Probability distributions of Hydrological interest.

1. Un ripasso di probabilità:
Distribuzioni
PaulKlee,GiardinodiTunisi,1919
Riccardo Rigon

2. R. Rigon
2
Altre distribuzioni continue
•Gaussiana o Normale
•Esponenziale
•Gamma
•Lognormale
•Chi square
•F and T
Distribuzioni di probabilità

3. R. Rigon
Esponenziale
P[X < x; ] := 1 e x
0 ⇥ x ⇥ ⇤
f(x; ) := e x
0 x ⇥
V ar[x; ] =
1
2
E[X; ] =
1
Distribuzioni di probabilità

4. R. Rigon
Esponenziale
Distribuzioni di probabilità

5. R. Rigon
Esponenziale
More information on Wikipedia (Exponential distribution)
Distribuzioni di probabilità

6. R. Rigon
Gamma
La distribuzione Gamma può essere considerata una generalizzazione della distribuzione esponenziale e ha forma:
Il suo integrale, cioè la probabilità è una funzione trascendente, che si trova
tabulata (o si può calcolare con appropriati metodi numerici) e si chiama
funzione gamma uncompleta
f(x; k, ) :=
xk 1
e x/
k (k)
0 x ⇥ k, >
( ) ⇥ ( 1)!
Distribuzioni di probabilità

7. R. Rigon
7
Gamma
Distribuzioni di probabilità

8. R. Rigon
8
Gamma
Distribuzioni di probabilità

9. R. Rigon
9
Gamma
V ar(x; k, ) = k 2
Mode(x; k, ) = (k 1) k > 1
E[x; k, ] = k
More information on Wikipedia (Gamma distribution)
Distribuzioni di probabilità

10. R. Rigon
10
Lognormale
Distribuzioni di probabilità

11. R. Rigon
11
Lognormale
Distribuzioni di probabilità

12. R. Rigon
12
Lognormale
Distribuzioni di probabilità

13. R. Rigon
13
Lognormale
E[x; µ, ⇥] = eµ+⇥2
/2
Median[x; µ] = eµ
Mode[x; µ, ⇥] = emu 2
V ar[x; µ, ⇥] = (e⇥2
1)e2µ+⇥2
More information on Wikipedia (Lognormal distribution)
Distribuzioni di probabilità

14. R. Rigon
χ2
Le distribuzione della somma dei quadrati di n variabili random
standardizzate ha una distribuzione χ2 con n gradi di libertà.
La funzione densità e la funzione di ripartizione sono rispettivamente:
f(x; k) =
1
2k/2 (k/2)
x(k/2 1)
e x/2
x > 0
0 x 0
F[x; k] =
(k/2, x/2)
k/2
Distribuzioni di probabilità

15. R. Rigon
15
χ2
Distribuzioni di probabilità

16. R. Rigon
16
χ2
Distribuzioni di probabilità

17. R. Rigon
17
E[x; k] = k
V ar[x; k] = 2k
χ2
More information on Wikipedia (Chi square distribution)
Mode[x; k] = k 2 k ⇥ 2
Distribuzioni di probabilità

18. R. Rigon
18
χ2
Distribuzioni di probabilità