8

1. Спеціалізована школаСпеціалізована школа
№52№52
Вчитель математики Мовчан А. В.Вчитель математики Мовчан А. В.

2. Способи усного розвСпособи усного розв’’язуванняязування
квадратних рівнянь.квадратних рівнянь.
Здобувати знання –Здобувати знання –
хоробрістьхоробрість
Збільшувати їх – мудрістьЗбільшувати їх – мудрість
А вміло використовувати –А вміло використовувати –
велике мистецтвовелике мистецтво

3. Квадратні рівняння – це фундамент, наКвадратні рівняння – це фундамент, на
якому тримається величезна будівляякому тримається величезна будівля
алгебри. В шкільному курсі математикиалгебри. В шкільному курсі математики
вивчаються формули, за допомогоювивчаються формули, за допомогою
яких розвяких розв’’язують квадратні рівняння.язують квадратні рівняння.
Але існують і інші способиАле існують і інші способи
розврозв’’язування квадратних рівнянь, якіязування квадратних рівнянь, які
дозволяють дуже швидко розвдозволяють дуже швидко розв’’язатиязати
багато квадратних рівнянь.багато квадратних рівнянь.

4. Приклади рівняньПриклади рівнянь
016691988319 2
=++ xx
016sin46sin3 2
=+− xx
01
2
4
2
3 2
=+−
x
tg
x
tg
xxx
42103255 ⋅=⋅−⋅

5. Пригадаємо основні формулиПригадаємо основні формули
 1) від чого залежить1) від чого залежить
кількість коренівкількість коренів
квадратного рівняння?квадратного рівняння?
 2) скільки коренів може мати2) скільки коренів може мати
квадратне рівняння?квадратне рівняння?
 3) які формули коренів3) які формули коренів
квадратного рівняння виквадратного рівняння ви
знаєте?знаєте?

6. D >0
D =0
D<0
2 кореня
02
=++ gpxx
Формули коренів
1 корінь
Немає коренів
;
2
42
2,1
a
acbb
x
−±−
=
a
ackk
x
−±−
=
2
2,1
2
1
при b=2k

7. ТеоремиТеореми
ВієтаВієта
--------------------------------------------------------
ДаноДано
ОберненаОбернена
--------------------------------------------------------
ДаноДано
Для чиселДля чисел
0
,
2
21
=++
−
gpxx
ð³âíÿííÿ
êîðåí³xx
gxx
pxx
ìàºìî
gpxx
=⋅
−=+
21
21
2,1 ,,
gxx
pxx
Äîâåñòè
=⋅
−=+
21
21
0
,
2
21
=++
−
gpxx
ð³âíÿííÿ
êîðåí³xx
Äîâåñòè

8. Неповні квадратні рівнянняНеповні квадратні рівняння
 1) скільки видів неповних1) скільки видів неповних
квадратних рівнянь ви знаєте?квадратних рівнянь ви знаєте?
 2) скільки коренів можуть мати2) скільки коренів можуть мати
неповні квадратні рівняння?неповні квадратні рівняння?
 3) наведіть приклади3) наведіть приклади
неповних квадратних рівнянь.неповних квадратних рівнянь.

9. 02
=++ cbxax 0≠a
b=ob=o
c=0c=0
b=0b=0
c≠0c≠0
b≠0b≠0
c=0c=0
02
=ax
1корінь
x = 0
02
=+ cax 02
=+ bxax
a
b
x
x
baxx
−
=
=
=+
2
1 0
,0)(
2 кореня,
якщо
а і с мають різні
знаки
Немє коренів,
якщо а і с мають
різні знаки.
2 кореня2 кореня

10. Способи усного розвСпособи усного розв’’язуванняязування
квадратних рівнянь.квадратних рівнянь.
 1) Спосіб “ коефіцієнтів ”1) Спосіб “ коефіцієнтів ”
 2) Спосіб “ перекидання “2) Спосіб “ перекидання “

