Тригонометричні рівняння і нерівності

1. Тема. Розв’язуванняТема. Розв’язування
тригонометричнихтригонометричних
рівнянь і нерівностейрівнянь і нерівностей

2. 2
План урокуПлан уроку
• Усна розминка
• Розв’язуваня рівнянь базового
рівня
• Розв’язування нерівностей
• Розв’язування рівнянь
підвищеного рівня
• Додаткові завдання
• Підведення підсумків

3. 3
Пригадаємо формулиПригадаємо формули
arcsin(-a) = -arcsina для будь-якого а [-1,1]∈
arctg(-a) = -arctga для довільного а
arcсtg(-a) = π-arcсtga для довільного а
∈arccos(-a) = π-arcosa для будь-якого а [0,1]∈

4. 4
Усна розминкаУсна розминка
Обчисли і запиши в стовпчик
відповіді в зошиті:
2
3
1.arcsin
2. arccos
3. arctg
5.arcsin (– )
4. arctg ( - )
2
2
3
3
3
2
1
6. arccos (-1)
7 arcсоs(- )2
3
Перевір відповіді:
3
)1
π
4
)2
π
3
)3
π
6
)4
π
−
6
)5
π
−
6) π
6
5
)7
π

5. 5
Пригадай формули дляПригадай формули для
розв’язуваня рівняньрозв’язуваня рівнянь
1. сos x=a, |a|≤1
х =
2. sinx=a, |a|≤1
х=
3. tgx=a
х =
4. сtgx=a
х =
±arccos a+2πk (-1) ·arcsina+πп
п
аrctg a+πk arcctga+πk

6. 6
Розв’яжи рівняння базовогоРозв’яжи рівняння базового
рівнярівня
3
2
3
4
π
1) 2соsx - = 0
2) sin2x =-
3) 2соs(x - ) = -1
Перевір відповіді:
1) х= ±π/6+2πk.
2) х= (-1) · (-π/6) +πn/2.
3) х= +2πk, х= - + 2πk.
n
4) х= (-1) · π/6 + πn, х= 2πk.
п
12
11π
12
5π
п
Якщо не вірно Якщо вірно
До слайду 7 До слайду 8
4) (2sinx – 1)(cosх-1)=0

7. 7
Розв’яРозв’язуваннязування рівнянньрівняннь
базового рівнябазового рівня
4
π
4
π
соs(x - ) = -1/2,
3) 2соs(x - ) = -1,4
π
х - = ±arccos (-1/2) +2πk,
х= ± +2πk,4
π
3
2π
х- = ± +2πk,4
π
3
2π
4
π
3
2π
х= +2πk, х= - + 2πk12
11π
12
5π
4) (2sinx – 1)(cosх-1)=0
Підказка:
Добуток дорівнює 0,
якщо…
.2
6
,2
2
3
arccos
,
2
3
cos
,03cos2).1
π
π
π
kx
kx
x
x
+±=
+±=
=
=−
( )
( )
( ) .
2
)
6
(1
,)
3
(12
,)
2
3
arcsin(12
,
2
3
2sin).2
ππ
π
π
π
k
x
kx
kx
x
n
n
n
+−−=
+−−=
+−−=
−=

8. 8
Розв’язування нерівностейРозв’язування нерівностей
cost > acost > a
0 x
y
1. Відмітити на осі абсцис
інтервал x > a.
2. Виділити дугу кола, яка
відповідає інтервалу.
3. Записати числові значення
граничних точок дуги.
4. Записати загальний розвязок
нерівності.
a
t1
-t1
( )1 12 ; 2 ,t t n t n n Z∈ − + π + π ∈
-1 1

9. 9
Розв’язування нерівностейРозв’язування нерівностей
Розв’яжи нерівності:
2
3
1) cos х >
2) sin х ≥0
3) cos х < - 1/2
4) sinх >
2
2
Перевір відповіді:
Якщо не вірно Якщо вірно
До слайду 10 До слайду 11
1)-π/6 +2πk <х< π/6 +2πk
2) 2πk≤х≤π+2πk
3) 2π/3+2πk < х < 4π/3 +2πk
4) π/4+2πk < х < 3π/4+2πk

10. 10
Перевір розв’язуванняПеревір розв’язування
нерівностейнерівностей
º
º
2
3
1)cos х >
у
х
2) sin х ≥0 у
х
-π/6 +2πk <х< π/6 +2πk
2
3
·
- π/6
π/6
· ·
оπ
2πk≤х≤π+2πk
3) cos х < - 1/2
у
х
у
х
·
-½
2π/3
·
·
4π/3
2π/3+2πk < х < 4π/3 +2πk
4) sinх >
2
2
2
2
·º4
3π
º 4
ππ/4+2πk < х < 3π/4+2πk

11. 11
Розв’язування рівняньРозв’язування рівнянь
підвищеного рівня складностіпідвищеного рівня складності
• Середній рівеньСередній рівень
• Достатній рівеньДостатній рівень
• Високий рівеньВисокий рівень
2
3
cossin2 =xx
02coscos2
=−+ xx
1sinsin2
=− xx
1sin3cos =− xx
0cos5cossin6sin 22
=+− xxxx
0cossinsin22sin2cos 2
=++++ xxxxx

12. 12
ДодатковоДодатково
Розв’яжи рівняння: sin²2x-3=2sin2хcos2x