Il documento discute le variabili casuali discrete, in particolare la Bernoulli e la distribuzione binomiale, spiegando il concetto di probabilità di successo e il calcolo delle loro funzioni di probabilità. Viene descritto come la distribuzione binomiale modella il numero di successi in prove ripetute e le relazioni tra la probabilità di successo e il numero di prove. Infine, viene approfondita la linearità del valore atteso e la variazione dei parametri della distribuzione binomiale.

1. Ecco anche ah un paio di informazioni tizio dovrebbe avervi avvisato almeno un paio di parti che
oggi pome al pomeriggio online a proposito ti e martedì vedo scusi si sente un po basso il volume
non so se sono un problema mio o premetti a una magnetica uso per evitare in passato quindi
cerco di stare più vicino al mio perché mi stare tante meglio così uguale provo a mettere le cuffie
allora in caso e grasso e poi prossime siamo quasi sempre in Moroni forse dovrebbero andar
meglio allora dicevo che il Prato di oggi pomeriggio cioè perché Nicolò itria viene recuperato
lunedì 2 maggio alla alla solita poi ci sarà comunque dal giudice di qui alla prossima per questa
settimana recuperati eh a proposito di online lunedì martedì sulle proclamazioni di laurea quindi
se non lo sapete controllate su l'orario eccetera ma te l'ho visto che la mia lezione è segnata come
online ok e a casa sarà online per tutti per qualche domanda su questa iniziativa e oggi niente
tutorato si rifà lunedì online e anche la mia lezione di lunedì allora la volte scorse stavamo
parlando di variabili casuali discrete se vi ricordate eravamo abbiamo fatto tutta la teoria e è una
variabile casuale in generale cosa non sarebbe casuale discreta da qualche domanda all'immenso
qualche domanda la domanda quindi stavo dicendo avevamo definito le variabili casuali e le
variabili per vari discreet solare avevamo parlato della legge di probabilità della funzione di
ripartizione che riprenderemo un pochino EE allora atteso e varianza e poi eravamo passati a fare
alcuni tempi di variabili casuali discreti un po celebri parte ha visti insieme in uniforme diretta la
bernulli che ieri abbiamo fatto la binomiale avanti tutti qua non so che oggi ha seguito ieri alla
rivediamo un attimo ieri vedevo qualcuno sulla vitale grazie scusi l'interruzione ma la sentiamo
basso e a scatti da casa ah risentita meglio meglio così molto bene sì perché c'era molto rumore di
sottofondo come se fosse disturbato l'audio ho alzato io l'input del mio microfono facciamo una
vita un pelo meno così così meglio ok no no grazie a voi che mi avete segnalato allora sia chi c'era
ieri che chi non c'era ieri è importante che siamo tutti a bordo solo questo è una binomiale OK
quindi la riprendiamo un attimo insieme allora il primo esempio di variabile casuale discreta che ci
può venire in mente quello di ripartire la massa totale di probabilita che è uno su S possibili valori
quindi ognuno si prende probabilità uno fratto S non è particolarmente complicato non è neanche
particolarmente interessante ok quindi se avete un dado equo ad esempio con le sue sei facce una
si prende probabilità 1/6 questo è un'uniforme da uno a sei media e varianza ve li ho riportati più
per curiosità che per che per necessità operativa però sono lì la bernulli come vi ho già detto è
molto più importante quella che modella una situazione in cui eh ci interessa se un evento si
realizza o meno quindi se abbiamo successo in quella prova oppure no può assumere solo valore
uno e zero assume valore uno con probabilità pi greco che è detta probabilita di successo e valore
zero con il resto della probabilità cioè uno meno pi greco si può scrivere in un modo semplice per
casi o in un modo un pochino più complicato ma equivalente alcune cose un po importanti sono il
valore atteso della bernulli che è uguale alla probabilità di successo gli ho fatto vedere come si
calcola è un'applicazione della formula e la varianza che è la probabilità di successo per uno meno
la probabilità di successo quindi pi greco per un numero pi greco quindi sia il valore atteso che la
varianza dipendono dal parametro della bernoulli che è pi greco e mentre il valore atteso eh
esattamente pi greco la varianza è questa funzioni pi greco nella fattispecie non è una funzione
molto complicata è una parabola rivolta verso il basso e quindi è facile anche vedere come la
varianza sia massima quando la probabilita di successo e 0 5 intuitivamente è facile da capire il
perché perché diciamo il la variabile di bernulli più dispersa più diffusa meno concentrata meno
prevedibile è quella in cui ho la stessa probabilità di avere un successo o un insuccesso fino qua
tutto chiaro ok poi mentre la bernulli modellizzare una situazione in cui facciamo una sola prova
quando andiamo a interessarci di più di una prova entriamo nell'ambito della distribuzione
binomiale ok di cui la bernulli è un caso particolare è anche un elemento costitutivo diciamo
quindi la binomiale modella ad esempio il numero di successi in n prove ripetute tutte identiche e
indipendenti quindi supponiamo che il nostro dado invece di lanciarlo una volta lo lancio n volte e

2. mi interessa ad esempio quante volte ottengo quello che per me può essere un successo tipo mi
esce sei quindi supponiamo che se esce sei io vinco e mi interessa quante volte vinco se ripeto
questa prova questo esperimento n volte ovviamente il numero di successi né prove può essere
0123 fino AN quindi il range di questa variabile non è +0 1 ma da zero fino AN tutti i valori interi
abbiamo detto che una variabile di questo tipo chiamiamola x conta il numero di successi nelle n
prove possiamo vederlo come la somma di n variabili di per nulli ciascuna delle quali ciascuna x
con i indica se c'è stato un successo o meno nella prima prova quindi x Coni vale uno se ho avuto
successo nella prova i e vale zero altrimenti se io sono tutte le x con i faccio con uno più x con due
più con tre fino AX con n ho tanti uni quanti sono i successi tanti zeri quanti sono gli insuccessi
quindi la somma è uguale al numero di successi questo è il motivo per cui possiamo scrivere il
numero di successi così come insomma questa questa x con i abbiamo detto che sono tante
bernulli indipendenti e identicamente distribuite questa x senza l'indice che è la somma delle
bernulli si chiama binomiale sarà una binomiale di greco n o enne pi greco dipende dai testi che
consultate comunque diciamo che i due parametri che definiscono la binomiale sono la probabilità
di successo in ciascuna delle prove che è sempre uguale in ogni prova perché le prove sono
identiche quindi è sempre lo stesso dado o sempre la stessa moneta ho sempre la stessa prova EN
che è il numero di prove la funzione di probabilità cioè quella che ci dice con che probabilità la
nostra variabile x grande assume il valore x piccolo ha questa forma e chiaro a tutti questa forma o
qualcuno non si ricorda non c'era non ha capito cos'erano coefficiente binomiale fattoriale
qualcuno vuole che ripeta allora vi ricordo che questa parentesi con due numeri uno sopra uno
sotto ma senza nessuna frazione qua in mezzo si chiama coefficiente binomiale la formula per
calcolarlo è questa coinvolge quest'altra operazione matematica che si chiama fattoriale che è
