Download free for 30 days
Sign in
Upload
Language (EN)
Support
Business
Mobile
Social Media
Marketing
Technology
Art & Photos
Career
Design
Education
Presentations & Public Speaking
Government & Nonprofit
Healthcare
Internet
Law
Leadership & Management
Automotive
Engineering
Software
Recruiting & HR
Retail
Sales
Services
Science
Small Business & Entrepreneurship
Food
Environment
Economy & Finance
Data & Analytics
Investor Relations
Sports
Spiritual
News & Politics
Travel
Self Improvement
Real Estate
Entertainment & Humor
Health & Medicine
Devices & Hardware
Lifestyle
Change Language
Language
English
Español
Português
Français
Deutsche
Cancel
Save
Submit search
EN
Uploaded by
Christos Loizos
394 views
11 εξισωσεισ ζητουν λυσεισ ζανταριδησ3
11 eksiswseis pou zhtoun lyseis
Education
◦
Read more
1
Save
Share
Embed
Embed presentation
Download
Download to read offline
1
/ 17
2
/ 17
Most read
3
/ 17
4
/ 17
5
/ 17
6
/ 17
7
/ 17
8
/ 17
9
/ 17
10
/ 17
11
/ 17
12
/ 17
13
/ 17
14
/ 17
15
/ 17
16
/ 17
17
/ 17
More Related Content
PDF
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 3.4-3.5-3.7 (2020)
by
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
PDF
Lyseis sxolikou
by
Christos Loizos
PDF
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
by
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
PDF
ασκηση 23
by
Παύλος Τρύφων
DOCX
5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ του 2020
by
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
DOC
Λύσεις 51 _ 95 - Μπάρλας
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
Φεβρουαριος 16
by
Παύλος Τρύφων
PDF
λυση ασκ. 17
by
Παύλος Τρύφων
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 3.4-3.5-3.7 (2020)
by
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
Lyseis sxolikou
by
Christos Loizos
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
by
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
ασκηση 23
by
Παύλος Τρύφων
5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ του 2020
by
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
Λύσεις 51 _ 95 - Μπάρλας
by
Μάκης Χατζόπουλος
Φεβρουαριος 16
by
Παύλος Τρύφων
λυση ασκ. 17
by
Παύλος Τρύφων
What's hot
PDF
Math themata lyseis_om_(neo)_epanaliptikes_2020_l
by
Christos Loizos
PDF
Bglykeioy2014teliko
by
Christos Loizos
PDF
λυση ασκ 13
by
Παύλος Τρύφων
PDF
λύση ασκ. 29
by
Παύλος Τρύφων
PDF
Bg lykeioy 2014_teliko
by
Σωκράτης Ρωμανίδης
PDF
Ekfoniseis liseis 1-200
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
by
Christos Loizos
PDF
Ekfoniseis 1 200
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
Trapeza themata20 38_2016
by
Christos Loizos
PDF
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ , ΠΡΟΟΔΟΙ- Α.Π Γ.Π 2020
by
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
PDF
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
by
Christos Loizos
PDF
Δεκεμβριος 15
by
Παύλος Τρύφων
PDF
μαθηματικό τυπολόγιο
by
Christos Loizos
PDF
λυση ασκ. 30
by
Παύλος Τρύφων
PDF
Gp alg b_themata_plus_lyseis
by
