1. ВИВЧЕННЯ ДОДАВАННЯ ОДНАКОВО НАПРЯМЛЕНИХ КОЛИВАНЬ
Мета роботи: вивчення додавання коливань однакової частоти з різними
амплітудами і початковими фазами та близьких частот з однаковими
амплітудами і початковими фазами.
Обладнання: комп’ютер з встановленими програмами Visual Analyser (версії
не нижче 2009 HR) та Winamp (Windows Media Player тощо), стереокабель,
активні акустичні системи.
Теоретичні відомості
a
Нехай матеріальна точка бере участь у двох гармонічних коливаннях
одного напряму, які відбуваються з однаковою циклічною частотою ω, з
різними початковими фазами та різними амплітудами:
.u
x1 = A1 cos(ω t + β1 ) ; (1)
x2 = A2 cos(ω t + β 2 ) . (2)
Для дослідження додавання таких коливань можна скористатись
графічним методом зображення гармонічних коливань (рис. 1).
ho
b.
la
Рис. 1
pc
Подамо амплітуди складових коливань радіусами-векторами A1 і A2 .
Кожний з цих векторів у початковий момент часу займає положення, яке можна
виразити відповідно через кути β1 і β 2 (початкові фази). Обидва вектори A1 і
A2 рухаються проти годинникової стрілки з однаковою кутовою частотою ω. У
кожний момент часу t проекції векторів A1 і A2 на вісь Ох можна записати у
вигляді рівнянь (1), (2).
Зміщення х тіла від положення рівноваги при участі його одночасно в
обох коливаннях виразиться алгебраїчною сумою зміщень (1) і (2), тобто
x = x1 + x2 = A1 cos(ω t + β1 ) + A2 cos(ω t + β 2 ) .
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

2. Оскільки сума проекцій двох векторів на деяку вісь дорівнює проекції на
ту саму вісь вектора, що є їхньою сумою, то результуюче коливання можна
зобразити вектором амплітуди А, знайденим графічним додаванням векторів
амплітуд A1 і A2 , тобто
A = A1 + A2 .
З рис. 1 маємо
A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( β 2 − β1 ) . (3)
Вектор результуючої амплітуди, очевидно, обертається з тією самою
частотою ω, що й вектори амплітуд складових коливань.
Куг β, який утворює вектор результуючої амплітуди з віссю Ох у
a
початковий момент, з ΔОВС визначається так:
BC A1 sin β1 + A2 sin β 2
tgβ = = .
.u
OB A1 cos β1 + A2 cos β 2
Результуюче коливання, користуючись графічним способом, можна
подати проекцією вектора A . З рис. 1 x = x1 + x2 або
x = A cos(ω t + β ) . (4)
ho
Як видно з рівняння (4), результуюче коливання є також гармонічним.
Розглянемо тепер результат додавання двох однаково напрямлених
коливань х1 і х2 з близькими частотами ω1, ω2. Для спрощення покладемо, що
початкові фази цих коливань однакові, тобто β1 = β 2 = β . Нехай амплітуди цих
коливань А1 і А2. Тоді
x1 = A1 cos(ω1 t + β ) ;
b.
x2 = A2 cos(ω 2t + β ) .
la
pc
Рис. 2
Додавання цих коливань можна здійснити графічним методом.
Покладемо, що вектори амплітуд A1 та A2 коливань, що додаються,
обертаються (рис. 2) з різними кутовими швидкостями ω1 і ω2. В результаті
цього кут між векторами A1 і A2 змінюватиметься з часом. Це приведе до зміни
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

