SlideShare a Scribd company logo
1 of 3
Download to read offline
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 8 1
ΠΛΗ30 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
NP-ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.1: Θεωρία Υπολογισµού
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.2: Αναγωγές Προτασιακής Λογικής
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.3: Αναγωγές Θεωρίας Γράφων – Μέρος 1ο
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.4: Αναγωγές Θεωρίας Γράφων – Μέρος 2ο
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.5: Αναγωγές Θεωρίας Αριθµών και Θεωρίας Συνόλων
Ευκολότερη είναι η απόδειξη ότι ένα πρόβληµα ανήκει στο NP. Μελετήστε προσεχτικά τις αποδείξεις
ότι το πρόβληµα ανήκει στο NP, από τις ασκήσεις των µαθηµάτων 6.1-6.5 που είναι ένα εύκολο
µισοµόναδο. Η αναγωγή είναι πιο δύσκολη και απαιτεί την συστηµατική µελέτη πολλών
παραδειγµάτων. Ενδείκνυται η συστηµατική µελέτη των παραδειγµάτων των ενοτήτων 6.2-6.5
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων.Κάθε άσκηση πρέπει να βγαίνει ολόσωστα σε 15’-
20’ η κάθε µία. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε ολοκλήρωµένα τις
λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Επανάληψης: 2.00’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 1.40’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 8 2
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Το πρόβληµα ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΥΠΟΓΡΑΦΗΜΑ ορίζεται ως εξής:
• Στιγµιότυπο: ∆ίδεται ένα γράφηµα G=(V,E) και ένας ακέραιος Κ
• Ερώτηµα: Υπάρχει υποσύνολο Α των ακµών του G τέτοιο ώστε το υπογράφηµα που ορίζεται από τους
κόµβους του G και τις ακµές του Α να είναι συνεκτικό και κάθε κόµβος του να έχει βαθµό ακριβώς Κ;
∆είξτε ότι το πρόβληµα είναι NP-πλήρες.
Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε περιορισµό στο γνωστό NP-πλήρες πρόβληµα HAMILTON-CYCLE.
Άσκηση 2
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι (Α) Σωστές, (β) Λάθος, (Γ) Αληθές αν P=NP (∆) Αληθές αν P≠NP
∆ίδεται ότι το πρόβληµα Π είναι NP-Complete:
1. To Π δεν επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο
2. Το Π επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο.
3. Το Π επιλύεται σε εκθετικό χρόνο.
4. Το Π λύνεται σε µη ντετερµινιστικό πολυωνυµικό χρόνο.
5. Το Π ανάγεται στο 3SAT και αντίστροφα
6. Υπάρχει αναγωγή από το Π στο πρόβληµα PATH
7. Υπάρχει αναγωγή από το PATH στο πρόβληµα Π
Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω προβλήµατα είναι ΝΡ-πλήρη:
Άσκηση 3
Χαρακτηρίστε ως αληθείς ή ψευδείς τις παρακάτω δηλώσεις και δώστε σύντοµη αιτιολόγηση. Για τις απαντήσεις
σας θεωρήστε ότι P≠NP.
(1) Το πρόβληµα PATH ανήκει στην κλάση ΝΡ
(2) Υπάρχει αναγωγή του προβλήµατος PATH στο 3SAT
(3) Υπάρχει αναγωγή του προβλήµατος HAMILTON PATH στο PATH
(4) Το πρόβληµα απόφασης µιας κανονικής γλώσσας ανήκει στην κλάση Ρ
(5) Το πρόβληµα αποδοχής συµβολοσειράς w από ντετερµινιστικό αυτόµατο Α ανήκει στην κλάση Ρ
Άσκηση 4
Για κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις υπάρχουν 4 δυνατές απαντήσεις: σωστή, λάθος, σωστή αν NPP ≠ ,
σωστή αν NPP = . Να επιλέξετε µια απάντηση και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας (αρκεί µια
πρόταση για αιτιολογία).
(1) Αν το πρόβληµα Α ανάγεται στο πρόβληµα Β και το B είναι ΝP-πλήρες πρόβληµα, τότε και το Α είναι NP-
πλήρες πρόβληµα.
(2) Το πρόβληµα του Ελάχιστου Επικαλυπτικού ∆ένδρου ανάγεται στο 3-SAT
(3) Αν βρεθεί πολυωνυµικός αλγόριθµος για ένα πρόβληµα της κλάσης ΝP, κάθε πρόβληµα της κλάσης αυτής
λύνεται µε πολυωνυµικό αλγόριθµο.
(4) ∆εν υπάρχει πολυωνυµικός αλγόριθµος που να λύνει το πρόβληµα 3SAT.
(5) ∆εν υπάρχει κανένα πρόβληµα στην κλάση NP, για το οποίο απαιτείται εκθετικός χρόνος.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 8 3
Άσκηση 5
Α) Μέγιστο κάλυµµα ακµών αποτελούµενο από το πολύ Κ κόµβους (Κ-ΜΚΑ): ∆οθέντος ενός γραφήµατος
G(V,E) µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών E, και δύο µη αρνητικών ακεραίων K και L, υπάρχει υποσύνολο
κόµβων µεγέθους το πολύ Κ που καλύπτει τουλάχιστον L ακµές του G;
Β) Μέγιστο επαγόµενο υπογράφηµα αποτελούµενο από το πολύ Κ κόµβους (Κ-ΜΥ): ∆οθέντος ενός
γραφήµατος G(V,E) µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών E, και δύο µη αρνητικών ακεραίων K και L,
υπάρχει υποσύνολο κόµβων µεγέθους το πολύ Κ του οποίου το επαγόµενο υπογράφηµα έχει τουλάχιστον L
ακµές;
Γ) Ελάχιστο επαγόµενο υπογράφηµα αποτελούµενο από τουλάχιστον Κ κόµβους (Κ-ΕΥ): ∆οθέντος ενός
γραφήµατος G(V,E) µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών E, και δύο µη αρνητικών ακεραίων K και L,
υπάρχει υποσύνολο κόµβων µεγέθους τουλάχιστον Κ του οποίου το επαγόµενο υπογράφηµα έχει το πολύ L
ακµές;
Υπόδειξη: Για την απόδειξη της ΝΡ-πληρότητας, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τα γνωστά ΝΡ-πλήρη
προβλήµατα ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΛΙΚΑ και ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΟΡΥΦΩΝ.

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1Dimitris Psounis
 
ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ31 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ31 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ31 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ31 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2Dimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
 
ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 6.3
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.1ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.3ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 18
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.2ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
 
Algorithms - Exercise 1
Algorithms - Exercise 1Algorithms - Exercise 1
Algorithms - Exercise 1
 
ΠΛΗ31 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ31 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ31 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ31 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 

Viewers also liked

ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (20)

ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28
 

Similar to ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8

ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 Dimitris Psounis
 
Τεχνική Έκθεση Εργασίας
Τεχνική Έκθεση ΕργασίαςΤεχνική Έκθεση Εργασίας
Τεχνική Έκθεση ΕργασίαςStathis Papaliakos
 
Them xhm kat_c_hmer_no_150527
Them xhm kat_c_hmer_no_150527Them xhm kat_c_hmer_no_150527
Them xhm kat_c_hmer_no_150527Xristos Koutras
 
Prosomiosi 2 genikis_statistikis
Prosomiosi 2 genikis_statistikisProsomiosi 2 genikis_statistikis
Prosomiosi 2 genikis_statistikisChristos Loizos
 
Them fis gen_c_hmer_no_1106
Them fis gen_c_hmer_no_1106Them fis gen_c_hmer_no_1106
Them fis gen_c_hmer_no_1106ireportergr
 
Them fis gen_c_hmer_no_1106
Them fis gen_c_hmer_no_1106Them fis gen_c_hmer_no_1106
Them fis gen_c_hmer_no_1106aristos arestos
 
PhD defense Presentation | 31_07_2020
PhD defense Presentation | 31_07_2020PhD defense Presentation | 31_07_2020
PhD defense Presentation | 31_07_2020Christos Papalitsas
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.1 ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.1 Dimitris Psounis
 
Ασκήσεις στο 1ο Κεφάλαιο Χημείας Γ΄ Λυκείου (παλιά ύλη)
Ασκήσεις στο 1ο Κεφάλαιο Χημείας Γ΄ Λυκείου (παλιά ύλη)Ασκήσεις στο 1ο Κεφάλαιο Χημείας Γ΄ Λυκείου (παλιά ύλη)
Ασκήσεις στο 1ο Κεφάλαιο Χημείας Γ΄ Λυκείου (παλιά ύλη)Βασίλης Μαντάς
 