indicata col! E che non è altro che è definita per ogni numero intero positivo zero fattoriale uno
per definizione se prendete un numero intero positivo maggiore di uno supponiamo 7 per fare 7
fattoriale dovete fare 7 per sei per 5 per quattro per tre per due per uno cioè fattoriale di un
intero positivo e quell'intero positivo moltiplicato per tutti i predecessori quindi tornando al
coefficiente binomiale si fa il fattoriale del numero sopra fratto il fattoriale del numero sotto per il
fattoriale della differenza e vi ricordo che questa fune ogni probabilità ha come supporto tutti gli
interi da zero n perché il range della variabile x sono tutti gli interi da zero n cioè i valori possibili di
x sono questi questa cosa di che valori una variabile possa assumere è importante in generale però
può anche fatto passare un po le domande di teoria tenete in conto queste sono anche domande
di teoria possibili OK avete una tale distribuzione quali sono i valori che può assumere e una
legittimissima è nemmeno troppo difficile domanda di teoria allora venendo a un esempio se
considerate il lancio ripetuto di un dado a sei facce OK dove ogni probabilità ogni faccia probabilità
1/6 facciamo 10 lanci il successo per noi e che esca il sei ci chiediamo qual è la probabilità che
questo sei esca tre volte quindi il numero di successi viene modellato da una binomiale pi greco n
dove pi greco è la probabilità di successo che sarà 1/6 e nel numero di lanci in questo caso 10 per
calcolare la probabilità di nostro interesse c'è la probabilità che il numero di successi sia
esattamente tre usiamo la funzione di probabilità dobbiamo solo sostituire 10 al posto di n 1/6 al
posto di pi greco e tre al posto di perché siamo interessati alla probabilità del valore tre mettendo
tutti i numeri al loro posto otteniamo questa formula qua qui avete un esempio di come si calcola
il coefficiente binomiale cioè convincente binomiale di 10/3 sara 10 fattoriale fratto tre fattoriale
per 7 fattoriale vi accorgete se avete fatto giusto perché avete un numero grande sopra e sotto
due numeri più piccoli che sommano a quello sopra va bene operativamente se vi trovate a fare
dei conti a mano tenete conto che 10 fattoriale si può scrivere ad esempio come 10 invece che
scrivere 10 per 9 per 8 per 7 persone per 5 cover quattro per tre per due per uno vi fermate al 7
scrivete 10 per 9 per 8 per 7 fattoriale perché così lo semplificate col 7 fattoriale che sta sotto e i
conti vengono un po meglio comunque questo si tratta solo di fare i conti con le potenze e col

3. fattoriale nella maniera corretta che le altre cose che vi ho fatto notare che possiamo calcolare
anche la probabilità di eventi composti ad esempio la probabilità che x sia minore uguale di uno
cioè di avere al più un successo EE visto che questo evento composto x minore uguale di uno
comprende due eventi un po più semplici cioè x uguale a zero EX uguale a uno che sono disgiunti
tra l'altro la probabilità della loro Unione è la somma delle probabilità questa cosa è chiara dovete
calcolare la probabilità che esca al più uno quindi va bene che esca zero vivo bene cioè non che
esca di avere al più un successo quindi va bene zero successi va bene un successo avere zero
successi avere un successo sono due eventi disgiunti cioè o avete zero o avete uno successo non
potete averli entrambi quindi la probabilità della loro Unione cioè che avvenga uno oppure l'altro
è la somma delle probabilità ciascuna di queste due probabilità si calcola con la formula che
abbiamo visto prima quindi al posto del tre mettete lo zero nella formula di prima al posto del tre
mettete l'uno una forma di prima tenete i due valori insomma ultima ultimo esempio Un'altro tipo
di evento composto come la probabilità che esca almeno una volta il sei cioè di avere almeno un
successo potete accorgervi anzi è cosa buona se vi accorgete che avere almeno un successo è il
contrario di non avere nessun successo quindi l'evento almeno un successo è il complementare
dell'evento nessun successo quindi la probabilità di almeno un successo e uno meno la probabilità
del complementare cioè la probabilità di x uguale a zero che in questo caso avevamo già calcolato
ma nella peggiore delle ipotesi vi dovete calcolare la probabilità che sia uguale a zero che è
sicuramente meglio che interpretare x maggiore uguale di uno come l'unione di x uguale a uno
unito x uguale a due il suo la tre fino ai sei uguale a 10 quindi qua avete due possibilità o calcolate
9 probabilità insomma 10 probabilità di sommate uno a 10 oppure calcolate la probabilità di x
uguale a zero e fate uno o meno direi che questa è un po più veloce quindi in questo in molti altri
casi sfruttare le proprietà teoriche vi risparmia un sacco di conti e anche un sacco di possibilità di
sbagliare perché ogni conto che fate è una possibilità di sbagliare ora avevamo osservato insieme
a chi c'era ieri cosa succede quando modifichiamo i parametri della distribuzione binomiale vi ho
detto già la prima volta che abbiamo parlato di parametri che i parametri cioè ciascuno dei due
valori che si mettono tra parentesi dopo la distribuzione e che definiscono la distribuzione potete
vedervi un po come delle manopole che aumentando diminuendo cambiano la forma della vostra
distribuzione in questo caso teniamo fissa la probabilita di successo che è 0 5 cambiamo il numero
di prove ovviamente se faccio più prove sarà più probabile avere più successi perché continua a
provare quindi non mi stupisce che ad esempio la media aumenti con l'aumentare del numero di
prove a media di successo se faccio 100 prove mi aspetto più successi che se ne faccio 10 o 20
però vedrete vedete anche da qui che cambia anche la varianza cioè o meno prove innanzitutto o
meno esiti possibili quindi con 7 prove o al più 7 successi che posso avere quindi a zero a 7
commenti provo da zero a 20 quindi il supporto si allarga e ciascuna di queste possibili esiti a un
po di probabilità e anche la varianza aumenta quindi viene un po sparpagliata di più la probabilità
e questo è concorde con i valori di media e varianza che vedremo dopo se invece di cambiare il
numero di prove teniamo fisso il numero di prove a 20 OK e aumentiamo diminuiamo la
probabilità di successo ovviamente diminuendo la probabilità di successo quindi con una
probabilità di successo bassa diciamo 0 1 mi aspetto meno successo con una probabilità di
successo più alta mi aspetto più successo di qua sembra agire più che altro sul valore atteso
vedere la varianza da qua è un pochino più sottile però si possono fare i conti ok abbiamo detto
che la nostra binomiale è una somma di bernoulli quindi quando voglio fare il valore atteso della
mia binomiale lo scrivo come valore atteso di una somma di bernoulli ricordandoci dal nel fatto
che il valore atteso è un operatore lineare Questo vuol dire che il valore atteso della somma è la
somma dei valori attesi quindi dobbiamo sommare n volte il valore atteso di una minimale quelle
sono tutte binomiali identiche hanno tutte le probabilità pi greco e quindi hanno tutti i valori
atteso pi greco quindi posso amare n volte pi greco risultato EN per pi greco quindi questo è

4. concorde con quello che dicevamo prima cioè se tengo fisso pi greco il valore atteso è
proporzionale n se tengo fisso n il valore atteso proporzionale a pi greco giusto comunque in
