1. 1
คำอธิบำยรำยวิชำ
คณิตศำสตร์ รอบรู้ 5 รหัสวิชำ ค33201 ชั้นมัธยมศึกษำปี ที่ 6
จำนวน 80 ชั่วโมง (4 ชั่วโมง/สั ปดำห์ )
**********************
ศึกษา ฝึ กทักษะ/กระบวนการ ในสาระต่อไปนี้
กำรวิเครำะห์ ข้อมูลเบืองต้ น โดยใช้ค่ากลางของข้อมูล การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลและ
้
การวัดการกระจายของข้อมูล
กำรแจกแจงปกติ ค่ามาตรฐาน การแจกแจงปกติและเส้นโค้งปกติ พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
ควำมสั มพันธ์ เชิ งฟังก์ ชันระหว่ ำงข้ อมูล แผนภาพการกระจาย
่
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนของข้อมูลที่ประกอบด้วยสองตัวแปรที่อยุในรู ปอนุกรมเวลา
ั
การใช้ความสัมพันธ์ของข้อมูลทานายค่าตัวแปรตาม
เมื่อกาหนดตัวแปรอิสระให้
โดยจัดกิจกรรมหรื อจัดประสบการณ์ สร้างประสบการณ์ ที่สอดคล้องกับชีวตประจาวัน
ิ
หรื อสภาพท้องถิ่น ให้ผเู ้ รี ยนได้ศึกษา ค้นคว้า ฝึ กทักษะ โดยการปฏิบติจริ ง ทดลอง สรุ ป รายงาน
ั
เพื่อพัฒนาความรู้ ทักษะ/กระบวนการในการคิดคานวณ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล
หารสื่ อความหมายทางคณิ ตศาสตร์ และนาประสบการณ์ดานความรู้ ความคิด
้
ทักษะกระบวนการที่ได้ไปใช้ในการเรี ยนรู ้สิ่งต่างๆ และใช้ในชีวตประจาวันอย่างสร้างสรรค์
ิ
รวมทั้งเห็นคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิ ตศาสตร์ สามารถทางานอย่างเป็ นระบบ มีความคิดรอบคอบ
มีความรับผิดชอบ มีวจารณญาณ
ิ
และมีความเชื่อมันในตนเอง
่
การวัดและประเมินผล ใช้วธีที่หลากหลายตามสภาพความเป็ นจริ งให้สอดคล้องกับเนื้ อหาและ
ิ
ทักษะที่ตองการวัด
้
ผลกำรเรี ยนรู้
คณิตศำสตร์ รอบรู้ 5 รหัสวิชำ ค33201
1.
2.
3.
4.
5.
เลือกวิธีวเิ คราะห์ขอมูลเบื้องต้นและอธิ บายผลการวิเคราะห์ขอมูลได้อย่างถูกต้อง
้
้
นาความรู้เรื่ องการวิเคราะห์ขอมูลไปใช้ได้
้
นาความรู ้เรื่ องค่ามาตรฐานไปใช้ในการเปรี ยบเทียบข้อมูลได้
หาพื้นที่ใต้โค้งปกติและนาความรู ้เกี่ยวกับพื้นที่ใต้โค้งปกติไปใช้ได้
เข้าใจความหมายของการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนของข้อมูล
ั
ที่ประกอบด้วยสองตัวแปร
6. สร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนของข้อมูลที่ประกอบด้วยสองตัวแปร
ั
่
ที่อยูในรู ปอนุกรมเวลาโดยใช้เครื่ องคานวณ
7. ใช้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนของข้อมูลทานายตัวแปรตาม
ั
เมื่อกาหนดตัวแปรอิสระให้

2. 2
สำรบัญ
เรื่อง
บทที่ 1 กำรวิเครำะห์ ข้อมูลเบืองต้ น
้
1.1 ค่ ำกลำงของข้ อมูล
1.1.1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต
1.12 มัธยฐาน
1.1.3 ฐานนิยม
1.1.4 ค่าเฉลี่ยฮาร์ โมนิค
1.1.5 ค่าเฉลี่ยเรขาคณิ ต
1.1.6 โจทย์ระคน
1.2 กำรวัดตำแหน่ งทีของข้ อมูล
่
2.1 ความหมาย
2.2 การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลที่ไม่แจงแจงความถี่
2.3 การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลที่แจงแจงความถี่
1.3 กำรวัดกำรกระจำยของข้ อมูล
1.3.1 การวัดการกระจายสัมบูรณ์
1. พิสัย
2. ส่ วนเบี่ยงเบนควอร์ ไทล์
3. ส่ วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
4. ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
1.3.2 การวัดการกระจายสัมพัทธ์
บทที่ 2 กำรแจกแจงปกติ
2.1 ค่ามาตรฐาน
2.2 การแจกแจงปกติและเส้นโค้งปกติ
บทที่ 3 ควำมสั มพันธ์ เชิ งฟังก์ ชันระหว่ ำงข้ อมูล
3.1 ความรู ้พ้ืนฐาน
3.2 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนในรู ปเส้นตรง
ั
3.3 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนในรู ปพาราโบลา
ั
่
3.4 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนเชิงเส้นที่อยูใน
ั
รู ปอนุกรมเวลา
3.5 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนเอกซ์โพเนนเชียล
ั
่
ที่อยูในรู ปอนุกรมเวลา
ภาคผนวก
ตารางค่าลอการิ ทึม
ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
หน้ ำ
9
19
22
24
30
32
42
43
44
48
48
48
49
50
56
60
63
82
94
101
106
111
123
127

3. 3
คำแนะนำสำหรับนักเรียน
ชุดกิจกรรมจัดการเรี ยนรู ้คณิ ตศาสตร์ รอบรู ้ 5 โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
สาหรับนักเรี ยนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6
ในการเรี ยนแต่ละครั้ง ครู จะแบ่งกลุ่มนักเรี ยนออกเป็ นกลุ่มๆละ 4 คน โดยแต่ละกลุ่มให้มีท้ งนักเรี ยนเก่ง อ่อน
ั
อย่างละ1 คน ปานกลาง 2 คน คละกัน แล้วให้สมาชิกในแต่ละกลุ่มเลือกประธานกลุ่มและเลขาของกลุ่ม
ั
แบ่งหน้าที่ในการทากิจกรรมและหมุนเวียนหน้าที่กนในกลุ่มช่วยกันทางานกลุ่ม
่
ซึ่ งนักเรี ยนจะอยูกลุ่มเดียวกันจนสิ้ นสุ ดการสอน
ชุดกิจกรรมเหล่านี้ จัดทาขึ้นเพื่อเป็ นสื่ อการจัดการเรี ยนรู ้กลุ่มสาระการเรี ยนรู ้คณิ ตศาสตร์
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6 ซึ่งประกอบด้วยรายละเอียด ดังนี้
1. เนื้อหาประกอบด้วย การวิเคราะห์ขอมูลเบื้องต้น การแจกแจงปกติ
้
และความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนระหว่างข้อมูล
ั
2. แบบฝึ กกิจกรรมแต่ละเนื้ อหาสาระ
มีแบบฝึ กที่ทาให้ผเู ้ รี ยนสามารถเรี ยนรู ้ได้ดวยตนเองจึงเกิดศักยภาพในการแก้โจทย์ปัญหาอย่างแม่นยา
้
3. แบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรม จัดทาไว้แต่ละชุดกิจกรรม เพื่อให้ผเู ้ รี ยนได้ทราบผลการเรี ยนรู ้แต่ละสาระ
แล้วนาไปแก้ไขข้อบกพร่ องของตนเอง
4. แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ ทางการเรี ยน
เป็ นแบบทดสอบเพื่อวัดศักยภาพของผูเ้ รี ยนหลังการเรี ยนครบทุกชุดกิจกรรม
เพื่อให้ผเู ้ รี ยนได้ทราบความก้าวหน้าทางการเรี ยนของตนเอง
ผูจดทาหวังว่า ทุกชุ ดกิจกรรมเล่มนี้จะเป็ นประโยชน์แก่ครู ผสอนที่นาไปจัดการเรี ยนรู ้
้ั
ู้
ผูเ้ รี ยนที่นาไปศึกษาและฝึ กฝนด้วยตนเอง และพ่อ แม่
ั
ผูปกครองที่นาไปเป็ นแนวทางในการสร้างเสริ มศักยภาพให้กบบุตรหลานได้อย่างแท้จริ ง
้