φυσ.κατ.β λυκειου-2013
φυσ.κατ.β λυκειου-2013φυσ.κατ.β λυκειου-2013
φυσ.κατ.β λυκειου-2013nmandoulidis
 
Mathimatika genikis 2001-2015
Mathimatika genikis 2001-2015Mathimatika genikis 2001-2015
Mathimatika genikis 2001-2015Christos Loizos
 

Similar to ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8 (20)

ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.5
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.5ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.5
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.5
 
Θέματα φυσικής γ γενικής 2014
Θέματα  φυσικής γ γενικής 2014Θέματα  φυσικής γ γενικής 2014
Θέματα φυσικής γ γενικής 2014
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.4
 
Τεχνική Έκθεση Εργασίας
Τεχνική Έκθεση ΕργασίαςΤεχνική Έκθεση Εργασίας
Τεχνική Έκθεση Εργασίας
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4
 
Them xhm kat_c_hmer_no_150527
Them xhm kat_c_hmer_no_150527Them xhm kat_c_hmer_no_150527
Them xhm kat_c_hmer_no_150527
 
Prosomiosi 2 genikis_statistikis
Prosomiosi 2 genikis_statistikisProsomiosi 2 genikis_statistikis
Prosomiosi 2 genikis_statistikis
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.4ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
 
Them fis gen_c_hmer_no_1106
Them fis gen_c_hmer_no_1106Them fis gen_c_hmer_no_1106
Them fis gen_c_hmer_no_1106
 
Them fis gen_c_hmer_no_1106
Them fis gen_c_hmer_no_1106Them fis gen_c_hmer_no_1106
Them fis gen_c_hmer_no_1106
 
PhD defense Presentation | 31_07_2020
PhD defense Presentation | 31_07_2020PhD defense Presentation | 31_07_2020
PhD defense Presentation | 31_07_2020
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 23
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 16
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 16ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 16
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 16
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 17
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.1 ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
 
Ασκήσεις στο 1ο Κεφάλαιο Χημείας Γ΄ Λυκείου (παλιά ύλη)
Ασκήσεις στο 1ο Κεφάλαιο Χημείας Γ΄ Λυκείου (παλιά ύλη)Ασκήσεις στο 1ο Κεφάλαιο Χημείας Γ΄ Λυκείου (παλιά ύλη)
Ασκήσεις στο 1ο Κεφάλαιο Χημείας Γ΄ Λυκείου (παλιά ύλη)
 
φυσ.κατ.β λυκειου-2013
φυσ.κατ.β λυκειου-2013φυσ.κατ.β λυκειου-2013
φυσ.κατ.β λυκειου-2013
 
Mathimatika genikis 2001-2015
Mathimatika genikis 2001-2015Mathimatika genikis 2001-2015
Mathimatika genikis 2001-2015
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CDimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 

Recently uploaded

Οι δικές μας αεροσκάφες
Οι δικές μας                    αεροσκάφεςΟι δικές μας                    αεροσκάφες
Οι δικές μας αεροσκάφεςDimitra Mylonaki
 
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένη
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένηΗ εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένη
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένηEvangelia Patera
 
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdf
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdfΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdf
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdfChrisa Kokorikou
 
Προσκλήσεις θεατρικής παράστασης
Προσκλήσεις θεατρικής          παράστασηςΠροσκλήσεις θεατρικής          παράστασης
Προσκλήσεις θεατρικής παράστασηςDimitra Mylonaki
 
ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΛΕΝΗ-les droits des animaux.pdf
ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΛΕΝΗ-les droits des animaux.pdfΡΑΛΛΙΟΥ ΕΛΕΝΗ-les droits des animaux.pdf
ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΛΕΝΗ-les droits des animaux.pdfChrisa Kokorikou
 
Διαχείρηση Gmail - Βήμα προς Βήμα - Βασικά Στοιχεία
Διαχείρηση Gmail - Βήμα προς Βήμα - Βασικά ΣτοιχείαΔιαχείρηση Gmail - Βήμα προς Βήμα - Βασικά Στοιχεία
Διαχείρηση Gmail - Βήμα προς Βήμα - Βασικά Στοιχείαbasket20032020
 
Ο μοναχισμός στις διάφορες θρησκείες. Θρησκευτικά Λυκείου
Ο μοναχισμός στις διάφορες θρησκείες. Θρησκευτικά ΛυκείουΟ μοναχισμός στις διάφορες θρησκείες. Θρησκευτικά Λυκείου
Ο μοναχισμός στις διάφορες θρησκείες. Θρησκευτικά ΛυκείουVasiliki Matiaki
 