Christos Loizos
PDF
Trapeza themata01 19_2016
by
Christos Loizos
PDF
Της παραμονης
by
Θανάσης Δρούγας
PDF
3ο επαναληπτικο-διαγωνισμα apantiseis
by
Athanasios Kopadis
PDF
15η ανάρτηση
by
Παύλος Τρύφων
PDF
μιγαδικοί
by
Μάκης Χατζόπουλος
Math themata lyseis_om_(neo)_epanaliptikes_2020_l
by
Christos Loizos
Bglykeioy2014teliko
by
Christos Loizos
λυση ασκ 13
by
Παύλος Τρύφων
λύση ασκ. 29
by
Παύλος Τρύφων
Bg lykeioy 2014_teliko
by
Σωκράτης Ρωμανίδης
Ekfoniseis liseis 1-200
by
Μάκης Χατζόπουλος
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
by
Christos Loizos
Ekfoniseis 1 200
by
Μάκης Χατζόπουλος
Trapeza themata20 38_2016
by
Christos Loizos
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ , ΠΡΟΟΔΟΙ- Α.Π Γ.Π 2020
by
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
by
Christos Loizos
Δεκεμβριος 15
by
Παύλος Τρύφων
μαθηματικό τυπολόγιο
by
Christos Loizos
λυση ασκ. 30
by
Παύλος Τρύφων
Gp alg b_themata_plus_lyseis
by
Christos Loizos
Trapeza themata01 19_2016
by
Christos Loizos
Της παραμονης
by
Θανάσης Δρούγας
3ο επαναληπτικο-διαγωνισμα apantiseis
by
Athanasios Kopadis
15η ανάρτηση
by
Παύλος Τρύφων
μιγαδικοί
by
Μάκης Χατζόπουλος
Viewers also liked
PDF
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
γενικό διαγώνισμα
by
Christos Loizos
PDF
Eleftheriou 2h edition
by
Christos Loizos
PDF
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ / Δ ΘΕΜΑ - ΔΥΝΑΜΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
by
HOME
PDF
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
by
HOME
PDF
Τράπεζα Θεμάτων Α΄ Λυκείου/Β Θέμα /Κινηματική Βασισμένη σε Πειράματα
by
HOME
PDF
Β΄ ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Θέση-Μετατόπιση-Ευθ...
by
HOME
PDF
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
by
Christos Loizos
PDF
Όλα τα Θέματα Φυσικής Α΄ Λυκείου Τράπεζας Θεμάτων
by
HOME
PDF
26η ανάρτηση
by
Παύλος Τρύφων
PDF
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
by
HOME
PDF
Andreas patsis
by
trifonpavlos1
PDF
Mk ed6 ekf
by
Christos Loizos
PDF
Themata panelladikwn me_th_nea_ylh
by
Christos Loizos
PDF
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
by
Christos Loizos
PDF
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
by
Christos Loizos
PDF
σπαθάρας δημήτριος διδακτικό υλικό γλκατ τεύχος 1
by
Christos Loizos
PDF
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
by
Christos Loizos
PDF
γ λυκειου-τελικό Pagonis 2016
by
Christos Loizos
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
by
Μάκης Χατζόπουλος
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
by
Μάκης Χατζόπουλος
γενικό διαγώνισμα
by
Christos Loizos
Eleftheriou 2h edition
by
Christos Loizos
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ / Δ ΘΕΜΑ - ΔΥΝΑΜΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
by
HOME
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
by
HOME
Τράπεζα Θεμάτων Α΄ Λυκείου/Β Θέμα /Κινηματική Βασισμένη σε Πειράματα
by
HOME
Β΄ ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Θέση-Μετατόπιση-Ευθ...