4. 4
ใบควำมรู้ ที่ 1 ก
กระบวนกำรแก้ปัญหำของโพลยำ
กระบวนกำรแก้ปัญหำ
การมีความรู ้เกี่ยวกับกระบวนการแก้ปัญหา
ทาให้สามารถแก้ปัญหาได้ดีและกระบวนการแก้ปัญหามีบทบาทสาคัญในการพัฒนาคณิ ตศาสตร์ เพราะคาตอบของปั
ั
ญหาที่ได้จากกระบวนการแก้ปัญหาจะทาให้เกิดข้อค้นพบใหม่และเป็ นวิธีการที่สามารถนาไปประยุกต์กบปั ญหาอื่นๆ
ได้กระบวนการแก้ปัญหาที่เป็ นที่ยอมรับกันโดยทัวไปคือ กระบวนการแก้ปัญหาของ Polya (1957)
่
ซึ่งประกอบด้วยกระบวนการ 4 ขั้นตอนดังนี้
ขั้นที่ 1 ทำควำมเข้ ำใจกับปัญหำ (Understanding the problem )
ต้องอาศัยทักษะที่สาคัญและจาเป็ นอีกหลายประการ เช่น ทักษะในการอ่านโจทย์ปัญหา
ทักษะการแปลความหมายทางภาษา
่
ซึ่ งผูเ้ รี ยนควรแยกแยะได้วาโจทย์กาหนดอะไรให้และโจทย์ถามให้หาอะไรหรื อพิสูจน์ขอความใด
้
ขั้นที่ 2 วำงแผนในกำรแก้ปัญหำ( Devising a plan ) เป็ นขั้นตอนที่สาคัญที่สุด
ต้องอาศัยทักษะในการนาความรู ้หลักการหรื อทฤษฎีที่เรี ยนรู ้มาแล้ว ทักษะในการเลือกใช้ยทธวิธีที่เหมาะสม เช่น
ุ
เลือกใช้การเขียนรู ปหรื อแผนภาพ ตาราง การสังเกตหาแบบรู ปหรื อความสัมพันธ์ เป็ นต้น
ในบางปั ญหาอาจใช้ทกษะในการประมาณค่า คาดการณ์ หรื อคาดเดาคาตอบมาประกอบด้วย
ั
ผูสอนต้องหาวิธีการฝึ กวิเคราะห์แนวคิดในขั้นนี้ให้มาก หลักการวางแผนในการแก้ปัญหาดังนี้
้
1) เป็ นโจทย์ปัญหาที่เคยประสบมาก่อนหรื อไม่
หรื อมีลกษณะคล้ายคลึงกับโจทย์ที่เคยแก้ปัญหามาก่อนหรื อไม่
ั
ั
2) รู ้จกใช้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวข้องหรื อสัมพันธ์กบโจทย์ปัญหาที่แก้หรื อไม่เพียงใด และ
ั
รู ้จกทฤษฎีที่ใช้แก้หรื อไม่
ั
3) พิจารณาสิ่ งที่ไม่รู้ในโจทย์และพยายามคิดถึงปั ญหาที่คุนเคย
้
่
ั
ซึ่ งมีสิ่งที่ไม่รู้เหมือนกันและพิจารณาดูวาจะใช้วธีการแก้ปัญหาที่เคยพบ มาใช้กบโจทย์ปัญหาที่กาลังจะแก้หรื อไม่
ิ
4) ควรอ่านโจทย์ปัญหาอีกครั้งและวิเคราะห์เพื่อดูความแตกต่างจากปั ญหาที่เคยพบมาหรื อไม่
ขั้นที่ 3 ดำเนินกำรตำมแผน ( Carrying out the plan )
ต้องอาศัยทักษะในการคิดคานวณหรื อดาเนินการทางคณิ ตศาสตร์ ทักษะในการพิสูจน์หรื ออธิบายและแสดงเหตุผล
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลทีได้ ( Looking back ) ต้องอาศัยทักษะการคานวณการประมาณคาตอบ
่
การตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้โดยอาศัยความรู้สึกเชิงจานวน หรื อความรู้สึกเชิงปริ ภูมิ
ในการพิจารณาความสมเหตุสมผลขอคาตอบที่สอดคล้องกับสถานการณ์หรื อปั ญหา
2. เกณฑ์ กำรประเมิน หรือแนวทำงกำรให้ คะแนน
สาหรับการวิจยในครั้งนี้ จะใช้เกณฑ์การประเมินการแก้ปัญหาของโพลยา
ั
ที่พฒนาปรับปรุ งมาจากแนวทางของ สถาบันส่ งเสริ มการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี : 2555. ดังนี้
ั
เกณฑ์ กำรให้ คะแนนกระบวนกำรแก้ ปัญหำของโพลยำ (10 คะแนน)
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
( 2 คะแนน )
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
( 2 คะแนน )
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
( 4 คะแนน )

5. 5
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ
( 2 คะแนน )
บทที่ 1 กำรวิเครำะห์ ข้อมูลเบืองต้ น
้
1.1 ควำมหมำยของข้ อมูล
ข้ อมูล (Data) เป็ นข้อความหรื อสิ่ งที่บ่งบอกสภาพ สถานการณ์ หรื อปรากฎการณ์ใดปรากฎการณ์หนึ่ง
โดยมีขอมูลอาจเป็ นตัวเลขหรื อข้อความก็ได้ (สถาบันส่ งเสริ มการเรี ยนการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี. 2552 :
้
8)
ข้อมูล (data) หมายถึง ข้อเท็จจริ งเราที่สนใจ ซึ่ งอาจเป็ นตัวเลข หรื อข้อความก็ได้
พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถาน (2525) ให้ความหมายของ ข้ อมูล(Data) หมายถึง
ข้อเท็จจริ งหรื อสิ่ งที่ถือหรื อยอมรับว่าเป็ นข้อเท็จจริ ง สาหรับใช้เป็ นหลักอนุมานหาความจริ งหรื อ การคานวณ
่
ข้ อมูล หมายถึง ข้อเท็จจริ งเกี่ยวกับเรื่ องใดเรื่ องหนึ่งที่อยูในรู ปของตัวเลขหรื อสัญลักษณ์ต่างๆ
ที่ยงไม่ผานการประมวลข้อมูล (มนตรี ดวงจิโน, 2546)
ั ่
สรุ ปได้ ว่ำ ข้ อมูล คือ ข้ อเท็จจริงที่ยงไม่ ผ่ำนกำรประมวลผล"
ั
การตัดสิ นใจเกี่ยวกับเรื่ องต่างๆ บางเรื่ องอาจจะไม่สามารถใช้ขอมูลเพียงอย่างเดียว
้
่
ต้องมีการวิเคราะห์ขอมูลที่เกี่ยวข้อง จึงจะนามาเพื่อใช้ในการตัดสิ นใจ ข้อมูลที่ผานการวิเคราะห์แล้ว เรี ยกว่า
้
สารสนเทศ หรื อข่าวสาร (information) ดังแผนภูมิต่อไปนี้
ข้ อมูล -->
สารสนเทศ -->
ความรู้ -->
ความชานาญ
Data
Information
Knowledge
Wisdom
่
สรุ ปได้ ว่ำ สำรสนเทศ คือ ข้อมูลที่ผานการประมวลผลแล้วสามารถนาไปใช้ประโยชน์ได้
กำรจำแนกตำมลักษณะของข้ อมูล จาแนกเป็ น 2 ลักษณะ คือ ข้อมูลเชิงปริ มาณ และข้อมูลเชิงคุณภาพ
1. ข้อมูลเชิงปริ มาณ คือ ข้อมูลที่สามารถวัดออกมาเป็ นจานวนที่สามารถนามาเปรี ยบเทียบกันได้เช่น น้ าหนัก
ส่ วนสู ง รายได้
2. ข้อมูลเชิงคุณภาพ คือ ข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็ นจานวนได้โดยตรง เช่น เพศ สถานะภาพ
วุฒิการศึกษา ความคิดเห็นหรื อความรู ้สึก เมื่อจะนาข้อมูลไปวิเคราะห์จะต้องใช้ตวเลขแทนข้อความที่กาหนด
ั
ข้ อมูลทีใช้ วเิ ครำะห์ มี 2 ชนิด
่
1. ข้อมูลที่ยงไม่แจกแจงความถี่ ( Ungroup data)
ั
2. ข้อมูลที่แจงแจงความถี่แล้ว (Group data)
กำรแจกแจงควำมถี่ของข้ อมูล ( frequency distribution )
่
เป็ นวิธีการทางสถิติอย่างหนึ่ งที่ใช้ในการจัดข้อมูลที่มีอยูหรื อที่เก็บรวบรวมมาได้ให้อยูเ่ ป็ นพวกๆเพื่อความสะดวกใน
การวิเคราะห์ขอมูลเหล่านั้น
้
กำรสร้ ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่ ประกอบด้วยสิ่ งต่างๆต่อไปนี้
1. พิสัย ( Range) คือ ค่าสู ง - ค่าต่า = Xmax – Xmin
2. ควำมกว้ำงของอันตรภำคชั้น =
พิสย
ั
จานวนชั้น
อันตรภาคชั้น ( class interval ) คือ ช่วงคะแนน
เช่น 1 - 4 ประกอบด้วย ข้อมูล 1 , 2 , 3 , 4

6. 6
5 – 10 ประกอบด้วย ข้อมูล 5 , 6 , 7, 8 , 9 , 10
่
ความกว้างของอันตรภาคชั้น คือจานวนข้อมูลทั้งหมดที่มีอยูในช่วงคะแนน
การหาความกว้างของอันตรภาคชั้น
วิธีที่ 1 ( ตัวบน - ตัวล่าง) + 1 เช่น 5 – 10 ความกว้าง (10 – 5 ) + 1 = 6
วิธีที่ 2 ขอบบน – ขอบล่าง
ขอบบน
คือค่ากึ่งกลางระหว่างคะแนนมากที่สุดในอันตรภาคชั้นนั้นกับคะแนนที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้น
้
ที่ติดกันและเป็ นช่วงคะแนนที่สูงกว่า
เช่น ขอบบนของอันตรภาคชั้น 30 – 39 เท่ากับ
39  40
2
= 39.5
29  30
2
= 29.5
ขอบล่าง
คือค่ากึ่งกลางระหว่างคะแนนที่นอยที่สุดในอันตรภาคชั้นนั้นกับคะแนนที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้
้
นที่ติดกันและเป็ นช่วงคะแนนที่ต่ากว่า
เช่น ขอบล่างของอันตรภาคชั้น 30 – 39 เท่ากับ
ความกว้างของอันตรภาคชั้น 30 – 39 เท่ากับ 39.5 – 29.5 = 10
3 . ตำรำงแจกแจงควำมถี่
่
3.1 อันตรภาคชั้นแรกต้องมีค่าต่าสุ ดอยูในอันตรภาคชั้นนั้น
่
3.2 อันตรภาคชั้นสุ ดท้ายต้องมีค่าสู งสุ ดอยูในอันตรภาคชั้นนั้น
4. รอยขีด ( tally )คือเครื่ องหมาย / ที่เชคการตรวจนับจานวนข้อมูล
5. ควำมถี่ ( frequency ) คือจานวนข้อมูลในแต่ละชั้นของอันตรภาคชั้น
ตัวอย่ำงที่ 1 ข้อมูลต่อไปนี้ เป็ นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิ ตศาสตร์ รอบรู ้ 5 ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน
ของนักเรี ยน 20 คน
14
11
16
5
5
10
9
1
14
12
19
13
13
10
17
11
11
9
7
1
จงสร้างตารางแจกแจงความถี่โดยให้อนตรภาคชั้นเท่ากันทุกชั้น จานวน 4 ชั้น
ั
วิธีทำ กำรสร้ ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่
1. หาพิสัย = Xmax – Xmin = 19 – 1 = 18
2. ความกว้างของอันตรภาคชั้น ( i ) =
พิสย
ั
จานวนชั้น
สร้างตารางแจกแจงความถี่ได้ดงนี้
ั
คะแนน
รอยขีด
1–5
////
6 – 10
////
11- 15
//// ///
16 - 20
///
รวม
=
18
4
5
ความถี่ (f)
4
5
8
3
20
1.2. กำรแจกแจงควำมถี่สะสม
ควำมถี่สะสม ( cumulative frequency : cf ) ของค่าที่เป็ นไปได้ ของอันตรภาคชั้นใด คือ ผลรวมของ

