Metodo dei momenti per il calcolo dei parametri della curva di Gumbel

1. Le precipitazioni estreme
Gumbel- Metodo dei momenti
Riccardo Rigon
Kandinski-CompositionVI(Ildiluvio)-1913

2. R. Rigon
Per adattare la famiglia di curve di Gumbel ai dati si usano dei metodi di
adattamento dei parametri.
Ne useremo nel seguito 3:
- Il metodo dei minimi quadrati
- Il metodo dei momenti
- Il metodo della massima verosimiglianza (o maximum likelihood)
Si consideri allora una serie di n misure, h = {h1, ....., hn}
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Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Stima dei parametri

3. R. Rigon
Il metodo dei momenti consiste nell’uguagliare i momenti del campione con i
momenti della popolazione. Siano, ad esempio
La media e la varianza e
il momento t-esimo del CAMPIONE
!3
Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
µH
2
H
M
(t)
H
Stima dei parametri

4. R. Rigon
Se il modello probabilistico contiene t parametri, allora il metodo dei
momenti consiste nell’ugugliare i t momenti campionari con i t momenti
della popolazione, che risultano definiti da:
!4
Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
MH[t; ] =
⇥
⇥
(h EH[h])t
pdfH(h; ) dh t > 1
MH[1; ] = EH[h] =
⇥
⇥
h pdfH(h; ) dh
Stima dei parametri

5. R. Rigon
Per ottenere un numero sufficiente di equazioni bisogna considerare tanti
momenti quanti sono i parametri. Benchè in linea di principio la
funzione dei parametri che ne risulta possa essere calcolate
numericamente per punti, il metodo risulta efficace quando l’integrale a
secondo membro ammette una soluzione analitica.
!5
Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
MH[t; ] =
⇥
⇥
(h EH[h])t
pdfH(h; ) dh t > 1
Stima dei parametri

6. R. Rigon
Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel
porre:
o:
b + a = µH
b2 2
6 = ⇤2
H
MH[1; a, b] = µH
MH[2; a, b] = ⇥2
H
6
Stima dei parametri

7. R. Rigon
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la
serie temporale registrata:
Questa può considerarsi come la probabilità di ottenere le misure, assegnati i
parametri
7
Stima dei parametri

8. R. Rigon
Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale
Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene:
La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza
rappresenta ed è evidentemente una funzione dei parametri.
8
Stima dei parametri