generale diciamo che se aumento pi greco e barra ON aumenta anche la mia aspettativa
matematica il mio valore atteso mi aspetto più successi se faccio più prove o se il successo più
probabile è abbastanza intuitivo e chiaro del perché posso fare questo conto parte difficile non è il
risultato il risultato ce lo potevamo aspettare non so se l'abbiamo mai esplicitato ma quando
dicevamo che il valore atteso un operatore lineare noi l'abbiamo fatto vi ricordate prendevamo
una variabile x la trasformavano in AX più B e gli avevo dato la formula per come si fa a calcolare il
valore atteso di x più BA partire da leaks era un po come con la media campionaria no quindi
avevamo fatto questo tipo di osservazione qua magari poi ve lo aggiungo vi aggiungo una cosa mi
ricordate questa è la linearità del valore atteso vedete che se faccio una trasformazione lineare di
una variabile la stessa trasformazione me la trovo sul valore atteso in realtà dire che un operatore
lineare vuol dire ancora di più di così cioè vuol dire ad esempio che il valore atteso della somma di
due varie variabili e la somma dei due valori attesi arriverò aggiungo così provincia l'avete quindi
diciamo che l'uomo qua questo il primo uguale è solo la costruzione della binomiale come
insomma di bernoulli il secondo uguale è una proprietà del valore atteso non è una proprietà della
binomiale questo è vero sempre ok sulla varianza dobbiamo fare un'osservazione in più cioè in
generale la varianza della somma non è la somma delle varianze questo lo sapete da dall'inizio del
corso quando sommate due variabili visto che c'è di mezzo un quadrato e quindi dopo i prodotti
questo equivale alla varianza del primo più due volte la covarianza più la varianza il secondo quindi
in generale se se le due variabili XEY hanno una qualche correlazione la variante asso ma non è la
somma delle varianze però le nostre x con i vi ricordate che sono all'ex con i che indicano se c'è
stato un successo in ciascuna prova cometi erano di che stiamo parlando parlato troppo non vi ho
fatto ancora nessuna domanda vi siete massimizzati cosa sono queste x con i guarda sto parlando
da in pochetto sono le bernulli che rappresentano le singole prove e tra loro come sono
indipendenti e identicamente distribuite questa sigla qua strana che avevo fatto vedere Questa è
una breve azione standard del nella statistica della probabilità ok quindi tornando al nostro
esempio abbiamo la somma di queste x con unix con due fino AX con n che sono indipendenti
essendo indipendenti la loro covarianza è zero a covarianza tra ciascuna di ciascun altre zero
quindi tutte le varianze possiamo tirar via e resta che la varianza è la somma in questo specifico
caso è uguale alla somma delle varianze ma solo perche siamo fortunati quindi sarebbe la varianza
del primo più la varianza il secondo fino alla varianza è l'ultimo visto che queste sono tutte
identicamente distribuite hanno anche tutte la stessa varianza quindi la varianza è la somma è né
volte la varianti ciascuna di esse che è pi greco per un nome non pi greco perché come diceva il
vostro compagno si tratta di variabili di bernoulli ok e chiaro qua che è un pochino più complicato
questo passaggio fino a qui tutto ok anche chi non c'era ieri non era riuscito a spero di sì allora ieri
verso la fine vi avevo annunciato che purtroppo e anche se avevamo speso tanta energia per
capire la binomiale la binomiale non esaurisce tutte le applicazioni possibili a dati discreti ok quindi
se voi dovete modellare un dato discreto supponiamo un conteggio quando voi avete un
conteggio sempre un numero intero non negativo ok quindi non modellate con una variabile
casuale discreta se considerate un dei casi anche pratici come non lo so il numero di ascolti di una
determinata canzone su Spotify piuttosto che il numero di visioni di un determinato titolo su
Netflix eccetera voi non sapete a priori qual è il massimo di questo conteggio non è che questo
conteggio sia limitato come prima da dal numero di prove da 102050 prove perché altro perché
qua non sapete quante sono le prove non sapete quali quanti sono gli utenti e quante volte si sono
connessi quindi abbiamo bisogno per casi come questo dove non sappiamo qual è il valore
massimo che ci possiamo aspettare di una variabile che non abbia un massimo cioè che abbia 1 1
range illimitato verso l'alto possa assumere tutti i valori da zero a più infinito tutti i valori interi

5. 012345 e 50.000 i miei dicembre ok fortunatamente o sfortunatamente una variabile casuale di
questo tipo esiste ed è ad esempio non è l'unica ma un esempio di variabile col supporto non
limitato e la distribuzione di posson qua vedete si è buttato un occhio subito al riquadro azzurro
che rappresenta la distribuzione o funzione di probabilità è definita per ogni valore di x intero
positivo senza un limite superiore qua ho messo i puntini per dire che potete andare avanti fino a
dove volete e la probabilità sarà sempre positiva per ciascuno di questi valori nessuno di questi
valori probabilità zero quindi abbiamo già detto del range del supporto io ogni tanto uso range
supporto in maniera interscambiabile in realtà volendo essere precisi il range è l'insieme di valori
che possono essere assunti dalla variabile il supporto è l'insieme dei valori per cui definite la sua
distribuzione di probabilità le due cose sono ovviamente collegate però a voler essere precisi
vedete che oltre alla x che è la variabile e oltre alla è che è una costante matematica penso che la
conoscete no la dai stai minuscola una costante matematica non è un parametro della
distribuzione è la base del logaritmo naturale ok comunque quella che trovate anche sulla
calcolatrice Ad ogni modo l'unico parametro vero e proprio questo landa landa è un qualsiasi
valore reale maggiore di zero che rappresenta l'intensità di questo processo e compare sia qui che
qui la distribuzione è questa c'è una potenza sotto c'è un fattoriale che è quello che abbiamo visto
nella binomiale e che qui è ben definito perchè x intera eh quindi il fattoriale facile da fare e poi
un'esponenziale negativo comunque questo lo trovate anche sul libro eretico questa formula è
presa dal vostro arrivo si era disconnesso da casa avete perso un pezzo no no no proprio è sempre
andato non so perché me lo meglio così ok quindi questa e la distribuzione di posson no visto che
così è un po astratta vediamo un esempio allora supponiamo che dovete modellare il numero di
chiamate che arrivano a un centralino in un determinato intervallo di tempo e supponiamo che
che abbiate stabilito che una buona distribuzione per modellare questa quantità è una posson con
parametro lambda uguale a due quindi può son due ok andate a calcolare la vostra PDX cioè le
vostre probabilità che x è uguale AX per i primi valori e vedete un po quali sono i valori che vi
escono qua notiamo due cose la prima cosa è che il libro riporta i valori solo fino a 9 ma non
perché da 10 in poi valga zero la probabilità ma solo perché diventa come vedete piccola ok e
quindi e quindi poi è un diventa trascurabile è un po ridondante da riportare però diciamo anche
la probabilità che x è uguale a 100.000 non è zero sarà un valore molto molto molto molto piccolo
la colpa è e questa di questa cosa qua vedete che qua il numeratore cresce come una potenza di x
