5. Pengantar
► Mengawali belajar aljabar linear dan matriks
perlu diingatkan kembali pengertian matriks,
macam-macam matriks, serta operasi aljabar
atas matriks. Hal ini karena persoalan
nantinya dibawa kedalam bentuk matriks,
kemudian bagaimana menyelesaikannya.
5
6. MATRIKS
► Adalah larik berdimensi
dua (karena
mempunyai baris dan
kolom)
► Susunan
elemen-elemen yg
disusun menurut baris
& kolom serta
merupakan satu
kesatuan.
6
Baris=m
Kolom=n
7. Pengertian Matrix
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara
empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk
persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
Notasi yang digunakan
Atau Atau
8. Matriks
► Notasi Matriks
A =
Unsur / entri /elemen
ke-mn (baris m kolom n)
Baris ke -1
Kolom ke -2
Matrix A berukuran (ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan
sama (notasi A = B)
Jika untuk setiap i dan j
9. MACAM-MACAM MATRIKS
► Matriks Nol
► Adalah matriks dengan semua
elemennya bernilai nol.
► O=(0)
► Matriks Bujur Sangkar
► Adalah suatu matriks dimana cacah
baris dan cacah kolomnya sama
► A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n
j = 1, 2, 3, . . . n
9
10. MACAM-MACAM MATRIKS
► Matriks Persegi Panjang
► Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah
kolom tidak sama.
► A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n
j = 1, 2, . . m
► Matriks Diagonal
► Adalah matriks bujur sangkar dengan
elemen-elemen pada diagonal utama bernilai
real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol
► A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i ≠ j
aij = real untuk i = j
10
11. MACAM-MACAM MATRIKS
► Matriks Satuan (identitas)
► Adalah matriks bujursangkar dengan elemen-elemen pada
diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol
► A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j
aij = 0 untuk i ≠ j
► Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular)
► Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen dibawah
diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real
► A = ( aij ), dengan aij = 0 untuk i > j
aij = α untuk i ≤ j, α ε Real
► Matriks Segitiga Bawah(Lower Triangular) : tugas (1)
11
12. MACAM-MACAM MATRIKS
► Matriks Transpose
► Adalah matriks dimana susunan
elemen-elemen berkebalikan antara
posisi baris dan kolom
► A=(aij); AT
=(aji)
► Matriks Simetris
► Adalah matriks dimana susunan
elemen-elemen antara matrik dengan
transpose nya sama
► A=AT
; maka A adalah matriks simetris
► Matriks antiSimetris
- adalah matriks yang trnsposenya adalah
negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A
dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0
12
13. MACAM-MACAM MATRIKS
► MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua
elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.
Contoh :
A=
14. TRANSPOSE MATRIKS
► Jika diketahui suatu matriks A=aij
berukuran mxn maka
transpose dari A adalah matriks AT
=nxm yang didapat
dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai
kolom ke-i dari AT
.
► Beberapa Sifat Matriks Transpose :
► (A+B)T
= AT
+ BT
► (AT
) T
= A
► k(AT
) = (kA)T
► (AB)T
= BT
AT
► Berikan contoh (tugas 2)
15. OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKS
► Operasi Perkalian Skalar
► Operasi Penjumlahan
► Operasi Pengurangan
► Operasi Perkalian
15
19. PERKALIAN MATRIKS
► A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n
► B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p
Maka :
A x B = (aij) x (bjk)
19
20. PERKALIAN MATRIKS
20
1 3
5
0
0
1
2
A B
2
4
1
2
1
0
= =
A x B =
-4
4
x + x + x = 9
1 3
5
0
2
4
1 3
5
0
2
4
0
1
2
1
2
1
0
-4
4
x + x + x = 16
x + x + x =
3
1 2 3
0 4 5
x x x
x x x
x x x
+
+
+
+
+
+ =
=
=
13
8
14
1
4
0
-4
2
1
1 2 3
0 4 5
0
1
2
0
1
2
9
3
8
16 13 14
21. Sifat – sifat Matriks
Misalkan ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasi-operasi
berikut terdefinisi maka berlaku:
1. A+B = B+A (H. Komutatif Penjumlahan)
2. A+(B+C) = (A+B)+C (H. Asosiatif Penjumlahan)
3. k(A+B) = kA+kB k skalar
4. (k+l)A = kA + lA k dan l skalar
5. (kl)A = k(lA) k dan l skalar
6. k(AB) = kA(B) = A(kB) k skalar
7. A(BC) = (AB)C (H. Asosiatif Perkalian)
8. A(B+C) = AB + AC (H. Distributif)
9. (A+B)C = AC + BC (H. Distributif)
10. Tidak Komutatif, A*B ≠ B*A
11. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
12. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
► (i) A=0 dan B=0
► (ii) A=0 atau B=0
► (iii) A≠0 dan B≠0
Buktikan dengan contoh (Tugas 3)
22. Rangkuman
► Dua buah matriks dapat di jumlahkan atau dikurangkan
jika matriks tersebut mempunyai ukuran sama.
► Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika jumlah
kolom matriks A = dengan jumlah baris matriks B
► Jumlahan matriks berlaku hukum komutatif
► Perkalian dua buah matriks belum tentu hukum komutatif
berlaku (carikan contoh) tugas ke?
► Operasi pembagian dalam matriks tidak ada definisi
(carikan materi terkait pembagian dalam matriks jika
ada. Jika tidak ada, sebutkan alasannya) tugas ke?
22
23. Soal-soal (1)
1. Tulislah contoh matriks persegi panjang berukuran 5 x 3
2. Jika diketahui matriks bujur sangkar berukuran 5, berilah contoh matriks sbb:
► Matriks bujur sangkar
► Matriks diagonal
► Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah
3. Berilah dua buah contoh matriks simetris
23
24. Soal-soal (2)
4. Jika diketahui
A = ; B =
Hitunglah: AT
+ BT
;A+B; BT
– AT
; B-A; AT
B;
BAT
.
24