7. 7
ความถี่ของค่านั้นหรื อของอันตรภาคชั้นนั้นกับความถี่ของค่าหรื อของอันตรภาคชั้นที่มีช่วงคะแนนต่ากว่า
ทั้งหมดหรื อสู งกว่าทั้งหมดหรื ออย่างใดอย่างหนึ่ง
ตัวอย่ำงที่ 2 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบวิชาคณิ ตศาสตร์ รอบรู้ 5
ของนักเรี ยน 20 คน จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 1
คะแนน
ควำมถี่ (f)
ควำมถี่สะสม ( cf)
1–5
4
4
6 – 10
5
9
11- 15
8
17
16 - 20
3
20
รวม
20
1.3. กำรแจกแจงควำมถี่สัมพัทธ์
ควำมถี่สัมพัทธ์ ( relative frequency : rf ) ของค่าที่เป็ นไปได้ ของอันตรภาคชั้นใด คือ
อัตราส่ วนระหว่างความถี่ของค่านั้นกับผลบวกของความถี่ท้ งหมด
ั
ความถี่สัมพัทธ์อาจแสดงในรู ปเศษส่ วนหรื อทศนิยมหรื อร้อยละก็ได้
ตัวอย่ำงที่ 3 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบวิชาคณิ ตศาสตร์ รอบรู้ 5ของ
นักเรี ยน 20 คน จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 1
คะแนน
1–5
ควำมถี่ (f)
4
6 – 10
5
11- 15
8
16 - 20
3
รวม
ควำมถี่สัมพัทธ์
20
= 0.2
= 0.25
25
= 0.4
40
= 0.15
15
1.000
4
20
5
20
8
20
3
20
ร้ อยละของควำมถี่สัมพัทธ์
20
100.0
1.4. กำรแจกแจงควำมถี่สะสมสั มพัทธ์
ควำมถี่สะสมสั มพัทธ์ ( relative cumulative frequency : rf ) ของค่าที่เป็ นไปได้ ของอันตรภาคชั้นใด คือ
อัตราส่ วนระหว่างความถี่สะสมของค่านั้นกับผลบวกของความถี่ท้ งหมด
ั
ความถี่สะสมสัมพัทธ์อาจแสดงในรู ปเศษส่ วนหรื อทศนิยมหรื อร้อยละก็ได้
ตัวอย่ำงที่ 4 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบวิชาคณิ ตศาสตร์ รอบรู้ 5ของ
นักเรี ยน 20 คน จากข้อมูลใน ตัวอย่ำงที่ 1
คะแนน
ควำมถี่ (f)
ควำมถี่สะสม
1–5
4
4
6 – 10
5
9
ควำมถี่สะสม
สั มพัทธ์
4
20
9
20
= 0.2
ร้ อยละของควำมถี่สะส
มสั มพัทธ์
20
= 0.45
45

8. 8
11- 15
8
17
16 - 20
3
20
รวม
20
17
20
20
20
= 0.85
85
= 1.000
100
กำรแสดงกำรแจกแจงควำมถี่โดยใช้ กรำฟ มีดังนี้
ฮีสโทแกรม (histogram )
รู ปหลายเหลี่ยมของความถี่ (frequency polygon)
เส้นโค้งของความถี่ ( frequency curve )
3.1 ฮีสโทแกรม (histogram ) มีลกษณะเป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉากวางเรี ยนติดต่อกันบนแกนนอนโดยมี
ั
แกนนอนแทนค่าของตัวแปร ความกว้างของสี่ เหลี่ยมมุมฉากแทนความกว้างของอันตรภาคชั้น
และพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละรู ปแทนความถี่ของอันตรภาคชั้น
กำรสร้ ำง ฮีสโทแกรม ควรทำเป็ นขั้นๆดังนี้
หาจุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้น จุดกึงกลำงชั้ น เท่ ำกับ
่
ขอบล่าง  ขอบบน
2
ก. ลากส่ วนของเส้นตรงจากจุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้นให้ต้ งฉากกับแกนนอน
ั
ซึ่งเป็ นแกนของตัวแปร X ให้ความสู งเท่ากับความถี่ของคะแนนในแต่ละอันตรภาคชั้นนั้น
ข. ใช้ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้นนี้เป็ นส่ วนสู งและแนวกลางสร้างรู ปสี่ เ
หลี่ยมมุมฉากโดยให้ความกว้างของแต่ละรู ปเท่ากับความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นในกรณี น้ ี
กว้างเท่ากันหมดทุกอันตรภาคชั้น
คะแนน
1–5
6 – 10
11- 15
16 - 20
รวม
ควำมถี่ (f)
4
5
8
3
20
จุดกึงกลำงชั้ น
่
3
8
13
18
3.2 รู ปหลายเหลี่ยมของความถี่ คือรู ปหลายเหลี่ยมที่เกิดจากการโยงจุดกึ่งกลางของยอดแท่งสี่ เหลี่ยม
มุมฉากของฮีสโทแกรมด้วยส่ วนของเส้นตรง
3.3 เส้นโค้งของความถี่ คือเส้นโค้งที่ได้จากการปรับด้านของรู ปหลายเหลี่ยมของความถี่ให้เรี ยบขึ้น
การปรับด้านของรู ปหลายเหลี่ยมของความถี่ให้เรี ยบขึ้นนี้ ต้องพยายามทาให้พ้ืนที่ภายใต้เส้นโค้งที่
ปรับใหม่มีขนาดใกล้เคียงกับพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ให้มากที่สุด

9. 9
8
7
6
5
4
วามถี
3
2
1
0
1
2
3
4
1.1 กำรหำค่ ำกลำงของข้ อมูล
ค่ ำกลำงของข้ อมูล คือ ตัวเลขทางสถิติเป็ นค่าที่ได้จากการคานวณหาค่าที่เหมาะสมที่สุด
ที่จะทาหน้าที่เป็ นตัวแทนของข้อมูลชุดนั้นซึ่ งช่วยให้สะดวกในกำรจดจำหรื อสรุ ปเรื่ องราวที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลนั้นๆ
ได้
ค่ ำกลำงของข้ อมูลทีนิยมใช้ มี ดังนี้
่
1.1.1 ค่ ำเฉลียเลขคณิต ( Arithmetic mean ) คือ
่
อัตราส่ วนระหว่างผลรวมของข้อมูลทั้งหมดกับจานวนข้อมูลทั้งหมด แทนด้วยสัญลักษณ์ X และ  เมื่อ
X คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของกลุ่มตัวอย่าง (n)
 คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของประชากร (N)
ค่ ำเฉลียเลขคณิตของข้ อมูลไม่ แจกแจงควำมถี่
่
ให้ x1 , x2 , x3 , . . . , xN เป็ นข้อมูลแต่ละตัว
N
 x i = x1 + x2 + x3 . . . + xN
i 1
1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของประชากร (  )
2 ) ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของกลุ่มตัวอย่าง ( X )
n
N
=
xi
i 1
N
, N = จานวนข้อมูลของประชากร
X =
xi
i 1
n
; n = จานวนข้อมูลของตัวอย่าง
สมบัติของซิกมำ
N
หมำยเหตุ สัญลักษณ์  x i แทนผลบวกของตัวแปร x ซึ่ งประกอบด้วยค่าจากการสังเกตทั้งหมด
i 1
N จานวน เรี ยกสัญลักษณ์  ว่า ซิ กมา
สมบัติของ  ทีควรทรำบมีดังนี้
่
ถ้า c และ d เป็ นค่าคงตัวใดๆ

10. 10
N
1)  c = Nc
i 1
N
N
i 1
i 1
2)  cxi = c xi
N
N
i 1
i 1
i 1
N
N
N
i 1
i 1
i 1
N
3)  ( xi  y i ) =  xi +  y i
4)  ( xi  yi ) =  xi -  y i
ค่ ำต่ ำงๆของ  ทีควรทรำบมีดังนี้
่
5
1.  8 = 8 + 8 + 8 + 8 +8 = 5 x 8 = 40
i 1
N
N
(N 1)
2
i 1
20
เช่น  x i = 20 ( 21 ) = 210
2
i 1
N
3.  i 2 = N ( N  1 )( 2 N  1 )
6
i 1
2.
i =
2
5
3.1 หาผลบวก  xi = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
i 1
N
= N ( N  1 )( 2 N  1 ) =
3.2 ใช้สูตร  i 2
i 1
N
4.  i
i 1
3
5
( 6 )( 11 )
6
6
2
N
=   i  = N ( N  1 ) 
2

i 1 


 
= 55
2
N
4.1 หาผลบวก  xi 3 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225
i 1
N
4.2 ใช้สูตร ถ้า  xi =
3
i 1
5(6)
2
=
N
ดังนั้น  xi =
3
i 1
N 
 xi 
 i 1 
2
= (15)2 = 225
กำหนด ให้ x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 3 , x4 = 4
y1 = 6 , y2 = 7 , y3 = 8 , y 4 = 9 และ c = 5
(แนวคิด  x = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
 y = 6 + 7 + 8 + 9 = 30
 x 2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30
 y 2 = 62 + 72 + 82 + 92 = 230
 xy = 6 + 14 + 24 + 36 = 80
4
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาค่าของ  ( xi  2)
i 1
วิธีทำ
4
 ( x i  2)
i 1
=
4
4
i 1
i 1
 xi   2
= 10 – (4  2 )
=2
4
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาค่าของ  (3xi yi  5 yi )
i 1
4
ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาค่าของ  ( x i 3)2
4
i 1
วิธีทำ  ( x i 3)2 =  ( x
i 1
4
i 1
2
i
 6 xi  9)
= 30 – 6(10) + 9(4)
= 30 – 60 + 36 = 6
4
ตัวอย่ ำงที่ 4 จงหาค่าของ  ( x i y i )2
i 1

