Методична розробка навчальних завдань у контексті оновленої таксономії Б. Блума з розділу “Похідна функції та її застосування” Укладач О.С.Воронкін

1. Методична розробка навчальних завдань у контексті оновленої таксономії
Б. Блума з розділу “Похідна функції та її застосування” (укладач Воронкін О.С.)
Завдання 1 рівня – запам’ятовування
Згадай навчальний матеріал і допиши речення:
- Похідною функції f(x) у точці х0 називають…
- Похідна сталої дорівнює…
- Похідна степеню з натуральним показником дорівнює…
- Похідна оберненої функції обчислюється за формулою…
- Похідна суми (різниці) двох функцій 𝑈𝑈 і 𝑉𝑉, кожна з яких має похідну, дорівнює…
- Похідна добутку двох функцій 𝑈𝑈 і 𝑉𝑉, кожна з яких має похідну, дорівнює…
- Похідну частки двох функцій 𝑈𝑈 і 𝑉𝑉, кожна з яких має похідну і 𝑉𝑉 ≠ 0, знаходять за
формулою…
- Дія знаходження похідної функції називається…
- Напиши загальну схему дослідження функції.
Завдання 2 рівня – розуміння
- Поясни, що розуміють, кажучи “похідна – це кутовий коефіцієнт дотичної”.
- Наведи приклади задач із математики, фізики та хімії, які приводять до поняття
похідної.
- Користуючись правилом диференціювання добутку двох функцій, поясни чому
сталий множник при диференціюванні виноситься за знак похідної.
- Користуючись границею відношення приросту функції до приросту аргументу,
покажи, що для функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3
похідною є функція 𝑦𝑦′
= 3𝑥𝑥2
.
- За допомогою формули похідної частки розкрий похідну функції 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
- Сформулюй своїми словами означення мінімуму функції в точці?
- Якою є функція y = f (x) на інтервалі, якщо її похідна від’ємна?

2. Завдання 3 рівня – застосування
- Знайди приріст функції 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 3 у точці 𝑥𝑥0 = 1 при вказаному прирості
аргументу 𝛥𝛥𝛥𝛥 = 0,1.
- Знайди границю lim
𝑥𝑥→3
2𝑥𝑥−6
𝑥𝑥2−9
.
- Знайди кутовий коефіцієнт дотичної до пораболи 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥2
у точці з абсцисою 𝑥𝑥0 = 1
- Знайди похідну функції: a) 𝑦𝑦 =
1
3
𝑥𝑥3
− 2𝑥𝑥2
− 4𝑥𝑥 + 1; б) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐; в) 𝑦𝑦 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥+3
𝑥𝑥3
;
г) 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡.
- Побудуй графік похідної функції: a) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3
; б) 𝑦𝑦 = 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐; в) 𝑦𝑦 = cos(
𝜋𝜋
2
).
- Відомо, що точка рухається за законом s(t) = 6t2
+ t + 5, де s – шлях в метрах, t – час у
секундах. Знайди швидкість точки в момент часу 𝑡𝑡 = 2 с.
- Кількість речовини, що вступила в хімічну реакцію задано залежністю 𝑝𝑝(𝑡𝑡) =
𝑡𝑡2
2
+
4𝑡𝑡 − 4 (моль). Знайди швидкість хімічної реакції через 4 секунди.
- Знайди похідну складеної функції: а) 𝑦𝑦 =
sin(2𝑥𝑥)
2
; б) 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒√𝑥𝑥
; в) 𝑦𝑦 = cos(𝑥𝑥2
); г) 𝑦𝑦 =
1
(6𝑥𝑥−2)3
.
- Знайди точки екстремумів та екстремальні значення функції: а) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 +
4
𝑥𝑥2
;
б) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √9 − 𝑥𝑥2.
- Розв’яжи рівняння𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0, якщо 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 2√3𝑥𝑥.
Завдання 4 рівня – аналіз
- Визнач похідну функції двома способами: а) y=(x-2)(x+2); б) 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥2
− 1)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠; в) 𝑦𝑦 =
sin 2𝑥𝑥.
- Покажи відмінність у знаходженні похідних функцій 𝑦𝑦 = tg2
𝛼𝛼 і 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡2 𝛼𝛼.
- Постав кожній функції (а–в) у відповідність значення її похідної (1–3) у точці x0=1:
а) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥3+3𝑥𝑥
𝑥𝑥
+ 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝜋𝜋
2
; б) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 48√𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 5; в) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 7𝑒𝑒𝑥𝑥−1
+ 3𝑥𝑥 + 4
1) 𝑓𝑓′
(1) =10; 2) 𝑓𝑓′
(1) = 28; 3) 𝑓𝑓′
(1) = 2.

3. - Тіло рухається так, що його швидкість 𝜈𝜈 (метри в секунду) змінюється за законом
𝜈𝜈(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡2
− 8𝑡𝑡 + 5. Яку швидкість матиме тіло в момент, коли його прискорення
дорівнюватиме 12 м/с2
.
- Досліди функцію x
x
y −
= 5
5
1
та побудуй її графік.
Завдання 5 рівня – оцінювання
- Оціни, чи правильно знайдені наступні похідні: а) 𝑦𝑦′
= (𝑒𝑒𝑥𝑥
∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)′
= 𝑒𝑒𝑥𝑥′
∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠′
= 𝑒𝑒𝑥𝑥
∙
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐; б) 𝑦𝑦′
= (𝑥𝑥2
∙ (𝑥𝑥 − 2)2)′
= �𝑥𝑥2(𝑥𝑥2
− 4𝑥𝑥 + 4)�
′
= (𝑥𝑥4
− 4𝑥𝑥3
+ 4𝑥𝑥2)′
= 4𝑥𝑥3
− 12𝑥𝑥2
+
8𝑥𝑥; в) 𝑦𝑦′
= �
1
(5𝑥𝑥−1)2�
′
=
1′(5𝑥𝑥−1)−1(5𝑥𝑥−1)′
((5𝑥𝑥−1)2)2
= −
5
(5𝑥𝑥−1)4
.
- Оціни, наскільки раціонально знайдено похідну функції
y′
= �
2tgα
1−tg2 α
�
′
=
(2tgα)′(1−tg2 α)−2tgα(1−tg2 α)′
(1−tg2 α)2
=
2�1−tg2 α�
cos2 α
+
2tgα∙2tgα
cos2 α
(1−tg2 α)2
=
2−2 tg2 α+4 tg2 α
cos2 α∙(1−tg2 α)2
=
2+2 tg2 α
cos2 α∙(1−tg2 α)2
=
2
cos4 α∙(1−tg2 α)2
=
2
cos4 α∙
cos22 α
cos4 α
=
2
cos22 α
.
- Використовуючи критичні зауваження щодо попереднього прикладу, порекомендуй
інший спосіб знаходження похідної.
Завдання 6 рівня – створення
- За допомогою веб-сервісу wolframalpha відтвори графік функції 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥2
та
знайди похідну функції.
- За допомогою веб-сервісу wolframalpha обчисли екстремуми функції 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥3
− 2𝑥𝑥2
+
4 на інтервалі [-1; 6].
- Склади складену функцію, при знаходженні похідної якої використовуються такі
правила диференціювання як сума, добуток, частка.
- Використовуючи базове означення похідної, розроби алгоритм для знаходження
похідної функції 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
- Запропонуй критерії, що дозволили б враховувати складність знаходження похідних
при оцінюванні контрольних робіт інших учнів.