1. คู่มือประกอบสื่ อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน
(เนือหาตอนที่ 6)
้
อินเวอร์ สของฟังก์ ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ ส
โดย
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่ อการสอนชุดนี้ เป็ นความร่ วมมือระหว่ าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย กับ
สํ านักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืนฐาน (สพฐ.)
้
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่ อการสอน เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน
สื่ อการสอน เรื่ อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
ั ํ
1. บทนํา เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน
2. เนือหาตอนที่ 1 ความสั มพันธ์
้
- แผนภาพรวมเรื่ องความสัมพันธ์และฟังก์ชนั
- ผลคูณคาร์ทีเซียน
- ความสัมพันธ์
- การวาดกราฟของความสัมพันธ์
3. เนือหาตอนที่ 2 โดเมนและเรนจ์
้
- โดเมนและเรนจ์
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ
4. เนือหาตอนที่ 3 อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน
้
- อินเวอร์สของความสัมพันธ์
- บทนิยามของฟังก์ชน ั
5. เนือหาตอนที่ 4 ฟังก์ ชันเบืองต้ น
้ ้
- ฟั งก์ชนจากเซต A ไปเซต B
ั
- ฟังก์ชนทัวถึง
ั ่
- ฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
6. เนือหาตอนที่ 5 พีชคณิตของฟังก์ชัน
้
- พีชคณิ ตของฟังก์ชนั
- ตัวอย่างประเภทของฟังก์ชนพื้นฐาน
ั
7. เนือหาตอนที่ 6 อินเวอร์ สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ ส
้
- อินเวอร์สของฟังก์ชนละฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั ั
- กราฟของฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั
1

3. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. เนือหาตอนที่ 7
้ ฟังก์ ชันประกอบ
- ฟังก์ชนประกอบ
ั
- โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนประกอบ
ั
- สมบัติของฟังก์ชนประกอบ
ั
9. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 1)
้
10. แบบฝึ กหัด (พืนฐาน 2)
้
11. แบบฝึ กหัด (ขั้นสู ง)
12. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสั มพันธ์ และฟังก์ชัน
13. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง อินเวอร์ สของความสั มพันธ์ และฟังก์ ชันอินเวอร์ ส
14. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง โดเมนและเรนจ์
15. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่องพีชคณิตและการประกอบของฟังก์ ชัน
16. สื่ อปฏิสัมพันธ์ เรื่องการเลือนแกน
่
คณะผูจดทําหวังเป็ นอย่างยิงว่า สื่ อการสอนชุดนี้ จะเป็ นประโยชน์ต่อการเรี ยนการสอนสําหรับ
้ั ่
ครู และนักเรี ยนทุกโรงเรี ยนที่ใช้ส่ื อชุดนี้ร่วมกับการเรี ยนการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่ อง ความสัมพันธ์
และฟั ง ก์ชัน นอกจากนี้ หากท่ านสนใจสื่ อ การสอนวิ ชาคณิ ต ศาสตร์ ใ นเรื่ อ งอื่ นๆที่ ค ณะผูจ ัด ทํา ได้
้
ดําเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่ อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ท้ งหมด ั
ในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชน
ั
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 6 (6/7)
หัวข้ อย่ อย 1. อินเวอร์สของฟังก์ชนและฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั ั
2. กราฟของฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั
จุดประสงค์ การเรียนรู้
เพื่อให้ผเู ้ รี ยน
1. เข้าใจบทนิยามของอินเวอร์สของฟังก์ชน และฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั ั
่ ั ํ
2. ระบุได้วาอินเวอร์สของฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั
ั ั ํ
3. หาฟังก์ชนอินเวอร์สจากฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่กาหนดให้ได้
4. เข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนและฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั ั
5. วาดกราฟของฟังก์ชนอินเวอร์สได้
ั
ผลการเรียนรู้ทคาดหวัง
ี่
ผูเ้ รี ยนสามารถ
1. บอกบทนิยามของอินเวอร์สของฟังก์ชน และฟังก์ชนอินเวอร์สได้
ั ั
่ ั ํ
2. บอกได้วาอินเวอร์สของฟังก์ชนที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั
ั ั ํ
3. หาฟังก์ชนอินเวอร์สจากฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่กาหนดให้ได้
4. วาดกราฟของฟังก์ชนอินเวอร์สได้
ั
3

5. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนือหาในสื่ อ
้
4

6. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. อินเวอร์ สของฟังก์ ชันและฟังก์ ชันอินเวอร์ ส
5

7. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. อินเวอร์ สของฟังก์ ชันและฟังก์ ชันอินเวอร์ ส
เนื่องจากฟังก์ชนเป็ นความสัมพันธ์แบบหนึ่ง ทําให้สามารถอินเวอร์สของฟังก์ชนได้โดยสลับบทบาท
ั ั
ระหว่างสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังของฟังก์ชน ได้เช่นเดียวกับการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ ครู จึงควร
ั
ทบทวนเรื่ องการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ให้นกเรี ยนได้คุนเคยก่อน
ั ้
6

8. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในที่นี่จะกล่าวถึงฟังก์ชนจากสับเซตของจํานวนจริ งไปยังสับเซตของจํานวนจริ ง ครู ควรทบทวนเรื่ องฟังก์ชนให้
ั ั
นักเรี ยนอีกครั้ง กล่าวคือ ถ้า f เป็ นฟังก์ชนและ (x, y ) Î f จะสามารถเขียนสั้นๆ ได้ในรู ป y = f (x ) ดังนั้นการแก้
ั
สมการเพื่อหา x ที่ทาให้ f (x ) = c เมื่อ c เป็ นค่าคงตัว ก็คือการหา x ที่ทาให้ (x, c) Î f นันเอง และเมื่อทราบว่าคู่
ํ ํ ่
่
อันดับใดอยูใน f แล้ว จะได้ทนทีวาคู่อนดับที่เกิดจากการสลับที่ระหว่างสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังนั้นก็จะเป็ น
ั ่ ั
สมาชิกของอินเวอร์สของฟังก์ชน f นันเอง ดังนั้นครู ควรยํ้าอย่างใจเย็นว่าเมื่อกําหนดฟังก์ชน f มาให้ จะสามารถหา
ั ่ ั
อินเวอร์สของฟังก์ชน f นั้นในฐานะที่ f เป็ นความสัมพันธ์ได้เสมอ
ั
ั ้ ่
ในตอนนี้ได้พยายามยกตัวอย่างเพื่อให้นกเรี ยนได้ขอสรุ ปว่าการจับคูระหว่างสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังของ
โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนแบบใดจะส่ งผลให้อินเวอร์สของฟังก์ชนนั้นกลายเป็ นฟังก์ชนด้วย
ั ั ั
7

9. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
มาถึงตอนนี้นกเรี ยนควรจะได้ขอสรุ ปว่าการจับคู่ระหว่างสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังของโดเมนและเรนจ์ของ
ั ้
ฟังก์ชนแบบ many-to-one จะส่ งผลให้เมื่อสลับบทบาทระหว่างสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังแล้ว การจับคู่
ั
กลายเป็ นแบบ one-to-many ซึ่งไม่เป็ นฟังก์ชน แต่การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง จะส่ งผลให้การจับคูหลังจากการสลับ
ั ่
บทบาทดังกล่าวเป็ นฟังก์ชน
ั
8

10. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
มาถึงตอนนี้จึงสรุ ปข้อสังเกตที่ได้จากตัวอย่างเป็ นทฤษฎีบท และได้ให้ขอสังเกตเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างโดเมน
้
และเรนจ์ของฟังก์ชน กับโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั ั
เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจให้ขอสังเกตเพิ่มเติมกับนักเรี ยนว่า ถ้า r เป็ นความสัมพันธ์ แล้วจะใช้สญลักษณ์ r -1 แทนอิน
้ ั
เวอร์สของความสัมพันธ์ r อย่างไรก็ดีหาก f เป็ นฟังก์ชนสัญลักษณ์ f -1 มักจะสงวนไว้สาหรับอินเวอร์สของ
ั ํ
ฟังก์ชนที่เป็ นฟังก์ชน หรื อฟังก์ชนอินเวอร์สเท่านั้น
ั ั ั
หลังจากนักเรี ยนเข้าใจบทนิยามของฟังก์ชนอินเวอร์สแล้ว ครู ควรพยายามยกตัวอย่างฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจาก A และ
ั ั
B ที่เป็ นสับเซตของจํานวนจริ งหลายๆ ฟั งก์ชน ให้นกเรี ยนช่วยกันสังเกตและอภิปรายจนได้ขอสรุ ปเหล่านี้
ั ั ้
1. ถ้า f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว f -1 ที่เป็ นฟังก์ชนจะเป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งด้วย แต่ f -1 จะเป็ นฟังก์ชนหนึ่ง
ั ั ั ั
ต่อหนึ่งจากเซตใดไปยังเซตใด
่
พิสูจน์ บทพิสูจน์น้ ีจะพิสูจน์เฉพาะข้อความที่วา ถ้า f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว f -1 ที่เป็ นฟังก์ชนจะเป็ น
ั ั
ฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง สําหรับประเด็นหลังขอให้นกเรี ยนช่วยกันคิดหาคําตอบเอง
ั ั
่ ั ่
สมมติวา f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้วา f -1 เป็ นฟังก์ชน สําหรับ x1 Î Df และ x 2 Î Df ให้
ั -1 -1
่
f -1(x 1 ) = f -1(x 2 ) ดังนั้น (x 1, f -1(x 1 )) Î f -1 และ (x 2, f -1(x 2 )) Î f -1 ทําให้ได้วา (f -1(x 1 ), x 1 ) Î f และ
ั ่
(f -1(x 2 ), x 2 ) Î f เนื่ องจาก f เป็ นฟั งก์ชนทําให้ได้วาไม่มีการใช้สมาชิกตัวหน้าซํ้ากัน ดังนั้น x 1 = x 2 นันคือ f -1่
เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
9

11. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ถ้า f เป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว f -1 ที่เป็ นฟังก์ชนจะเป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งด้วย และ f -1 จะ
ั ั ั
เป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจากเซตใดไปยังเซตใด
ั
่
พิสูจน์ สมมติวา f เป็ นฟังก์ชนสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง จากข้อ 1. ได้พิสูจน์ไปแล้วว่า f -1 เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั ั
เนื่องจาก f สมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น f เป็ นฟังก์ชนจาก A ไปทัวถึง B นันคือ Df = A และ Rf = B ต่อมา
ั ่ ่
่
เนื่องจาก f -1 เป็ นอินเวอร์ส ของฟังก์ชน f จึงทําให้ได้วา Df = B และ Rf = A ดังนั้น f -1 เป็ นฟังก์ชน
ั -1 -1 ั
สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจาก B ไป A
3. ถ้า f เป็ นฟังก์ชนเพิ่มแล้ว f -1 เป็ นฟังก์ชนเพิม
ั ั ่
่
พิสูจน์ สมมติวา f เป็ นฟังก์ชนเพิ่ม สําหรับ x1 Î Df และ x 2 Î Df ให้ f -1(x1 ) < f -1(x 2 ) ดังนั้น
ั -1 -1
่
(x 1, f -1(x 1 )) Î f -1 และ (x 2, f -1(x 2 )) Î f -1 ทําให้ได้วา (f -1(x 1 ), x 1 ) Î f และ (f -1(x 2 ), x 2 ) Î f เนื่ องจาก f
ั ่ ่
เป็ นฟังก์ชนเพิมทําให้ได้วา x1 < x 2 นันคือ f -1 เป็ นฟังก์ชนเพิ่ม
่ ั
4. ถ้า f เป็ นฟังก์ชนลดแล้ว f -1 เป็ นฟังก์ชนลด
ั ั
พิสูจน์ ให้นกเรี ยนช่วยกันทําเป็ นแบบฝึ กหัด
ั
5. ถ้า f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว (f -1 )-1 = f
ั
พิสูจน์ สําหรับคู่อนดับ (x, y ) ใดๆ (x, y ) Î f ก็ต่อเมื่อ (y, x ) Î f -1 ก็ต่อเมื่อ (x, y ) Î (f -1 )-1
ั
10

12. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กราฟของฟังก์ ชันอินเวอร์ ส
11

13. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ั ั ํ
ในช่วงนี้ได้ยกตัวอย่างการหาฟังก์ชนอินเวอร์สจากฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งที่กาหนดให้ และวาดกราฟของฟังก์ชนและ
ั
ฟังก์ชนอินเวอร์สบนระนาบ XY เดียวกัน ซึ่งจะมีสมบัติเช่นเดียวกับกราฟของความสัมพันธ์และอินเวอร์สของ
ั
ความสัมพันธ์ กล่าวคือมีเส้นตรง y = x เป็ นแกนสมมาตร
เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจยกตัวอย่างโดยใช้ฟังก์ชนที่เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งในสื่ อตอนอื่นๆ มาให้นกเรี ยนฝึ กหา
ั ั ั
ฟังก์ชนอินเวอร์ส นอกจากนี้ยงอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิมเติม โดยตัวอย่างที่กาหนดให้ต่อไปนี้จะข้ามขั้นตอน
ั ั ่ ํ
การตรวจสอบว่าฟังก์ชนที่กาหนดมาให้เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่ ซึ่งขั้นตอนนี้ขอให้นกเรี ยนระลึกอยู่
ั ํ ั ั
เสมอว่าต้องตรวจสอบก่อน และขอให้นกเรี ยนช่วยกันทําเป็ นแบบฝึ กหัด
ั
ìx ; 0 £ x < 1
ï
ตัวอย่ าง 1 กําหนดให้ f (x ) = ï
í จงหา f -1 โดยระบุโดเมนและเรนจ์ของ f -1 แล้ววาดกราฟ
ïx + 1; x ³ 1
ï
î
ของ f และ f -1 บนระนาบ XY เดียวกัน
12

14. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ํ ั ํ
วิธีทา จากฟังก์ชนที่กาหนดให้ตองแยกการพิจารณาออกเป็ นสองกรณี
้
่
กรณี 0 £ x < 1 จะได้วา y = f (x ) = x เพื่อจะหาอินเวอร์ส ทําการสลับบทบาทระหว่าง x และ y จะได้วา ่
่
x = y เมื่อ 0 £ y < 1 ดังนั้นในกรณี น้ ี จะได้วา f -1(x ) = x เมื่อ 0 £ x < 1
่
กรณี x ³ 1 จะได้วา y = f (x ) = x + 1 เพื่อจะหาอินเวอร์ส ทําการสลับบทบาทระหว่าง x และ y จะได้วา ่
่
x = y + 1 เมื่อ y ³ 1 นันคือ y = x - 1 เมื่อ x - 1 ³ 1 ดังนั้นในกรณี น้ ี จะได้วา f -1(x ) = x - 1 เมื่อ
่
x ³2
ìx ; 0 £ x < 1
ï
ดังนั้น f (x ) = ï
-1
í โดยสามารถวาดกราฟของ f และ f -1 ่
ที่อยูคนละระนาบ และ กราฟของ
ï x - 1; x ³ 2
ï
î
-1
่
f และ f ที่อยูบนระนาบ XY เดียวกันได้ดงรู ปั
3.5
3.0
3.0
-1
f
2.5
2.5
f
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5 0.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 1 2 3 4
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
่
จากกราฟของ f -1 จะเห็นได้วา Df -1 = [0,1) È [2, ¥) และ Rf -1 = [0, ¥)
13

15. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่ าง 2 กําหนดให้ f (x ) = -(x - 1)2 ทุก x £ 1 จงหา f -1 โดยระบุโดเมนและเรนจ์ของ f -1 แล้ววาด
กราฟของ f และ f -1 บนระนาบ XY เดียวกัน
่
วิธีทา จากโจทย์จะได้วา y = -(x - 1)2 เมื่อ x £ 1 เพื่อจะหาอินเวอร์ส ทําการสลับบทบาทระหว่าง x และ y จะ
ํ
่
ได้วา x = -(y - 1)2 เมื่อ y £ 1 นันคือ (y - 1)2 = -x ทําให้มีเงื่อนไขว่า x £ 0 และ y £ 1 คํานวณต่อมาจะได้
่
่
y - 1 =  -x แต่ y £ 1 ดังนั้น y = 1 - -x ในกรณี น้ ี จะได้วา f -1(x ) = 1 - -x โดยที่
Df = (-¥, 0] และ Rf = (-¥,1] และวาดกราฟของ f และ f -1 บนระนาบ XY เดียวกันได้ดงรู ป
-1 -1 ั
y=x
2
1
-1
f
-3 -2 -1 1
f
-1
-2
-3
-4
14

16. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้ยกตัวอย่างการหา f -1 เมื่อกําหนดให้ f (x ) = ax + b โดยที่ a, b, c และ d เป็ นจํานวนจริ งที่ไม่
cx + d
เท่ากับศูนย์
สําหรับตัวอย่างนี้ถา b และ d ไม่เป็ นศูนย์พร้อมกันก็ยงคํานวณ f -1(x ) ได้เช่นกัน อย่างไรก็ดีสิ่งที่สาคัญยิงประการ
้ ั ํ ่
หนึ่งสําหรับตัวอย่างนี้ คือ การรับประกันว่า f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งได้ยกตัวอย่างไว้ในคู่มือสื่ อตอนที่ 4
ั
ฟังก์ชนเบื้องต้น ว่า f (x ) = ax + b จะเป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง เมื่อ ad - bc ¹ 0 ในที่นี่จะขอแนะนําการวาด
ั ั
cx + d
1
ั ุ่
กราฟของฟังก์ชนในลักษณะนี้ โดยพิจารณาจากกรณี ที่ไม่ยงยากก่อน กล่าวคือ จะวาดกราฟของฟังก์ชน
ั f (x ) =
x
ั ั ่
ซึ่งครู อาจให้นกเรี ยนช่วยกันลงรอยทางเดินของจุด เพื่อสังเกตค่าของฟังก์ชนเมื่อ x < 0 และ x > 0 ซึ่งจะได้วา
กราฟจะมีลกษณะดังรู ป
ั
2
1
-4 -2 2 4
-1
-2
กราฟในลักษณะนี้จะเรี ยกว่าไฮเพอร์โบลามุมฉาก สังเกตว่ากราฟจะไม่มีทางตัด หรื อสัมผัสแกน X และ แกน Y
่
โดยจะเรี ยกแกนทั้งสองนี้วาเส้นกํากับ กล่าวคือกํากับ “ความกว้าง” ของไฮเพอร์โบลาไม่ให้มากเกินเส้นกํากับทั้งสองนี้
15

17. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นอกจากนี้ยงอาจกล่าวว่าจุด (0, 0) เป็ นจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลามุมฉากรู ปนี้ เมื่อมาถึงตอนนี้ครู อาจให้นกเรี ยน
ั ั
1
ช่วยกันคิดต่อว่า หากมีการเปลี่ยนรู ปแบบของฟังก์ชน
ั f (x ) = ให้อยูในรู ป g(x ) = 1 + k เมื่อ k เป็ นจํานวน
่
x x
่
จริ งที่ไม่ใช่ศูนย์ จะได้วา กราฟของไฮเพอร์โบลามุมฉากรู ปเดิมจะเลื่อนในแนวดิ่ง k หน่วย โดยถ้า k > 0 จะเลื่อน
้ ่ ่
ขึ้น แต่ถา k < 0 จะเลื่อนลง นันคือจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาจะเปลี่ยนไปอยูที่จุด (0, k ) และเส้นกํากับจะ
กลายเป็ นเส้นตรง y = k และแกน Y ดังรู ป
k>0
k<0
1 1
ในขณะที่การเปลี่ยนรู ปแบบของฟังก์ชน
ั f (x ) = ่
ให้อยูในรู ป h(x ) = เมื่อ h เป็ นจํานวนจริ งที่ไม่ใช่ศูนย์
x x -h
่
จะได้วา กราฟของไฮเพอร์โบลามุมฉากรู ปเดิมจะเลื่อนในแนวนอน h หน่วย โดยถ้า h > 0 จะเลื่อนไปทางขวา แต่
่
ถ้า h < 0 จะเลื่อนไปทางซ้าย นันคือจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาจะเปลี่ยนไปอยูที่จุด (h, 0) และเส้นกํากับจะ
่
กลายเป็ นเส้นตรง x = h และแกน X ดังรู ป
h>0 h<0
1 1
ดังนั้นหากเปลี่ยนรู ปแบบของฟังก์ชน
ั f (x ) = ่
ให้อยูในรู ป r (x ) = + k เมื่อ h และ k เป็ นจํานวนจริ งที่
x x -h
่ ่
ไม่ใช่ศูนย์ จะได้วา จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาจะเปลี่ยนไปอยูที่จุด (h, k ) และเส้นกํากับจะกลายเป็ นเส้นตรง
x =h และเส้นตรง y = k ดังนั้นในกรณี ที่ h และ k เป็ นจํานวนจริ งบวกจะได้กราฟของฟังก์ชน r ดังรู ป
ั
16

18. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อมาถึงตอนนี้นกเรี ยนน่าจะพอเชื่อมโยงได้วา หากเปลี่ยนรู ปแบบของฟังก์ชน f (x ) = ax + b ในกรณี ที่ c และ
ั ่ ั
cx + d
1
ad - bc ่
เป็ นจํานวนจริ งที่ไม่เท่ากับศูนย์ ให้อยูในรู ปแบบที่คล้ายกับฟังก์ชน ฟังก์ชน r (x ) =
ั ั +k ก็จะ
x -h
สามารถร่ างกราฟของฟังก์ชนนี้ได้เช่นกัน การเปลี่ยนรู ปแบบดังกล่าวทําได้โดย
ั
æ ö æ b dö æ ö
çx + d + b - d ÷
ç ÷ ç
ç - ÷ ÷ ç
ç 1 ÷
÷
f (x ) =
ax + b a ç
= ç ç c a c ÷ = a ç1 + a c ÷ = bc - ad ç
÷
÷ ç ÷
÷ ç +
ac ÷ ÷
÷
cx + d cçç d ÷ cç
÷
÷ ç
ç d÷
÷
÷ c 2 ç
ç
ç x + d bc - ad ÷
÷
÷
ç x+ ÷
÷ ç x+ ÷ ç ÷
ç
è c ø ç
è c÷ø ç
è c ÷
ø
จะเห็นว่ามีพจน์ bc - ad มาคูณอยูขางหน้า ให้นกเรี ยนช่วยกันอภิปรายว่า พจน์น้ ีมีผลอย่างไรต่อลักษณะของกราฟ
่ ้ ั
c2
æ ö
โดยเริ่ มจากการพิจารณาฟังก์ชนในรู ป f (x ) = a ç 1 ÷ ในกรณี ที่ a เป็ นจํานวนจริ งบวก และในกรณี ที่ a เป็ นจํานวน
ั ç ÷
çx ÷
è ÷ ø
จริ งลบก่อน
17

19. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สําหรับปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ทายสื่ อชุดนี้ นักเรี ยนสามารถช่วยกันอภิปรายโดยพิจารณาจากตัวอย่างเพิ่มเติมที่ได้
้
ให้ไว้ในคู่มือของสื่ อตอนนี้ ซึ่งจะเห็นได้วา กราฟของ f และ f -1 ไม่จาเป็ นต้องตัดกันเสมอ ดังเช่นในตัวอย่าง
่ ํ
2 ข้างต้น
ั ํ ํ ่
นอกจากนี้นกเรี ยนน่าจะได้คาตอบด้วยว่าถ้ากราฟของ f และ f -1 ตัดกันแล้วจุดตัดไม่จาเป็ นต้องอยูบน
่
เส้นตรง y = x กล่าวคือถ้ากราฟของฟังก์ชน f ที่มีสมมาตรกับเส้นตรง y = x อยูแล้วจุดตัดของ f และ
ั
f -1 ่
จะอยูนอกเส้นตรง y = x ได้ เช่น f (x ) = -x หรื อ f (x ) = 1 เป็ นต้น สังเกตว่าตัวอย่างทั้งสองนี้มี
x
่
สมบัติวา f (x ) = f -1
(x ) ทุก x Î Df Ç Df -1ครู และนักเรี ยนควรช่วยอภิปรายกันต่อว่า หาก มี
x Î Df Ç Df -1 ่
ที่ f (x ) ¹ f -1(x ) และกราฟของ f และ f -1 ตัดกันแล้วจุดตัดจําเป็ นต้องอยูบนเส้นตรง
y =x หรื อไม่
18

20. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องอินเวอร์ สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ ส และกราฟของฟังก์ชันอินเวอร์ ส
่
สําหรับฟังก์ชน f ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ จงแสดงว่ามี f -1 จากนั้นจงหา f -1 โดยระบุโดเมนและเรนจ์ของ f -1
ั ํ
แล้ววาดกราฟของ f และ f -1 บนระนาบ XY เดียวกัน
1. f (x ) = 1 - x ทุก x £ 1
ì1 - x ; 0 £ x £ 1
ï
2. f (x ) = ï
í
ï1 + x - 1; x > 1
ï
ï
î
ìx + 1; x ³ 1
ï
3. f (x ) = ï
í
ïx - 1; x < 0
ï
î
4. f (x ) = x 2 - 1 เมื่อ x ³ 0
5. f (x ) = x 2 + 2x + 5 เมื่อ x ³ -1
19

21. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสํ าคัญประจําตอน
20

22. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสํ าคัญประจําตอน
21

23. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึ กหัด/เนือหาเพิมเติม
้ ่
22

24. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึ กหัดระคน
1. กําหนดให้ f (x ) = x และ A = {x Î  | f -1(x ) + (f (x ))2 - 2 = 0} จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก
2. กําหนดให้ f และ g เป็ นฟังก์ชนซึ่ง Df = [0, ¥) โดยที่ f -1(x ) = x 2 ทุก x ³ 0 และ
ั
æ ö
g -1(x ) = ( f (x ))2 + 1 ทุก x ³ 0 ถ้า a > 0 ทําให้ (f + g )(a ) = 19 แล้วจงหาค่าของ (f -1 + g -1 )ça ÷
ç ÷
ç ÷÷
ç4ø
è
ì1 - x ; 0 £ x £ 1
ï
ï
3. กําหนดให้ f (x ) = í จงหาจํานวนจริ ง a ³ 0 ที่ทาให้ f -1(a ) = a
ํ
ï1 + x - 1; x > 1
ï
ï
î
4. สําหรับจํานวนจริ ง a ที่ไม่เท่ากับศูนย์ จงหา f -1(x ) เมื่อกําหนดให้ f (x ) = ax + b
จงหา f -1(x ) พร้อมทั้งระบุโดเมนและเรนจ์ของ f -1 เมื่อกําหนดให้
3-x
5. f (x ) =
x -4
ìn
ï
ï ;
ï n Î E+
ï2
ï
6. f (n ) = ï
í
ï
ï1 - n
ï
ï +
ï 2 ; n ÎO
ï
î
เมื่อ E + คือเซตของจํานวนนับที่เป็ นจํานวนคู่ และ O + คือเซตของจํานวนนับที่เป็ นจํานวนคี่
ì3 - x ; x < 1
ï
7. f (x ) = ï
í
ï3 - x 2 ; x ³ 1
ï
ï
î
x
8. f (x ) =
1+ | x |
23

25. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ั ํ
จากกราฟของฟังก์ชนที่กาหนดให้จงวาดกราฟของฟังก์ชนอินเวอร์สบนระนาบ XY เดียวกัน
ั
9. 2 10. 2
1
1
- 1.5 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 -2 -1 1 2
-1 -1
-2
-2
24

26. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึ กหัด
25

27. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึ กหัดเพิมเติมเรื่องอินเวอร์ สของฟังก์ ชันและฟังก์ ชันอินเวอร์ ส
่
และกราฟของฟังก์ ชันอินเวอร์ ส
1. f -1(x ) = 1 - x 2 เมื่อ x ³ 0 ; Df -1 = [0, ¥) ; Rf -1 = (-¥,1] ;
2
f y=x
1
-3 -2 -1 1 2
-1
-1 f
-2
-3
ì1 - x ; 0 £ x £ 1
ï
2. f -1(x ) = ï 2
í ; D = [0, ¥) ; Rf -1 = [0, ¥) ;
ïx - 2x + 2; x > 1 f -1
ï
ï
î
3.0
3.0
2.5
2.5
2.0
f f -1
2.0
1.5
1.5
1.0 1.0
0.5 0.5
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3
3.0
y=x
2.5
2.0
f
-1
1.5
f
1.0
0.5
-1 0 1 2 3
26

28. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ìx - 1; x ³ 2
ï
3. f -1(x ) = ï
í ; D = (-¥, -1) È [2, ¥) ; Rf -1 = (-¥, 0) È [1, ¥) ;
ïx + 1; x < -1 f -1
ï
î
4 y=x
f
-1
2
f
-3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-4
4. f -1(x ) = x +1 เมื่อ ; Df -1 = [-1, ¥) ; Rf -1 = [0, ¥) ;
4
3
y=x
2
-1
f
1
f
-1 1 2 3 4
-1
27

29. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. f -1(x ) = -1 + x -4 เมื่อ ; Df -1 = [4, ¥) ; Rf -1 = [-1, ¥) ;
10
8
y=x
6
f
4
2
-1
f
2 4 6 8
เฉลยแบบฝึ กหัดระคน
1 x2 -b
1. A = {1} 2. 21 3. หรื อ 2 4. f -1(x ) = เมื่อ x ³ 0
2 a
4x 2 + 3
5. f -1(x ) = เมื่อ x ³ 0 ; Df -1 = [0, ¥) ; Rf -1 = [3, 4)
x2 + 1
ì2n;
ï n Î +
ï
6. f (n ) = í
-1
เมื่อ + คือเซตของจํานวนจริ งบวก และ - คือเซตของจํานวนจริ ง
ï1 - 2n; n Î  È {0}
ï
-
ï
î
ลบ; Df -1 =  ; Rf -1 = 
ì3 - x; x > 2
ï
ï
7. -1
f (x ) = í ; D =  ; Rf -1 = 
ï 3 - x ; x £ 2 f -1
ï
ï
î
ì x
ï
ï
ï ; 0 £x <1
ï
8. f (x ) = í 1 - x
-1
; Df -1 = (-1,1) ; Rf -1 = 
ï x
ï
ï ; -1 < x < 0
ïx + 1
ï
î
28

30. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. 2 10. 2
f y=x
y=x
1
1
-1
f -1 f
- 1.5 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 -2 -1 1 2
f
-1
-1
-2
-2
29

31. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่ อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จํานวน 92 ตอน
30

32. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่ อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่ อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
ั
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนํา เรื่ อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิ ดและวลีบ่งปริ มาณ
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องหอคอยฮานอย
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องตารางค่าความจริ ง
ั
จํานวนจริ ง บทนํา เรื่ อง จํานวนจริ ง
สมบัติของจํานวนจริ ง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องช่วงบนเส้นจํานวน
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องสมการและอสมการพหุนาม
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องกราฟค่าสัมบูรณ์
ั
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
ํ บทนํา เรื่ อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
ํ
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารร่ วมมากและตัวคูณร่ วมน้อย
ความสัมพันธ์และฟั งก์ชน
ั บทนํา เรื่ อง ความสัมพันธ์และฟั งก์ชน ั
ความสัมพันธ์
31

33. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟั งก์ชน ั โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟั งก์ชน ั
ฟั งก์ชนเบื้องต้น
ั
พีชคณิ ตของฟั งก์ชน ั
อินเวอร์สของฟั งก์ชนและฟั งก์ชนอินเวอร์ส
ั ั
ฟั งก์ชนประกอบ
ั
ั ํ
ฟังก์ชนชี้กาลังและฟังก์ชนลอการิ ทึม
ั ั ํ
บทนํา เรื่ อง ฟั งก์ชนชี้กาลังและฟั งก์ชนลอการิ ทึม
ั
เลขยกกําลัง
ั ํ
ฟั งก์ชนชี้กาลังและฟั งก์ชนลอการิ ทึมั
ลอการิ ทึม
อสมการเลขชี้กาลัง ํ
อสมการลอการิ ทึม
ตรี โกณมิติ บทนํา เรื่ อง ตรี โกณมิติ
อัตราส่ วนตรี โกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่ วนตรี โกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟั งก์ชนตรี โกณมิติ 1
ั
ฟั งก์ชนตรี โกณมิติ 2
ั
ฟั งก์ชนตรี โกณมิติ 3
ั
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชนตรี โกณมิติ ั
ฟั งก์ชนตรี โกณมิติผกผัน
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องกราฟของฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั ั
สื่ อปฏิสมพันธ์เรื่ องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
ั
กําหนดการเชิงเส้น บทนํา เรื่ อง กําหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจําลองทางคณิ ตศาสตร์
การหาค่าสุ ดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่ อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิ ตและเรขาคณิ ต
ํ
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
32

34. คู่มือสื่ อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ โดยความร่ วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็ น บทนํา เรื่ อง การนับและความน่าจะเป็ น
. การนับเบื้องต้น
การเรี ยงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ ม
ความน่าจะเป็ น 1
ความน่าจะเป็ น 2
สถิติและการวิเคราะห์ขอมูล
้ บทนํา เรื่ อง สถิติและการวิเคราะห์ขอมูล
้
บทนํา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิ ตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปั ญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยดหดได้
ื
33