il denominatore cresce come il fattoriale di x il fattoriale è la cosa che cresce più velocemente di
tutte ok quindi questo fattoriale cresce più velocemente di questa potenza questo fa sì che per x
che tende a infinito questa proprietà tende a zero ma non è mai eh ad esempio come ha fatto il
libro a calcolare questo primo valore me lo riporto perché qua almeno ripassate la cosa del
fattoriale di zero eccetera allora perché alterare la probabilità di zero c'è la probabilità che x è
uguale a zero voi dovete fare lambda alla zero quindi due alla zero fratto zero fattoriale per e alla -
2 qua notate che due alla zero vale 1 0 fattoriale vale uno per definizione quindi diciamo che
questa frazione davanti non gioca nessun ruolo il risultato è semplicemente e alla -2 che qua è
approssimato così la forma della distribuzione è questa in realtà quest'area un po più chiara verde
acqua più chiaro è lì per darvi un'idea grafica ma il modo giusto di rappresentarla sarebbe tramite
queste sbarrette e basta un po come avevamo fatto qui ok questo è un modo un po più corretto
proprio al libro ha scelto di fare così e vedete che la distribuzione di probabilità si concentra su
valori abbastanza bassi e poi decade abbastanza in fretta la somma di tutte queste sbarrette che
ripeto sono infinite ma sono sempre più piccole da sempre comunque uno vi ricordate ok avevo
una domanda in chat adesso l'ho recuperata mi chiedevano cos'è lambda allora lambda è un
parametro che definisce la forma specifica di questa distribuzione diciamo che quando uno parla
di variabile casuale di poisson non si riferisce a 1 1 sola specifica distribuzione di probabilità ma
una famiglia di distribuzioni di probabilità che hanno tutte più o meno questa forma qui ma che al

6. variare di landa si possono un po modificare adesso vi faccio vedere quindi lambda è il parametro
della posson e questo valore che compare nella distribuzione e può assumere tutti i valori reali
maggiori di zero che volete strettamente maggiore di zero perché se lo mettete uguale a zero
viene ps uguale a zero per ogni ex che non va bene quindi landa il parametro vediamo cosa
succede se giochiamo un pochino con lambda quindi qua vedete che cambiando lambda passando
da lambda uguale a uno uguale a tre a lambda uguale a 7 capite un po qual è il ruolo di landa non
so se ho risposto alla domanda di Stefano spero di sì si grazie perfetto allora chiedo a voi qual è il
ruolo di questo lander cioè cosa succede alla media e alla varianza della nostra posson se
aumentiamo la se non si legge in primo a sinistra e l'hanno uguale a uno quello nero e l'hanno
uguale a tre e quello un po più spostato a destra e l'hanno uguale a 7 quindi che effetto ha lambda
sulla media diminuisce no se aumento non ho capito cosa intende diminuisce se aumento o
diminuisco landa no perché vedo che dal grafico i valori diminuiscono la sempre più ok allora
questa cosa mi è stata detta anche ieri allora ci torno solo però perché probabilmente eh è un
dubbio che hanno in molti allora il fatto che voi vediate a quale ripetiamo un attimo cosa sono gli
assi partiamo da lì in questo grafico l'asse x cosa rappresenta no l'asse XE questo orizzontale ho
valori da zero a 17 quindi non sono probabilità che le probabilità sono valori tra zero e uno ok
quindi l'asse orizzontale rappresenta i possibili valori di x della nostra variabile casuale in realtà
dovrebbe andare avanti fino a infinito perché abbiamo detto che i possibili valori della nostra
plasson vanno da 0123 fino a infinito finito escluso però diciamo un numero intero grande quanto
volete sull'asse verticale cosa abbiamo bass verticale abbiamo la probabilità che la nostra variabile
assuma proprio quel valore quindi qui in verticale abbiamo probabilità qui in orizzontale abbiamo
possibili valori quello che il vostro compagno diceva non è falso cioè diceva all'aumentare di
lambda queste curve che poi non dovrebbero essere curve perché questi valori non andrebbero
collegati si abbassano quindi vedeva che ad esempio questa campana è un po più in basso di
questa e perché l'ho detto a qualcuno ieri vediamo se chi c'era ieri si ricorda o chi c'è oggi ci arriva
amen Maria esatto la probabilità totale è sempre uno quindi se io la spargo su più valori quella che
io do ciascun valore e un po di meno che il vostro compagno l'ha detta anche meglio di me però
cerco di tradurla in parole semplici cioe tecnicamente uno dice che la distribuzione nera e piu
concentrata di quella sulla destra quindi almeno varianza e quindi anche il massimo della
probabilità può essere un po più alta cioè questa è più concentrata quindi il massimo è più alto e
però questo non ha nulla a che vedere con la media ok quello che stiamo guardando adesso è
l'altezza di questa urba diciamo il massimo della probabilità ma la media non è il massimo della
probabilità e non è neanche il valore più probabile OK la media è il valore centrale della
distribuzione quindi se voi vedete attorno a quale valore si concentra la curva nera i valori li
vedete qua sotto eh quale può essere un valore centrale per la curva nera guardate i valori sotto
eh 02:30 sì una roba del genere probabilmente più verso il tre perché comunque questa coda di
destra allora se se la se questa nera si fermasse qui probabilmente lei avrebbe ragione però vede
che c'è ancora un pò di massa di probabilità sulla destra mentre sulla sinistra non c'è nulla questo
farà sì che la media si sposti un pochino a destra quindi diciamo che probabilmente più verso il tre
anzi poi le esattamente tre ok comunque diciamo la media sarà un po il valore centrale il valore
centrale della posson 7 è un po qua tra diciamo 671 roba del genere quindi all'aumentare di
lambda aumenta la media anche se la curva si abbassa ma si sposta a destra e la sua è la posizione
destra sinistra della curva che ci parla della media non l'altezza della curva ok e chiaro cioè la la
media e il valore attorno al quale è distribuita la probabilità non è quanta probabilità viene data va
bene quindi la media aumenta e il vostro compagno prima aveva già osservato che questa sulla
destra posson 7 a una varianza maggiore della tua son tre che a sua volta una varianza maggiore
della possono quindi all'aumentare di lambda aumentano sia la media che la varianza quindi
media e varianza della posson varranno qualcosa che c'entra con l'ambra giusto saranno una

7. funzione crescente di landa funzione crescente di lambda più semplice del mondo la media della
post lambda è lambda la varianza al posto Olanda e landa quindi la media di questa nera in realtà
è esattamente tre perché non sta qua in mezzo perché c'ha una coda a destra più lunga vedete
che non è simmetrica e asimmetrica con una coda più lunga a destra 7 e anche la varianza posson
7 7 poi va bene si può osservare ad esempio e se vuoi aumentate landa questa curva si sposta
verso destra questo gli consente di avere una coda di sinistra che è lunga quasi quanto la conta la
coda di destra in realtà cioè che è discretamente lunga non sarà mai lunga come la coda di destra
perché la coda di destra è infinita la coda di sinistra si ferma a zero però diciamo che se voi vi
allontanate abbastanza da zero diventa un pochino più simmetrica ok quindi per valori amda avete
più simmetria per valori piccoli di lambda non non si crea questa forma campana avete solo il lato