11. 11
4
4
วิธีทำ  (3xi yi  5 yi ) =
i 1
4
4
i 1
i 1
i 1
3 xi y i  5 y i )
4
วิธีทำ  ( x i y i ) =  ( x i 2  2 x i y i  y i 2 )
2
= 3(80) - 5(30)
= 240 – 150
= 90
i 1
= 30 – 2(80) + 230
= 100
ตัวอย่ำงที่ 1 สถำนกำรณ์ นักเรี ยนไปเลือกซื้ อสิ นค้าจากร้านแห่งหนึ่ง
จะซื้ อสิ นค้าในข้อใดให้ในรำคำถูกทีสุดโดยใช้กระบวนการของโพลยา
่
ซื้ อน้ ามันพืชขนาด 1 ลิตรในข้อใดรำคำถูกทีสุด
่
ก. ขวดละ 43 บาท
ข. 2 ขวด 85 บาท
ค. 4 ขวด 168 บาท
ง. 6 ขวด 249 บาท
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
1.1 สิ่ งที่โจทย์กาหนด น้ ามันพืชขนาด 1 ลิตรในราคาต่างๆกัน
1.2 สิ่ งที่โจทย์ถามหาอะไร ซื้ อน้ ามันพืชขนาด 1 ลิตรในข้อใดรำคำถูกทีสุด
่
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้เลือกซื้ อสิ นค้าในรำคำถูกทีสุด (หาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของสิ นค้าหนึ่งหน่ วย)
่
n
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต X =
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
xi
i 1
n
หาคาตอบจากสู ตรในข้อ 2.2

12. 12
n
x = nX
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
i 1
i
ก. ขวดละ 43 บาท (ขวดละ 43 บำท )
ข. 2 ขวด 85 บาท(ขวดละ 42.5 บำท )
ค. 4 ขวด 168 บาท(ขวดละ 42 บำท )
ง. 6 ขวด 249 บาท(ขวดละ 41.50 บำท )
ดังนั้น ควรเลือกซื้ อน้ ามันพืชขนาด 1 ลิตร ในข้อ ง. 6 ขวด 249 บาท (ขวดละ 41.50 บำท ) จึงจะประหยัดที่สุด
1.2 ค่ ำเฉลียเลขคณิตถ่ วงนำหนัก ( Weighted Arithmetic Mean )
่
้
การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตถ่วงน้ าหนักนี้ใช้ในกรณี ที่ขอมูลแต่ละค่ามีความสาคัญไม่เท่ากัน เช่น
้
การหาผลการเรี ยนเฉลี่ยของคะแนนสอบ 4 วิชา ที่แต่ละวิชาใช้เวลาเรี ยนในแต่ละสัปดาห์ไม่เท่ากัน
ถ้าให้ w1 ,w2 , w3 , . . . ,w N เป็ นความสาคัญหรื อน้ าหนักถ่วงของค่าจากการสังเกต
x1 , x2 , x3 , . . . , xN ตามลาดับ
N
ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตถ่วงน้ าหนัก ( X w ) =
w1 x1  w2 x2  w3 x3  ...  wN x N
w1  w2  w3  ...  wN
=
w x
i 1
N
i
i
w
i 1
i
ตัวอย่ำงที่ 1 ผลการสอบของ ด.ช. เอ วิชาคณิ ตศาสตร์ ภาษาไทย และภาษาอังกฤษ ได้ผลการเรี ยนเป็ น 4 , 3 และ 2
ตามลาดับ แต่ละวิชามีหน่วยการเรี ยน 2.5 , 2 และ 1.5 ตามลาดับ จงหาเกรดเฉลี่ย 3 วิชาของ ด.ช. เอ
โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
1.1 สิ่ งที่โจทย์กาหนด หน่วยการเรี ยนและผลการเรี ยน
1.2 สิ่ งที่โจทย์ถามหาอะไร จงหาเกรดเฉลี่ย 3 วิชาของ ด.ช. เอ
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้หาเกรดเฉลี่ย 3 วิชาของ ด.ช. เอ (หาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตถ่วงน้ าหนัก)
ถ้าถามหาเกรดเฉลี่ยจะนา
4 3 2
3
= 3 ไม่ได้เพราะ จะเกิดความไม่ยติธรรม
ุ
เนื่องจากไม่ได้นาหน่วยการเรี ยนของแต่ละวิชามาคิดด้วย
N
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตถ่วงน้ าหนัก ( X w ) = =
w x
i 1
N
i
i
w
i 1
i
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
หาคาตอบจากสู ตรในข้อ 2.2
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
n
n
x w =  w
i 1
i
i
i 1
i
16 = 3.17  6
วิธีทำ ถ้าถามหาเกรดเฉลี่ยจะนา
4 3 2
3
= 3 ไม่ได้เพราะ จะเกิดความไม่ยติธรรม
ุ
เนื่องจากไม่ได้นาหน่วยการเรี ยนของแต่ละวิชามาคิดด้วย

13. 13
N
ต้องหาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตแบบถ่วงน้ าหนัก ( X w )
= =
w x
i 1
N
i
i
w
i 1
i
( 2.5  4 )  ( 2  3)  (1.5  2 )
2.5  2  1.5
=
10  6  3
6
19
= 3.166...  3.17
6
=
=
ดังนั้นเกรดเฉลี่ย 3 วิชาของ ด.ช. เอ เท่ากับ 3.17
1.3 ค่ ำเฉลียเลขคณิตรวม ( Combined Arithmetic Mean )
่
ในการวิเคราะห์ขอมูลหลายๆ ชุดที่หาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของแต่ละชุดไว้แล้ว
้
หากผูวเิ คราะห์ถามทราบค่าเฉลี่ยของข้อมูลทั้งหมดโดยนับรวมเป็ นชุดเดียวกันก็สามารถหาได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิ
้
ตของข้อมูล แต่ละชุดที่คานวณไว้แล้วกล่าวคือ
ถ้าให้ X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X k เป็ นค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ 1 , 2, 3 ,…,k ตามลาดับ
n1 , n2 , n3 , . . . , nk เป็ นจานวนค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดที่ 1 , 2, 3 ,…,k ตามลาดับ
k
ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตรวม ( X รวม ) =
 ni Xi
i 1
k
 ni
i 1
ตัวอย่ำงที่ 1 ถ้านำหนักเฉลียของนักเรี ยนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6/1 , 6/2 , 6/3 6/4 และ 6/5 ของโรงเรี ยนแห่งหนึ่งเป็ น
้
่
53 , 52 , 50 , 55 และ 50 กิโลกรัมตามลาดับ โรงเรี ยนแห่งนี้มีนกเรี ยนแต่ละชั้นดังกล่าวเป็ น 44 , 47 , 46 , 43 และ 35
ั
คน ตามลาดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตรวมน้ าหนักของนักเรี ยนของมัธยมศึกษาปี ที่ 6 ทั้งห้าห้องรวมกัน
โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
วิธีทำ
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
1.1 สิ่ งที่โจทย์กาหนด (ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตและจานวนนักเรี ยน)
1.2 สิ่ งที่โจทย์ถามหาอะไร (ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตรวมน้ าหนักของนักเรี ยน)
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตรวม
k
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตรวม ( X รวม ) =
 ni Xi
i 1
k
 ni
i 1

14. 14
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
หาคาตอบจากสู ตรในข้อ 2.2
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
k
k
 n i X i = X  ni
i 1
i 1
11191 = 52.05  215
k
 ni Xi
i 1
k
วิธีทำ ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตรวม ( X รวม ) =
 ni
=
=
=
i 1
(53  44)  (52  47)  (50  46)  (55  43)  (50  35)
44  47  46  43  35
2332  2444  2300  2365  1750
215
11191
= 52.05
215
ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตรวมของน้ าหนักของนักเรี ยนของมัธยมศึกษาปี ที่ 6 เท่ากับ 52.05 กิโลกรัม
1.4 สมบัติทสำคัญของค่ ำเฉลียเลขคณิต
ี่
่
่
(1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตเมื่อคูณกับจานวนข้อมูลทั้งหมด ไม่วาจะเป็ นทั้งประชากรขนาด Nหรื อตัวอย่างขนาด n
จะมีค่าเท่ากับผลรวมของข้อมูลทุกๆค่าตามลาดับดังนี้
N
 xi
= N
และ
n
x = nX
i 1
i 1
i
(2) ผลรวมของความแตกต่างระหว่างแต่ละค่าของข้อมูลจากค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของข้อมูลชุ ดนั้นเท่ากับ 0
N
 (x
กล่าวคือ
i 1
i
=0
 )
และ
n
 (x i  X) = 0
i 1
(3) ผลรวมของความแตกต่างกาลังสองของแต่ละข้อมูลจากจานวน M ใดๆ จะมีค่าน้อยที่สุด
เมื่อ M เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของข้อมูลชุดนั้นกล่าวคือ
2
N
น้อยที่สุด
M
= 
และ  ( xi  M ) น้อยที่สุด
M
= X
 (x
i 1
n
i
 M)
2
i 1
สมบัติของค่ ำเฉลียเลขคณิต
่
1. ถ้าบวกข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม + c
5. ถ้าตัดข้อมูลที่เท่ากับ X ออก1 จานวน
X ใหม่ จะเท่าเดิม
2. ถ้าลบข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม - c
6. ถ้าตัดข้อมูลที่นอยกว่า X ออก1 จานวน
้
X ใหม่ จะมากกว่าเดิม
3. ถ้าคูณข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม x c
7. ถ้าตัดข้อมูลที่มากกว่า X ออก1 จานวน
X ใหม่ จะน้อยกว่าเดิม

