Probabilità e statistica: la scienza della previsione

Probabilità e statistica: la scienza della previsione

• 1.
  Probabilità e statistica lascienza della previsione Romina F. Michelina S., Cristina D. G., Andrea C. TFA 2014-15 Univ. di Roma Tre
• 2.
  competenze di cittadinanza Trale “competenze chiave di cittadinanza” che la nostra scuola dovrebbe far acquisire agli studenti c'è: “Comunicare: comprendere messaggi di genere diverso (quotidiano, letterario, tecnico, scientifico) e di complessità diversa, trasmessi utilizzando linguaggi diversi (verbale, matematico, scientifico, simbolico, ecc.) mediante diversi supporti (cartacei, informatici e multimediali)”
• 3.
  sommario ● Molti fenomeni cisi presentano in modo apparentemente casuale. ● Possiamo o capirli meglio (la meccanica del tiro del dado) o studiarli in modo statistico, cioè ripetere il fenomeno molte volte cercando di capire le caratteristiche ricorrenti e quelle accidentali. MA ● non sempre la statistica, per quanto basata su grandi quantità di dati, permette di effettuare previsioni attendibili
• 4.
  il lancio diun dado Prevedere il risultato del lancio di un dado è molto difficile. Ci si può provare in diversi modi: ● studiando la fisica del rimbalzo dei dadi (difficile) ● studiando la probabilità degli eventi possibili ● studiando la statistica di ripetuti lanci
• 5.
  Es.: qual èla probabilità di ottenere 5? Possiamo studiare gli eventi casuali o sperimentalmente con il concetto di frequenza relativa (f(E)) o con il concetto di probabilità matematica (p(E)) teoricamente. La legge dei grandi numeri collegherà questi due concetti tra di loro. Nell’impostazione classica il valore della probabilità è calcolato a priori, ossia prima che l’esperimento avvenga, mentre il valore della frequenza è un valore a posteriori
• 6.
  cos'è la “probabilitàmatematica”? Definizione di Laplace: P(E) = casi favorevoli/casi possibili
• 7.
  notazione probabilistica Facendo uncollegamento con la logica, si possono introdurre le seguenti notazioni: Ω l’evento certo; ∅ l’evento impossibile; A1 A⋃ 2 ... A⋃ ⋃ n unione di eventi A1 A⋂ 2 … A⋂ ⋂ n intersezione di eventi
• 8.
  alcuni valori notevoli Osserviamoche i valori della probabilità sono: 0<p(E)<1 p(E)=0 l’evento è impossibile, come estrarre una pallina nera da un’urna contenente solo palline rosse; p(E)=1 l’evento è certo, come l’estrarre una pallina nera da un’urna contenente solo palline nere; L’evento è incerto in tutti gli altri casi.
• 9.
  probabilità di piùeventi Inoltre due eventi si dicono incompatibili se non possono presentarsi insieme. Più eventi si dicono incompatibili se sono incompatibili a due a due. Se A,B sono incompatibili, allora P(A B)=P(A)+P(B)∪
• 10.
  probabilità di ottenere5 Eventi favorevoli: 1 Eventi totali: 6 P(5) = 1/6
• 11.
  cos'è la “frequenzarelativa”? la frequenza relativa di un evento sottoposto a n esperimenti, effettuati tutti nelle stesse condizioni, è il rapporto fra il numero delle volte m che si è verificato e il numero n delle prove effettuate f(E)=m/n
• 12.
  esempio: testa ocroce Si è lanciata 200 volte una moneta e : 94 volte è uscita T 106 volte è uscita C f(T) = 94/200=0,47=47% f(C) =106/200=0,53=53%
• 13.
  esempio: testa ocroce Si è lanciata 200 volte una moneta e : 94 volte è uscita T 106 volte è uscita C f(T) = 94/200=0,47=47% f(C) =106/200=0,53=53% osserviamo che f(T)+f(C)=1=100%
• 14.
  rappresentare la frequenza:l'istogramma 1 32 5 6 f eventi
• 15.
  rappresentare la frequenza:l'istogramma 1 32 4 5 6 f eventi
• 16.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 17.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 18.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 19.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 20.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 21.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 22.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 23.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 24.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 25.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 26.
  l'istogramma 1 32 45 6 (… dopo molti lanci) f eventi
• 27.
  l'istogramma 1 32 45 6 f eventi f(5) = 1/6
• 28.