destro da tempo in realtà sull'acqua son io non volevo dirvi molto di più cioè ci stiamo un pochino
meno che sulla binomiale c'è anche un legame tra le due ma mi sembra inutilmente complicato e
appartiene anche a un'era della statistica un po superata però sappiate che si possono anche
collegare l'uno all'altra volendo Wikipedia l'ho trovato sul libro no nel libro la porto e chiaro la
passon a cosa serve qual è il supporto qual è la funzione di probabilità come si fa a fare il conto e
quali sono media e varianza che poi media e varianza sono i più facili del mondo Ci siamo da casa
c'è qualche ho fatto bene a farmi domande da casa in chat OA voce va bene tutto basta che che
interagiamo un minimo qualche domanda in generale sulle variabili casuali discrete e aggiungo io
una cosa cioè questa media in questa varianza non è che saltano fuori non saltano fuori né dal
disegno né dall'intuizione da niente uno potrebbe andare a fare il conto con la formula del valore
atteso di quale sia il valore atteso di questa variabile con questa distribuzione qual è il problema
come voi perché non ve l'ho fatto vi ricordate come si fa a calcolare il valore atteso valore atteso si
fa la somma su tutti gli x di x Pds va bene per la tua son quanti sono gli ex possibili infiniti quindi vi
ho risparmiato una sommatoria con infiniti termini però si può fare ok notare che non è banale
non è scontato che quando andate a fare una sommatoria con infiniti termini noi abbiamo visto
che in questo caso esce un valore finito in totale ma non è scontato anzi forse vi verrebbe da
pensare ma se io sono infiniti i termini come fa a venire un valore finito il motivo è che questi
termini vanno a zero molto velocemente quindi vanno a zero abbastanza velocemente da far sì
che anche se ne sono infiniti che ho un'infinità numerabile di questi termini comunque il totale sia
finito perché vanno a zero molto velocemente però tutta questa roba me la risparmio non so se
voi avete fatto successioni e serie in matematica forse no ah comunque la sommatoria infinita si
può calcolare io vedo direttamente il risultato così stiamo più sereni con vostra grande sorpresa
dopo le variabili casuali discrete arrivano le variabili casuali continue e qua ci sono un po di
complicazioni quindi vi prego se c'è qualcosa di non chiaro adesso di fermarmi perché il tempo ce
l'abbiamo abbiamo ancora dopo oggi quattro lezioni insieme può arrivare al professor Lando a fare
la sua parte di corso però abbiamo quattro lezioni per fare le variabili casuali continue quindi
abbiamo tutto il tempo del mondo e in realtà sulle variabili casuali continue abbiamo già detto una
serie di cose che qua ho provato a riassumere in una slide cioè primo che esistono delle variabili
casuali che non sono discrete ma sono continue sono quelle che assumono valori in un
sottoinsieme non numerabile di R ad esempio un intervallo di R no tutti i numeri reali tra zero e 10
è un'insieme di valori più ricco di un qualsiasi insieme discreto e quindi queste non sono più
variabili discrete sono variabili continue perché hanno un range continuo quindi i primi: me li ho
già detti una cosa che vi ho già accennato più volte è che a fronte di una variabile casuale continua
non ha senso parlare della probabilità che x grande la nostra variabile sia uguale esattamente un
valore x piccolo perché perché tale probabilità è uguale esattamente a zero va bene questo per
qualsiasi valore io non dipende dal valore ma dipende dal fatto che ci siamo concentrati su un
valore puntuale mentre il modo giusto di ragionare nell'ambito continuo e ragionare per intervalli
di valori c'era anche un modo matematico per esplicitare questa cosa che ho appena detto e ve lo

8. dico solo a voce non non mi verrà richiesto però abbiamo parlato di sigma algebra degli eventi
nello spazio campionario quando ci spostiamo dallo spazio campionario all'insieme dei numeri
reali non possiamo valutare non possiamo assegnare una probabilità a qualsiasi sottoinsieme dei
numeri reali ma solo i sotto insiemi che stanno in una determinata sigma algebra la a cui possiamo
dare una probabilità all'interno dell'insieme dei numeri reali è quella fatta dagli intervalli e da tutti
gli insiemi che possiamo costruire con gli intervalli comunque tutto ciò per dire che la domanda
che ha senso farsi di fronte a una variabile casuale continua non è qual è la probabilità che x è
uguale AX piccolo quello ho sempre zero ma ad esempio qual è la probabilità che x stia tribi cioè
stia in un intervallo questa diventerà la nostra domanda di interesse ok domanda per voi mi
ricordate che quando valutavamo le probabilità degli intervalli nel caso discreto vi dicevo sempre
state attenti se l'estremo è incluso no cioè se andiamo da AAB inclusi esclusi uno incluso l'altro
escluso invece qui nelle variabili casuali continue non faremo attenzione agli estremi cioè se siano
inclusi o no perché la risposta è sempre nella slide o nelle cose che ho appena detto Ciao perché la
probabilità di ciascun estremo è zero quindi tener dentro l'estremo non tenerlo dentro non
cambia la proprietà dell'intervallo ok potete vederti lì la probabilità degli estremi è zero quindi la
probabilità nell'intervallo è uguale alla proprieta della sua parte interna estremi esclusi quindi
esclusi inclusi non fa differenza come facciamo a attribuire un valore alla probabilità che una
variabile casuale continua x assuma valori tra AEB inclusi o esclusi non fa differenza lo strumento
che usiamo è quello della densità di probabilità ok quindi la densità sarà questa linea verde vedete
che è una funzione di x con determinate caratteristiche che vediamo e com'è che la si usa per
calcolare la probabilità che x grande stia tra EB dovete fare l'integrale della densità da Abi questo
graficamente a cosa corrisponde dal momento che questa funzione come potete già vedere è
positiva l'integrale corrisponde all'area che sta sotto il grafico dal punto a che qua e 0 5 al punto B
che qua e 0 7 princi interessa l'area di questa parte colorata in verde acqua scuro in questo caso
questa probabilità che ci interessa è 0,229 quindi domanda per voi quanto vale tutta l'area che sta
sotto tutta la densità quest'area qua quanto vale tutta 1 vale uno perché è tutta la cioè la
probabilità totale OK quindi abbiamo anticipato un paio di proprietà di una funzione di densità
però ho visto collegata alle probabilità degli intervalli e noi vogliamo che la probabilità di qualsiasi
cosa sia positiva non vi dovrebbe stupire che anche la funzione di densità deve essere positiva può
essere zero in alcuni punti della retta reale ma non può essere mai negativa questo non perché la
densità sia una probabilità eh la densità non è esattamente una probabilità di un bel niente la
densità è come dice la parola e quanto densamente la probabilità si concentra attorno al valore x
piccolo ma non è la probabilità di ex piccolo probabilità di x piccole zero F dix piccolo ci dice
quanta probabilità c'è intorno a ex piccolo mettiamola così in rapporto a quanto lontano
guardiamo intorno ai piccolo ok comunque l'altra cosa che avete già indovinato è che se io vado a
fare l'integrale su tutta la linea reale cioè vado a vedere l'area di tutto il sotto grafico di effe vale
uno questo perché che vi ricordate la mappa quella delle che rappresentava le variabili casuali