15. 15
4. ถ้าหารข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม  c
1.1.2 กำรหำค่ ำเฉลียเลขคณิตของข้ อมูลที่แจกแจงควำมถี่แล้ ว
่
ถ้าให้ f1 เป็ นความถี่ของค่าจากการสังเกต x1 , f2 เป็ นความถี่ของค่าจากการสังเกต x2
ไปเรื่ อยๆจนถึง fk เป็ นความถี่ของค่าจากการสังเกต xk แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตคือ
=
X
f1 x1  f2 x 2  f3 x 3  ...  fk x k
f1  f2  f3  ...  fk
k
=
 fi x i
i 1
k
 fi
k
=
 fi x i
i 1
N
i 1
k
เมื่อ N เป็ นจานวนค่าจากการสังเกตทั้งหมด หรื อ N =  fi
i 1
xi เป็ นจุดกึ่งกลางของชั้นที่ i , k เป็ นจานวนอันตรภาคชั้น
หมำยเหตุ ถ้าเป็ นค่าเฉลี่ยของตัวอย่างที่เป็ นตัวแทนของประชากรยังคงใช้สูตรของค่าเฉลี่ยแบบเดิม
แต่เปลี่ยน  เป็ น X และหารด้วย n แทน N
ตัวอย่ำงที่ 1 ข้อมูลต่อไปนี้เป็ นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิ ตศาสตร์รอบรู้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรี ยน 20 คน ดังนี้
คะแนน
1–5
6 – 10
11- 15
16 – 20
ความถี่ (f)
4
5
8
3
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
วิธีทา ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
1.1 สิ่ งที่โจทย์กาหนด คะแนนและความถี่
1.2 สิ่ งที่โจทย์ถามหาอะไร จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 สร้างตารางแจกแจงความถี่
2.2 กาหนดตัวแปร x แทนจุดกึ่งกลางชั้น และ f แทนความถี่
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
3. 1 สร้างตารางแจกแจงความถี่ หาจุดกึ่งกลางชั้น(x) และหา fx
n
 fi x i
3.2 แสดงวิธีการคานวณคาตอบ ใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต X =
i 1
n
ตารางที่ 1.5 ก หาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต
คะแนน
1–5
6 – 10
ควำมถี่ (f)
4
5
จุดกึงกลำงชั้ น (x)
่
3
8
ควำมถี่ xจุดกึงกลำงชั้ น = (f)(x)
่
12
40

16. 16
11- 15
16 – 20
รวม
8
3
20
13
18
-
104
54
210
n
 fi x i
ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต ( X ) =
=
i 1
n
210
20
= 10.5
ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของการสอบ เท่ากับ 10.5 คะแนน
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
4.1 เขียนคาตอบที่โจทย์ถาม ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต ( X ) = 10.5
4.2 แสดงวิธีการตรวจผลของคาตอบ
n
nX
=  fi x i
20  10.5
= 210
i 1
ั
1.6 ค่ ำเฉลียเลขคณิตวิธีลด ใช้กบข้อมูลที่อนตรภาคชั้นมีค่ามากๆ
่
ั
ั
ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต X
= A + i(  )
fd
N
เมื่อ X คือค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต
A คือค่าเฉลี่ยสมมติ (ชั้ นที่มีความถี่สูงสุ ด)
i คือความกว้างของอันตรภาคชั้น
d 
x A
i
ตัวอย่ำงที่ 2 ข้อมูลต่อไปนี้ เป็ นค่าจ้างรายวันของพนักงานบริ ษทแห่งหนึ่งจานวน 200 คน ดังนี้
ั
ค่ ำจ้ ำง(บำท)
ควำมถี่ (f)
1 – 100
101 – 200
201 – 300
301 – 400
401 – 500
รวม
20
80
50
40
10
200
จุดกึงกลำงชั้น
่
(x)
50.5
150.5
250.5***A
350.5
450.5
-
d 
-2
-1
0
1
2
-
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต
ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต X
= A + i(  )
แทนค่า
วิธีทำ
= 250.5 + 100 (
fd
N
= 250.5 – 30
= 220.5
ดังนั้น ค่าจ้างเฉลี่ยรายวันเท่ากับ 220.5 บาท
x A
i
 60
200
)
fd
- 40
- 80
0
40
20
 fd = - 60

17. 17
ตัวอย่ำงที่ 3 ข้อมูลต่อไปนี้ เป็ นเงินเดือนของพนักงานทั้งหมดในบริ ษทแห่งหนึ่งแห่งหนึ่งจานวน 100 คน ดังนี้
ั
ค่ ำจ้ ำง(บำท)
ควำมถี่ (f)
11,000 – 12,999
13,000 – 14,999
15,000 – 16,999
17,000 – 18,999
19,000 – 20,999
รวม
25
20
30
15
10
100
จุดกึงกลำงชั้ น
่
(x)
11,999.5
13,999.5
15,999.5***
17,999.5
19,999.5
-
d 
x A
i
-2
-1
0
1
2
-
fd
- 50
- 20
0
15
20
 fd = - 35
จงหาเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานของบริ ษทแห่งนี้
ั
ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต X
= A+ i( 
แทนค่า
วิธีทำ
= 15,999.5+ 2000 (
fd
N
)
= 15,999.5 –700
= 15,299.5
ดังนั้น เงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานเท่ากับ 15,299.5 บาท
35
)
100
1.7 กำรตรวจสอบคำตอบค่ ำเฉลียเลขคณิตโดยใช้ โปรแกรมเอกซ์ เซลล์ (Excell)
่
กำรใช้ โปรแกรม Excell สำหรับกำรวิเครำะห์ ข้อมูลเบืองต้ น
้
Microsoft Excell เป็ นโปรแกรมที่มีความสามารถในการจัดการข้อมูลในเรื่ องของตารางได้อย่างดี
และมีความสะดวกในการใช้งาน Excell สามารถคานวณได้อย่างแม่นยา ซึ่ งมีจุดเด่นคือ
เมื่อค่าที่ใช้เป็ นตัวตั้งในสู ตรคานวณเปลี่ยนไป ผลลัพธ์ที่ได้จากการคานวณก็จะเปลี่ยนไปเป็ นแบบอัตโนมัติ (ณรงค์
่
ศรี สมาน.2547 : 102 -103) โปรแกรมคอมพิวเตอร์ ที่ใช้สาหรับการคานวณทางสถิติในปั จจุบนมีอยูหลายโปรแกรม
ั
เช่น NySCC , SPSS , SAS , STATA ฯลฯ ซึ่ งเป็ นโปรแกรมที่นิยมใช้ โดยแต่ละโปรแกรมมีขอเด่นแตกต่างกันไป
้
แล้วแต่ประเภทหรื อลักษณะของการใช้งานของผูใช้ นอกจากโปรแกรมที่กล่าวข้างต้นแล้ว โปรแกรม Excell
้
่
ที่มีอยูในMicrosoft Office
ซึ่ งเป็ นโปรแกรมที่ใช้ทวๆไปในเครื่ องคอมพิวเตอร์ ก็สามารถใช้การวิเคราะห์ขอมูลทางสถิติได้เช่นกัน
ั่
้
มำรู้ จักกับควำมหมำยของคำต่ ำงๆทีใช้ ในโปรแกรม Excell กันเถอะ
่
Row
แถว
Column
หลัก
N
X
i 1
i
AVERAGE
SUM
MAX
MIN
ผลบวก
ค่ ำเฉลีย
่
ผลบวก
ค่ ำสู งสุ ด
ค่ ำต่ำสุ ด

18. 18
STDEV
ส่ วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน
1. หำค่ ำเฉลียเลขคณิตของข้ อมูลกำรใช้ โปรแกรม Excell
่
หาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของข้อมูลชุดใหม่ที่เกิดจากการนาค่าคงตัวค่าหนึ่ง
บวก ลบ คูณและหารข้อมูลชุดเดิม
1. พิมพ์ขอมูลใน Column A1:A10 (นักเรี ยนกาหนดขึ้นมาเอง)
้
2. นาค่าคงตัวค่าหนึ่ง บวก ลบ คูณและหารข้อมูลชุดเดิม
2.1 นา 5 บวกข้อมูลทุกตัว สร้างฟังก์ชนดังนี้
ั
คลิก Column B1 สร้างฟังก์ชน= (A1:A10)+5 แล้วคลิก Enter คลิก Column B1 ลากลงมา
ั
2.2 นา 4 ลบข้อมูลทุกตัว สร้างฟังก์ชนดังนี้
ั
คลิก Column C1 สร้างฟังก์ชน= (A1:A10)-8 แล้วคลิก Enter คลิก Column C1 ลากลงมา
ั
2.3 นา 3 คูณข้อมูลทุกตัว สร้างฟังก์ชนดังนี้
ั
คลิก Column D1 สร้างฟังก์ชน= (A1:A10)*3 แล้วคลิก Enter คลิก Column D1 ลากลงมา
ั
2.4 นา 2 หารข้อมูลทุกตัว สร้างฟังก์ชนดังนี้
ั
คลิก Column E1 สร้างฟังก์ชน= (A1:A10)/5 แล้วคลิก Enter คลิก Column E1 ลากลงมา
ั
3. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของข้อมูลชุดใหม่
3.1 นาลูกศรคลิกที่ fx
3.2 เมื่อปรากฎหน้าต่าง เลือกที่ =AVERAGE(B1:B10) จากนั้นคลิก OK
(เปลี่ยน Column ตามช่องตัวอักษรที่สร้างขึ้น)
จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตของข้อมูลชุดใหม่และนักเรี ยนช่วยกันสรุ ปสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต ดังรู ป

