Dokumen ini membahas analisis model epidemi SIS dengan vaksinasi. Terdapat 3 bagian utama yaitu: (1) merekonstruksi model SIS dengan vaksinasi, (2) analisis kestabilan titik tetap endemik, dan (3) simulasi numerik untuk melihat pengaruh tingkat vaksinasi terhadap populasi. Hasilnya menunjukkan titik tetap endemik stabil jika bilangan reproduksi dasar lebih besar dari satu, dan semakin besar tingkat vaksinasi akan menur

1. Analisis Model
Epidemik SIS
dengan Vaksinasi
Rismawati
G54160075
Pembimbing:
Drs. Ali Kusnanto, M.Si

2. Outline
Pendahuluan
01
Daftar Pustaka
05
Jadwal Rencana Penelitian
04
Metode Penelitian
02
Hasil dan Pembahasan
03

3. PENDAHULUAN

4. Latar Belakang

5. Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk:
1. Merekonstruksi model epidemik SIS dengan perlakuan vaksinasi.
2. Menganalisis kestabilan global pada model epidemik SIS dengan
vaksinasi.
3. Melakukan simulasi numerik dengan pendekatan geometri pada
model epidemik SIS dengan vaksinasi.

6. Metode Penelitian

7. Metode Penelitian
1. Mengonstruksi model epidemik SIS dengan menentukan
kesetimbangan, memeriksa kestabilan, dan menentukan
bilangan reproduksi dasarnya.
2. Menganalisis kestabilan global berdasarkan bilangan reproduksi
dasar pada model epidemik SIS dengan vaksinasi.
3. Melakukan simulasi numerik dengan pendekatan geometri pada
model epidemik SIS dengan vaksinasi untuk melihat pengaruh
perubahan ukuran populasi terhadap perilaku sistem.

8. HASIL DAN PEMBAHASAN

9. 𝝈
𝑰
𝜹
𝜼
𝑺
𝟏 − 𝝑 𝚲 𝜷
𝜹
𝝃
𝝑𝚲
𝑽
𝜹
𝝈
MODEL EPIDEMIK SIS DENGAN VAKSINASI
Gambar 1 Diagram Kompartemen model Epidemik SIV

10. Sistem Persamaan Diferensial
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 1 − 𝜗 Λ −
𝛽𝑆𝐼
𝑁
− 𝛿 + 𝜎 𝑆 + 𝜂𝐼 + 𝜉𝑉
𝑑𝐼
𝑑𝑡
=
𝛽𝑆𝐼
𝑁
− 𝛿 + 𝜂 + 𝛼 𝐼
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜗Λ + 𝜎𝑆 − 𝛿 + 𝜉 𝑉
𝑁 = 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑉(𝑡)
𝛼, 𝛽, 𝛿, 𝜗, 𝜎, 𝜉, 𝜂 > 0
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= laju partumbuhan populasi individu yang rentan (orang/waktu)
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= laju partumbuhan populasi individu yang terinfeksi (orang/waktu)
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= laju partumbuhan populasi individu yang divaksinasi (orang/waktu)
𝑆(𝑡) = banyaknya individu yang rentan pada waktu t
𝐼(𝑡) = banyaknya individu yang terinfeksi pada waktu t
𝑉(𝑡) = banyaknya individu yang divaksinasi pada waktu t
𝑁 𝑡 = total populasi pada waktu t
Λ = banyaknya individu baru yang masuk
𝜗 = proporsi individu baru yang divaksinasi
𝜎 = proporsi individu rentan yang divaksinasi
𝛽 = tingkat penularan penyakit
𝛿 = tingkat kematian alami
𝜂 = tingkat pemulihan penyakit
𝜉 = tingkat kehilangan kekebalan vaksin
𝛼 = tingkat kematian karena infeksi

11. Titik Tetap
Titik Tetap Bebas Penyakit
𝐸0 𝐼, 𝑆, 𝑉 = 𝐼0, 𝑆0, 𝑉0 0,
Λ 𝛿 1 − 𝜗 + 𝜉
𝛿 𝛿 + 𝜉 + 𝜎
,
Λ 𝛿𝜗 + 𝜎
𝛿 𝛿 + 𝜉 + 𝜎
Titik Tetap Endemik
𝐸∗
𝐼, 𝑆, 𝑉 = 𝐼∗
, 𝑆∗
, 𝑉∗
, dengan
𝐼∗ =
𝛿 1 − 𝜗 + 𝜉 𝛽Λ − 𝛿𝑁 𝛿 + 𝜉 + 𝜎 𝛿 + 𝜂 + 𝛼
𝛿 + 𝛼 𝛿 + 𝜉 𝛽
, 𝑆∗
=
𝑁 𝛿 + 𝜂 + 𝛼
𝛽
,
𝑉∗ =
1
𝛿 + 𝜉
𝜗Λ +
𝜎𝑁 𝛿 + 𝜂 + 𝛼
𝛽
, 𝑁 =
𝛽𝛬(𝛿 + 𝛼𝜗 + 𝜉) ∗ 𝛽(𝛼 + 𝛿)(𝛿 + 𝜉)
𝛽(𝛼 + 𝛿)(𝛿 + 𝜉) − 𝛼(𝛼 + 𝛿 + 𝜂)(𝛿 + 𝜉 + 𝜎)