andiamo a riprendere la mappa qua mi ricordate questa mappa mandava omega lo spazio
campionario sulla retta reale il per valutare le probabilità qua sulla retta reale devo tornare
indietro a vedere quali omega corrispondono al mio pezzetto diretta reale cos'è che viene
mandato su tutta la retta reale tutto omega quindi questo è il motivo per cui se io considero tutta
la retta reale cioè integro su tutta la retta reale e come valutare la probabilità di tomica probabilità
di tutto omega e uno e anche questo deve essere uno questo deve essere uno per qualsiasi
densità di qualsiasi variabile casuale continua e anche un criterio che ci permette di stabilire se
una funzione esponete che arriva un vostro compagno o compagna e vi dice ho trovato una
densità di una nuova variabile casuale perché di notte sta su e inventa variabili casuali OK quindi
arriva e vi dicevo ho trovato questa densità le prime due cose che dovete controllare asse è una
funzione sempre positiva se non gli dite guarda non è una densità non può esserlo perché le

9. densità sono tutte positive e poi l'altra cosa un po più complicata da controllare è che l'integrale
sia finito e faccia uno se è finito ma non fa uno basta dividere per qualcosa siete a posto però
innanzitutto deve essere finito anche qua non è banale che una funzione integrata su un supporto
su un dominio infinito questo sotto grafico qui se se voi avete una funzione che si estende fino a
infinito a sinistra e fino infinito a destra non è banale che l'area sia finita qua sotto perché è una
figura che ha una base infinita quindi non non è proprio scontato però e questa non prendetela
alla leggera come condizione eh pensandolo in termini di area sotto il grafico come abbiamo fatto
qua dovreste capire perché la probabilità di un singolo punto e zero voi pensate di prendere
questa area qua in verde acqua scuro e iniziare a comprimerla attorno a un punto mettiamo a 0 6
quando voi avete schiacciato fino a fino a non avere più larghezza della base di questa di questo
intervallo qua vi ritrovate con una parte verde acqua ridotta a una linea senza larghezza Ilaria di un
oggetto bidimensionale che ha una delle due dimensioni uguale a zero e zero questa assomiglia a
un trapezio supponete base maggiore base minore ok supponete che riducete l'altezza zero l'area
del trapezio zero ok quindi non dovrebbe stupirvi che se vi concentrate su un solo punto il sotto
grafico corrispondente non ha area dovete lasciargli un pochino di intervallo in quel modo avete
un qualcosa che più o meno largo ma assomiglia a questo e chiaro chiaro perché la probabilità di
ciascun specifico x zero corrisponderebbe all'area di una figura completamente schiacciata quindi
con area zero avrebbe un'altezza ma non un'area ok ci siamo fino a qua allora abbiamo fatto un po
un salto dal discreto al continuo e vedete che nel mondo del continuo le cose sembrano più
complicate in realtà sono molto più semplici perché non ci sono tutti quegli aggeggi tipo
coefficiente binomiale permutazioni in realtà nel continua tutto molto molto molto molto più
facile però bisogna entrare un attimino nella filosofia una delle cose per fare questo passaggio di
filosofia e rendersi conto della seguente cosa che se non ve l'hanno ancora detta ve la dico io
sembrano già detta la risentite ma non mi fa vi ricordate come si faceva a fare la probabilità che
una x discreta stiamo qua sopra per ora la probabilità che una variabile discreta stia tra eby vi
ricordate che dovevamo sommare la funzione di probabilità per tutte quelle x possibili che
cascavano tra edy ad esempio x era il numero che mi esce in un dado qual è la probabilità che mi
esca tra un numero tra due e 5 dovevo sommare la probabilità di due di tre di quattro e di 5 ed
erano importanti anche agli estremi quindi si faceva una somma che di solito quando poi son tanti
termini è bene scrivere con una sommatoria si sommava la probabilità di ciascuna XE la proprietà
di ciascuna x veniva indicata da questa PX che noi abbiamo sempre chiamato funzione di
probabilità o funzioni di distribuzione poi mi permetto io di aggiungervi una cosa che non c'è sul
libro nel caso discreto la p e di solito si mette minuscola non maiuscola quella maiuscola
probabilità quella minuscola e la funzione di probabilità che in inglese si chiama probability must
function ok cioè la funzione che vi dice quanta della massa di probabilità mettete su ogni x questo
era il caso discreto vediamo cos'è diventato nel caso continuo nel caso continuo la probabilità che
x sia in un intervallo estremi inclusi esclusi non ci interessa più è un integrale della F di x rispetto
alla variabile x ora dovreste notare un paio di cose cioè siamo d'accordo che si assomigliano le due
formule prima cosa questa formula qua in alto per la proprietà dell'intervallo assomiglia in qualche
modo a quella in basso che differenze ci sono c'è innanzitutto stiamo calcolando la stessa quantità
e su quello dovremmo essere d'accordo un'altra somiglianza quindi il lato sinistro delle due
uguaglianze uguale il lato destro a destra abbiamo sempre qualcosa che dipende da x in un caso il
PDX nell'altro FDS in un caso viene sommato tra B nell'altro viene integrato tra B ok quindi diciamo
che il ruolo svolto dalla PDX viene svolto adesso dalla F hitz quindi la densità va a sostituire la
funzione di probabilità e l'integrale va a sostituire la sommatoria penso che abbiate visto qualcosa
di integrali almeno nei corsi primi corsi di matematica di questo corso di studi però non dovrebbe
particolarmente stupirvi che passando al continuo una sommatoria venga sostituita da un
integrale però è una cosa che a volte quando uno è presa dalla teoria e dalle prime volte che vedo

10. un'integrale non ci fa caso comunque spesso passare dal dal discreto al continuo si risolve in
sostituire delle sommatorie con degli integrali non è molto di più eh va bene concettualmente
fanno un po lo stesso lavoro mi sommare dei pezzi che quindi passando il continuo il ruolo della
provvisti Max function cioè della funzione di distribuzione viene sostituito da quello della densità e
le sommatorie da degli integrali quindi ovviamente dovremmo avere a che fare con gli integrali
purtroppo o per fortuna Integrali sono molto più facili delle sommatorie che che vi possa sembrare
soprattutto se le sommatorie sono infinite facciamo un esempio allora abbiamo questa funzione il
vostro famoso compagno compagna arriva con questa funzione e vi chiede può essere la densità di
una variabile casuale continua cosa rispondiamo al proponente o alla proponente di questa
funzione qua vale anche da casa questa è una legittima densità di una variabile casuale continua
cosa dobbiamo controllare no no molto prima prima cosa ho le stesse cose che ho controllavamo
della distribuzione ok cioè la densità comunque ci innanzitutto avendo trattandosi di qualcosa di
collegato alla probabilità come deve essere a livello disegno questo FX positiva o nulla questa
innanzitutto vi faccio notare che vale zero fuori dall'intervallo 0 4 quindi non è che non è definita
qua vale zero e qua vale zero fino a infinito ok quindi a destra sinistra e 0 4 vale sempre zero in
mezzo ha questa forma di questa retta è sempre positiva quindi si no sta sopra allo zero quindi