19. 19
สรุ ปได้ ดังนี้ (สมบัติของค่ ำเฉลียเลขคณิต)
่
ให้ c เป็ นค่าคงตัวค่าหนึ่ง ; c > 0
1. ถ้าบวกข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม + c
2. ถ้าลบข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม - c
3. ถ้าคูณข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม x c
4. ถ้าหารข้อมูลทุกตัวด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง c
X ใหม่ = X เดิม  c
2. กำรคิดเกรดเฉลียโดยใช้ โปรแกรมExcell
่
1. พิมพ์ชื่อวิชาใน Column A
2. พิมพ์จานวนหน่วยกิตของแต่ละวิชาใน Column B
3. พิมพ์เกรดที่นกเรี ยนได้ใน Column C
ั
4. สร้างฟังก์ชนหาผลคูณคือ =B1:C1 ในช่อง D1 เพื่อให้ได้ผลคูณระหว่างหน่วยกิตกับเกรด แล้วพิมพ์ =B2:C2
ั
ในช่อง D2 จากนั้นพิมพ์คล้าย ๆ กันใน D3, D4,……
5. สร้างฟังก์ชนหาเกรดเฉลี่ยคือ =sum(D1:D…)/ จานวนหน่วยกิตทั้งหมด
ั
1.1.2 ตำแหน่ งกึงกลำงข้ อมูล ( มัธยฐำน )
่
่
มัธยฐำน ( Median ; Med) คือ ข้อมูลที่อยูตาแหน่งกึงกลำงของข้อมูลทั้งหมด
่
เมื่อเรี ยงข้อมูลจากน้อยไปหามากหรื อ เรี ยงจากมากไปหาน้อย
ก. มัธยฐำนของข้ อมูลทียงไม่ แจกแจงควำมถี่
่ั
1) ตาแหน่งของมัธยฐาน หาได้จากสู ตร
N 1
2
เมื่อ N คือจานวนข้อมูล

20. 20
2) ค่าของมัธยฐาน
1) ถ้า N เป็ นจานวนคี่ แล้ว
2) ถ้า N เป็ นจานวนคู่ แล้ว
N 1
2
N 1
2
เป็ นจานวนเต็ม หาค่าได้จากข้อมูล
เป็ นทศนิยม ต้องใช้ค่าเฉลี่ยของข้อมูล
ตัวอย่ำงที่ 1 ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิ ตศาสตร์ รอบรู้ 5ของนักเรี ยน 5 คน ดังนี้
4 , 10 , 12 , 14 , 16
จงหามัธยฐาน
วิธีทำ
เรี ยงลาดับข้อมูล
4
10
14
12
ตาแหน่ง
1
2
4
3
N 1
2
1) ตาแหน่งของมัธยฐาน หาได้จากสู ตร
=
5 1
2
16
5
เมื่อ N คือจานวนข้อมูล
= 3
2) ค่าของมัธยฐาน ตาแหน่งที่ 3 เท่ากับ 12 คะแนน
ตัวอย่ำงที่ 2 ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิ ตศาสตร์ รอบรู้ 5 ของนักเรี ยน 6 คน ดังนี้
5 , 8 , 11 , 13 , 15 , 16
จงหามัธยฐาน
วิธีทำ
เรี ยงลาดับข้อมูล
5
8
11
13
ตาแหน่ง
1
2
3
4
N 1
2
1) ตาแหน่งของมัธยฐาน หาได้จากสู ตร
=
6 1
2
15
5
เมื่อ N คือจานวนข้อมูล
= 3.5
2) ค่าของมัธยฐาน ตาแหน่งที่ 3.5 เท่ากับ 11
 13
2
= 12 คะแนน
ข. มัธยฐำนของข้ อมูลที่แจกแจงควำมถี่แล้ ว
1) หาความถี่สะสม (cf )
2) ตาแหน่งของมัธยฐาน หาได้จากสู ตร
3) ค่าของมัธยฐาน
วิธีที่ 1 ใช้ สูตร มัธยฐาน = L +
มัธยฐาน = U - i
N
2
N

 2  cf 1 
i

 cf 2  cf 1 




N 

 cf 1  2 


 cf 2  cf 1 




เมื่อ N คือจานวนข้อมูล
หรื อ
ให้ U เป็ นขอบบน และ L เป็ นขอบล่าง ของชั้นที่มีมธยฐาน
ั
i เป็ นความกว้างของมัธยฐาน
N
2
เป็ นตาแหน่งของมัธยฐาน
cf1 เป็ นความถี่สะสมของชั้นก่อนตาแหน่งที่มีมธยฐานอยู่
ั
cf2 เป็ นความถี่สะสมของชั้นหลังตาแหน่งที่มีมธยฐานอยู่
ั
16
6

21. 21
วิธีที่ 2 ใช้ อตรำส่ วน(ตั้งสั ดส่ วน)
ั
วงเล็ บเล็ ก
วงเล็ บเล็ ก
=
วงเล็ บใหญ่
วงเล็ บใหญ่
ตัวอย่ำงที่ 1 ข้อมูลต่อไปนี้ เป็ นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิ ตศาสตร์ รอบรู้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรี ยน 20 คน ดังนี้
คะแนน
ความถี่(f)
1–5
4
6 – 10
5
11- 15
8
จงหามัธยฐานโดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
วิธีทำ ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
1.1 สิ่ งที่โจทย์กาหนด คะแนนและความถี่
1.2 สิ่ งที่โจทย์ถามหาอะไร จงหามัธยฐาน
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 สร้างตารางแจกแจงความถี่
2.2 กาหนดตัวแปร f แทนความถี่ และ cf แทนความถี่สะสม
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
3. 1 สร้างตารางแจกแจงความถี่ หาความถี่สะสม
3.2 แสดงวิธีการคานวณคาตอบ ใช้วธีต้ งอัตราส่ วน
ิ ั
ตารางที่ 2.2 ก หามัธยฐาน
คะแนน
1–5
6 – 10
11- 15
16 - 20
รวม
ควำมถี่ (f)
4
5
8
3
20
ควำมถี่สะสม (cf)
4
9
17
20
1. หาความถี่สะสม
2. ตาแหน่งของมัธยฐาน =
N
2
=
20
2
= 10
่ ั
3. ค่าของมัธยฐาน (พิจารณาที่ความถี่สะสม) อยูที่อนตรภาคชั้น
6 – 10
9
x
10
11 – 15
17
อันตรภาคชั้น 6 – 10 ขอบบนเท่ากับ 10.5 ให้ x เป็ นค่าของมัธยฐาน
วงเล็ บเล็ ก
=
วงเล็ บใหญ่
x  10 . 5
15  10
วงเล็ บเล็ ก
วงเล็ บใหญ่
=
10  9
17  9
16 – 20
3

22. 22
x – 10.5 =
1
5
8
= 0.625
x
= 10.5 + 0.625 = 11.125  11.13
ดังนั้นมัธยฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 11.13 คะแนน
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
4.1 เขียนคาตอบที่โจทย์ถาม มัธยฐาน = 11.13
4.2 แสดงวิธีการตรวจผลของคาตอบใช้สูตร
มัธยฐาน = L + i
N

 2  cf 1 


 cf 2  cf 1 




= 10.5 + 5 10  9 


17  9 
= 10.5 + 0.625 = 11.125  11.13
ดังนั้นมัธยฐานคะแนนสอบของนักเรี ยน  11.13 คะแนน
สมบัติของมัธยฐำน
สมบัติขอหนึ่งทีสาคัญของมัธยฐานคือ ผลรวมของค่ ำสั มบูรณ์ ของผลต่ ำงระหว่ ำงข้ อมูลแต่ ละค่ ำ
้
กับมัธยฐำนของข้ อมูลชุ ดนั้นจะมีค่ำน้ อยทีสุด
่
N
 | XI - มัธยฐาน | มีค่าน้อยสุ ด
i 1
ถ้าแทนค่ามัธยฐานด้วยจานวนอื่นจะได้ผลรวมมากกว่าหรื อเท่ากับค่านี้ เสมอ
เช่น ถ้ากาหนดข้อมูล 3 , 4 , 6, 13 , 8 , 2 ข้อมูลชุดนี้มีมธยฐานเท่ากับ 5
ั
N
|
i 1
Xi 5 |
= | 3 - 5 | + | 4 - 5 | + | 6 – 5 | + | 13 – 5 | + | 8 – 5 | +| 2 – 5 |
= 18
แต่ถาเปลี่ยน 5 เป็ นจานวนอื่น เช่น 7 หรื อ 9 จะได้ผลรวมเป็ น 20 และ 26 ตามลาดับ
้
ถ้าเปลี่ยน 5 เป็ น 6 จะได้ผลรวมเป็ น 18
นันคือถ้าแทนค่ามัธยฐานด้วยจานวนอื่น จะได้ผลรวมมากกว่าหรื อเท่ากับใช้มธยฐาน
ั
่
1.1.3 ศูนย์ รวมควำมนิยม ( ฐำนนิยม )
ฐำนนิยม ( Mode : Mod ) คือ ค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุ ด หรื อมีความนิยมมากที่สุด
ใช้เป็ นค่ากลางของข้อมูลอีกชนิดหนึ่งนอกเหนื อจากค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตและมัธยฐานที่ได้กล่าวมาแล้วส่ วนมากฐานนิยม
ั
จะใช้กบข้อมูลเชิงคุณภาพมากกว่าข้อมูลเชิงปริ มาณ
ฐานนิยมเหมาะที่จะนามาใช้เป็ นค่ากลางเมื่อข้อมูลนั้นๆเป็ นค่ามาตรฐาน เช่น ขนาดรองเท้า
ขนาดยางรถยนต์ ฯลฯ
่ ้
หรื อข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้วตามกลุ่มหรื อช่วงต่างๆและโดยเฉพาะเมื่อข้อมูลที่มีค่าสู งหรื อต่าผิดปกติรวมอยูดวย
ก. กำรหำฐำนนิยมของข้ อมูลทีไม่ ได้ แจกแจงควำมถี่
่
่
่ ั
ฐานนิยมของข้อมูลชนิดนี้หาได้จากการดูวาข้อมูลค่าใดจากข้อมูลทั้งหมดที่มีอยูท้ งหมดมี
ความถี่สูงสุ ดหรื อปรากฏบ่อยครั้งที่สุด ข้อมูลนั้นจะเป็ นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาฐานนิยมของข้อมูลต่อไปนี้