12. Bilangan Reproduksi Dasar
Berdasarkan kestabilan nilai eigen, didapat:
Bilangan Reproduksi dengan Vaksinasi
ℛ0 =
𝛽 𝛿 1 − 𝜗 + 𝜉
𝛿 + 𝜉 + 𝜎 𝛿 + 𝜂 + 𝛼
Bilangan Reproduksi Tanpa Vaksinasi
ℛ0 =
𝛽 𝛿 + 𝜉
𝛿 + 𝜂 + 𝛼 𝛿 + 𝜉 + 𝜎

13. Analisis Kestabilan Lokal
Teorema 1. Titik tetap endemik 𝐸∗ ada dan stabil jika ℛ0 > 1.
Berdasarkan kriteria Hurwitz 𝑏1 > 0 , 𝑏2 > 0 , 𝑏1𝑏2 − 𝑏3 > 0 maka titik endemik stabil jika ℛ0 > 1
dengan:
𝑎1 =
𝛬
𝑁
𝛿 + 𝜂 + 𝛼 𝑁 − ℛ0Λ − 𝛿𝑁
𝛿 + 𝜉 + 𝜎 𝛿 + 𝜂 + 𝛼
𝛿 + 𝛼 𝛿 + 𝜉 𝛽
𝑎2 =
𝛽
𝑁
ℛ0Λ − 𝛿𝑁
𝛿 + 𝜉 + 𝜎 𝛿 + 𝜂 + 𝛼
𝛿 + 𝛼 𝛿 + 𝜉 𝛽
1 − ℛ0Λ − 𝛿𝑁
𝛿 + 𝜉 + 𝜎 𝛿 + 𝜂 + 𝛼
𝛿 + 𝛼 𝛿 + 𝜉 𝛽
𝑎3 = −
𝛬 𝛿 + 𝜂 + 𝛼
𝑁
ℛ0Λ − 𝛿𝑁
𝛿 + 𝜉 + 𝜎 𝛿 + 𝜂 + 𝛼
𝛿 + 𝛼 𝛿 + 𝜉 𝛽
𝑏1 = −𝑎1 + 𝑎2 + 𝛿 + 𝜂 + 𝛼 + 2𝛿 + 𝜎 + 𝜉
𝑏2 = −𝑎1 2𝛿 + 𝜉 + 𝜎 + 𝛼 + 2𝛿 + 𝜉 𝑎2 + 𝜎𝑎3 + 𝛿 𝛿 + 𝜎 + 𝜉 + (𝛿 + 𝜂 + 𝛼)(2𝛿 + 𝜎 + 𝜉)
𝑏3 = −𝑎1𝛿 𝛿 + 𝜎 + 𝜉 + 𝑎2 𝛿 + 𝛼 𝛿 + 𝜉 + 𝑎3𝜎 𝛿 + 𝛼 + 𝛿 𝛿 + 𝜂 + 𝛼 𝛿 + 𝜎 + 𝜉
𝑏1𝑏2 − 𝑏3 = −𝑎1 + 𝑎2 + 𝛿 + 𝜂 + 𝛼 + 2𝛿 + 𝜎 + 𝜉 𝑏2 − −𝑎1𝛿 𝛿 + 𝜎 + 𝜉 + 𝑎2 𝛿 + 𝛼 𝛿 + 𝜉
−𝑎3𝜎 𝛿 + 𝛼 − 𝛿(𝛿 + 𝜂 + 𝛼) 𝛿 + 𝜎 + 𝜉

14. Analisis Kestabilan Global
Teorema 2
Ketika ℛ0 > 1 dan 𝛿 + 𝜎 > 𝜉 titik tetap endemik 𝐸∗
stabil asimtotik global jika 𝛿 + 𝜉 > max 𝜎 + 𝛼 + 𝜂.