3. результуючої амплітуди. Покладемо, що ω2 > ω1 . Тоді різниця фаз цих коливань
дорівнюватиме (ω2 − ω1 )t . Як бачимо, різниця фаз цих коливань залежить від
часу. З ΔОВС (рис. 2) знаходимо амплітуду результуючого коливання
A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ω2 − ω1 )t . (5)
Як видно з (5), амплітуда результуючого коливання залежить від часу.
З того, що вектор амплітуди результуючого коливання на діаграмі (рис. 2)
обертається із змінною кутовою швидкістю, можна зробити висновок, що
результуюче коливання не є гармонічним.
Припустимо, що амплітуди складових коливань дорівнюють одна одній,
тобто А1=А2, а циклічні частоти трохи відрізняються. Тоді з (5) дістанемо
a
ω − ω1
A2 = 2 A12 + 2 A12 cos(ω2 − ω1 )t = 2 A12 [1 + cos(ω2 − ω1 )t ] = 4 A12 cos 2 2 t.
2
Звідси
.u
ω − ω1
A = 2 A1 cos 2 t.
2
За векторною діаграмою знайдемо, що зміщення в результуючому коливанні
x = x1 + x2 = A1 cos(ω1 t + β ) + A1 cos(ω2 t + β ) =
ho ω − ω1
= 2 A1 cos 2
2
⎛ ω + ω1
t ⋅ cos⎜ 2
⎝ 2
⎞
t + β ⎟.
⎠
(6)
3 (6) можна зробити висновок, що в результаті додавання двох коливань з
однаковими початковими фазами і амплітудами, а також близькими періодами
ω + ω2
утворюється нове коливання з циклічною частотою 1 і амплітудою А, що
b.
2
повільно змінюється з часом. Таке явище називається биттям.
Опис експериментальної установки
la
Для вивчення додавання двох коливань одного напряму з’єднують вихід
звукової карти з її лінійним входом за допомогою стереокабелю (рис. 3). При
цьому досліджується суперпозиція електричних коливань. Якщо підключити до
виходу аудіоплати активні акустичні системи (обов’язково стерео), то можна
pc
почути результат накладання звукових коливань.
Рис. 3
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

4. Відтворені програвачем аудіо-файли коливань або створені емулятором
звукового генератора подаються до виходу звукової карти комп’ютера, а потім
досліджуються за допомогою емулятора осцилографа.
При вивченні додавання коливань з однаковою частотою значення
амплітуди результуючого коливання, як видно з (3), залежить від різниці
початкових фаз. Оскільки − 1 ≤ cos( β 2 − β1 ) ≤ +1 , то
A1 + A2 ≥ A ≥ A1 − A2 .
Для дослідження суперпозиції коливань, обирають у вікні емулятора
осцилографа режим додавання сигналів обох каналів.
a
Порядок виконання роботи
1. З’єднати вихід звукової карти комп’ютера з її лінійним входом за
.u
допомогою стереокабелю.
2. Підключити акустичні системи до вільного роз’єму стереокабелю
(рис. 3).
3. Перевірити настройки звукової карти комп’ютера.
Якщо на панелі задач відображується значок регулятора гучності,
ho
наведіть на нього курсор, викличте контекстне меню натисненням правої
кнопки миші та виберіть пункт «Настройка аудиопараметров». У вікні
«Свойства: Звуки и аудиоустройства» на закладці «Громкость» натисніть
кнопку «Дополнительно». У пункті меню «Параметры» вікна, що з’явилося,
виберіть «Свойства».
b.
la
pc
Рис. 4
При обраному за замовченням пункті «Воспроизведение» слід
пересвідчитись, щоб у полі «Отображать регуляторы громкости» були
відмічені «Громкость» та «Звук» (рис. 4) і натиснути кнопку «OK». У вікні
«Громкость», яке відображує мікшер звукового пристрою (рис. 5), встановіть
два перших повзунки зліва («Громкость» та «Звук») у крайнє верхнє
положення (максимальна гучність); перевірте, щоб біля написів «Выкл. все» та
«Выкл.» відповідно не був встановлений прапорець. Переконайтесь, що
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

5. повзунки «Баланс» обраних пристроїв встановлені у середнє положення. Решту
пристроїв бажано відключити (поставити прапорці біля напису «Выкл.»).
a
Рис. 5
Далі знову оберіть «Свойства» пункту меню «Параметры». Відмітивши
пункт «Запись» (рис. 6), переконайтесь, що на панелі «Отображать
.u
регуляторы громкости» обрано «Лин. вход» (лінійних вхід) і натисніть кнопку
«OK».
ho
b.
Рис. 6
la
У вікні, що з’явилося (рис. 7), поставте прапорець біля напису
«Выбрать» на панелі «Лин. вход» та встановіть відповідний повзунок не
більше, ніж на дві треті максимального рівня гучності. Решта пристроїв
відключаться автоматично. Переконайтесь, що повзунок «Баланс» даного
pc
пристрою встановлений у середнє положення. Тепер можна закрити всі вікна
настройки аудіопараметрів.
Рис. 7
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