quello va bene l'integrale di questa funzione effettivamente uno quello che dicevamo prima mi
ricordate che l'area sotto tutto il grafico deve essere uno perché rappresenta la proprietà la
probabilità totale e uno OE di più e di meno l'area di sotto non mi servono integrali per calcolarla
eh che forma ha questo sotto grafico dovete guardare l'area che sta sotto al grafico fino all'asse XE
uno è un triangolo di area uno perché la base quattro l'altezza un mezzo e si fa base per altezza
diviso 2 4 per un mezzo per un mezzo che fa uno giusto quindi volendo fare quelli studiati
potremmo fare l'integrale OK dopo vi faccio vedere come si fa però uno può anche dire vabbè un
triangolo non sto neanche a fare l'integrale quindi qua vi ho riportato sulle di troverete sulle slide
quello che vi ho detto a voce cioè per controllare se è una densità dovete guardare se è sempre
positiva e se integra uno che sia positiva si vede potete fare anche i conti per essere negativa x
deve essere maggiore di quattro ma noi abbiamo detto che la mettiamo a zero per x maggiore di
quattro quindi se lasciassimo correre questa retta andrebbe sotto zero ma noi a quattro la
fissiamo a zero quindi abbiamo risolto la riassunto si può fare l'integrale può averlo riportato per
farvi notare una cosa bisognerebbe fare l'integrale da meno infinito più infinito giusto tutto tutto il
sotto grafico però questa funzione vale zero fuori dall'intervallo 0 4 quindi quando integrate zero
fa zero per questo ci si può ridurre a integrare sul supporto della densità cioè su 0 4 è chiaro il
perché di questo passaggio perché l'integrale da meno infinito cioè l'integrale da meno infinito a
più infinito lo potete spezzare nell'integrale da meno infinito a zero più l'integrale da zero a
quattro più l'integrale da quattro infinito l'integrale da meno infinito a zero degli FX sarebbe zero
perché li F vale sempre zero ok comunque Fabio ha aggiunto questa cosa che altrove non c'è e non
è spiegata ma mi rendo conto che forse merita anche ancora un pezzetto in più vedrò se
aggiungerlo ok quindi l'integrale da meno infinito più infinito in realtà ci basta integrare la tra zero
e quattro perché dopo quattro la funzione vale sempre zero quindi il grafico l'area sotto il grafico è
zero e prima vale sempre zero quindi l'area tra il grafico e l'asse x zero perché sono appiccicato per
fare l'integrale tra zero e quattro dovete calcolare la primitiva della FX tra zero e quattro FX tra
zero e quattro vale un mezzo -1/8 x le primitive di questa funzione cosa sono sono un mezzo XOX
mezzi -1/8 per la primitiva di x che x quadro fratto due ritorna e l'integrale di un mezzo meno
notavo x integrale di un mezzo -1/8 x è questa roba qui questo e l'integrale indefinito più una
costante c e dovete calcolarlo da zero a quattro ok quindi calcolate questo in quattro che vale
quattro mezzi meno 16 sedicesimi meno il valore di questo in zero che è 0-0 più e quindi si riduce
a questo e fa uno ho saltato troppi passaggi per questo integrale vedo qualcuno perplesso e
mettere li avete ripresi gli integrali con l'università o la cosa è rimasta che chi gli aveva fatto li

11. aveva fatti che non ne avevano fatti l'integrale da meno infinito a più infinito si può spezzare
nell'integrale della stessa roba cioè di F su tre pezzi della retta reale diciamo meno infinito 004 e
quattro più infinito i pezzi esterni valgono zero perché stiamo integrando zero resta solo prima
fondamentale del calcolo integrale ci serve una primitiva di F piccolo di x che è quella che c'è
dentro le parentesi quadre la si calcola nell'estremo superiore cioè in quattro e poi si sottrae il
valore della primitiva nell'estremo inferiore ok quindi si fa diciamo F grande di quattro meno F
grande di zero non ho chiamato F grande per un motivo preciso ok Comunque poi se ci sono dubbi
su questa cosa ci torniamo come si fa a calcolare una probabilità di un intervallo eravamo partiti
da questo noi abbiamo detto probabilità che x sia uguale a uno è sempre zero probabilità che sia
uguale a tre è sempre zero però possiamo calcolare la probabilità che x studiata uno e tre quindi
supponiamo di lavorare con una x che ha la densità che abbiamo visto prima per calcolare la
probabilità che x stia tra uno e tre dobbiamo fare l'integrale fra uno e tre pure graficamente
calcolare l'area di questo trapezio in questo caso farlo geometricamente non è tanto simpatico
cioè si può fare ma dovreste calcolarli quanto vale la funzione in tre per avere la lunghezza di
questo bastoncino rosso corto che la base minore quanto vale la densità in uno per avere la
lunghezza della base maggiore l'altezza e tre e poi fare di più B per h fratto due giusto fra in
generale non è che si può risolvere tutto quelle figurine quindi bisogna saper fare un po gli
integrali questo qua è lo stesso integrale di prima qua vi dovrebbe spero che questo esempio vi
chiarisca il calcolo di questo integrale ah qui non dobbiamo preoccuparci dei pezzi esterni perché
stiamo integrando tra uno e tre e tra zero e quattro la funzione è e questa qui è un mezzo -1/8 x
ok perfetto quindi stiamo integrando tra uno e tre la densità scriviamo una primitiva della densità
e poi va valutata in tre e in uno e bisogna far la differenza quindi la prima parentesi tonda la prima
parentesi tonda e la densità la primitiva valutata in tre non ho messo la c perché tanto si
semplifica ma magari ve la metto ok nella prima parentesi tonda e la primitiva valutata in tre tre
mezzi -1/8 per 9 mezzi poi ci sarebbe un più cima poi anche un meno c quindi ci vanno via la
seconda parentesi è la primitiva valutata in uno al netto della c quindi un mezzo -1/8 per un mezzo
e fa un sedicesimo può poi va bene qua è solo per farvi vedere come si fa a fare i conti secondo me
in un modo sensato cioè fate l'elemento che in che è fratto due meno l'elemento fratto due quindi
tre mezzi -1 mezzo fa due mezzi-9 sedicesimi più un sedicesimo fa -8 sedicesimi poi vi accorgete
che tu e mezzi e 1 8 sedicesimi un mezzo quindi la differenza è un mezzo quindi diciamo che il 50%
della probabilità la metà della probabilità totale viene assegnata ai valori tra uno e tre in questa
specifica variabile casuale continua che è solo un esempio eh questo è un esempio comunque
provate a fare questi conti vedete se mi quadra c'è qualche domanda provate a vedersi questa
cosa degli integrali vi suona e ce l'ha fatta raccapezzarmi se non ci torniamo sopra vi ricordate che
già per le variabili casuali discrete noi avevamo parlato di funzione di ripartizione che era un po
l'analogo della cumulativa che avevamo statistica descrittiva gli avevo me l'avevo spiegata in
questo modo cioè uno procede dalla parte diciamo da meno infinito e passa in rassegna tutto il
supporto e accumula tutta la probabilità che trova depositata su ciascun punto del supporto in
quel caso erano i vari bastoncini vediamo se la recuperiamo ok quindi può essere la funzione di
ripartizione per le variabili casuali discrete si sommava fino AX quindi si sommavano le lunghezze
di questi bastoncini procedendo da sinistra verso destra e si accumulavano quindi era una
accumulativa in un certo senso nel caso nel caso continuo non abbiamo più i bastoncini della
funzione di distribuzione abbiamo la densità che è questa sinistra mi rivedete che c'è scritto F
