Aplikasi matriks banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang matematika maupun ilmu terapannya. Aplikasi tersebut banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari, misalnya pada aplikasi perbankan yang senantiasa berhubungan dengan angka-angka
slide ini berisi rangkuman dari mteri matriks SMA. mulai dari pengertian matriks, jenis-jenis matriks, transpose matriks, kesamaan dua matriks, operasi matriks, determinan matriks, dan invers matriks serta beberapa soal latihan untuk menguji pemahanan.
Aplikasi matriks banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang matematika maupun ilmu terapannya. Aplikasi tersebut banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari, misalnya pada aplikasi perbankan yang senantiasa berhubungan dengan angka-angka
slide ini berisi rangkuman dari mteri matriks SMA. mulai dari pengertian matriks, jenis-jenis matriks, transpose matriks, kesamaan dua matriks, operasi matriks, determinan matriks, dan invers matriks serta beberapa soal latihan untuk menguji pemahanan.
Matematika ilmu yang menyenangkan Jangan tajut belajar Matematika Ayo belajar Matematika dengan bahagia Kalau kamu berlatih pasti bisa Matematika itu tidak hanya menghafal rumus Tapi harus berlatih Kalau kamu berlatih pasti bisa Percayalah pasti bisa Matematika ilmu yang menyenangkan Jangan tajut belajar Matematika Ayo belajar Matematika dengan bahagia Kalau kamu berlatih pasti bisa Matematika itu tidak hanya menghafal rumus Tapi harus berlatih Kalau kamu berlatih pasti bisa Percayalah pasti bisa Matematikaitu tidak hanya menghafal rumus Tapi harus berlatih Kalau kamu berlatih pasti bisa Percayalah pasti bisa
Jika suatu ruang vektor memiliki basis yang terbatas, semua vektornya dapat dinyatakan secara unik oleh sebuah barisan skalar yang terhingga. Barisan ini dinamakan vektor koordinat, dengan entri-entrinya adalah koordinat dari vektor terhadap vektor-vektor basis. Vektor-vektor koordinat juga membentuk suatu ruang vektor lain, yang isomorfik dengan ruang vektor asalnya. Vektor koordinat umumnya disusun sebagai matriks kolom (juga disebut dengan vektor kolom), yakni sebuah matriks yang berisi satu kolom. Jadi, sebuah vektor kolom menyatakan suatu vektor koordinat, sekaligus vektor di ruang vektor asalnya.
wqjedbwqukbdkwq ewjkfbhewufg ewhjfbewhjvfb ehjwbfjewhfb hejwfvwehjvfewhj hejwvfewhjvf jehwvfewhjvfewhjvfj ejhwvfewhjvfewhjvfewhjvfewvhfewvhfvewhjfewhjvfewhjvfewvfjewvfjvew hjewfvewhjvfjewhvfjewhvfjewvhfewvhfhewvfvewhjfvewhjvfjewhvfewvfewvfivweuifvbewiufvewuifgewiufgewuifgewuifgiewugfewuigfuiewgfiuewfeiwu
ppt profesionalisasi pendidikan Pai 9.pdfNur afiyah
Pembelajaran landasan pendidikan yang membahas tentang profesionalisasi pendidikan. Semoga dengan adanya materi ini dapat memudahkan kita untuk memahami dengan baik serta menambah pengetahuan kita tentang profesionalisasi pendidikan.
2. Jadwal Kuliah
Hari : Rabo jam : 15.30
Sistem Penilaian
UTS 30 %
UAS 30 %
Tugas 40 %
3. Silabus
• Bab I Matriks dan Operasinya
• Bab II Determinan Matriks
• Bab III Invers Matriks
• Bab IV Sistem Persamaan Linear
• Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen
• Bab VI Matlab (SPL)
• Bab VII Vektor
• Bab VIII Perkalian Vektor
• Bab IX Ruang Vektor
• Bab X Proses Gram Schmidt
• Bab XI Transformasi Linier Kernel
• Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen
• Bab XIII MATLAB
4. Sub Pokok Bahasan 1
1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan
– Matriks dan Jenisnya
– OperasiMatriks
– Operasi Baris Elementer
–Sifat OperasiMatriks
Beberapa Aplikasi Matriks
– Representasi image (citra)
– Chanel/Frequency assignment
– Operation Research
dan lain-lain.
5. Pengertian Matrix
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau
dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun
dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
Notasi yang digunakan
Atau Atau
6. Matriks
Notasi Matriks
A =
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç ç ç
è
n
n
a a .....
a
11 12 1
a a ....
a
21 22 2
: : : :
a a ....
a
m 1 m 2
mn
Baris ke -1
Unsur / entri /elemen ke-mn
(baris m kolom n)
Kolom ke -2
Matrix A berukuran (ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan
sama (notasi A = B)
Jika i j i j untuk setiap i dan j a = b
7. Jenis Matriks
(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
A*0=0, begitu juga 0*A=0.
