1. ВИВЧЕННЯ ДОДАВАННЯ ВЗАЄМНОПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ
КОЛИВАНЬ
Мета роботи: навчитися за виглядом фігур Ліссажу визначати невідому
частоту коливання.
Обладнання: комп’ютер з встановленими програмами Soundcard Scope v.1.30
та Winamp (Windows Media Player тощо), стереокабель, активні акустичні
системи.
Теоретичні відомості
a
Матеріальна точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних
коливаннях з частотами ω x = ω і ω y = nω x = nω :
x = A1 cos ω t ;
.u
(1)
y = A2 cos(nω t + β ) , (2)
де β – початкова різниця фаз між коливаннями.
Щоб знайти траєкторію точки, яка бере одночасно участь у двох взаємно
перпендикулярних коливаннях, з рівнянь (1) і (2) виключимо час t. Для цього
ho
праві і ліві частини цих рівнянь поділимо відповідно на А1 і А2. Дістанемо
x
= cos ω t ; (3)
A1
y ⎛ β⎞
= cos n⎜ ω t + ⎟ . (4)
A2 ⎝ n⎠
b.
З формули (4) випливає, що
y
= cos(nω t + β ) = cos nω t cos β − sin nω t sin β . (5)
A2
la
З урахуванням (3), а також умови
x2
sin ωt = 1 − 2
A1
pc
для різних значень п формула (5) набуває вигляду:
а) п=1
y x x2
= cos β − 1 − 2 sin β ; (6)
A2 A1 A1
б) п=2
y ⎛ 2x2 ⎞ x x2
=⎜ − 1⎟ cos β − 2 1 − 2 sin β . (7)
A2 ⎜ A12
⎝
⎟
⎠ A1 A1
Для п непарних цілих чисел, п > 2, маємо
y ⎛ n −1 x n n n −3 x n − 2 n(n − 3) n −5 x n −4
= cos β ⎜ 2 ⋅ n − ⋅ 2 ⋅ n − 2 +
⎜ ⋅ 2 ⋅ n−4 −
A2 ⎝ A1 1! A1 2! A1
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

2. n(n − 4)(n − 5) n −7 x n −6 n(n − 5)(n − 6)(n − 7) n −9 x n −8 ⎞
− ⋅ 2 ⋅ n −6 + ⋅ 2 ⋅ n −8 ... ⎟ −
⎟
3! A1 4! A1 ⎠
n −1 ⎛ n
⎛ x 2 ⎞ n n −3 ⎛ x2 ⎞
n−2
n(n − 3) n −5 ⎛ x2 ⎞
n−4
− sin β ⋅ (−1) 2 ⎜ 2 n −1⋅ ⎜1 − 2 ⎟ − ⋅ 2 ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ + ⋅2 ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ −
⎜
⎜ ⎜ A ⎟ 1! ⎜ A ⎟ 2! ⎜ A ⎟
⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠
n(n − 4)(n − 5) n −7 ⎛ x2 ⎞
n −6
n(n − 5)(n − 6)(n − 7) n −9 ⎛ x2 ⎞
n −8 ⎞
− ⋅2 ⋅ ⎜1 − 2 ⎟
⎜ A ⎟ + ⋅2 ⋅ ⎜1 − 2 ⎟
⎜ A ⎟ +... ⎟ . (8)
⎟
3! ⎝ 1 ⎠ 4! ⎝ 1 ⎠ ⎟
⎠
Для я парних цілих чисел, п > 2, маємо
a
y ⎛ n −1 x n n n −3 x n − 2 n(n − 3) n −5 x n − 4
= cos β ⎜ 2 ⋅ n − ⋅ 2 ⋅ n − 2 +
⎜ ⋅ 2 ⋅ n−4 −
A2 ⎝ A1 1! A1 2! A1
n(n − 4)(n − 5) n −7 x n −6 n(n − 5)(n − 6)(n − 7) n −9 x n −8 ⎞
.u
− ⋅ 2 ⋅ n −6 + ⋅ 2 ⋅ n −8 ...⎟ −
⎟
3! A1 4! A1 ⎠
x ⎛ n −1
n −1 n −3
n
⎛ x2 ⎞ n − 2 n −3 ⎛ x2 ⎞
⋅ ⎜2 ⋅
+1
− sin β ⋅ (−1) 2
⎜
⎜1 − 2 ⎟
⎜ A ⎟ − ⋅2 ⋅ ⎜1 − 2 ⎟
⎜ A ⎟ +
A1 ⎜ 1!
ho ⎝ ⎝
(n − 3)(n − 4) n −5
1 ⎠
⎛ x2 ⎞
n −5
⎝ 1 ⎠
+ ⋅2 ⋅ ⎜1 − 2 ⎟
⎜ A ⎟ −
2! ⎝ 1 ⎠
(n − 4)(n − 5)(n − 6) n −7 ⎞ ⎛ x2 ⎞
n −7
− ⋅2 ⋅ + ...⎟ . ⎜1 − 2 ⎟
(9)
⎜ A ⎟
b.
3! ⎟
⎟ ⎝ 1 ⎠
⎠
Рівняння (6) – (9) є рівняннями траєкторій точки, що бере участь
одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях. Залежно від
співвідношення частот складових коливань ці криві набувають тієї чи іншої
la
форми. Їх називають фігурами Ліссажу. Найпростіша форма траєкторій буде
при п = 1. Справді, перетворимо формулу (6) так:
x2 x y
1 − 2 sin β = cos β − .
A1 A1 A2
pc
Піднісши обидві частини цієї рівності до квадрата, дістанемо
x2 y2 xy
2
+ 2 −2 cos β = sin 2 β . (10)
A1 A2 A1 A2
Звідси видно, що траєкторія результуючого руху являє собою еліпс.
Отже, якщо точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях
однакової частоти ω, то в загальному випадку дістанемо рух по еліпсу.
Причому орієнтація цього еліпса відносно осей Ох і Оу залежить від різниці фаз
складових коливань.
В окремих випадках еліпс може вироджуватись у пряму або коло.
Зупинимося на розгляді деяких окремих випадків.
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

