Dokumen tersebut membahas tentang matriks, vektor, dan jarak antar amatan. Memberikan definisi dan contoh penggunaan operasi-operasi dasar seperti penjumlahan, perkalian, transpose, determinan, dan invers matriks. [/ringkasan]"

1. ALJABAR MATRIK
&
RANDOM VEKTOR
NOVI HIDAYAT PUSPONEGORO

2. JARAK ANTAR AMATAN
Ukuran Jarak Kesamaan ,digunakan untuk
mengkaji jarak tiap amatan terhadap ukuran
pemusatan data, deteksi outlier, maupun
kesamaan karakteristik
Ukuran Jarak Kesamaan :
Euclidean Distance
Mahalanobis Distance

3. Euclidean Distance
 Setiap koordinat berkontribusi sama dalam
jarak
 Semakin besar ukuran, semakin besar jarak
 Tidak memperhitungkan hubungan antar
variabel
 Tidak robust

4. Euclidean Distance (2)
Misalnya P=(x1,x2),merupakan nilai dua amatan yang digambarkan
dalam sumbu koordinat ,maka jarak P terhadap titik pusat 0= (0,0)
adalah
2 2 2 2
d 0, P x1 x2 ; d 2 0, P x1 x2
2 2 2
d 0, P x1 x2 ... x p , untukP ( x1 , x2 ,..., x p )
2 2 2
d P, Q x1 y1 x2 y2 ... xp yp ,
untukP ( x1 , x2 ,...,x p ); Q ( y1 , y2 ,..., y p )
Kurang cocok,jika ternyata nilai amatan yang digambarkan
memiliki fluktuasi ataupun arah yang sangat beragam

5. Mahalanobis Distance
Memperhatikan keragaman nilai amatan
(variasi)
Disebut sebagai”ukuran jarak secara
statistik”
2 2 2 2
x1 x2 x1 x1
d 0, P ; d 2 0, P
s11 s22 s11 s11

6. Euclidean V.S Mahalanobis Distance

7. VEKTOR
 DEFINISI
 PANJANG VEKTOR
 SUDUT ANTARA 2 VEKTOR
 VEKTOR ORTHOGONAL
 TURUNAN VEKTOR

8. PANJANG VEKTOR
Sebuah vektor a berukuran n x 1 memiliki
panjang (norm) yang didefinisikan sebagai :
a' a
Dan vektor normal dari adalah:
a
a' a

9. VEKTOR ORTHOGONAL
Dua buah vektor berukuran n x 1
dikatakan ortogonal satu sama lain jika
a’b=0

10. VEKTOR
Kebebasan Linier
Sekumpulan vektor kolom atau baris tak
nol dikatakan bebas linier jika tidak ada
satupun yang bisa dituliskan sebagai
kombinasi linier dari vektor lainnya

11. MATRIK
DEFINISI
OPERASI MATRIKS
MATRIS ORTHOGONAL
TRACE MATRIKS
DETERMINAN MATRIKS
INVERS MATRIKS
RANK MATRIKS
TRANSFORMASI ORTHOGONAL
AKAR CIRI
BENTUK KUADRAT
MATRIKS DEFINIT POSITIF, DEFINIT NEGATIF, INDEFINITE, SEMI DEF.
POSITIF, SEMI DEF. NEGATIF
DEKOMPOSISI SPEKTRAL

12. Jajaran bilangan tersebut di atas disebut
MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb :
a11 a12 a13 aij a1n
a 21 a 22 a 23 a2 j a2n
a31 a32 a33 a3 j a3n
. . . . .
. . . . .
. . . . .
ai1 ai 2 ai 3 aij ain
a m1 am2 a m3 a mj a mn
m, n adalah bilangan bulat ≥ 1.
aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n)
m  banyak baris
ordematriksmxn
n  banyaknya kolom
Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)

13. Macam matriks
• Matriks bujur sangkar, bila m = n
1 2 3
4 5 6
7 8 9 mxn
Elemen-elemen a11, a22, .........., ann
disebut “elemen-elemen diagonal utama”

14. Macam matriks
• Matriks baris, bila m = 1
1 2 3 4 5 [ A ]mx1
• Matriks kolom, bila n = 1
1
2
3 [ A ]1x n
4
5

15. Macam matriks
• Matriks nol, bila aij = 0 :
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

16. TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks Diagonal,
Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali
elemen-elemen diagonal utamanya.
1 0 0 0
aij = 0
0 2 0 0 aii ≠ 0
0 0 3 0
0 0 0 4

17. TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks Satuan (unit matriks).
Jika elemen-elemen diagonal sama
dengan 1 dan elemen-elemen yang lain
sama dengan nol.
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
= [I]
0 0 0 1
Disebut juga matriks identitas = [ I ]

18. TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks simetris, jika aij = aji
1 2 3
2 0 7
3 7 5
• Matriks skew-simetris, jika aij = - aji
1 2 3
2 0 7
3 7 5

19. OPERASI MATRIKS
• Kesamaan matriks
Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila
aij = bij
[ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.

20. OPERASI MATRIKS
• Penjumlahan matriks
Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka
kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan
menjadi matriks [C]
[C] = [A] + [B]
cij = aij + bij
Sifat-sifat penjumlahan Matriks
[A]+[B]=[B]+[A] → Komutatif
[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif

21. EXAMPLE :
1 2 3 0 3 2
[A] = [B] =
4 5 6 1 2 3
[C] =
1 0 2 3 3 2
4 1 5 2 6 3
[C] =
1 5 5
5 7 9

22. OPERASI MATRIKS
• Perkalian dengan skalar :
Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar k
menghasilkan suatu matriks
[D] = k [A]
dij = k . aij
Sifat-sifat perkalian skalar matriks:
k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B]
k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k

23. EXAMPLE :
1 2 3
[A]= ; k = -2
4 5 6
2 4 6
[D]=
8 10 12

24. OPERASI MATRIKS
• Perkalian matriks
Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan
matriks baru
[E]mxn = [A]mxp [B]pxn
p
eij a ik bkj
k 1
dimana :
i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n ; k = 1, 2, … p

25. EXAMPLE :
2 1 5 3 4
[A] = ; [B] = 1 2
1 3 2 2 x3
2 1 3x2
2 x3 1( 1) 5x2 2 x4 1x2 5 x1
[E] =
1x3 3( 1) 2 x2 1x4 3x 2 2 x1
15 15
[E] =
4 12 2x2

26. Sifat-sifat perkalian matriks :
• [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif
• ( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif
• [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] ; sifat assosiatif
• [A] [B] ≠ [B] [A]
• [A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]

27. Perkalian Kronecker
Perkalian Kronecker C denganD
inotasikan
C ⊗D
Yaitu dengan mengalikan setiap unsur
matriks C dengan matriks D, dan
kemudian membuat matriks
gabungannya.

28. TRANSPOSE MATRIKS
Jika matriks [A] dengan orde m x n
Transpose matriks [A] = [A] T
adalah matriks berorde n x m dengan baris
dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan
baris matrix [A]T
EXAMPLE :
1 4
1 2 3 [A]T = 2 5
[A] =
4 5 6 2 x3 3 6 3x2

29. Sifat-sifat dari transpose matriks
• ( [A]T )T = [A]
• ( k [A] )T = k [A]T
• ( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T
• ( [A] [B] )T = [B]T [A]T

30. DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR
a11 a12
[A]2x2 = a 21 a 22
Det. [A] = A a11 a22 a12 a21
b11 b12 b13
[B]3x3 b21 b22 b23
b31 b32 b33
B b11 b22 .b33 b23b32 b12 b21.b33 b23 .b31 b13 b21.b32 b22 .b31
Co-factor bij = ( –1) i+j Minor bij

31. Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) → cara sama
n
A aik cik ai1ci1 a i 2 ci 2 ....... ain cin
k 1
dimana cik = co-factor aik

32. INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya.
Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matriks
tersebut.
• Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar,
dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka
matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan
matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].
• Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR
• Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks
SINGULAR.
• Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1

33. EXAMPLE :
6 2 3 1 2 3
[A] = 1 1 0 ; [A]-1 = 1 3 3
1 0 1 1 2 4
1 0 0
[A] [A]-1 = 0 1 0 =[I]
0 0 1
Catatan :
Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda,
antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan,
metode Cholesky, dsb.

34. Metode Gauss-Jordan
Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn
Langkah-langkah yang dilakukan :
1) Ambil matriks satuan [I]nxn
2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A]
menjadi matriks satuan
3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I
], sehingga setelah proses selesai matriks [ I ]
telah berubah menjadi matriks [A]-1

35. EXAMPLE :
1 3 3 7 3 3
[A] = 1 4 3 [A]-1 = 1 1 0
1 3 4 1 0 1
1 3 31 0 0 1 0 3 4 3 0
LANGKAH KE-1 1 4 30 1 0 LANGKAH KE-4 0 1 0 1 1 0
1 3 40 0 1 0 0 1 1 0 1
1 3 3 1 0 0 1 0 0 7 3 3
LANGKAH KE-2 0 1 0 1 1 0 LANGKAH KE-5 0 1 0 1 1 0
1 3 4 0 0 1 0 0 1 1 0 1
1 3 3 1 0 0
LANGKAH KE-3
0 1 0 1 1 0 LANGKAH KE-n Selesai …?????
0 0 1 1 0 1

