1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
จานวนจริง
(เนื้อหาตอนที่ 9)
กราฟค่าสัมบูรณ์
โดย
ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง จานวนจริง
2. เนื้อหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง
- ระบบจานวนจริง
- สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ
- การแยกตัวประกอบ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม
- สมการพหุนามดีกรีหนึ่ง
- สมการพหุนามดีกรีสอง
- สมการพหุนามดีกรีสูง
- การประยุกต์สมการพหุนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ
- เส้นจานวนและช่วง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามดีกรีหนึ่ง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามดีกรีสูง
7. เนื้อหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ
- อสมการในรูปเศษส่วน
- การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง
- การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร
- การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์
- ค่าสัมบูรณ์
- สมการค่าสัมบูรณ์
9. เนื้อหาตอนที่ 8 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
- อสมการค่าสัมบูรณ์
- โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
10. เนื้อหาตอนที่ 9 กราฟค่าสัมบูรณ์
- กราฟค่าสัมบูรณ์
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
12. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
13. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่เกินสี่)
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
จานวนจริง นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง จานวนจริง (กราฟค่าสัมบูรณ์)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 9 (9/9)
หัวข้อย่อย กราฟค่าสัมบูรณ์
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจและสามารถเขียนกราฟค่าสัมบูรณ์ได้
2. เข้าใจและสามารถเขียนกราฟอสมการค่าสัมบูรณ์พื้นฐานได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายวิธีการเขียนและเขียนกราฟค่าสัมบูรณ์ได้
2. อธิบายวิธีการเขียนและเขียนกราฟอสมการค่าสัมบูรณ์ได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในสื่อตอนนี้ เราจะศึกษาการเขียนกราฟค่าสัมบูรณ์ในแบบต่าง ๆ
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ
3 x  2 เมื่อ x2
f  x  
2 เมื่อ x2
วิธีทา
y
y  3x  2
8
y2
2
x
2
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ
3x  2
เมื่อ x  2
 เมื่อ 3  x  2
f  x   2
x 1 เมื่อ x  3

