Introduzione all'analisi matematica

1. Intervalli e intorni

2. L’insieme R
Insieme Q dei numeri razionali: numeri ottenibili come frazioni con
numeratore e denominatore intero
R è un insieme completo: qualsiasi punto della retta reale
corrisponde sicuramente a un numero reale

3. Intervalli limitati
Intervallo chiuso a sinistra e a destra: [a, b] = {x  R : a ≤ x ≤ b}
Intervallo aperto a sinistra e a destra: (a, b) = {x  R : a < x < b}
Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra: (a, b] = {x  R : a < x ≤ b}
Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra: [a, b) = {x  R : a ≤ x < b}

4. Maggioranti e minoranti di intervalli limitati
Maggioranti di un intervallo: tutti i numeri M maggiori o uguali a
tutti gli elementi dell’intervallo stesso.
Se un insieme ha maggioranti, si dice che è superiormente limitato.
Minoranti di un intervallo: tutti i numeri m minori o uguali a tutti gli
elementi dell’intervallo stesso.
Se un insieme ha minoranti, si dice che è inferiormente limitato .
Esempio: [-1, 7) ha come maggioranti 7 e tutti i numeri maggiori di 7
Esempio: [-1, 7) ha come minoranti -1 e tutti i numeri minori di -1

5. Massimi e minimi di intervalli limitati
Se un maggiorante dell’intervallo A appartiene ad A, si dice massimo
di A (si indica con maxA).
Un intervallo può avere un unico massimo o non averne alcuno.
Esempio: [-1, 7) e [-1, 7]
Se un minorante dell’intervallo A appartiene ad A, si dice minimo di
A (si indica con minA).
Un intervallo può avere un unico minimo o non averne alcuno.
Esempio: (-6, 4) e [6, 4]

6. Estremi superiori e inferiori di intervalli limitati
Indipendentemente dal fatto che appartenga all’intervallo, il più
piccolo dei maggioranti di un intervallo si dice estremo superiore
dell’intervallo.
Esempio: [-1, 7) e [-1, 7]
Indipendentemente dal fatto che appartenga all’intervallo, il più
grande dei minoranti di un intervallo si dice estremo inferiore
dell’intervallo.
Esempio: (-6, 4) e [6, 4]

7. Sistema ampliato R* dei numeri reali
R* = R  {-}

8. Intervalli illimitati
Intervalli illimitati a sinistra oppure a destra:
Intervallo chiuso e illimitato a sinistra: (- b] = {x  R : x ≤ b}
Intervallo chiuso e illimitato a destra: [a, +) = {x  R : x ≥ a}
Intervallo aperto e illimitato a sinistra: (-, b) = {x  R : x < b}
Intervallo aperto e illimitato a destra: (a, +) = {x  R : x > a}
Intervallo illimitato a sinistra e a destra:
R = (-, +)

9. Estremi superiori e inferiori di intervalli illimitati
Gli intervalli illimitati a sinistra non hanno minoranti né minimi;
possiamo dire che hanno -come estremo inferiore
Gli intervalli illimitati a destra non hanno maggioranti né massimi;
possiamo dire che hanno +come estremo superiore

10. Intorni
Intorno circolare di un punto x0, con raggio r > 0:
(x0 – r, x0 + r)
Intorno (generico) di un punto x0:
(x0 – a, x0 + b) (con a, b > 0)
Intorno sinistro di un punto x0:
(x0 – a, x0) (con a > 0)
Intorno di -:
(-, -M) (con M > 0)
Intorno destro di un punto x0:
(x0, x0 + b) (con b > 0)
Intorno di +:
(M, +) (con M > 0)

11. Insiemi in R
Più intervalli possono essere combinati tra di loro, mediante
operazioni insiemistiche di unione, intersezione e differenza, per
formare insiemi qualsiasi di numeri reali, cioè sottoinsiemi di R.
Su questi insiemi valgono ancora le definizioni di maggiorante,
minorante, massimo, minimo, estremo superiore, estremo
inferiore.
Esempio:
A = {x  R : x2 > 1} è formato dai numeri reali minori di -1 e dai
numeri reali maggiori di 1, cioè è uguale a (-∞, -1)  (1, +∞)

12. Funzioni reali di variabile reale

13. Funzioni reali di variabile reale
Funzione f di dominio A e codominio B: relazione che associa a ogni
elemento di A uno e un solo elemento di B
f: A B
Se A e B coincidono con R, f è detta funzione reale di variabile reale
Una funzione f viene descritta attraverso una scrittura del tipo:
y = f(x)
dove f(x) è l’espressione analitica della funzione nella variabile
indipendente x