6. Якщо значок регулятора гучності на панелі задач відсутній, слід перейти
до панелі керування («Пуск» → «Настройка» → «Панель управления») та
відкрити «Звуки и аудиоустройства». Далі виконати дії описані вище.
За наявності пристрою запису «Стерео микшер» можна виконати роботу
без сполучення виходу та лінійного входу аудіоплати стереокабелем. Тоді
описаним вище способом слід обрати цей пристрій та встановити для нього
аналогічні настройки. Акустичні системи в цьому випадку слід підключити до
виходу звукової карти.
4. Запустити програму Visual Analyser. Увімкнути емулятор
осцилографа, натиснувши кнопку «On» у лівому верхньому кутку головного
вікна програми. На закладці Main у правому нижньому куті у полі Channel(s)
a
вибрати A and B (режим, в якому можна спостерігати сигнали обох кналів
одночасно).
.u
Завдання 1. Вивчення додавання однаково напрямлених коливань рівних
частот
5. Запустити програму Winamp (Windows Media Player тощо) та
ho
відтворити за її допомогою аудіо-файл, на який вкаже викладач, встановивши
регулятор гучності у максимальне положення. Аудіо-файл створений у
стереорежимі, обидва канали містять сигнали однакової частоти, але різної
амплітуди, причому сигнал одного з каналів зсунутий за фазою відносно
іншого. При підключених активних акустичних системах, ви почуєте звук
певного тону. На екрані емулятора осцилографа будуть спостерігатися дві
b.
синусоїди.
6. У програмі Visual Analyser на закладці Main панелі, що розташована в
правому нижньому куті програми встановити прапорець біля напису Volt meter,
викликавши таким чином вікно вольтметру. При обраному режимі PP (Peak to
Peak) емулятора вольтметра, зафіксувати амплітуду коливань обох каналів у
la
вольтах.
7. Обрати у полі Channel(s) режим A + B (додавання сигналів обох
каналів). Вольтметр автоматично стане показувати амплітуду результуючого
коливання. Записати її значення. Закрити вікно вольтметра.
pc
8. З формули A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( β 2 − β1 ) знайти різницю фаз
складових коливань, а саме:
A2 − A12 − A22
β 2 − β1 = arccos .
2 A1 A2
9. Знаючи різницю фаз β 2 − β1 та амплітуди A, A1, A2, побудувати на
міліметровому папері векторну діаграму розглядуваних коливань.
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

7. Завдання 2. Вивчення биття
10. У полі Channel(s) обрати режим A and B. Встановити прапорець біля
напису Wave Gen. на закладці Main, викликавши таким чином емулятор
звукового генератора.
11. Встановити однаковий рівень амплітуди сигналу, що генерується, за
допомогою повзунків у полі Levels (% full scale), наприклад, 30%.
12. У полі Left (A) channel обрати синусоїдальну форму сигналу (Wave
function → Sine). Лівіше ввести значення частоти, яке задає викладач та
натиснути кнопку Apply. Перевірити, щоб біля напису Enable прапорець
встановлений. Інший канал Right (B) channel відключити (прибрати прапорець
a
біля напису Enable). Натиснути кнопку «On», розпочавши генерацію сигналу,
та отримати на екрані осцилографа синусоїду (рис. 8, а).
.u
ho
b.
Рис. 8
13. Для каналу Right (B) встановити частоту, що на 1-2 Гц відрізняється
від частоти каналу Left (A) та синусоїдальну форму сигналу. Вкючити канал
Right (B) при вимкненому Left (A) та отримати на екрані емулятора осцилографа
вигляд відповідного гармонічного коливання (рис. 8, б).
la
14. Обрати у полі Channel(s) режим A + B. Вкючити обидва канали
звукового генератора та розпочати генерацію сигналу. На екрані емулятора
осцилографа буде спостерігатись биття (рис. 8, в). При підключених активних
акустичних системах биття добре чути на слух.
pc
15. Замалювати з екрана осцилографа графіки складових коливань та
биття.
Контрольні питання
1. Яке коливання отримують при додаванні двох однаково напрямлених
гармонічних коливань однакових частот?
2. Від чого залежить величина амплітуди результуючого коливання.
3. У чому полягає суть векторного способу додавання коливань?
4. Як визначити початкову фазу результуючого коливання?
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

8. 5. Сформулюйте закон зміни амплітуди результуючого коливання, що
його дістають від додавання коливань одного напряму та близьких частот.
6. Що таке биття? При яких умовах вони спостерігаються?
Література
1. Загальна фізика: Лабораторний практикум: Навчальний посібник / В.М.
Барановський, В.П. Бережний, І.Т. Горбачук та ін.; За заг. ред. І.Т.
Горбачука. — К.: Вища школа, 1992. — 509 с.
2. И.В. Савельев. Курс обшей физики, том I. Механика, колебания и волны,
молекулярная физика. — М.: Наука, Главная редакция физико-
a
математической литературы, 1970. — 511 с.
.u
ho
b.
la
pc
© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua