-

1. MODEL LINEAR DAN
ALJABAR MATRIKS
Chapter 4
Alfa Chiang, Metode Dasar
Ekonomi Matematika
Diterjemahkan dari bahasa Inggris ke bahasa Indonesia - www.onlinedoctranslator.com

2. Mengapa Aljabar Matriks
■ M a t ri k s : K ump ul a n b i l a nga n y g d i s j i k a n s eca ra
t era t ur d a l a m b a ri s d a n k o l o m memb ent uk s ua t u
persegi Panjang sert a t erdapat t anda k urung.
V ek t o r: b ent uk ma t ri k s k hus us y g ha ny a
memp uny a i s a t u b a ri s / s a t u k o l o m
K a rena s ema k i n b a ny a k k o mo d i t a s y a ng
d i ma s uk k a n d a l a m mo d el , fo rmul a s o l us i menj a d i
t idak prak t is.
Al j a b a r ma t ri k s memungk i nk a n k i t a mel a k uk a n
b a ny a k ha l :
■
■ menyediakan cara ringkas untuk menulis sistem
persamaan
■ mengarah ke bentuk pengujian keberadaan solusi
dengan mengevaluasi determinan
■ memberikan metode untuk menemukan solusi (jika
ada)
■
■

3. Memahami
 Mengerti: aljabar matriks hanya
berlaku untuk sistem persamaan
linear.
 Namun, beberapa transformasi
dapat dilakukan untuk
mendapatkan hubungan linier.
y = 𝑎 𝑥𝑏
log y= log a + b log x

4. Matriks dan Vektor
Contoh sistem persamaan linear:
c1P1 + c2P2 = -c0
γ1P1 + γ2P2 = -γ0 γ = gamma (konstanta euler)
• Secara umum:
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 + …… +𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑑1
𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2 + …… +𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑑2
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2 + …… +𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑑𝑚
Koefisien 𝑎𝑖𝑗
Variabel 𝑥1, ….., 𝑥𝑛
Konstanta 𝑑1, ….., 𝑑𝑚

5. Matriks sebagai Array/Susunan
A =
𝑎11 𝑎12 ……. 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ….… 𝑎2𝑛
….… ……. ……. …….
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 …… 𝑎𝑚𝑛
X =
𝑥1
𝑥2
…….
𝑥𝑛
d =
𝑑1
𝑑2
…….
𝑑𝑛
Contoh: 6x1 + 3x2+ x3 = 22
x1 + 4x2+-2x3 = 12
4x1 - x2 + 5x3 = 10
A =
6 3 1
1 4 −2
4 −1 5
X =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
d =
22
12
10
Penyelesaian:

6. Definisi dari Matriks
■Matriks didefinisikan sebagai array persegi
panjang dari angka, parameter, atau
variabel. Anggota array disebut elemen
matriks.
■Koefisien matriks:
A=[aij]

7. Matriks Ukuran
■ Dimensi matriks = jumlah baris x jumlah
kolom, m x n
m baris
n kolom
Catatan: nomor baris selalu mendahului
nomor kolom. ini sejalan dengan cara
kedua subscript di aij dipesan.
Kasus khusus: m = n, matriks persegi
■
■

8. Vektor sebagai Matriks Khusus
■ satu kolom: vektor kolom
■ satu baris: vektor baris
■ biasanya dibedakan dari vektor kolom dengan
menggunakan simbol prima/utama:
Perhatikan bahwa sebuah vektor hanyalah
sebuah bilangan terurut dan dengan demikian ia
dapat diinterpretasikan sebagai sebuah titik
dalam ruang n-dimensi.
■

9. Contoh
Qd = Qs
Qd= a - bP Q
Qs= -c + dP
■ dapat ditulis ulang sebagai
1Qd -1Qs = 0
1Qd + bP = a
0 + 1Qs + -dP = -c

10. dalam bentuk matriks…
Koefisien matriks Konstanta Vektor
Variabel Vektor

11. Operasi Matriks
■
Penjumlahan dan Pengurangan: matriks
harus memiliki dimensi yang sama
Contoh 1:
■
■
Contoh 2:

12. Penambahan dan
pengurangan matriks
■ Secara Umum
■ Perhatikan bahwa matriks jumlah harus memiliki
dimensi yang sama dengan matriks komponen.

13. Pengurangan matriks
■ Pengurangan
■ Contoh

14. Perkalian Skalar
■ Mengalikan matriks dengan angka – dengan skalar – adalah
mengalikan setiap elemen matriks itu dengan skalar yang
diberikan.
■ Perhatikan bahwa alasan untuk nama skalar adalah bahwa
skala naik atau turun matriks dengan kelipatan tertentu. Ini
juga bisa menjadi angka negatif.

15. Perkalian Matriks
■ Diberikan 2 matriks A dan B, kita ingin mencari hasil
kali AB. Syarat kesesuaian untuk perkalian adalah
bahwa dimensi kolom A (matriks lead) harus sama
dengan dimensi baris B (matriks lag).
■ BA tidak didefinisikan karena kondisi kesesuaian
untuk perkalian tidak terpenuhi.

16. Perkalian Matriks
■
Secara umum, jika A berdimensi m x n dan B
berdimensi p x q, hasil kali matriks AB akan
didefinisikan hanya jika n = p.
Jika didefinisikan, matriks produk AB akan memiliki
dimensi m x q, jumlah baris yang sama dengan
matriks utama A dan jumlah kolom yang sama
dengan matriks lag B.
■

17. Perkalian Matriks
Prosedur yang Tepat:
Dimana:

18. ■ Contoh : 2x2, 2x2, 2x2
Perkalian Matriks

19. Perkalian Matriks
■ Contoh: 3x2, 2x1, 3x1

20. Perkalian Matriks
■ Contoh: 3x3, 3x3, 3x3
■ Perhatikan, matriks terakhir adalah matriks persegi dengan 1s pada
diagonal utamanya dan 0s di tempat lain, dikenal sebagai matriks
identitas

21. Perkalian Matriks
■
■ Produk di sebelah kanan adalah vektor kolom
dari 4.4, hal 56

22. Perkalian Matriks
■ Ketika kita menulis Ax= d, kita
memiliki

23. Matriks Notasi
■ Ax = d
■ Pertanyaan: Bagaimana cara mengalikan A dan x?
Apa pengertian dari persamaan?

24. Model pendapatan nasional sederhana
■ Contoh: Model pendapatan nasional sederhana
dengan dua variabel endogen, Y dan C
dapat diatur ulang ke dalam format standar
■

25. Model pendapatan nasional sederhana
■ Matriks koefisien, vektor variabel, vektor
konstanta
■ Untuk menyatakannya dalam bentuk Ax=d,

26. Model pendapatan nasional sederhana
■ Jadi, notasi matriks Ax=d akan memberi kita
■ Persamaan Ax=d tepat mewakili sistem persamaan
asli.

27. ■
Simbol subcripted membantu dalam menunjuk
lokasi parameter dan variabel tetapi juga
cocok untuk singkatan yang fleksibel untuk
menunjukkan jumlah istilah, seperti yang
muncul selama proses perkalian matriks.
x1 +x2 +x3 = 𝑗=1
3
𝑥𝑗
J : indeks penjumlahan
Xj : panggilan
D i g r e s i / P e n y i m p a n g a n p a d a
Σ n o t a s i :

28. D i g r e s i / P e n y i m p a n g a n p a d a
Σ n o t a s i :

29. ■ Penerapan notasi Σ dapat dengan mudah diperluas ke kasus di mana
suku x diawali dengan koefisien atau di mana setiap suku dalam
jumlah dipangkatkan ke bilangan bulat.
- fungsi polinomial umum J = 1
D i g r e s i / P e n y i m p a n g a n p a d a
Σ n o t a s i :

30. D i g r e s i / P e n y i m p a n g a n p a d a
Σ n o t a s i :
■ Menerapkan ke setiap elemen
matriks produk C=AB
2
c11 =a11b11 +a12b21 =Σ a1kbk1
k=
1
2
c12 =a11b12 +a12b22 =Σ a1kbk2
k=
1
2
c13 =a11b13 +sa12b23 =Σa1kbk3
k=
1

31. D i g r e s i / P e n y i m p a n g a n p a d a
Σ n o t a s i :
■ Memperluas ke matriks m x n, A=[aik] dan
matriks n x p B=[bkj], sekarang kita dapat
menulis elemen-elemen dari matriks m x p
AB=C=[cij] sebagai:
atau lebih umum,