2. Мета уроку:
Створення умов для засвоєння знань і
умінь
розв'язувати
тригонометричні
рівняння виду
a sinx + b cosx = c.
Формування новичок
самоконтролю і
взаємоконтролю, алгоритмічної
культури
учнів.
Развиток усної математичної мови .
Удосконалювати уміння старшокласників:
порівнювати,аналізувати, развивати навички
обробки інформації.
Развивати комунікативні уміння ділового
спілкування однолітків. Виховання культури
записів.
4. Розв'язання .
sin7x – sin x =cos4x,
2sin3x cos4x - cos4x =0,
сos4x ( 2sin3x – 1 )=0,
сos4x=0 или 2cos3x -1 =0
сos4x=0
4x =П/2+Пn, n € Z;
X=П/8 +Пn/4, n € Z,
cos3x =1/2,
3x =±аrccos1/2 +2Пn, n
3x =±П/3 +2Пn, n € Z,
X =±П/9 + 2/3Пn, n € Z.
Відповідь: X=П/8 +Пn/4, X =±П/9 = 2/3Пn, n € Z
30. Рівняння
2 sin x − 3 cos x = .0
Рівняння 2 sin x − 3 cos x = 0
.
3
Поділивши рівняння на cos x , одержимо 2tgx − 3 = 0 , tgx = ,
3
2
x = arctg + πn, n ∈ Ζ.
2
При розвязанні цієї задачі обидві частини рівняння 2 sin x − 3 cos x = 0
були поділені на cos x .
cos x = 0
Нагадаємо, що при ділені рівняння на вираз, який містить невідоме, можуть
бути втрачені корені. Тому необхідно перевірити,чи неявляються корені
рівняння коренями даного рівняння . Якщо cos x = 0 , то із рівняння
слідуєт, що sin x = 0 . Але cos x і sin x
не можуть одночасно дорівнювать нулю, так як вони зв'язані
sin 2 x + cos 2 x = 1
рівністю
sin x
a , при b ≠ 0
a sin x + b cos x =. 0Отже≠ 0 діленні
cos x
рівняння
де
,
, на
(або
)
одержуємо рівняння , рівносильне даному.
31. Рівняння
2 sinx x x+ cos x = 2
.
x
x
- sin2
і
2
2
2
2
x
x
2 = 2 ⋅1 = 2(sin 2 + cos 2 )
записуючи праву частину рівняння в вигляді,
2
2
Використовуючи формули sin x = 2 sin
cos
, cos x = cos2
x
x
x
x
x
x
4 sin cos + cos 2 − sin 2 = 2 sin 2 + 2 cos 2 ,
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
3 sin2 − 4 sin cos + cos2 = 0. Поділивши це рівняння на cos 2 ,
2
2
2
2
2
x
2 x
− 4tg + 1 = 0.
Одержуємо рівносильне рівняння 3tg
2
2
x
tg = y , одержуєм 3 y 2 − 4 y + 1 = 0 , звідки y1 = 1, y2 = 1 .
Позначимо
2
3
x 1 x
1
1
tg = , = arctg + πn, x = 2arctg + 2πn, n ∈ Ζ.
1)
2 3 2
3
3
π
x π
x
2)
tg = 1, = + πn, x = + 2πn, n ∈ Ζ;
2
2 4
2
одержуємо
Відповідь:
x=
π
+ 2πn, n ∈ Ζ; x = 2arctg 1 + 2πn, n ∈ Ζ.
2
3
32. 2 sin x + cos x = 2
Дане рівняння являється рівняннми виду
,
a sin x + b cos x = c
(1)
де a ≠ 0 , b ≠ 0, c ≠ 0, яке можна розв'язати другим способом.
Поділим обидві частини цього рівняння на
a 2 + b:2
a
a2 + b
sin x +
2
Введем допоміжний аргумент
cos ϕ =
Таке число існує, так як
ϕ
a
a2 + b
c
cos x =
2
.
a2 + b2
, такий, що
a
a2 + b
b
, sin ϕ =
2
.
a2 + b2
2
2
a
b
.
2
+ 2
=1
2
2
a +b a +b
Таким чином, рівняння можна записати в вигляді
sin x cos ϕ + cos x sin ϕ =
sin( x + ϕ ) =
c
2
a +b
c
a2 + b2
2
,
.
Посліднє рівняння являється простішим тригонометриченим рівнянням.
(2)
34. Розв'язати рівняння 4 sin x + 3 cos x = 5.
Тут
a = 4, b = 3, c = 5, a 2 + b 2 = 5
Поділимо обидві частини рівняння на 5:
4
3
sin x + cos x = 1.
5
5
Введем допоміжний аргумент ϕ , такий, що
cos ϕ =
,
Початкове рівняння можна записати в вигляді
sin x cos ϕ + cos x sin ϕ = 1
sin( x + ϕ ) = 1 ,
4
5
sin ϕ =
.
3
5
,
π
4
π
4
звідки x + ϕ = + 2πn, äå ϕ = arccos , x = − arccos + 2πn, n ∈ Z
2
5
2
5
Відповідь:
x=
π
4
− arccos + 2πn, n ∈ Ζ.
2
5