36. PARTISI MATRIKS
Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara
hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.
Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi
persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa
a11 a12 a13 a14 a15 a16
A11 A12 A13
A a21 a22 a23 a24 a25 a26 =
a31 a32 a33 a34 a35 a36 A21 A22 A23
dimana ;
a11 a12 a13 a14 a15 a16
A11 A12 A13
a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26
A21 a31 A22 a32 a33 a34 A23 a35 a36

37. EXAMPLE :
5 3 1 1 5
A 4 6 2 A11 A12 B1
B 2 4
10 3 4 A21 A22 B2 2 x1
3x3 2x2 3 2 3X 2
A11 A12 B1 A11 B1 A12 B2
A B
A21 A22 B2 2 x1
A21 B1 A22 B2
2x2
5 3 1 5 11 37
A11 B1
4 6 2 4 16 44
1 3 2
A12 B2 3 2
2 6 4
1 5
A21 B1 10 3 16 32
2 4
A22 B2 4 3 2 12 8
14 39
sehingga [ A] [B] 22 48
; 28 70

38. MATRIKS ORTHOGONAL
Matriks P berdimensi mx m, dikatakan orthogonal jika Pt P 1 , sehingga
Pt P Im
TEOREMA
Misalkan P dan Q matriks orthogonal mxm dan A
adalah sembarang matriks mxm, maka
(a) |P| = 1
(b) |P’AP| = |A|
(c) PQ adalah matriks orthogonal

39. TRACE MATRIKS
Trace Matriks A berdimensi px p, didefinisikan sebagai
p
Trace ( A) tr ( A) aii
i 1
Sifat Operasi trace:
(a) tr (A B)=tr (A) tr (A) p
(b) tr (CD)=tr (DC), implikasinya tr (C’C)=tr (CC’)= c 2ij
i, j 1

40. RANK MATRIKS
RANK MATRIKS
Matriks A (nxp) adalah maksimum banyaknya baris atau kolom yang
bebas linear
atau ordo terbesar matrik A atau minornya yang determinannya tidak
sama dengan nol
Sifat-sifat:
0≤r(A) ≤min (p,n)
r(A)=r(A’)
Matriks Singular dan Nonsingular
Matriks A n x n dikatakan singular jika semua baris atau kolomnya saling
bebas linier ->Determinannya sama dengan 0

41. AKAR CIRI DAN VEKTOR CIRI
Untuk matriks A berukuran n x n maka pasangan‐pasangan
(λ1,x1),…,(λn,xn) dikatakan sebagai pasangan akar ciri dan vektor ciri yang
ortonormal jika berlaku:
Ax1= λ1x1
:
:
Axn= λnxn
Atau memenuhi det(Ax – λIx)=0

42. BENTUK KUADRAT
Misal A adalah matrik berukuran n x n dan x adalah vektor peubah
berukuran n x 1 maka:

43. MATRIKS DEFINIT POSITIF, SEMI DEF. POSITIFF
Matriks simetrik berukuran n x n bersifat:
‐definit positif jika
x’Ax > 0 untuk sembarang vektor x ≠ 0, semua nilai
akar cirinya (+)
‐semidefinit positif jika
x’Ax ≥ 0 untuk sembarang vektor x ≠ 0, nilai akar
cirinya(+) dan 0

44. MATRIKS DEFINIT NEGATIF, SEMI DEF. NEGATIF,INDEFINITE

45. Kalau Matriks A bersifat simetris, maka akar
ciri dari Aadalah riil danmemiliki vektor ciri
yang saling bebas (ortogonal)

46. RANDOM VEKTOR & MATIKS
Random vektor :
vektor yang elemennya merupakan random variabel
Random matriks :
matriks yang elemennya merupakan random variabel
Merupakan Random mariks berukuran
X xij , n X p, maka nilai ekpektasi dari setiap nilai X
E x11 E x12  E x1 p
E x21 E x22  E x2 p
EX ,
   
E xn1 E xn 2  E xnp

47. VEKTOR RATA-RATA & MATRIKS VAR-COV
E X1 1
E X2 2
EX μ,
 
E XP P
Σ EX μ X μ ,
X1 1
X2 2
E X1 1 , X2 2 , , XP P

XP P
2
X1 1 X1 1 X2 2  X1 1 XP P 11 12  1p
2
X2 X1 X2  X2 XP 21 22  2p
E 2 1 2 2 P
Σ Cov(X)
       
XP X1 X2 XP  XP
2
p1 p2  np
P 1 2 P P

48. MATRIKS KORELASI
1p
11 12

ik
ik , 11 11 11 22 11 pp
ii kk 2p
12 22

ρ 11 22 22 22 22 pp
   
1p 2p pp

11 pp 22 pp pp pp
1 12  1p
12 1  2p
   
1p 2p  1
11 0  0
1
2
0 22  0
V
   
0 0  pp

49. MATRIKS KORELASI (2)
1 1
V 2 ρV 2
Σ
1 1 1 1
ρ V 2
Σ V 2
Contoh:exercises 2.25