by
HOME
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
by
Christos Loizos
Όλα τα Θέματα Φυσικής Α΄ Λυκείου Τράπεζας Θεμάτων
by
HOME
26η ανάρτηση
by
Παύλος Τρύφων
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
by
HOME
Andreas patsis
by
trifonpavlos1
Mk ed6 ekf
by
Christos Loizos
Themata panelladikwn me_th_nea_ylh
by
Christos Loizos
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
by
Christos Loizos
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
by
Christos Loizos
σπαθάρας δημήτριος διδακτικό υλικό γλκατ τεύχος 1
by
Christos Loizos
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
by
Christos Loizos
γ λυκειου-τελικό Pagonis 2016
by
Christos Loizos
Similar to 11 εξισωσεισ ζητουν λυσεισ ζανταριδησ3
DOC
λυσεις 1 50
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
Απαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdf
by
athinadimi
PPTX
Θέματα και Λύσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικών Πανελλαδικών 2013
by
Dimitris Lafkas
PDF
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
by
Christos Loizos
PDF
Askisi 5 lisi
by
Christos Loizos
PDF
2η άσκηση της ημερας
by
trifonpavlos1
PDF
¨Αλγεβρα Εξισώσεις-Ανισώσεις
by
Xristos Lazaridis
PDF
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
by
Christos Bekas
PDF
Μαθηματικά ΕΠΑΛ 2020
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
9η ανάρτηση
by
Παύλος Τρύφων
PDF
4117 6758επιλυση εξισωσεων και ανισωσεων συναρτησιακων μορφων
by
Christos Loizos
PDF
λύση ασκ. 21
by
Παύλος Τρύφων
PDF
2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)
by
Christos Loizos
PDF
Βασικές Γνωσεις Λυκειου - Β: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1ου Βαθμού
by
Math Studies
PDF
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
12η ανάρτηση
by
Παύλος Τρύφων
PDF
Math g kat_08_-_03_apant
by
Elena Oikonomou
λυσεις 1 50
by
Μάκης Χατζόπουλος
Απαντήσεις Μαθηματικών-Πανελλήνιες-2024-3.pdf
by
athinadimi
Θέματα και Λύσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικών Πανελλαδικών 2013
by
Dimitris Lafkas
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
by
Christos Loizos
Askisi 5 lisi
by
Christos Loizos
2η άσκηση της ημερας
by
trifonpavlos1
¨Αλγεβρα Εξισώσεις-Ανισώσεις
by
Xristos Lazaridis
Αρχείο στις εξισώσεις - Άλγεβρα Α Λυκείου 2020
by
Μάκης Χατζόπουλος
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
by
Christos Bekas
Μαθηματικά ΕΠΑΛ 2020
by
Μάκης Χατζόπουλος
9η ανάρτηση
by
Παύλος Τρύφων
4117 6758επιλυση εξισωσεων και ανισωσεων συναρτησιακων μορφων
by
Christos Loizos
λύση ασκ. 21
by
Παύλος Τρύφων
2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)
by
Christos Loizos
Βασικές Γνωσεις Λυκειου - Β: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1ου Βαθμού
by
Math Studies
Άλγεβρα Α Λυκείου - Εξισώσεις - Ανισώσεις 2020 [75 σελίδες]
by
Μάκης Χατζόπουλος
Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word
by
Μάκης Χατζόπουλος
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
by
Μάκης Χατζόπουλος
12η ανάρτηση
by
Παύλος Τρύφων
Math g kat_08_-_03_apant
by
Elena Oikonomou
More from Christos Loizos
PDF
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
by
Christos Loizos
PDF
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
by
Christos Loizos
PDF
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
by
Christos Loizos
PDF
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
by
Christos Loizos
PDF
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
by
Christos Loizos
PDF
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
by
Christos Loizos
PDF
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
by
Christos Loizos
PDF
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
by
Christos Loizos
PDF
Lyseis panel 2021
by
Christos Loizos
PDF
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
by
Christos Loizos
PDF
Prosomoiwsh kalamari sarafis
by
Christos Loizos
PDF
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
by
Christos Loizos
PDF
Prosomoiwsh maios sarafis
by
Christos Loizos
PDF
Prosomoiwsh 1 xenos
by
Christos Loizos
PDF
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
by
Christos Loizos
PDF
451themataxristostsatsos
by
Christos Loizos
PDF
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
by
Christos Loizos
PDF
Epanaliptika themata stergiou_2021
by
Christos Loizos
PDF
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
by
Christos Loizos
PDF
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
by
Christos Loizos
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
by
Christos Loizos
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
by
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
by
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
by
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
by
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
by
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
by
Christos Loizos
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
by
Christos Loizos
Lyseis panel 2021
by
Christos Loizos
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
by
Christos Loizos
Prosomoiwsh kalamari sarafis
by
Christos Loizos
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
by
Christos Loizos
Prosomoiwsh maios sarafis
by
Christos Loizos
Prosomoiwsh 1 xenos
by
Christos Loizos
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
by
Christos Loizos
451themataxristostsatsos
by
Christos Loizos
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
by
Christos Loizos
Epanaliptika themata stergiou_2021
by
Christos Loizos
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
by
Christos Loizos
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
by
Christos Loizos
Recently uploaded
PDF
5. Το Σοσιαλιστικό κόμμα
by
Kvarnalis75
PPT
ratsismos παρουσίαση αιτια αποτελέσματα τρόποι αντιμετώπισης.ppt
by
ssuser39b1ba
PPTX
Εκπαιδευτική επίσκεψη στη Θεσσαλονίκη.pptx
by
7gymnasiokavalas
PPTX
Δ τάξη - Φτιάχνουμε χριστουγεννιάτικο γλυκό ΚΟΥΚΟΥΝΑΡΙ.pptx
by
41dimperisteriou
PDF
1. Οι συνέπειες της Μικρασιατικής καταστροφής
by
Kvarnalis75
PDF
Η Περιπέτεια μιας Στάμνας-Γυμνάσιο Παλαιοχωρίου Χαλκιδικής
by
Katerina Katsioura
PDF
Αθανάσιος Χριστόπουλος, "Τώρα". Νεοελληνική Λογοτεχνία Γ΄ Γυμνασίου
by
Τσατσούρης Χρήστος, Γυμνάσιο Μαγούλας Δυτικής Αττικής
PPT
Anagnostikes theories ΠΩΣ ΜΑΘΑΙΝΩ ΝΑ ΔΙΑΒΑΖΩ.ppt
by
ssuser39b1ba
PPTX
Ελένη Βλιώρα - Βιβλιοπαρουσιάσεις - Δεκέμβριος 2025 - 41 ΔΣ Περιστερίου.pptx
by
41dimperisteriou
PPTX
Αναλφαβητισμός, Νεοελληνική Γλώσσα Α΄ Λυκείου
by
Vassiliki Yiannou
5. Το Σοσιαλιστικό κόμμα
by
Kvarnalis75
ratsismos παρουσίαση αιτια αποτελέσματα τρόποι αντιμετώπισης.ppt
by
ssuser39b1ba
Εκπαιδευτική επίσκεψη στη Θεσσαλονίκη.pptx
by
7gymnasiokavalas
Δ τάξη - Φτιάχνουμε χριστουγεννιάτικο γλυκό ΚΟΥΚΟΥΝΑΡΙ.pptx
by
41dimperisteriou
