Dokumen ini membahas teori bilangan prima dan beberapa teorema terkaitnya, seperti teorema ketunggalan bilangan prima, teorema perkalian bilangan prima, dan teorema fundamental aritmetika. Dokumen ini juga menjelaskan metode-metode untuk menemukan bilangan prima seperti saringan Eratosthenes dan rumus Fermat.

1. NUMBER THEORY

2. Oleh : Takwa Tri Subekti

3. Indikator :
 Memahami Definisi Bilangan Prima
 Memahami beberapa teorema dalam bilangan prima
 Memahami teorema fundamental aritmetika
 Mengaplikasikan teorema fundamental artimetika
terhadap soal olimpiade

4. BILANGAN PRIMA
Definisi :
 Suatu bilangan bulat p > 1 disebut bilangan prima
jika p tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan p
itu sendiri.
 Selanjutnya bilangan bulat q > 1 disebut bilangan
komposit (tersusun) jika q bukan bilangan prima.
 Bilangan asli dengan elemen yaitu 1 disebut unit
 Akibat : “himpunan bilangan asli terbagi menjadi 3
bagian himpunan yang saling lepas”
Himpunan bilangan unit = { 1 }
Himpunan bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, ... }
Himpunan bilangan komposit = { 4, 6, 8, 9,...}

5. Apakah (-2), (-7), (-13) suatu
bilangan prima ?
bilangan komposit ? atau
bukan keduanya ?
“Melihat pemandangan terkadang memunculkan
ide untuk menganalisa”

6. KETUNGGALAN BILANGAN PRIMA
Teorema 1 :
Jika p bilangan prima dan p | ab, maka p | a atau p | b.
Bukti :
Karena p bilangan prima maka p hanya mempunyai
faktor 1 dan p, sehingga (a,p) = 1 atau (a,p) = p untuk
bilangan bulat a sebarang.
Jika (a,p) = 1 dan p | ab, maka p | b
Jika (a,p) = p, maka p | a
Jadi p | a atau p | b
 Akibat (perluasan) teorema 1 :
Jika p bilangan prima dan p | a1a2 .. an, maka p | a1 atau
p | a2 atau ..... p | an

7. PERGANDAAN BILANGAN PRIMA
Teorema 2 :
Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih
besar dari 1 atas faktor – faktor prima adalah
tunggal, kecuali urutan dari faktor – faktornya.
Bukti :
kita sudah punya teorema 1,, selanjutnya ;
Ambil bilangan bulat positif n > 1
*Jika n bilangan prima maka n adalah bilangan
prima itu sendiri..
*Jika n suatu bilangan komposit dan diandaikan
bahwa pemfktoran n atas faktor – faktor prima
adalah tidak tunggal, misalnya ;
n = p1 p2 p3 … pt dan n = q1 q2 q3 … pr

8. Lanjutan pembuktian :
dengan pi qj adalah bilangan prima untuk i = 1, 2, 3, 4, … t dan
j = 1, 2, 3, 4, … r
serta p1 ≥ p2 ≥ p3 ≥ … pt dan q1 ≥ q2 ≥ q3 ≥ … pr dengan t ≥ r
pandang ke n = p1 p2 p3 … pt
dengan sifat sifat yang dipenuhi diatas maka :
p1 | n sehingga p1 | q1 q2 ... qr
Contoh :
900 = 5 . 5 . 3 . 3 . 2 . 2 .
5 | 900 sehingga 5 | 5 . 3 . 2

9. Pencarian bilangan prima
Teorema Euclides :
“Pembentukan bilangan prima N sebagai hasil kali
semua bilangan prima ditambah 1.
Aplikasi:
N1 = 2 + 1 = 3 (prima)
N2 = 2 . 3 + 1 = 7 (prima)
N3 = 2 . 3 . 5 + 1 = 31 (prima)
N4 = 2 . 3 . 5 . 7 + 1 = 211 (prima)
N5 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 + 1 = 21311 (prima)
N6 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 + 1 = 30031(bukan prima)
karena merupakan hasil kali 59 dengan 509

10. Teorema Fermat :
Bilangan prima dapat dihasilkan dari : p n
2
2
n
1
Rumus ini efektif ketika n (bilangan bulat tak nol) =
1, 2, 3, tapi tidak efektif pada bilangan n = 5 karena
menghasilkan bilangan komposit.
p0 = 3
p1 = 5
p2 = 17
p3 = 257 p4 = 65537
p5 = 4294967297 (bukan prima)
karena bilangan tersebut merupakan hasil kali
bilangan 641 dengan 6700417

11. Saringan Eratosthenes :
Pembuatan tabel (daftar) 100 atau berapapun
bilangan asli dan mencoret bilangan – bilangan
komposit atau mencoret kelipatan bilangan prima
sehingga membentuk bilangan prima.
merupakan teknik pencacahan pencarian bilangan
prima.

12. Berapa yah jumlah
bilangan prima antara
10 sampai 20 ??

13. Teorema Fundamental Aritmetika
.
"Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau
sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian
lebih atau satu bilangan prima"..
Bentuk
n
p1
a1
p2
a2
p3
a3
.... p k
ak
Merupakan representasi n sebagai hasil kali
bilangan-bilangan prima, sering pula bentuk itu
disebut bentuk kanonik n
Contoh :
90 = 2.3.3.5 = 21.32.51

14. Akibat :
maka banyaknya pembagi positif dari n adalah
( a1
1) ( a 2
1) ( a 3
1) .... ( a k
1)
Contoh :
Banyaknya faktor pembagi positif pada 13 dan 63 adalah ?
Jawab :
13 = 131
banyaknya faktor pembagi positif ;(1 + 1) = 2 => {1 & 13}
63 = 32 . 71
banyaknya faktor pembagi positif ;
(2 + 1) (1 + 1) = (3)(2) = 6
=> {1, 3, 7, 9, 21, 63}

15. Soal – soal
1. Ubahlah bilangan komposit berikut kedalam bentuk fundamental
aritmetika :
a). 1638
b). 6776
2. Jumlah faktor prima dari bilangan set (a) dapat dinyatakan dalam (x)
dan jumlah faktor prima dari set (b) dapat dinyatakan dalam (y).
Tentukan x2 – y2.
3. Seleksi olimpiade SMA tingkat kabupaten tahun 2008 ;
Tentukan banyaknya faktor (pembagi) positif dari bilangan 2008.
4. Takwa’s challenge ;
137200 = ad . be . cf
maka ;
dimana p dan q saling prima, tentukan nilai dari q – p.

16. Pembahasan
1). a). 1638 = 21 . 32 . 71 . 131
b). 6776 = 23. 71 . 111
2). x = 2 + 3 + 7 + 13 = 25
y = 2 + 7 + 11 = 20
x2 – y2 = (x + y)(x – y) = (25 + 20)(25 – 20) = (45)(5) = 225
3). bilangan 2008 = 23. 2511
banyaknya faktor pembagi positif dari bilangan 2008 adalah
(3 + 1)(1 + 1) = (4)(2) = 8
jadi banyaknya faktor pebagi positif bilangan 2008 adalah 8.
PENCACAHAN => {1, 2, 4, 8, 251, 502, 1004, 2008}

17. 4). Takwa’s Challenge

18. DAFTAR PUSTAKA
B.K. Noormanidiri . 2004 . Matematika SMA kelas X .
Erlangga : Jakarta
A Abdul . L , Wiji . 2012 . Olimpiade Matematika SMP
. ANDI : Yogyakarta
Sukarman H. 1994 . Teori Bilangan . Universitas Terbuka :
Jakarta

19. Nama
E-mail
HP
NIM
Prodi
Sekolah
Fanspage FB
:
:
:
:
:
:
:
Takwa Tri Subekti
takwatrisubekti03@yahoo.com
085327018726
40311020
Pend. Matematika
STKIP Islam Bumiayu
Math Legend

20. SEMOGA BERMANFAAT