15. Analisis Sensitivitas
Analisis sensitivitas bilangan reproduksi dasar ℛ0 ditentukan dengan persamaan 𝑌𝑘
ℛ0
=
𝜕ℛ0
𝜕𝑘
×
𝑘
ℛ0
Nilai indeks sensitivitas didapatkan engan menyubstitusikan masing-masing nilai parameter yaitu,
𝛽 = 1, 𝛿 = 0.2, 𝛼 = 0.1, 𝜂 = 0.1, 𝜉 = 0.2, 𝜗 = 0.2, 𝜎 = 0.3 untuk ℛ0 dan 𝛽 = 1, 𝛿 = 0.1, 𝛼 = 0.2, 𝜂 =
0.1, 𝜉 = 0.2, 𝜗 = 0.1, 𝜎 = 0.1 untuk ℛ0.
Parameter Indeks Sensitivitas 𝓡𝟎 Indeks Sensitivitas 𝓡𝟎
𝜷 1 1
𝜹 −0.34127 −0.45
𝜶 −0.25 −0.5
𝜼 −0.25 −0.25
𝝃 0.2698 0.2667
𝝑 −0.111 0.333
𝝈 −0.4286 −0.4

16. Simulasi Numerik
Parameter 𝛿, 𝛼, 𝜂, 𝜗, dan 𝜉 bernilai tetap, sedangkan nilai parameter yang berubah adalah 𝛽 dan 𝜎. Asumsi nilai
awal 𝑆(0) = 850, 𝐼(0) = 100, 𝑉(0) = 50, dan Λ = 200.
Parameter Indeks Sensitivitas 𝓡𝟎 > 𝟏
𝜷 0.8
𝜹 0.2
𝜶 0.1
𝜼 0.1
𝝃 0.2
𝝑 0.2
𝝈 0.3

17. Pengaruh Tingkat Vaksinasi pada Populasi Individu Rentan
Nilai
parameter 𝜎
ℛ0 ℛ0 Nilai Eigen
Titik Kestabilan
𝐼∗
, 𝑆∗
, 𝑉∗
0.05 1.6 1.78
𝜆1 = −0.457
𝜆2 = −0.238
𝜆3 = −0.035
276.9, 430.8, 253.8
0.1 1.44 1.6
𝜆1 = −0.513
𝜆2 = −0.230
𝜆3 = −0.037
231.6, 442.1, 210.5
0.2 1.2 1.33
𝜆1 = −0.622
𝜆2 = −0.211
𝜆3 = −0.047
133.3, 466.7, 333.3
0.3 1.03 1.14
𝜆1 = −0.729
𝜆2 = −0.184
𝜆3 = −0.066
23.53 , 494.12 , 470.59
0.32 1 1.11
𝜆1 = −0.751
𝜆2 = −0.178
𝜆3 = −0.072
0, 500, 500
0.35 0.96 1.07
𝜆1 = −0.75
𝜆2
= −0.2
𝜆3 = −0.016
0, 480, 520
0.4 0.9 1
𝜆1= −0.8
𝜆2 = −0.2
𝜆3 = −0.04
0 , 450, 550
0.5 0.8 1.89
𝜆1= −0.79
𝜆2 = −0.2
𝜆3 = −0.08
(0, 400, 600)
Parameter 𝛿, 𝛼, 𝛽, 𝜂, 𝜗, dan 𝜉 bernilai tetap, sedangkan
nilai parameter yang berubah adalah 𝜎. Asumsi nilai
awal 𝑆(0) = 850, 𝐼(0) = 100, 𝑉(0) = 50, dan Λ =
200.
Parameter Indeks Sensitivitas 𝓡𝟎 > 𝟏
𝜷 0.8
𝜹 0.2
𝜶 0.1
𝜼 0.1
𝝃 0.2
𝝑 0.2
𝝈 0.3

18. Gambar 1 Dinamika Populasi untuk ℛ0>1
saat 𝜎=0.05
Gambar 2 Dinamika Populasi untuk ℛ0>1
saat 𝜎=0.1

19. Gambar 3 Dinamika Populasi untuk ℛ0>1
saat 𝜎=0.2
Gambar 4 Dinamika Populasi untuk ℛ0>1
saat 𝜎=0.3

20. Gambar 5 Dinamika Populasi untuk ℛ0 =1
saat 𝜎=0.32
Gambar 6 Dinamika Populasi untuk ℛ0 <1
saat 𝜎=0.35

21. Gambar 7 Dinamika Populasi untuk ℛ0 <1
saat 𝜎=0.4
Gambar 8 Dinamika Populasi untuk ℛ0 <1
saat 𝜎=0.5

22. Jadwal Rencana Penelitian

23. Jadwal Rencana Penelitian
Kegiatan
November Desember Januari Februari
2020 2020 2021 2021
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Penyelesaian
draft skripsi
Seminar,
sidang dan
perbaikan

24. DAFTAR PUSTAKA

25. Daftar Pustaka Utama
Farnoosh R, Parsamanesh M. 2018. On the Global Stability of The Endemic State in An Epidemic
Model with Vaccination. Mathematical Sciences. 12(4):313-320.

26. Terimakasih