23. 23
ข้ อมูล
1) 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 5
2) 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10
3) 4 , 5 , 5 , 6 , 6, 7
4) 10 , 15 , 10 , 5 , 20 , 20 , 10 , 12
5) 15 , 14 , 14 , 17 , 15 , 14 , 14
ฐำนนิยม
5
ไม่มี
5 และ 6
10
14
หมำยเหตุ
5 มีความถี่ เท่ากับ 3 มากที่สุด
ข้อมูลทุกตัวมีความถี่ เท่ากับ 1
อาจถือว่าไม่มีฐานนิยม
10 มีความถี่ เท่ากับ 3 มากที่สุด
14 มีความถี่ เท่ากับ 4 มากที่สุด
การสารวจความนิยมในการเลือกใช้ยาสระผม 3 ชนิด
โดยการสอบถามว่าชนิดไหนขายดีกว่ากัน เรี ยกว่า ฐำนนิยม
ข. กำรหำฐำนนิยมของข้ อมูลทีแจกแจงควำมถี่แล้ ว
่
 d 
= L+  1  i
 d1  d 2 
L เป็ นขอบล่ำง ของชั้นทีมีฐำนนิยม
่
d1 = ผลต่ ำงของควำมถี่ระหว่ ำงชั้นทีมีฐำนนิยมกับชั้นทีมีค่ำต่ำกว่ำ
่
d2 = ผลต่ ำงของควำมถี่ระหว่ ำงชั้ นทีมีฐำนนิยมกับชั้ นทีมีค่ำสู งกว่ ำ
่
ฐานนิยม ( Mo)
ตัวอย่ำงที่ 2 ข้อมูลต่อไปนี้ เป็ นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิ ตศาสตร์ รอบรู ้ 5 ของนักเรี ยน 20 คน
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ดังนี้
คะแนน
1–5
6 – 10
11- 15
16 – 20
ความถี่(f)
4
5
8
3
จงหา 1. ฐานนิยม(โดยประมาณ)
2. ฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรี ยนทั้ง 20 คน โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
วิธีทำ
ตารางที่ 3.2 ก ฐานนิยม
คะแนน
ควำมถี่ (f)
1–5
4
6 – 10
5
11- 15
8
16 - 20
3
รวม
20
วิธีที่1 ฐานนิยม(โดยประมาณ)
่
อันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยูคือ อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุ ด คือ 11 – 15

24. 24
ฐานนิยมคือ จุดกึ่งกลางชั้นอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุ ด =
ดังนั้นฐานนิยมคะแนนโดยประมาณ คือ 13 คะแนน
11 15
= 13
2
วิธีที่ 2 ฐานนิยมโดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
1.1 สิ่ งที่โจทย์กาหนด คะแนนและความถี่
1.2 สิ่ งที่โจทย์ถาม จงหาฐานนิยม
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 สร้างตารางแจกแจงความถี่
2.2 กาหนดตัวแปร
L เป็ นขอบล่าง ของชั้นที่มีฐานนิยม
d1 = ผลต่างของความถี่ระหว่างชั้นทีมีฐานนิยมกับชั้นที่มีค่าต่ากว่า
d2 = ผลต่างของความถี่ระหว่างชั้นทีมีฐานนิยมกับชั้นที่มีค่าสู งกว่า
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
3. 1 สร้างตารางแจกแจงความถี่ หาขอบล่าง (L)
3.2 แสดงวิธีการคานวณคาตอบ ใช้วธีใช้สูตร
ิ
 d

ฐานนิยม ( Mo) = L +  1  i
 d1  d 2 
่
เนื่องจากความกว้างของอันตรภาคชั้นเท่ากันทุกชั้น ดังนั้นอันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยูคือ
อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุ ด คือ 11 – 15 ขอบล่าง (L) = 10.5
ฐานนิยม ( Mo)
 d 
= L+  1  i
 d1  d 2 
d1 = 8 – 5 , d2 = 8 - 3
แทนค่า
ฐานนิยม ( Mo) = 10.5 + 

3 

3  5 
5
= 10.5 + 1.875 = 12.38
ดังนั้นฐานนิยมคะแนนของนักเรี ยน เท่ากับ 12.38 คะแนน
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
4.1 เขียนคาตอบที่โจทย์ถาม ฐานนิยม = 12.38
4.2 แสดงวิธีการตรวจผลของคาตอบ
อันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ คือ อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุ ด คือ 11 – 15
่ ั
ฐานนิยม = 12.38 ซึ่ งอยูอนตรภาคชั้น 11 – 15
1.1.4 ชื่นชมควำมสำเร็จ ( ค่ ำเฉลียฮำร์ มอนิก )
่
ค่ ำเฉลียฮำร์ มอนิก ( harmonic mean )
่
ก. ค่ ำเฉลียฮำร์ มอนิกของข้ อมูลไม่ แจกแจงควำมถี่
่
เป็ นค่ากลางที่เหมาะสมกับข้อมูลที่เป็ นอัตราส่ วน เช่น ระยะทางต่อเวลา
จานวนครั้งต่อเวลา
ถ้า X1 , X2 , X3 , . . . , XN เป็ นข้อมูล N จานวนซึ่งเป็ นจานวนบวกทุกจานวน

25. 25
H.M. =
1
1 1
1
1
1
{


 ... 
}
N X1 X 2
X3
XN
=
N
N
1
X
i 1
i
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิกของข้อมูล 2 , 4 , 8
วิธีทำ
ค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก H.M. =
N
N
1
X
i 1
i
3
1 1 1
 
2 4 8
3
= 24
7
7
8
=
=
= 3.43
ตัวอย่ำงที่ 2 ชายคนหนึ่งขับรถจากเมือง ก ไปเมือง ข โดยวันที่หนึ่งขับรถด้วยความเร็ ว
30 กิโลเมตร/ชัวโมง วันที่สองขับด้วยความเร็ ว 40 กิโลเมตร/ชัวโมง วันที่สามขับด้วยความเร็ ว
่
่
60 กิโลเมตร/ชัวโมงโดยเฉลี่ยแล้วเขาขับรถด้วยความเร็ วเท่าไร โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
่
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
1.1 สิ่ งที่โจทย์กาหนดอะไรให้บาง (ความเร็ วและจานวนวันที่ขบรถ)
้
ั
1.2 สิ่ งที่โจทย์ถามหาอะไร โดยเฉลี่ยแล้วเขาขับรถด้วยความเร็ วเท่าไร (ค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก)
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก
N
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก H.M. =
N
1
X
i 1
i
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
หาคาตอบจากสู ตรในข้อ 2.2
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
N
N = H.M.  1
x
i 1
i
่
วิธีทำ ข้อมูลชุดนี้กาหนดให้อยูในรู ประยะทางต่อเวลาหรื อความเร็ ว คือ 30 , 40 , 60
เราต้องพิจารณาผลงานต่อหนึ่งหน่วยเวลา ค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมคือ ค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก
ค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก H.M.
=
N
N
i 1
=
1
X
i
3
1
1
1


30 40 60

26. 26
3
9
120
=
=
3
120
9
= 40
ดังนั้นโดยเฉลี่ยแล้วเขาขับรถด้วยความเร็ ว 40 กิโลเมตร/ชัวโมง
่
ตัวอย่ำงที่ 3 ในโรงงานแห่งหนึ่งนาย ก ทางานหนึ่งหน่วยแล้วเสร็ จในเวลา 2 นาที นาย ข นาย ค นาย ง และนาย จ
ทางานหน่วยเดียวกันนี้เสร็ จใน 3 , 4 , 6 และ 12 นาทีตามลาดับ จงหาค่าเฉลี่ยของอัตราการทางานของคนทั้ง 5 คน
และจงหาว่า ใน 5 ชัวโมง ทั้ง 5 คน จะทางานได้รวมกันทั้งหมดกี่หน่วย
่
ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
1.1 สิ่ งที่โจทย์กาหนดอะไรให้บาง (เวลาที่ใช้ทางานหนึ่งหน่วยและจานวนคนที่ทางาน)
้
1.2 สิ่ งที่โจทย์ถามหาอะไร จงหา
1. ค่าเฉลี่ยของอัตราการทางาน (ค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก)
2. ทางานได้รวมกันทั้งหมดกี่หน่วย
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 โจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก
N
2.2 ใช้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก H.M. =
N
1
X
i 1
i
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
แสดงวิธีการหาคาตอบจากสู ตรในข้อ 2.2
่
วิธีทำ
ข้อมูลชุดนี้กาหนดให้อยูในรู ปเวลาที่ใช้ต่องานหนึ่งหน่วยเวลา คือ 2 , 3 , 4 , 6 , 12
เราต้องพิจารณาผลงานต่อหนึ่งหน่วยเวลา ค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมคือ ค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก
ค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก H.M.
=
N
N
1
X
i 1
5
1 1 1 1
1
   
2 3 4 6 12
=
i
5
5
12
12
= 6  4  3  2  1 = 16
5
4
3
=
ดังนั้น อัตราการทางานเฉลี่ยของคนทั้ง 5 คน คือ 3
3
4
ใน 5 ชัวโมง หรื อ 300 นาที คนทั้ง 5 คน จะทางานได้
่
=
N
N = H.M.  1
x
i 1
5 =
15 4

4 3
4.4 ค่ ำเฉลียฮำร์ มอนิกของข้ อมูลแจกแจงควำมถี่
่
k
ในกรณี ที่ Xi มีความถี่ fi และ  f i = N
i 1
15
4
i
=
นาทีต่อหนึ่งหน่วย
5  300
15
4
5 300  4
= 400 หน่วย
15
ทั้ง 5 คน ทางานได้รวมกันทั้งหมด 400 หน่วย
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
3
4
= 5 =
3
3
4