14. Classificazione delle funzioni reali di variabile reale
• funzioni algebriche (contenenti un numero finito di operazioni di
addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a
potenza, estrazione di radice)
• funzioni trascendenti (contenenti anche altre operazioni, ad
esempio espressioni logaritmiche, esponenziali e goniometriche)
Le funzioni algebriche si possono a loro volta suddividere tra:
o funzioni razionali (in cui la variabile indipendente non compare
sotto il segno di radice)
o funzioni irrazionali (in cui la variabile indipendente compare sotto
il segno di radice)

15. Classificazione delle funzioni reali di variabile reale
Le funzioni algebriche si possono anche classificare in:
o funzioni intere o polinomiali (in cui la variabile indipendente non
compare al denominatore)
o funzioni fratte o frazionarie (in cui la variabile indipendente
compare al denominatore)

16. Dominio delle funzioni reali di variabile reale
Per dominio di una funzione, salvo diversa indicazione, si intende
normalmente l’insieme dei valori reali che la variabile indipendente x
può assumere senza che l’espressione f(x) perda significato in R
(dominio «naturale» o insieme d’esistenza)
Per determinare il dominio naturale:
• divisioni: imporre che il denominatore sia diverso da zero;
• radici di indice pari: imporre che il radicando è positivo o nullo;
• logaritmi: imporre che l’argomento sia positivo.
Altre due condizioni (meno importanti) da imporre per determinare il
dominio naturale:
• logaritmi: imporre che la base sia maggiore di 0 e diversa da 1;
• esponenziali: imporre che la base sia maggiore di 0 e diversa da 1.

17. Determinazione delle intersezioni con gli assi e del segno
della funzione
Determinazione dell’eventuale punto di intersezione con l’asse y:
imporre x = 0 e calcolare, se esiste, il valore corrispondente di y
Determinazione degli eventuali punti di intersezione con l’asse x:
imporre y = 0 e calcolare, se esistono, i valori corrispondenti di y
Determinazione del segno della funzione:
1) stabilire per quali valori di x la funzione assume valori positivi
2) stabilire per quali valori di x la funzione assume valori negativi

18. Immagine di una funzione
Al variare di x nel dominio della funzione, questa assume diversi
valori, che costituiscono l’insieme immagine della funzione.
Esempi
1) y = x2 ha un insieme immagine formato da tutti i numeri reali non
negativi
2) y = ex ha un insieme immagine formato da tutti i numeri reali non
negativi
3) y = ln x ha un insieme immagine formato da tutti i numeri reali

19. Estremi, massimi e minimi di una funzione
L’estremo inferiore dell’insieme immagine della funzione f è detto
estremo inferiore della funzione e si indica con inf f.
L’estremo superiore dell’insieme immagine della funzione f è detto
estremo superiore della funzione e si indica con sup f.
Se esiste un minimo dell’insieme immagine della funzione, esso è
detto minimo della funzione e si indica con min f.
Se esiste un massimo dell’insieme immagine della funzione, esso è
detto massimo della funzione e si indica con max f.

20. Funzioni crescenti e decrescenti
Una funzione y = f(x) si dice crescente in un sottoinsieme I del suo
dominio se, presi due punti qualsiasi x1 e x2 di I, con x1 < x2, si ha:
f(x1) ≤ f(x2)
Una funzione y = f(x) si dice decrescente in un sottoinsieme I del suo
dominio se, presi due punti qualsiasi x1 e x2 di I, con x1 < x2, si ha:
f(x1) ≥ f(x2)
Una funzione crescente o decrescente in tutto il suo dominio si dice
monotòna.
Esempi
1) le funzioni y = ln x e y = 2x sono monotone crescenti
2) la funzione y = (1/2)x è monotona decrescente

21. Funzioni pari e dispari
Se in tutto il dominio della funzione f, si ha f(-x) = f(x), cioè il grafico
della funzione è simmetrico rispetto all’asse y, la funzione si dice pari.
Se in tutto il dominio della funzione f, si ha f(-x) = -f(x), cioè il grafico
della funzione è simmetrico rispetto all’asse x, la funzione si dice
dispari.
Esempi
1) y = |x| e y = cos x sono funzioni pari
2) y = sen x è una funzione dispari

22. Funzione inversa
Se il grafico di una funzione è tale che, dato un valore di y, esiste al
più un valore corrispondente di x, la funzione si dice invertibile.
Esempi
1) y = ex è invertibile
2) y = x2 non è invertibile

23. Funzione composta
Date due funzioni f e g, si dice funzione composta di f e di g, e si indica
con g ◦ f, la funzione che si ottiene applicando a x prima la funzione f e
poi la funzione g.
f g
x f(x) g(f(x))
g ◦ f
y = g ◦ f (x)

24. Se vuoi trovare il dominio di una funzione
a tre sole cose devi fare attenzione.
Diversi da zero tutti i denominatori;
argomenti dei logaritmi di zero maggiori;
radicandi d'ordine pari non negativi.
Se fai così, di sicuro al dominio arrivi!