  E con duedadi cosa otterrò? Supponiamo ora di lanciare in aria due dadi distinti (uno verde e uno rosso) ognuno dei quali è perfetto, significando con ciò che ognuna delle 6 facce ha un'uguale probabilità (cioè 1/6) di uscire. Quali valori si ottengono più spesso? Se i due dadi sono gettati contemporaneamente (o di seguito, ciò non importa per i nostri scopi) ci sono 36 diversi accoppiamenti possibili che hanno la medesima probabilità di presentarsi.
• 29.
  La somma didue dadi Osserviamo che 7 è la somma più probabile perché si può ottenere in più modi, rispetto alle altre. E’ utile rappresentare i casi con un istogramma
• 30.
  la curva acampana f eventi In molti casi come questo, l'istogramma ha una caratteristica forma a campana
• 31.
  la curva acampana f eventi In molti casi come questo, l'istogramma ha una caratteristica forma a campana
• 32.
  Marta: 1.55 m Es.1: l'altezza degli alunni
• 33.
  Marta: 1.55 m Anna:1.62 m Es. 1: l'altezza degli alunni
• 34.
  Marta: 1.55 m Anna:1.62 m Beatrice: 1.71 m Es. 1: l'altezza degli alunni
• 35.
  Marta: 1.55 m Anna:1.62 m Beatrice: 1.71 m Clara: 1.49 m Es. 1: l'altezza degli alunni
• 36.
  Marta: 1.55 m Anna:1.62 m Beatrice: 1.71 m Clara: 1.49 m Debora: 1.63 m Es. 1: l'altezza degli alunni
• 37.
  Es. 1: l'altezzadegli alunni Marta: 1.55 m Anna: 1.62 m Beatrice: 1.71 m Clara: 1.49 m Debora: 1.63 m Enrica: 1.68 m
• 38.
  Es. 1: l'altezzadegli alunni Marta: 1.55 m Anna: 1.62 m Beatrice: 1.71 m Clara: 1.49 m Debora: 1.63 m Enrica: 1.68 m … eccetera eccetera
• 39.
  Marta: 1.55 m Anna:1.62 m Beatrice: 1.71 m Clara: 1.49 m Debora: 1.63 m Enrica: 1.68 m … eccetera eccetera Es. 1: l'altezza degli alunni
• 40.
  Marta: 1.55 m Anna:1.62 m Beatrice: 1.71 m Clara: 1.49 m Debora: 1.63 m Enrica: 1.68 m … eccetera eccetera Es. 1: l'altezza degli alunni
• 41.
  Es. 2: testao croce Immaginiamo di lanciare una moneta 1000 volte e registrare il numero di “testa”. Poi ripetiamo molte volte questa serie di mille lanci, e raccogliamo in un istogramma il numero di “testa” di ciascuna serie di 1000 lanci. L'istogramma avrà la forma di una “curva di Gauss”.
• 42.
  la curva diGauss 1000 lanci
• 43.
  la curva diGauss La curva diventa sempre più chiara all'aumentare della lunghezza delle serie 10000 lanci
• 44.
  la curva diGauss La curva diventa sempre più chiara all'aumentare della lunghezza delle serie curva di Gauss (1777-1855)
• 45.
  perché è cosìcomune? Quando un fenomeno è la composizione di tanti “sottofenomeni” esso viene naturalmente descritto da una curva a campana (teorema del limite centrale). il "pallinometro" (clicca)
• 46.
  cosa ci diceuna curva a campana? Quando un fenomeno è descritto da una curva a campana possiamo osservare due caratteristiche importanti:
• 47.
  cosa ci diceuna curva a campana? Quando un fenomeno è descritto da una curva a campana possiamo osservare due caratteristiche importanti: ● la posizione del “picco” della campana (valore medio)
• 48.
  cosa ci diceuna curva a campana? Quando un fenomeno è descritto da una curva a campana possiamo osservare due caratteristiche importanti: ● la posizione del “picco” della campana (valore medio) ● la “larghezza della campana” (deviazione standard)
• 49.
  il valore medio 〈X 〉= 1 N ∑ i X i È la posizione del “picco” della campana e corrisponde al valore più probabile.