3. 1. Нехай β = 0 . Формула (10) набуває вигляду
x2 y2 xy
2
+ 2 −2 = 0. (11)
A1 A2 A1 A2
звідки
x y
= .
A1 A2
Отже, при різниці фаз, що дорівнює нулю, траєкторія точки є пряма, що
проходить через початок координат і утворює з віссю Ох кут, тангенс якого
A
дорівнює 2 .
a
A1
2. При різниці фаз β = π рівняння траєкторії має такий вигляд:
x2 y2 xy
.u
+ 2 +2 = 0.
A12 A2 A1 A2
x y A
Звідки = − , або y = − 2 x .
A1 A2 A1
Отже, знову маємо траєкторію, яка являє собою пряму, нахилену до осі
ho
Ох, але вже під кутом, більшим від
π
2
.
π π
3. При різниці фаз складових коливань β = або β = 3 рівняння
2 2
траєкторії має вигляд
b.
x2 y2
+ = 1.
A12 A22
В розглядуваному випадку точка рухається по еліпсу, осі якого
збігаються з осями координат. Якщо A1 = A2 = A , то рівняння траєкторії буде
la
рівнянням кола з радіусом, що дорівнює А, тобто x 2 + y 2 = A2 . При n ≥ 2 криві
матимуть складнішу форму. Фігури Ліссажу наведено на рис. 1. При вивченні
додавання двох взаємно перпендикулярних коливань за загальним виглядом
фігур Ліссажу можна визначити частоту одного складового гармонічного
pc
коливання, якщо відома частота іншого.
Опис експериментальної установки
Для вивчення додавання двох взаємоперпендикулярних коливань
з’єднують вихід звукової карти з її лінійним входом за допомогою
стереокабелю (рис. 2). Якщо підключити до виходу аудіоплати активні
акустичні системи (обов’язково стерео), то можна почути результат накладання
звукових коливань.
На канал 1 виходу аудіоплати подається синусоїдальна напруга відомої
частоти ν x , створена за допомогою емулятора звукового генератора. На канал 2
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

4. подається синусоїдальна напруга невідомої частоти ν y , створена програмою
Winamp (Windows Media Player тощо) при відтворенні попередньо записанного
аудіо-файлу. Залежно від співвідношення цих частот
ν x nx
= (12)
ν y ny
і зсуву фаз обох складових коливань на екрані осцилографа утворюється та чи
інша фігура Ліссажу.
a
.u
Рис. 1
Для дослідження додавання взаємоперпендикулярних коливань у вікні
емулятора осцилографа обирають режим XY (двокоординатний осцилограф).
ho Порядок виконання роботи
1. З’єднати вихід звукової карти комп’ютера з її лінійним входом за
допомогою стереокабелю.
2. Підключити акустичні системи до вільного роз’єму стереокабелю
b.
(рис. 2).
3. Перевірити настройки звукової карти комп’ютера.
Якщо на панелі задач відображується значок регулятора гучності,
наведіть на нього курсор, викличте контекстне меню натисненням правої
кнопки миші та виберіть пункт «Настройка аудиопараметров». У вікні
la
«Свойства: Звуки и аудиоустройства» на закладці «Громкость» натисніть
кнопку «Дополнительно». У пункті меню «Параметры» вікна, що з’явилося,
виберіть «Свойства».
pc
Рис. 2
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