5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
วิธีทา
y
y  3x  2
8
2
x
3 2
y  x 1 2
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟต่อไปนี้
1. y  x  3
2. y  x  2
3. y  3 x
4. y  3 x  1
วิธีทา
1. y  x 3
y
y x
y  x 3
x
3
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. y  x 2
y
y  x 2
y x
2
x
3. y 3 x
y
y 3 x
y x
x
4. y  3 x 1
y y  3 x 1
y x
1
x
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟต่อไปนี้
1. x  y  1
2. x  2 y  3
วิธีทา
1. x  y 1
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
y
x
1
x  y 1
x y
2. x  2 y 3
y
x
3
x  2 y 3
x2 y
x y
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟ
1. 2 x  y  2
2. 2 x  y  2
วิธีทา
1. 2 x  y 2
2 x เมื่อ x0 y เมื่อ y0
เนื่องจาก 2 x  และ y
 2 x เมื่อ x0  y เมื่อ y0
y
2
2 x  y  2 2x  y  2
x
1 1
2 x  y  2 2 2x  y  2
2. 2 x  y 2
2 x เมื่อ x0 y เมื่อ y0
เนื่องจาก 2 x  และ y
 2 x เมื่อ x0  y เมื่อ y0
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
y
2 x  y  2 2x  y  2
x
1 1
2 x  y  2 2x  y  2
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ
1. 2 x 1  3 y  1  6
2. 2 x 1  3 y  1  6
วิธีทา
1. 2 x 1  3 y  1  6
 2  x  1 เมื่อ x 1  3  y  1 เมื่อ y  1
เนื่องจาก 2 x  1   และ 3 y  1  
2  x  1 เมื่อ
 x 1 3  y  1 เมื่อ
 y  1
y
1 2x  3y  5
2 x  3 y  1
x
2 1 4
1
2 x  3 y  7 2 x  3 y  11
3
2. 2 x 1  3 y  1  6
2  x  1
 เมื่อ x 1 3  y  1
 เมื่อ y  1
เนื่องจาก 2 x 1   และ 3 y 1  
2  x  1
 เมื่อ x 1 3  y  1
 เมื่อ y  1
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
y
2 x  3 y  7 2 x  3 y  11
x
2 1 4
1
2 x  3 y  1 2x  3y  5
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
1-10 จงเขียนกราฟต่อไปนี้
1. x  2 y  3
2. y  3  x
3. x  2 y  3
4. x  2 y  x
5. 3x  2 y  1
6. x 1  3 y  6
7. 2 x  3 y  12
8. x  1  2 y 1  4
9. x  y  x  y
10. 2 x  3 y 1  6
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
การเขียนกราฟอสมการค่าสัมบูรณ์
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การเขียนกราฟอสมการค่าสัมบูรณ์
เราจะเริ่มต้นโดยการเขียนกราฟอสมการของกราฟเส้นตรงก่อน ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของอาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้
2x  3y  6
x  2y  4
และ x  0, y  0
วิธีทา เขียนกราฟเส้นตรงของสมการ 2 x  3 y  6 และ x  2y  4 ได้ดังนี้
y
x  2y  4
x
0
2x  3y  6
โดยการแทนค่า x  0 และ y  0 จะพบว่า 2 x  3 y  6
ดังนั้น อาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการ 2 x  3 y  6 คืออาณาบริเวณทั้งหมด
ที่อยู่ด้านล่างของเส้นตรง 2 x  3 y  6
y
x
0
2x  3y  6
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
โดยการแทนค่า x  0 และ y  0 จะพบว่า x  2 y  4
ดังนั้น อาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการ x  2 y  4 คืออาณาบริเวณทั้งหมด
ที่อยู่ด้านบนของเส้นตรง x  2 y  4
y
x  2y  4
x
0
สรุปได้ว่า อาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสอง และ x  0, y  0 คือ อาณาบริเวณ
ภายในรูปสามเหลี่ยม OAB ที่แรเงาไว้รวมทั้งเส้นรอบรูปด้วย
y
A
x  2y  4
B
x
0
2x  3y  6
#
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของอาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้
x  2y  4
2 x  4 y  4
และ x  0, y  0
วิธีทา เขียนกราฟเส้นตรงของสมการ x  2y  4 และ 2 x  4 y  4 ได้ดังนี้
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
y
2 x  4 y  4
x
0 x  2y  4
โดยการลองแทนค่า  x, y  ใด ๆ เช่น  0, 0  จะพบว่าอาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการ
ที่กาหนดให้คือ บริเวณที่แรเงาไว้ดังรูป
y
2 x  4 y  4
x
0 x  2y  4
ซึ่งจะเป็นอาณาบริเวณที่เปิดยาวออกไปไม่มีที่สิ้นสุด แต่จะอยู่ระหว่างเส้นตรง x  2y  4 กับ
2 x  4 y  4 รวมเส้นตรงทั้งสองด้วยเฉพาะที่อยู่ในจตุภาคที่ 1 #
ต่อไปจะเป็นการเขียนกราฟของอสมการค่าสัมบูรณ์
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของอสมการ x  y 3
วิธีทา ขั้นตอนที่ 1 เขียนกราฟ x  y 3
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
y
3
x  y 3
x
3 3
3
แทนค่า x0 และ y  0 จะพบว่า x  y  3 ดังนั้นอาณาบริเวณที่สอดคล้องกับสมการ
x y  3 คือ อาณาบริเวณภายในรูปสี่เหลี่ยม
y
3
x  y 3
x
3 3
3
จากรูปที่ 1 และรูปที่ 2 ทาให้อาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการ x  y  3 คือบริเวณดัง
รูปต่อไปนี้
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
y
3
x  y 3
x
3 3
3
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของอสมการ x  y 3
y
x
3 3
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของอสมการ 2 x  y 2
y
2
x
1 1
2
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของอสมการ y x
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
y
x
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของอสมการ x y 2
y
x
2
หมายเหตุ ในการเขียนกราฟของอสมการนั้น มีรายละเอียดอยู่ในสื่อเรื่อง กาหนดการเชิงเส้น (ตอนที่ 1)
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. กราฟดังรูปมีลักษณะตรงกับสมการในข้อใด
y
 1, 2 3, 2
x
3 1 5
1. x  1  y  2  2 2. x  1  y  2  2
3. x  1  y  2  2 4. x  1  y  2  2
2. อาณาบริเวณ  x, y  | x  3  y  2  2 มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย
1. 4 2. 6 3. 8 4. 16
3. ค่าสูงสุดของ y ในข้อใดมีค่ามากที่สุด
1. y   x  3 2. y   x  3
3. y   x  3  2 4. y  3 x  1  2
4. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. กราฟของสมการ x  y  x  y เป็นกราฟเส้นตรง 2 เส้นที่ตั้งฉากกัน
ข. มีจุด  a, b  ซึ่ง a  0 และ b  0 อยู่บนกราฟ x  y  x  y
1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด
3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
5. อาณาบริเวณ  x, y  |1  x  y  2 มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย
1. 2 2. 4 3. 6 4. 8
6. ให้ A   x, y  | x  y  1 และ B   x, y  | x  y  1 จงหาจานวนสมาชิกของ A B
1. 0 2. 1 3. 2 4. 4
7. ข้อใดคือลักษณะกราฟของสมการ
x
 เมื่อ 1  x  1
y
x  2
 เมื่อ x  1 หรือ x 1
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.
y
1
x
1 1
1
3
2.
y
2
1
x
1 1
3.
y
2
1
x
1 1
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. y
2
1
x
1 1
8. ข้อใดคือสมการของกราฟต่อไปนี้
y
1
x
2 2
1
1. x  2 y  2 2. 2 x  y  4
3. x  2 y  2 4. 2 x  2 y  4
9. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. อาณาบริเวณ  x, y  | x  2 y  1 มีพื้นที่เท่ากับอาณาบริเวณ  x, y  | 2 x  y  1
ข. จุด  a, b  ที่อยู่ในกราฟ  x, y  | x  y  2 ต้องมีสมบัติว่า a  0 และ b  0 เสมอ
1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด
3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
10. โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r   x, y  | x  1  y  1 คือข้อใด
1. Dr  และ Rr   , 1  1,   2. Dr  และ Rr   , 2  0,  
3. Dr   , 1  1,   และ Rr  4. Dr   , 2  0,  และ Rr 
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 3
เฉลยแบบฝึกหัด
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม
่
1. x  2 y 3
y
3
2
x
3
3

2
2. y  3 x
y
3
x
3 3
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. x  2y  3
y
3
2
x
3 3
3

2
4. x  2y  x
y
x
1
y0
1
y  x
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. 3x  2 y  1
y
1
2
x
1 1

3 3
1

2
6. x 1  3 y  6
y
2
x
5 1 7
2
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7. 2 x  3 y  12
y
x
6 6
8. x  1  2 y 1  4
y
1
x
7 5 1 3 5 7
9. x y  x y
y
x
y0
x0
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
10. 2 x  3 y 1  6
y
1
x
9 3 3 9

2 2
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 2 2. 3 3. 1 4. 2 5. 3
6. 3 7. 1 8. 1 9. 2 10. 4
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
39