11. Спосіб “ коефіцієнтів №1 “Спосіб “ коефіцієнтів №1 “
02
=++ cbxax
 Якщо а+в+с=0, тоЯкщо а+в+с=0, то
.,1 21
a
c
xx ==

12. Спосіб « коефіцієнтів №1»
02
=++ cbxax
0=++ cba
, то
a
c
xx == 21 ,1
09134 2
=+− xx
наприклад
4
9
,1 21 == xx
якщо

13. Спосіб “ коефіцієнтів №2 “Спосіб “ коефіцієнтів №2 “
02
=++ cbxax
 Якщо в = а + с, тоЯкщо в = а + с, то
.,1 21
a
c
xx
−
=−=

14. Спосіб “ коефіцієнтів №2 “Спосіб “ коефіцієнтів №2 “
02
=++ cbxax
a
c
xx
−
=−= 21 ,1
b = a + cякщо
, то
07114 2
=++ xx
4
7
,1 21
−
=−= xx
наприклад

15. Спосіб “ перекидання “Спосіб “ перекидання “
 ЯкщоЯкщо
0≠+cba 

16. 0≠+ cba 
05112 2
=+− xx
010112
=+− xx
2
1
02
=++ cbxax
Спосіб “ перекидання “
якщо
, то
наприклад
Його корені 10 і 1
ділемо на а=2
Відповідь: 5 і

17. РозвРозв’’яжи усно рівнянняяжи усно рівняння
 1)1) Визначити, в який спосібВизначити, в який спосіб
можна розвможна розв’’язати рівняння.язати рівняння.
 2)2) Знайти його корені усно.Знайти його корені усно.
 3) Пояснити, як знайдені3) Пояснити, як знайдені
корені.корені.

18. 0376 2
=−− xx
07114 2
=++ xx
0120001999 2
=++ xx
016691988319 2
=++ xx
0619841978 2
=+− xx
032 2
=−+ xx

19. Перевір себеПеревір себе
1978
6
1
2
3
1
2
1
2
1
=
=
−=
=
x
x
x
x
1999
1
1
319
1669
1
4
7
1
2
1
2
1
2
1
−=
−=
−=
−=
−
−=
x
x
x
x
x
x
2
3
6
9
3
1
6
2
2
1
==
−=−=
x
x

20. 013326313 2
=++ xx
0208137345 2
=−− xx
0391448839 2
=−− xx
039978939 2
=++ xx
1
2
3
4
313
13
;1
−
−
839
391
;1 −
345
208
;1 −
939
39
;1
−
−
Квадратні рівняння з великими
коефіцієнтами

21. Складання рівнянь зСкладання рівнянь з
раціональними коренямираціональними коренями
 Застосовуючи відоміЗастосовуючи відомі
вам способи вивам способи ви
можете саміможете самі
придумуватипридумувати
рівняння зрівняння з
раціональнимираціональними
коренями.коренями.
 Наприклад візьмемоНаприклад візьмемо
рівняннярівняння
0652
=+− xx
його корені 2 і 3
Його коефіцієнт с=6, він
має дільники 1, 2, 3, 6
Звідси маємо рівняння:
0156 2
=+− xx
0352 2
=+− xx
0253 2
=+− xx
0652
=++ xx
0156 2
=++ xx
0352 2
=++ xx
0253 2
=++ xx

22. ВисновкиВисновки
 Приведені вище способиПриведені вище способи
розврозв’’язування квадратних рівняньязування квадратних рівнянь
заслуговують на увагу, оскількизаслуговують на увагу, оскільки
вони не містяться в підручниках звони не містяться в підручниках з
математики.математики.
 Володіння цими способами допоможеВолодіння цими способами допоможе
учням швидко розвязувати багатоучням швидко розвязувати багато
різноманітних квадратних рівнянь,різноманітних квадратних рівнянь,
що дасть можливість зекономитищо дасть можливість зекономити
час.час.