Ο εξελληνισμός του Ανατολικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
Ο εξελληνισμός του Ανατολικού Ρωμαϊκού κράτους.pdfΟ εξελληνισμός του Ανατολικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
Ο εξελληνισμός του Ανατολικού Ρωμαϊκού κράτους.pdfEvangelia Patera
 
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdf
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdfΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdf
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdfChrisa Kokorikou
 
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΝίκος Θεοτοκάτος
 
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptxΟι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx36dimperist
 
15η ΕΝΟΤΗΤΑ ΓΛΩΣΣΑΣ Ε ΤΑΞΗ :ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ.pdf
15η ΕΝΟΤΗΤΑ ΓΛΩΣΣΑΣ Ε ΤΑΞΗ :ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ.pdf15η ΕΝΟΤΗΤΑ ΓΛΩΣΣΑΣ Ε ΤΑΞΗ :ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ.pdf
15η ΕΝΟΤΗΤΑ ΓΛΩΣΣΑΣ Ε ΤΑΞΗ :ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ.pdfMaria Koufopoulou
 
Το τέλος του Δυτικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
Το τέλος του Δυτικού Ρωμαϊκού κράτους.pdfΤο τέλος του Δυτικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
Το τέλος του Δυτικού Ρωμαϊκού κράτους.pdfEvangelia Patera
 
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΝίκος Θεοτοκάτος
 
Ιπτάμενη σκάφη ΚΟΜΙΚ ΠΑΙΔΙΩΝ
Ιπτάμενη                σκάφη ΚΟΜΙΚ ΠΑΙΔΙΩΝΙπτάμενη                σκάφη ΚΟΜΙΚ ΠΑΙΔΙΩΝ
Ιπτάμενη σκάφη ΚΟΜΙΚ ΠΑΙΔΙΩΝDimitra Mylonaki
 
1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ-ECOMOBILITY "ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΕΙΡΑΙΑ!"
1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ-ECOMOBILITY "ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΕΙΡΑΙΑ!"1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ-ECOMOBILITY "ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΕΙΡΑΙΑ!"
1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ-ECOMOBILITY "ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΕΙΡΑΙΑ!"margaritathymara1
 
Αφίσες θεατρικής παράστασης
Αφίσες                   θεατρικής παράστασηςΑφίσες                   θεατρικής παράστασης
Αφίσες θεατρικής παράστασηςDimitra Mylonaki
 

Recently uploaded (18)

Οι δικές μας αεροσκάφες
Οι δικές μας                    αεροσκάφεςΟι δικές μας                    αεροσκάφες
Οι δικές μας αεροσκάφες
 
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένη
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένηΗ εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένη
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένη
 
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdf
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdfΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdf
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdf
 
Προσκλήσεις θεατρικής παράστασης
Προσκλήσεις θεατρικής          παράστασηςΠροσκλήσεις θεατρικής          παράστασης
Προσκλήσεις θεατρικής παράστασης
 
ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΛΕΝΗ-les droits des animaux.pdf
ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΛΕΝΗ-les droits des animaux.pdfΡΑΛΛΙΟΥ ΕΛΕΝΗ-les droits des animaux.pdf
ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΛΕΝΗ-les droits des animaux.pdf
 
Διαχείρηση Gmail - Βήμα προς Βήμα - Βασικά Στοιχεία
Διαχείρηση Gmail - Βήμα προς Βήμα - Βασικά ΣτοιχείαΔιαχείρηση Gmail - Βήμα προς Βήμα - Βασικά Στοιχεία
Διαχείρηση Gmail - Βήμα προς Βήμα - Βασικά Στοιχεία
 
Ο μοναχισμός στις διάφορες θρησκείες. Θρησκευτικά Λυκείου
Ο μοναχισμός στις διάφορες θρησκείες. Θρησκευτικά ΛυκείουΟ μοναχισμός στις διάφορες θρησκείες. Θρησκευτικά Λυκείου
Ο μοναχισμός στις διάφορες θρησκείες. Θρησκευτικά Λυκείου
 
Ο εξελληνισμός του Ανατολικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
Ο εξελληνισμός του Ανατολικού Ρωμαϊκού κράτους.pdfΟ εξελληνισμός του Ανατολικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
Ο εξελληνισμός του Ανατολικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
 