piccolo di XF piccolo di x la densità F grande di XE la funzione di ripartizione cioè la cumulativa
quindi io non faccio più la somma dei bastoncini ma faccio diciamo l'area sottesa fino AX quindi
integro da meno infinito parto da sinistra fino AX la mia densità qua perché ho scritto W dentro
l'integrale non x potevo scrivere FX qua A parte il fatto che non ho scritto io ma l'ha scritto il libro
perché ha scritto il libro W al posto di x lì che finora hanno sempre messo a Fedez la prima parte la

12. risposta è che la cosa importante è la funzione FE poi io la variabile la posso chiamare XYZST quello
che poi questa è la parte facile la risposta quindi potrei scrivere FDSDS sarebbe uguale e feriti indi
twister uguale perché non uso x che era tanto comodo contrada non ho sentito la intensità che
vado a Londra da meno tutte le sì ci sarebbe un problema nel fatto che qua x piccolo e l'estremo
fissato fino a dove arrivo integrare quindi non può essere contemporaneamente l'estremo e la
variabile ok comunque vedete che la funzione di ripartizione alcune somiglianze alcune differenze
con le funzioni di ripartizione discrete com'era fatta la funzione di partizione discrete era fatta così
ok che cosa hanno in comune e cosa hanno di diverso queste due questa è quella la sono
entrambe crescenti sono entrambe crescenti mi va bene poi ci hanno non ho sentito sono fermo
sono entrambe crescenti mi va bene poi nono tra chi perché la variabile in questo caso continuo
quella di la la funzione di ripartizione della variabile casuale discreta e a tratti invece la funzione di
ripartizione della variabile casuale continua e continua giusto non so sente predato bene quello
che volevate dire ma vedi che questa e continua non è a tratti K quindi a sinistra adesso avete la
funzione di ripartizione di una discreta destra avete la funzione di ripartizione di una continua
abbiamo detto somiglianze sono entrambe crescenti qualche altra somiglianza crescono da da che
valore anche valore partono da zero che è il minimo della proprietà e arrivano uno che la
probabilità totale giusto a forza di accumulare tutta la probabilità che c'è in giro sul supporto alla
fine si arriva a uno o comunque si tende a uno sul supporto infinito quindi sono crescenti da 0 1 mi
va bene e una e a tratti e una invece e continua vediamo di formalizzare un attimo questa cosa ok
allora come nel caso discreto la funzione di ripartizione non le crescente tende a zero a sinistra e
tende a uno a destra a differenza delle discrete questa è una funzione continua vedete che la
disegnate senza staccare mai la penna o il mouse o quello che è invece se vi ricordate non è eh
quindi questa non è una funzione continua quando arrivo in fondo al gradino devo saltare il
gradino superiore non è una funzione continua qua salto qua salto e via dicendo abbiamo funziona
salti quella di prima ok ultima ultime due cose poi magari le riprendiamo visto che oggi abbiamo
un sacco di cose nuove allora non so se è una proprietà che vi ricordate dai vostri studi di
matematica però vedete che la funzione di ripartizione non è nient'altro che la funzione integrale
legata alla densità cioè voi integrate la F piccolo da zero AX questa roba è ovviamente una
funzione di x che si chiama funzione integrale se avete qualche reminiscenza di integrali derivate
eccetera la derivata di questa F grande di x EF piccolo di x quindi la densità questa è una cosa che è
importante che teniate a mente la densità è la derivata della funzione di ripartizione anche qui c'è
un'analogia col caso discreto vi ricordate che vi avevo detto che gli incrementi della funzione di
ripartizione erano le sbarrette della funzione di probabilità quindi le sbarrette la funzione di
probabilità vi dicevano quanto erano alti salti quindi quanto velocemente cresceva nel mondo
continuo la velocità con cui cresce la F grande è la derivata di F grande ok il solito la derivata si
indica con questo apostrofo F primo oppure anche più esplicitamente così con la derivazione
rispetto AX una cosa che per fortuna torna e il fatto che abbiamo detto che è F grande di XE non
decrescente quindi diciamo che è crescente la sua derivata dovrà essere quindi positiva giusto se
ho una funzione crescente la sua derivata è positiva e siamo tutti felici perché F piccola e positiva
giusto allora concludiamo con un esempio io poi lo riprenderemo ok quindi partiamo sempre dalla
densità quella che avevamo visto all'inizio quella triangolare per calcolare la funzione di
ripartizione noi dobbiamo integrare fino AX questa funzione definita tratti ok quindi se prendete
un mix più piccolo di zero non avrete incontrato ancora nessuno probabilità quindi vi aspettate
una funzione cumulativa uguale a zero in effetti è così perché per un x minore di zero quanto vale
la F piccola di x vale zero giusto integrale da meno infinito di zero e zero per una x che stia tra zero
e quattro l'integrale tra meno infinito EX della nostra densità è uguale all'integrale della sua parte
diciamo quella non negativa ok ok qua dovrei mettere 1 0 può metteremo 1 0 faccio un piccolo
errore qua e zero game quindi usate sempre la primitiva di prima e l'ha calcolata tra zero x quindi

13. prendete il valore in x di questa roba che è x mezzi meno in sedicesimi più CI togliete il valore in
zero che c è fa questo fare ultima domanda per concludere se voi fate i conti F la accumulativa in
quattro vale uno e quattro mezzi che fa 2-16 sedicesimi quindi 2-1 1 ora se la cumulativa in
quattro vale uno quanto varrà per i per le x più grandi di quattro ne abbiamo la cumulativa che è la
nostra funzione non decrescente che arriva uno quando siamo arrivati uguale a quattro vale già
uno cosa succederà dopo non può decrescere perché non decrescente non può superare uno
perché al massimo arriva uno quindi cosa farà stava a uno giusto quindi il risultato della tutta
questa cosa è che la accumulativa sarà fatta così sarà una funzione che vale zero fino a zero vedete
che qua è stato colorato un pochino fino a zero va bene quindi qua la accumulativa vale zero poi è
questa questo pezzo di parabola e poi vale uno notate che anche la cumulativa la funzione di
ripartizione e continua cioè non stacco mai il mouse per percorrere questa funzione ok perché è F
di zero vale zero come il pezzo prima e fedi quattro vale uno come il pezzo dopo comunque
riprendiamo sia l'esempio che che la funzione di ripartizione bene la prossima volta mi pare di
capire che se metto qualche passaggio in più degli integrali e gradito ho capito male male metto
qualche passaggio in più degli integrali però puoi ripassatevi gli integrali cioè non posso fare tutto
il corso di matematica insieme al corso di statistica quindi io li faccio piano però voi andate a
riprendervi i pezzi che vi sembra di aver dimenticato c'è qualche domanda da qua no da casa no va
bene ci vediamo lunedì online Ciao scusi dica lunedì e martedì quindi online allora il lunedì
mettiamola così io lunedì ho lezione martedì no quindi ho controllato lunedì non mi prendo
responsabilità però vi dico guardate su l'orario perché so che le proclamazioni sono sia lunedì che
martedì e quindi mi viene il dubbio che anche martedì va bene grazie non ho controllato se
effettivamente così perché ho scoperto poco fa anch'io appena in tempo per evitare di venire
lunedì per nulla ok a presto arrivederci