• 50.
  la deviazione standard Misurala “larghezza” della campana e dunque l'intervallo dei valori più probabili (68%) σ= √1 N ∑ i (X i−〈 X 〉) 2
• 51.
  la “previsione” diun fenomeno Conoscendo il valore medio e la deviazione standard che caratterizzano un fenomeno, sappiamo dunque quali valori aspettarci da una certa “popolazione” (ad esempio, gli alunni di una classe) e quali valori invece possono essere trascurati in quanto poco probabili. tante ripetizioni = migliori previsioni
• 52.
  Immaginiamo un territorioa rischio sismico, in cui normalmente non si verificano vittime, però: ogni 10 anni c'è un terremoto con 10 vittime ogni 100 anni c'è un terremoto con 100 vittime ogni 1000 anni c'è un terremoto con 1000 vittime ogni 10000 anni c'è un terremoto con 10000 vittime … e così via Quante vittime ci saranno nel prossimo terremoto? il problema dei terremoti
• 53.
  l'istogramma dei terremoti #vittime # terremoti
• 54.
  l'istogramma dei terremoti #vittime # terremoti Non è una curva a campana! E' una legge di potenza del tipo x-A
• 55.
  utile: l'istogramma deiterremoti log-log log # vittime log # terremoti Le leggi di potenza in scala logaritmica diventano rette: se y = C x-A allora log y = - A log x + log C
• 56.
  l'analisi statistica Possiamo calcolareil numero medio di vittime? Sì, ma dipenderà dalla dimensione del campione! Infatti: media su 10 anni ~ 1 media su 100 anni ~ 2 media su 1000 anni ~ 3 ...
• 57.
  l'analisi statistica Possiamo calcolareil numero medio di vittime? Sì, ma dipenderà dalla dimensione del campione! Possiamo calcolare la deviazione standard? Sì, ma dipenderà dalla dimensione del campione!
• 58.
  spiegazione matematica internos Se la distribuzione statistica è con α > 0, allora 〈 x〉=∫ 0 ∞ x P ( x)dx=∫ 0 ∞ x1−α dx=∞ se α < 2. P (x) x∼ −α
• 59.
  spiegazione matematica internos Inoltre, se la distribuzione statistica è P (x) x∼ −α con α > 0, allora 〈 x 2 〉=∫ 0 ∞ x 2 P(x) dx=∫ 0 ∞ x 2−α dx= ∞ ¿ se α < 3. Dunque diverge il secondo momento e la varianza diventa infinita.
• 60.
  è uno scherzo? No,i terremoti sono proprio così:
• 61.
  è uno scherzo? No,i terremoti sono proprio così: Legge di potenza con esponente α = 0.772
• 62.
  I terremoti nonsono “prevedibili” I terremoti non sono descritti dalle classiche curve a campana ma da particolari “leggi di potenza” che non possiedono valore medio né deviazione standard! Dunque non sappiamo cosa aspettarci, nonostante abbiamo enormi quantità di dati a disposizione per fare un'analisi statistica.
• 63.
  un mondo di“leggi di potenza” Tanti altri fenomeni si comportano così: es: i prezzi delle azioni, il reddito, il numero di rapporti sessuali ... → Importante per calcolare le disuguaglianze sociali, prevenire crisi finanziarie o epidemie di malattie sessualmente trasmissibili.
• 64.
  un mondo di“leggi di potenza”
• 65.
  attività di laboratorio -i terremoti - la borsa - l'attività sui social network - eventi atmosferici - la durata degli allenatori (molti dati disponibili su web)
• 66.
  punti di forzae di debolezza Difetti punto di vista limitato sull'argomento Pregi Sintesi Flessibilità Storytelling Didattica laboratoriale
• 67.
  grazie Romina F. Michelina S. CristinaD. G. Andrea C.