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdf
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdfΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdf
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdf
 
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
 
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptxΟι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx
 
15η ΕΝΟΤΗΤΑ ΓΛΩΣΣΑΣ Ε ΤΑΞΗ :ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ.pdf
15η ΕΝΟΤΗΤΑ ΓΛΩΣΣΑΣ Ε ΤΑΞΗ :ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ.pdf15η ΕΝΟΤΗΤΑ ΓΛΩΣΣΑΣ Ε ΤΑΞΗ :ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ.pdf
15η ΕΝΟΤΗΤΑ ΓΛΩΣΣΑΣ Ε ΤΑΞΗ :ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ.pdf
 
Το τέλος του Δυτικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
Το τέλος του Δυτικού Ρωμαϊκού κράτους.pdfΤο τέλος του Δυτικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
Το τέλος του Δυτικού Ρωμαϊκού κράτους.pdf
 
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
ΚΠΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10.2.3 ΔΙΚΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
 
Ιπτάμενη σκάφη ΚΟΜΙΚ ΠΑΙΔΙΩΝ
Ιπτάμενη                σκάφη ΚΟΜΙΚ ΠΑΙΔΙΩΝΙπτάμενη                σκάφη ΚΟΜΙΚ ΠΑΙΔΙΩΝ
Ιπτάμενη σκάφη ΚΟΜΙΚ ΠΑΙΔΙΩΝ
 
1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ-ECOMOBILITY "ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΕΙΡΑΙΑ!"
1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ-ECOMOBILITY "ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΕΙΡΑΙΑ!"1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ-ECOMOBILITY "ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΕΙΡΑΙΑ!"
1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ-ECOMOBILITY "ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΕΙΡΑΙΑ!"
 
Πρόγραμμα διήμερου σεμιναρίου Β. Ελλάδας 12-13 Απριλίου 2024
Πρόγραμμα διήμερου σεμιναρίου Β. Ελλάδας 12-13 Απριλίου 2024Πρόγραμμα διήμερου σεμιναρίου Β. Ελλάδας 12-13 Απριλίου 2024
Πρόγραμμα διήμερου σεμιναρίου Β. Ελλάδας 12-13 Απριλίου 2024
 
Αφίσες θεατρικής παράστασης
Αφίσες                   θεατρικής παράστασηςΑφίσες                   θεατρικής παράστασης
Αφίσες θεατρικής παράστασης
 

ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8

  • 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 8 1 ΠΛΗ30 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8 NP-ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Επαναλάβετε τα µαθήµατα: • Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.1: Θεωρία Υπολογισµού • Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.2: Αναγωγές Προτασιακής Λογικής • Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.3: Αναγωγές Θεωρίας Γράφων – Μέρος 1ο • Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.4: Αναγωγές Θεωρίας Γράφων – Μέρος 2ο • Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.5: Αναγωγές Θεωρίας Αριθµών και Θεωρίας Συνόλων Ευκολότερη είναι η απόδειξη ότι ένα πρόβληµα ανήκει στο NP. Μελετήστε προσεχτικά τις αποδείξεις ότι το πρόβληµα ανήκει στο NP, από τις ασκήσεις των µαθηµάτων 6.1-6.5 που είναι ένα εύκολο µισοµόναδο. Η αναγωγή είναι πιο δύσκολη και απαιτεί την συστηµατική µελέτη πολλών παραδειγµάτων. Ενδείκνυται η συστηµατική µελέτη των παραδειγµάτων των ενοτήτων 6.2-6.5 Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων.Κάθε άσκηση πρέπει να βγαίνει ολόσωστα σε 15’- 20’ η κάθε µία. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων. Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη: Χρόνος Επανάληψης: 2.00’ Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 1.40’ Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’
  • 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 8 2 Ασκήσεις Άσκηση 1 Το πρόβληµα ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΥΠΟΓΡΑΦΗΜΑ ορίζεται ως εξής: • Στιγµιότυπο: ∆ίδεται ένα γράφηµα G=(V,E) και ένας ακέραιος Κ • Ερώτηµα: Υπάρχει υποσύνολο Α των ακµών του G τέτοιο ώστε το υπογράφηµα που ορίζεται από τους κόµβους του G και τις ακµές του Α να είναι συνεκτικό και κάθε κόµβος του να έχει βαθµό ακριβώς Κ; ∆είξτε ότι το πρόβληµα είναι NP-πλήρες. Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε περιορισµό στο γνωστό NP-πλήρες πρόβληµα HAMILTON-CYCLE. Άσκηση 2 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι (Α) Σωστές, (β) Λάθος, (Γ) Αληθές αν P=NP (∆) Αληθές αν P≠NP ∆ίδεται ότι το πρόβληµα Π είναι NP-Complete: 1. To Π δεν επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο 2. Το Π επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο. 3. Το Π επιλύεται σε εκθετικό χρόνο. 4. Το Π λύνεται σε µη ντετερµινιστικό πολυωνυµικό χρόνο. 5. Το Π ανάγεται στο 3SAT και αντίστροφα 6. Υπάρχει αναγωγή από το Π στο πρόβληµα PATH 7. Υπάρχει αναγωγή από το PATH στο πρόβληµα Π Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω προβλήµατα είναι ΝΡ-πλήρη: Άσκηση 3 Χαρακτηρίστε ως αληθείς ή ψευδείς τις παρακάτω δηλώσεις και δώστε σύντοµη αιτιολόγηση. Για τις απαντήσεις σας θεωρήστε ότι P≠NP. (1) Το πρόβληµα PATH ανήκει στην κλάση ΝΡ (2) Υπάρχει αναγωγή του προβλήµατος PATH στο 3SAT (3) Υπάρχει αναγωγή του προβλήµατος HAMILTON PATH στο PATH (4) Το πρόβληµα απόφασης µιας κανονικής γλώσσας ανήκει στην κλάση Ρ (5) Το πρόβληµα αποδοχής συµβολοσειράς w από ντετερµινιστικό αυτόµατο Α ανήκει στην κλάση Ρ Άσκηση 4 Για κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις υπάρχουν 4 δυνατές απαντήσεις: σωστή, λάθος, σωστή αν NPP ≠ , σωστή αν NPP = . Να επιλέξετε µια απάντηση και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας (αρκεί µια πρόταση για αιτιολογία). (1) Αν το πρόβληµα Α ανάγεται στο πρόβληµα Β και το B είναι ΝP-πλήρες πρόβληµα, τότε και το Α είναι NP- πλήρες πρόβληµα. (2) Το πρόβληµα του Ελάχιστου Επικαλυπτικού ∆ένδρου ανάγεται στο 3-SAT (3) Αν βρεθεί πολυωνυµικός αλγόριθµος για ένα πρόβληµα της κλάσης ΝP, κάθε πρόβληµα της κλάσης αυτής λύνεται µε πολυωνυµικό αλγόριθµο. (4) ∆εν υπάρχει πολυωνυµικός αλγόριθµος που να λύνει το πρόβληµα 3SAT. (5) ∆εν υπάρχει κανένα πρόβληµα στην κλάση NP, για το οποίο απαιτείται εκθετικός χρόνος.
  • 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 8 3 Άσκηση 5 Α) Μέγιστο κάλυµµα ακµών αποτελούµενο από το πολύ Κ κόµβους (Κ-ΜΚΑ): ∆οθέντος ενός γραφήµατος G(V,E) µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών E, και δύο µη αρνητικών ακεραίων K και L, υπάρχει υποσύνολο κόµβων µεγέθους το πολύ Κ που καλύπτει τουλάχιστον L ακµές του G; Β) Μέγιστο επαγόµενο υπογράφηµα αποτελούµενο από το πολύ Κ κόµβους (Κ-ΜΥ): ∆οθέντος ενός γραφήµατος G(V,E) µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών E, και δύο µη αρνητικών ακεραίων K και L, υπάρχει υποσύνολο κόµβων µεγέθους το πολύ Κ του οποίου το επαγόµενο υπογράφηµα έχει τουλάχιστον L ακµές; Γ) Ελάχιστο επαγόµενο υπογράφηµα αποτελούµενο από τουλάχιστον Κ κόµβους (Κ-ΕΥ): ∆οθέντος ενός γραφήµατος G(V,E) µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών E, και δύο µη αρνητικών ακεραίων K και L, υπάρχει υποσύνολο κόµβων µεγέθους τουλάχιστον Κ του οποίου το επαγόµενο υπογράφηµα έχει το πολύ L ακµές; Υπόδειξη: Για την απόδειξη της ΝΡ-πληρότητας, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τα γνωστά ΝΡ-πλήρη προβλήµατα ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΛΙΚΑ και ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΟΡΥΦΩΝ.