- Metoda Least Square
Caranya :
1. Mencaari titik sentriod ( )oo yx ,
2. Melalui titik sentriod ini kita tarik garis lurus sedemikian sehingga
jumlah itik yang terdapat diatas lebih kurang sama dngan jumlah
dibawahnya (jumlah rata-rata jarak titik-titik percobaan terhadap
garis lurus yang… titik sentriod sama panjangnya yang diatas dan
dibawah ini dapat kita putar-putar dengan titik sentriod sebagai poros
putaran) dari grafik ini dapat ditentukan kemiringan gari dan titik
potong terhadap sumbu b (y=ax+b).
ta αtan= =
tt
tt
DD
EE
1
1
1
1
1
1
1
1
11 tan
DD
EE
a == α
2
1
2
2
1
2
22 tan
DD
EE
a == α
1aaa t −=∆
12 aaa t −=∆
Jadi
2
21 aa
a
∆+∆
=∆
Dari garis tt BA didapat tt OAb = dari 11BA diperoleh 11 OAb =
dan dari 22 BA diperoleh .22 OAb =
Maka 11 bbb t −=∆
212 bbb −=∆
6

7. Jadi
2
21 bb
b
∆+∆
=∆
7

8. DAFTAR PUSTAKA
Jones.Dr,Edwin and Dr.Richard Childers.Contemporary College Physics.Mc
Graw Hill,2001:Columbia SC
Sears,Zemansky.Fisika Untuk Universitas 1.Bina Cipta.1985:Jakarta-New York.
6