(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah
baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33,
….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A
tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2
ö
æ
2 3
A = ÷ ÷ø
ç çè
1 4
8. Jenis Matriks
(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang
semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Contoh :
ö
÷ ÷ ÷ ø
æ
ç ç ç
è
2 0 0
0 5 0
0 0 3
(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang
semua elemen diagonalnya adalah 1.
Contoh :
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A
9. Jenis Matriks
(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua
elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.
Contoh :
A=
ö
æ
4 0 0
0 4 0
(vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah
matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal
elemennya = 0.
A =
÷ ÷ ÷ ø
ç ç ç
è
0 0 4
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
3 2 1
0 4 5
0 0 4
10. (Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas
diagonal elemennya = 0.
A=
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
3 0 0
1 4 0
6 9 4
(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang
elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan
bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama
dengan dirinya sendiri.
Contoh :
ö
÷ ÷ ÷
æ
1 2 0
2 3 1
A = =
ø
ç ç ç
è
0 1 1
AT
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
1 2 0
2 3 1
0 1 1
A = AT
11. (ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya
adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij,
elemen diagonal utamanya = 0
Contoh :
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
A = AT =
ø
æ
ç ç ç ç ç è
0 1 3 0
1 0 4 2
- -
-
-
3 4 0 1
0 2 1 0
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç ç ç
è
0 1 3 0
1 0 4 2
3 4 0 1
- -
-
- -
-
0 2 1 0
12. TRANSPOSE MATRIKS
Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka
transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A
dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
(A+B)T = AT + BT
(AT) T = A
k(AT) = (kA)T
(AB)T = BT AT
13. Operasi Matrix
• Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan
Contoh =
a.
b.
ö
÷ ÷ø
a e b f
æ
+ +
ç çè
+ +
ö
= ÷ ÷ø
ç çè æ
ö
+ ÷ ÷ø
æ
ç çè
c g d h
e f
g h
a b
c d
ö
÷ ÷ø
æ
= ÷ ÷ø
ç çè
ö
æ
+ ÷ ÷ø
ç çè
ö
æ
ç çè
4 7
7 6
3 1
4 1
1 6
3 5
14. Operasi Matrix
• Pengurangan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan
Contoh =
a.
b.
ö
÷ ÷ø
a e b f
æ
- -
ç çè
- -
ö
= ÷ ÷ø
ç çè æ
ö
- ÷ ÷ø
æ
ç çè
c g d h
e f
g h
a b
c d
ö
÷ ÷ø
-
= ÷ ÷ø
æ
-
ç çè
3 1
ö
æ
- ÷ ÷ø
ç çè
ö
æ
ç çè
2 5
1 4
4 1
1 6
3 5
15. Operasi Matrix
Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
p q
k
æ
ç çè
r s
• Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn
ö
÷ ÷ø
æ
= ÷ ÷ø
ç çè
ö
kp kq
kr ks
Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn
(3 2)
æ
= ÷ ÷ø
(2 3)
,
x
p q
r s
B
x t u
a b d
e f g
A
ö
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
ö
æ
=
ç çè
(2 2)
p q
æ
+ + + +
ö
æ
ö
æ
=
A B r s
÷ø
÷ x ep fr gt eq fs gu
(3 2)
a b d
(2 3) . .
x
x
ap br dt aq bs du
t u
e f g
ö
ç çè
+ + + +
=
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
÷ ÷ø
ç çè
16. Hukum Perkalian Matriks :
Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif, A*B ¹ B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
(i) A=0 dan B=0
(ii) A=0 atau B=0
(iii) A¹0 dan B¹0
Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
17. Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2)
dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1
OBE2
ö
÷ ÷ ÷
1 2 3
3 2 1
ø
æ
ç ç ç
1 2 A b b
« - - -
è
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ- - -
=
ç ç ç
è
0 2 4
3 2 1
1 2 3
0 2 4
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
- -
1 1 0 1
0 2 1 7
-
ö
÷ ÷ ÷
1 A b
ø
æ
ç ç ç
è
- -
4 4 0 4
0 2 1 7
-
=
4
1
¾¾® 2 1 1 3
2 1 1 3
19. Definisi yang perlu diketahui :
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ -
=
0 0 0 0
ç ç ç
è
1 1 1 3
0 0 3 1
B
– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2
dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan
satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris
ke-3 adalah nol.
20. OBE
Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih
ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris
paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi
Gauss)
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses
Eliminasi Gauss-Jordan)