5. При обраному за замовченням пункті «Воспроизведение» слід
пересвідчитись, щоб у полі «Отображать регуляторы громкости» були
відмічені «Громкость» та «Звук» (рис. 2) і натиснути кнопку «OK». У вікні
«Громкость», яке відображує мікшер звукового пристрою (рис. 3), встановіть
два перших повзунки зліва («Громкость» та «Звук») у крайнє верхнє
положення (максимальна гучність); перевірте, щоб біля написів «Выкл. все» та
«Выкл.» відповідно не був встановлений прапорець. Переконайтесь, що
повзунки «Баланс» обраних пристроїв встановлені у середнє положення. Решту
пристроїв бажано відключити (поставити прапорці біля напису «Выкл.»).
a
.u
ho Рис. 3
Далі знову оберіть «Свойства» пункту меню «Параметры». Відмітивши
пункт «Запись» (рис. 4), переконайтесь, що на панелі «Отображать
регуляторы громкости» обрано «Лин. вход» (лінійних вхід) і натисніть кнопку
«OK».
b.
la
pc
Рис. 4
У вікні, що з’явилося (рис. 5), поставте прапорець біля напису
«Выбрать» на панелі «Лин. вход» та встановіть відповідний повзунок не
більше, ніж на дві треті максимального рівня гучності. Решта пристроїв
відключаться автоматично. Переконайтесь, що повзунок «Баланс» даного
пристрою встановлений у середнє положення. Тепер можна закрити всі вікна
настройки аудіопараметрів.
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

6. Рис. 5
Якщо значок регулятора гучності на панелі задач відсутній, слід перейти
a
до панелі керування («Пуск» → «Настройка» → «Панель управления») та
відкрити «Звуки и аудиоустройства». Далі виконати дії описані вище.
За наявності пристрою запису «Стерео микшер» можна виконати роботу
.u
без сполучення виходу та лінійного входу аудіоплати стереокабелем. Тоді
описаним вище способом слід обрати цей пристрій та встановити для нього
аналогічні настройки. Акустичні системи в цьому випадку слід підключити до
виходу звукової карти.
4. Запустити програму Soundcard Scope. У головному вікні програми
ho
перейти до закладки X-Y Graph (двокоординатний осцилограф). За замовчанням
емулятор осцилограф уже увімкнено. Про це свідчить підсвічена зеленим
кольором кнопка Run/Stop.
5. Запустити програму Winamp (Windows Media Player тощо) та
відтворити за її допомогою аудіо-файл, на який вкаже викладач, встановивши
регулятор гучності у максимальне положення. При підключених активних
b.
акустичних системах, ви почуєте звук певного тону. На екрані емулятора
осцилографа буде спостерігатися горизонтальна лінія.
6. Встановити у вікні емулятора звукового генератора для каналу 2
(Channel 2) у полі Frequency значення частоти, яке задасть викладач, та
la
запустити генерацію сигналу натисненням кнопки лівіше напису Channel 2.
При підключених активних акустичних системах, ви почуєте, що з різних
колонок лунають звуки двох різних тонів. На екрані емулятора осцилографа
утвориться фігура Ліссажу.
pc
7. Підрахувати кількість точок nx перетину фігури Ліссажу з віссю Ох та
n y – з віссю Оу. Якщо вісь координат проходить через точку перетину віток
кривої, її рахують двічі. Така точка відповідає кратним кореням рівняння
траєкторії.
8. Для знаходження частоти ν досліджуваного гармонічного коливання
рівняння (12) запишемо у вигляді
n
νx = xνy. (12а)
ny
Знайдену кількість точок nx і n y підставити в це рівняння і обрахувати шукану
частоту.
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

7. 9. За формою фігур Ліссажу, наведених у табл. 1, і співвідношенням
частот складових коливань знайти різницю фаз цих коливань.
Таблиця 1
nxν x = n yν y Вигляд фігури залежно від зсуву фаз Знайдена
частота
ny 180° 135° 90° 45° 0° nx
a
.u
ho
b.
la
pc
10. Повторити експеримент з іншими заданими викладачем вхідними
параметрами.
Контрольні запитання
1. Який процес називається додаванням коливань?
2. Як одержати траєкторію руху тіла при додаванні коливань із однаковими
частотами?
3. Як одержати траєкторію руху тіла при додаванні коливань із кратними
частотами?
4. Що називають фігурами Ліссажу?
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

8. 5. Які фігури утворюються при накладанні двох взаємно перпендикулярних
коливань з однаковими частотами?
6. Як за виглядом фігури Ліссажу визначити співідношення частот коливань,
що додаються?
7. Чому одному і тому самому відношенню частот відповідає ряд фігур?
Література
1. Загальна фізика: Лабораторний практикум: Навчальний посібник / В.М.
Барановський, В.П. Бережний, І.Т. Горбачук та ін.; За заг. ред. І.Т.
Горбачука. — К.: Вища школа, 1992. — 509 с.
a
2. И.В. Савельев. Курс обшей физики, том I. Механика, колебания и волны,
молекулярная физика. — М.: Наука, Главная редакция физико-
математической литературы, 1970. — 511 с.
.u
ho
b.
la
pc
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua