Dokumen tersebut memberikan informasi tentang jadwal kuliah, silabus, dan pengertian dasar matriks seperti jenis matriks, operasi matriks, dan operasi baris elementer."
3. Silabus
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Invers Matriks
Bab IV Sistem Persamaan Linear
Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen
Bab VI Matlab (SPL)
Bab VII Vektor
Bab VIII Perkalian Vektor
Bab IX Ruang Vektor
Bab X Proses Gram Schmidt
Bab XI Transformasi Linier Kernel
Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen
Bab XIII MATLAB
4. Sub Pokok Bahasan 1
1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan
– Matriks dan Jenisnya
– OperasiMatriks
– Operasi Baris Elementer
–Sifat OperasiMatriks
Beberapa Aplikasi Matriks
– Representasi image (citra)
– Chanel/Frequency assignment
– Operation Research
dan lain-lain.
5. Pengertian Matrix
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau
dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun
dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
Notasi yang digunakan
Atau
Atau
6. Matriks
Notasi Matriks
A = a
11
a21
:
a
m1
a12
.....
a22
....
:
:
....
am 2
a1n
a2 n
:
amn
Baris ke -1
Unsur / entri /elemen kemn (baris m kolom n)
Kolom ke -2
Matrix A berukuran (ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan
sama (notasi A = B)
Jika aij = bij untuk setiap i dan j
7. Jenis Matriks
(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
A*0=0, begitu juga 0*A=0.
(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah
baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33,
….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A
tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2
1 4
A=
2 3
8. Jenis Matriks
(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang
semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Contoh :
2 0 0
0 5 0
0 0 3
(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang
semua elemen diagonalnya adalah 1.
Contoh : 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A
9. Jenis Matriks
(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua
elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.
Contoh :
A= 4 0 0
0 4 0
(vi) MATRIKS 0 0 4 ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah
SEGITIGA
matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal
elemennya = 0.
A = 3 2 1
0 4 5
0 0 4
10. (Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas
diagonal elemennya = 0.
3 0 0
A= 1 4 0
6 9 4
(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang
elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan
bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama
A = AT
dengan dirinya sendiri.
1 2 0
1 2 0
Contoh :
T
A = 2 3 1
A = 2 3 1
0 1 1
0 1 1
11. (ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya
adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij,
elemen diagonal utamanya = 0
Contoh :
A=
1 −3 0
0
4
2
−1 0
3 − 4 0 − 1
0
2
1
0
0
0 −1 3
A =
0 − 4 − 2
1
−3 4
0
1
0 − 2 −1 0
T
12. TRANSPOSE MATRIKS
Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka
transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A
dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
(A+B)T = AT + BT
(AT) T = A
k(AT) = (kA)T
(AB)T = BT AT
13. Operasi Matrix
• Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan
Contoh =
a.
a b e
c d +g
f a+e b+ f
=
c + g d + h
h
b.
1 6 3 1 4 7
3 5 + 4 1 = 7 6
14. Operasi Matrix
• Pengurangan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan
Contoh =
a.
b.
a b e
c d −g
f a −e b− f
=
c − g d − h
h
1 6 3 1 − 2 5
3 5 − 4 1 = − 1 4
15. Operasi Matrix
Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
p q kp kq
k
r s = kr ks
• Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn
Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn
a
A=
e
b
f
p q
d
,B = r s
g ( 2 x 3)
t u
(3 x 2)
a
A.B =
e
b
f
p q
d
ap + br + dt
( 2 x 3) . r s
=
ep + fr + gt
g
t u
(3 x 2)
aq + bs + du
eq + fs + gu ( 2 x 2 )
16. Hukum Perkalian Matriks :
Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif, A*B ≠ B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
(i) A=0 dan B=0
(ii) A=0 atau B=0
(iii) A≠0 dan B≠0
Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
17. Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2)
dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1
OBE2
2
3
− 3 − 2 − 1
1
A= 1
2
3 b1 ↔ b2 − 3 − 2 − 1
0
0
2
4
2
4
4 − 4 0 − 4
1 − 1 0 − 1
1 b1 0 2 1 7
A = 0 2 1 7
4
2 −1 1 3 2 −1 1 3
→
19. Definisi yang perlu diketahui :
1 −1 1 3
B = 0 0 3 1
0 0 0 0
– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2
dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan
satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris
ke-3 adalah nol.
20. OBE
Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih
ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris
paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi
Gauss)
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses
Eliminasi Gauss-Jordan)