Il documento tratta della probabilità in spazi discreti e continui, introducendo concetti chiave come variabili casuali, funzione di ripartizione e funzione densità di probabilità. Viene esplorato il teorema di Bayes, evidenziando la relazione tra conoscenza a priori e a posteriori nella valutazione delle probabilità. Infine, il testo discute le caratteristiche delle distribuzioni, inclusi il valore atteso, varianza e momenti.

1. Un ripasso di probabilità:
Domini discreti. Spazi metrici
PaulKlee,GiardinodiTunisi,1919
Riccardo Rigon

2. R. Rigon
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Probabilità in spazi discreti
L’esempio visto in precedenza ha a che fare con uno spazio degli eventi discreto.
Se dovessimo andare a precisare maggiormente, potremmo dire che, nel caso
discreto
Ovvero un opportuno sottoinsieme dei numeri razionali.
Spazio degli eventi discreto

3. R. Rigon
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Spazio degli eventi discreto
In questo caso assegnare la probabilità
Significa, come nell’esempio, assegnare un insieme del tipo
Ma si possono certamente usare delle funzioni a valori
discreti per farlo … come vedremo più avanti.

4. R. Rigon
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Probabilità in spazi metrici
Se lo spazio degli eventi è uno spazio continuo, supporremo di essere inuno
spazio metrico, isomorfo ad Rn. In questo caso gli insiemi sono generalmente
rappresentati da coordinate, di solito cartesiane, e la probabilità viene
rappresentata da funzioni su Rn che vengono dette
• Funzioni di ripartizione
Se tali funzioni sono funzioni sono di una sola variabile (P: R ->R ) , il processo
viene detto:
•univariato
Altrimenti viene detto
•multivariato
Spazio degli eventi continio

5. R. Rigon
5
D’ora in poi
Faremo assumeremo sempre di lavorare in Rn o R. Quindi:
In genere, A e B saranno intervalli, continui o discreti, di
Spazio degli eventi continio

6. R. Rigon
6
D’ora in poi
Per indicare la probabilità di ottenere valori minori di x useremo la notazione:
oppure la probabilità di ottenere valori compresi tra x1 ed x2:
con ovvie generalizzazioni ai casi molti-dimensionali
Spazio degli eventi continio

7. R. Rigon
7
Distribuzioni delle variabili casuali
• La funzione di ripartizione o Cumulative Probability
Distribution (CDF) è definita:
• La sua derivata (se esiste) è la funzione densità di probabilità
Probability Density Function (PDF):
Distribuzioni di probabilità

8. R. Rigon
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• Dalle due equazioni precedenti segue:
Distribuzioni delle variabili casuali
Distribuzioni di probabilità

9. R. Rigon
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La regola di Bayes
con questa notazione diviene
Spazio degli eventi continio
ma di solito si usa sulle densita di probabilità

10. Riccardo Rigon
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Vista la simmetria tra le variabili
vale anche:
che può essere riscritto:
Ciò che qui appare un semplice rimaneggaimento algebrico è in effetti la
nascita di una nuova visione della disciplina.
Bayes Theorem

11. Riccardo Rigon
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Bayes Theorem
Infatti:
Si assuma infatti la conoscenza a priori della variabile x, definita dalla
la distribuzione a priori. Il teorema di Bayes afferma che la conoscenza
introdotta dalla variabile y (o meglio dai fatti che y descrive), modifica la
conoscenza della variabile x (o meglio: della sua distribuzione), e che
questa conoscenza è garantita della distribuzione a posteriori:
che è proporzionale, ma non necessariamente uguale alla prima.
,
,

12. Riccardo Rigon
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Bayes Theorem
Il fattore di proporzionalità
è chiamato verosimiglianza:
Cosicchè:
la probabilità a posteriori (di x) uguaglia il prodotto della verosimiglianza per la
probabilità a priori (di x) diviso per l’evidenza
Alcuni distinguono tra numeratore, la verosimiglianza e denominatore che è
chiamato evidenza. Noi adotteremo quest’ultima convenzione.

13. R. Rigon
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Probabilità e causalità
La probabilità non riguarda necessariamente la rapporti causali
non significa che y causa x. Solo accenna alle relazioni tra y ed x.
L’evento y può precedere x !

14. R. Rigon
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Caratterizzazione delle distribuzioni
• Valore Atteso (Il valore medio! Il primo momento):
•Il secondo momento

15. R. Rigon
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• Varianza di X:
• Deviazione standard di X:
Caratterizzazione delle distribuzioni
Caratterizzazione delle distribuzioni continue

16. R. Rigon
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Caratterizzazione delle distribuzioni
• Si può definire, in generale, il momento n-esimo di una
distribuzione come:
M(n)
:=
⇥
⇥
xn
pX(x) dx
Caratterizzazione delle distribuzioni continue

17. R. Rigon
Funzione caratteristica
La funzione caratteristica è definita come il valore
atteso della della funzione a valori complessi - eitx
Caratterizzazione delle distribuzioni continue

18. R. Rigon
Funzione generatrice dei momenti
La funzione generatrice dei momenti è definita come (il valore
atterso di etx ):
Il momento n-esimo può,, una volta ottenuto l’integrale di cui
sopra essere calcolati da:
Ovvero mediante la derivata n-esima dell funzione generatrice dei
momenti, calcolata per t=0
Caratterizzazione delle distribuzioni continue