27. 27
H.M. =
1
=
1
1
1
1
1
{ f1
f2
f3
 ...  f k
}
N
X1
X2
X3
Xk
N
f
 Xi
i 1
i
k
ตัวอย่ำงที่ 4 ข้อมูลต่อไปนี้ เป็ นคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิ ตศาสตร์ รอบรู ้ 5
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรี ยน 20 คน ดังนี้
คะแนน
1–5
6 – 10
11- 15
4
5
8
ความถี่ (f)
จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
วิธีทา ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจกับปั ญหา
1.1 สิ่ งที่โจทย์กาหนด คะแนนและความถี่
1.2 สิ่ งที่โจทย์ถามหาอะไร จงหาค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก
ขั้นที่ 2 วางแผนในการแก้ปัญหา
2.1 สร้างตารางแจกแจงความถี่
2.2 กาหนดตัวแปร x แทนจุดกึ่งกลางชั้น และ f แทนความถี่
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน
3. 1 สร้างตารางแจกแจงความถี่ หาจุดกึ่งกลางชั้น(x) และหา
16 – 20
3
f
x
3.2 แสดงวิธีการคานวณคาตอบ ใช้สูตร
คะแนน
ควำมถี่ (f)
ตารางที่ 4.5ก
จุดกึงกลำงชั้ น (x)
่
1–5
4
3
6 – 10
5
8
11- 15
8
13
16 - 20
3
18
รวม
20
-
ค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิก ( H.M.) =
N
f
 Xi
i 1
i
=
k
20
2 . 75
f
x
4
3
5
8
8
13
3
18
= 1.33
= 0.63
= 0.62
= 0.17
4 f
 = 2.75
i 1 x
= 7.27
ดังนั้นค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิกของคะแนนสอบเท่ากับ 7.27 คะแนน
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้
4.1 เขียนคาตอบที่โจทย์ถาม ค่าเฉลี่ยฮาร์ มอนิกของคะแนนสอบเท่ากับ 7.27 คะแนน
4.2 แสดงวิธีการตรวจผลของคาตอบ
N
= H.M.  f
x
20
= 7.27 
20
i 1
11
4
= 19.99  20
ใบควำมรู้ 1ก ทบทวนกำรหำค่ ำลอกำริทม
ึ
1. สมบัติของลอกฐำนสิ บ ถ้ ำ M , N  R+ และ k  R

28. 28
1.
log (M  N) =
M
2.
log
=
N
3.
log Mk
=
4.
log 10
=
5.
log 1
=
ตัวอย่ำงที่ 1 ให้ log 2 = 0.3010
1. log 6 = log (2 3 )
= log 2 + log 3
= 0.3010 + 0.4771
= 0.7781
10
2. log 5 = log  
 
2
log M + log N
log M - log N
k log M
1
0
log 3 = 0.4771 จงใช้ ค่ำของ log 2 และ log 3 ประมำณค่ ำของ log ต่ อไปนี้
4. log 9 = log 32
= 2log 3
= 2(0.4771)
= 0.9542
5. log 10 = 1
= log 10 – log 2
6. log 1 = log 100
= 1 - 0.3010
= 0log 10
= 0.6990
=0
3
3. log 8 = log 2
= 3log 2
= 3(0.3010) = 0.9030
2. ฝึ กเปิ ดตำรำงลอก
log 3.62 = 0.5587
log 7.43 = 0.8710
3. กำรหำค่ ำของ log ( N0  10n ) = log N0 + n log 10 = log N0 + n
N0 เรียกว่ำ แมนติสซำ (mantissa) และ n เรียกว่ำ คำแรคเตอริสติค (characteristics)
ตัวอย่ำงที่ 3.1 จงหาค่าของ log 135
ตัวอย่ำงที่ 3.2 จงหาค่าของ log 0.0415
วิธีทำ log 135 = log ( 1.35  102 )
วิธีทำ log 0.0415= log (4.15  10-2 )
= log 1.35 + log 102
= log 4.15 + log 10-2
= log 1.35 + 2 log 10
= log 4.15 - 2log 10
= log 1.35 + 2
= log 4.15 - 2
= 2 + log 1.35
= - 2 + log 4.15
= 2 + 0.1303
= - 2 + 0.6180
= 2.1303
= - 1.3820
กำรประมำณจำนวนจริง
ตัวอย่ำงที่ 3.3 จงหาค่าของ log 4.136
วิธีที่ 1 เทียบบัญญัติไตรยางศ์
เนื่องจาก log 4.136 ไม่มีในตารางลอกต้องเปิ ดตารางลอกหาค่าใกล้เคียง 2 ค่า คือ
log 4.13
=
0.6160
log 4.14
=
0.6170
ประมำณค่ ำ ด้ วยวิธีทียบบัญญัติไตรยำงศ์ ดังนี้
จานวนจริ งเพิ่ม 4.13 – 4.14 = 0.01 ค่าจานวนจริ งของลอกเพิ่ม 0.6170 - 0.6160 = 0.001

29. 29
จานวนจริ ง 4.136 - 4.13 = 0.0006 ค่าจานวนจริ งของลอกเพิ่ม
่
จะได้วา log 4.136  0.6160 + 0.0006  0.6166
วิธีที่ 2 ใช้อตราส่ วน
ั
จานวนจริ ง
ค่าจานวนจริ งของลอก
log 4.13
=
0.6160
log 4.136
=
x
log 4.14
=
0.6170
x  0.6160
=
0.6170  0.6160
x – 0.6160
=
0.001
 0.0006 = 0.0006
0.01
4.136  4.13
4.14  4.13
0.006
 0.001
0.01
x – 0.6160 = 0.0006
x
= 0.6160 + 0.0006 = 0.6166
ดังนั้น log 4.136 = 0.6166
4. กำรหำ antilogarithm ของ log N กำรหำค่ ำของ N
ตัวอย่ำงที่ 4.1 ให้ log N = 3.7340 จงหาค่า N
ตัวอย่ำงที่ 4.2 ให้ log N = - 2.1720 จงหาค่า N
วิธีทำ log N = 3.7340
วิธีทำ log N = - 2.1720
= 3 + 0.7340
= - 2 - 0.1720 + 1 - 1
= 3 + log 5.42
= 0.8280 - 3
= log 5.42 + log 103
= log 6.73 + log 10- 3
log N = log (5.42  103)
= log (6.73  10-3)
antilog N = 5.42  103 = 5420
antilog N = 6.73  10-3 = 0.00673
ตัวอย่ำงที่ 4.3 log Y = 2.1313 จงหาค่า Y
วิธีที่ 1 เทียบบัญญัติไตรยำงศ์
วิธีทำ log Y = 2.1313 = 2 + 0.1313
ให้ log M = 0.1313 ไม่ตรงในตารางลอกต้องเปิ ดตารางลอกหาค่าใกล้เคียง 2 ค่า คือ
log 1.35 = 0.1303
log 1.36 = 0.1335
ประมำณค่ ำ ด้ วยวิธีทียบบัญญัติไตรยำงศ์ ดังนี้
ค่าจานวนจริ งของลอกเพิ่ม 0.1335- 0.1303 = 0.0033 จานวนจริ งเพิ่ม 1.36 – 1.35 = 0.01
0.01
 0.0010
ค่าจานวนจริ งของลอกเพิ่ม 0.1313 - 0.1303 = 0.0010 จานวนจริ งเพิ่ม
0.0033
= 0.00303  0.003
่
จะได้วา log M  1.35 + 0.003  1.353

30. 30
= 2 + log 1.353
= log 1.353 + log 102
= log (1.353  102)
antilog Y = 1.353  102 = 135.3
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผลที่ได้โดยการประมาณค่าลอก ใช้อตราส่ วน
ั
ตัวอย่ำง 4.3 log Y = 2.1313 จงหาค่า Y
วิธีที่ 2 ใช้อตราส่ วน กำรประมำณจำนวนจริงของลอก (log M )
ั
จานวนจริ ง
ค่าจานวนจริ งของลอก
log 1.35
=
0.1303
log M
=
0.1313
log 1.36
=
0.1335
ใช้ อตรำส่ วน
ั
M  1.35
1.36  1.35
M  1.35
0.01
=
M  1.35
=
M  1.35
M
=
=

0.1313  0.1303
0.1335  0.1303
0.0010
0.0033
0.0010
 .01
0.0033
0.00303

1.35  0.003
0.003

1.353
ใบงำน 1ก
ประมำณค่ ำของ log
1. ให้ log 2 = 0.3010 log 3 = 0.4771 จงใช้ ค่ำของ log 2 และ log 3
จงประมำณค่ ำของ log ต่ อไปนี้
1. log 6 =…………………………….
2. log 5 =…………………………….
3. log 8 =…………………………….
4. log 9 =…………………………….
5. log 100 =…………………………….
6. log 1 =…………………………….
2. จงเปิ ดตำรำงหำค่ ำของ log ต่ อไปนี้
1. log 2.48 = …………………
2. log 3.4 =……………………
3. log 4.62 =……………………
4. log 5.37 =……………………
5. log 6.59 =……………………
6. log 7.15 =……………………
7. log 8.23 =……………………
8. log 9.09 =……………………
9. log 5.426 =……………………
10. log 8.125 =……………………
3. จงหำค่ ำของ log ต่ อไปนี้
1. log 421
=………………………….
2. log 3570
=………………………….
3. log 0.0432 =………………………….

31. 31
4. log 0.00786 =………………………….
4. จงหาค่า N (antilogarithm ของ log N )
1. log N = 1.9212
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………..
…………………………………………………
………………………………………………..
3. log N = - 1.2125
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………..
…………………………………………………
………………………………………………..
2. log N = 3.4564
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………..
…………………………………………………
………………………………………………..
4. log N = - 2.1630
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………..
…………………………………………………
………………………………………………..
1.1.5 เสร็จสิ้นด้ วยค่ ำรำกหรือค่ ำลอกฯ ( ค่ ำเฉลียเรขำคณิต geometric mean )
่
ก. ค่ ำเฉลียเรขำคณิตของข้ อมูลทีแจกแจงไม่ ควำมถี่
่
่
ถ้า X1 , X2 , X3 , . . . , XN เป็ นข้อมูล N จานวนซึ่งเป็ นจำนวนบวกทุกจานวน
และไม่มีจานวนใดจานวนหนึ่งมีค่าเท่ากับ 0
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิ ต G.M. = N X1 X 2 X 3 ... X N
……สู ตรที่ 1
1 N
log G.M. =  log X i
…….สู ตรที่ 2
N i1
G.M. =
n
x =
1
xn
1
log x
n
log G.M. =
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิ ตของข้อมูล 2 , 8 , 32 , 128
วิธีทำ สู ตรที่ 1 จาก G.M. = N X1 X 2 X 3 ... X N
= 4 2 832 128
= 4 2 16 = 24 = 16
1 N
วิธีทำ สู ตรที่ 2 log G.M.
=  log X i
N i1
=
=
log G.M.
=
1
(log 2  log 8  log 32  log 128)
4
1
(0.3010  0.9031  1.5051  2.1072)
4
1
(4.8164) = 1.2041 = 0.2041 + 1
4