1. Οι συνέπειες της Μικρασιατικής καταστροφής
by
Kvarnalis75
Η Περιπέτεια μιας Στάμνας-Γυμνάσιο Παλαιοχωρίου Χαλκιδικής
by
Katerina Katsioura
Αθανάσιος Χριστόπουλος, "Τώρα". Νεοελληνική Λογοτεχνία Γ΄ Γυμνασίου
by
Τσατσούρης Χρήστος, Γυμνάσιο Μαγούλας Δυτικής Αττικής
Anagnostikes theories ΠΩΣ ΜΑΘΑΙΝΩ ΝΑ ΔΙΑΒΑΖΩ.ppt
by
ssuser39b1ba
Ελένη Βλιώρα - Βιβλιοπαρουσιάσεις - Δεκέμβριος 2025 - 41 ΔΣ Περιστερίου.pptx
by
41dimperisteriou
Αναλφαβητισμός, Νεοελληνική Γλώσσα Α΄ Λυκείου
by
Vassiliki Yiannou
11 εξισωσεισ ζητουν λυσεισ ζανταριδησ3
1.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 1 ΘΕΜΑ 1. Να ιπζεί ε εμίζωζε 2 2x lnx =e , x>0 ΛΥΣΗ Έρνπκε : 2x lnx =e, x >0 e 2lnx = , x >0 x e 2lnx - =0, x >0 x 2 2 2 Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε f(x)=2lnx- e , x >0 x2 Δίλαη θαλεξό όηη ε εμίζωζε 2x2 lnx=e, x>0, είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζωζε f(x)=0 , x>0. Δίλαη 1 2e f΄(x)=2 + >0 x x3 ,γηα θάζε x>0. Δπνκέλωο ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην (0,+) , νπόηε ε f είλαη ζπλάξηεζε 1-1. Με x>0 έρνπκε : f(x)=0 e 1 e f(x)= f( e) ( αθνύ f( e ) =2ln( e)- =2 - =0 ) 2 2 e( e) x = e (αθνύε f είλαη1-1) Δπνκέλωο ε δνζείζα εμίζωζε έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην (0,+),ηνλ αξηζκό xo= e
2.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 2 ΘΕΜΑ 2. Να ιπζεί ε εμίζωζε 2 2 1+2-x-23 = , x IR 1+4 2 X x x ΛΥΣΗ Έρνπκε : 22 2 2 2 2 X+2 X X X+2 X 2 x x1+2 3 1+2 1+2 1+2x -x-23 = = = x+2 x+21+4 2 3 33 1+2 1+2 1 2 f(x+2)= f(x ),όπνπ f(x)= = + , x IR 3 3 3 X XX X x Δίλαη f΄(x)= 1 1 2 2 ln + ln <0 3 3 3 3 X X γηα θάζε xIR. Οπόηε ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην IR. Η f ωο γλεζίωο κνλόηνλε ζην IR είλαη ζπλάξηεζε 1-1 . Δηζη έρνπκε : f(x+2)= f(x ) x+2= x ( f ΄1-1΄ ) x - x -2=0 x =-1ή x =2 2 2 2 Άξα ε εμίζωζε 2x2 1+2-x-23 = 1+4 2 x x έρεη αθξηβώο δπν ιύζεηο ζην R νη νπνίεο είλαη 1 2x =-1,x =2
3.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 3 ΘΕΜΑ 3. Να ιπζεί ε εμίζωζε x x x x x 10 +11 +12 =13 +14 ,x IR (ADREESCU 101 PROBLEMS) ΛΥΣΗ ... x x x x x 10 +11 +12 =13 +14 (1) x x x x x x x x x x x x x x 10 +11 +12 13 +14 Έρνπκε : 1 = 13 13 10 11 12 14 + + - =1 13 13 13 13 10 11 12 14 f(x)=1 ,όπνπ f(x)= + + - 13 13 13 13 x ,x IR Δίλαη x x x x 10 10 11 11 12 12 14 14 f΄(x)= ln + ln + ln - ln 13 13 13 13 13 13 13 13 <0 γηα θάζε xIR, νπόηε ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην IR Άξα ε f είλαη ζπλάξηεζε 1-1 παξαηεξνύκε όηη f(2)=….=1 έηζη έρνπκε : (1) f(x)=1 f(x)=f(2) x =2 (αθνύ ε f είλαη ”1-1”) επνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη κνλαδηθή ιύζε ζην R ηνλ αξηζκό xo=2
4.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 4 ΘΕΜΑ 4. Να ιπζεί ε εμίζωζε x x x x 4 +2 +2=5 +3 , xR ΛΥΣΗ … x x x x 4 +2 +2=5 +3 :( 1) Δίλαη θαλεξό όηη ν αξηζκόο xo=1 είλαη ιύζε ηεο εμίζωζεο (1) ,αθνύ 1 1 1 1 4 +2 +2=5 +3 Θα εμεηάζνπκε αλ ε εμίζωζε (1) έρεη ιύζε δηαθνξεηηθή ηνπ xo=1 Θεωξώ ηηο ζπλαξηήζεηο x x x x 4 1 2 1 f(x)= + θαη g(x)= + 5 5 3 3 x x 4 4 1 1 Δίλαη f΄(x)= ln + ln <0 5 5 5 5 γηα θάζε xIR θαη x x 2 2 1 1 g'(x)= ln + ln <0 3 3 3 3 γηα θάζε xIR. .Άξα νη f θαη g είλαη γλεζίωο θζίλνπζεο ζην IR. Δηζη έρνπκε : X X X X x x x x X XX X f(x)< f(1) x >1 (f,g IR) g(x)<g(1) 4 1 + <1 4 +1<55 5 4 +2 +2<5 +3 2 +1<32 1 + <1 3 3 Άξα ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε ζην (1,+)
5.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 5 X X X X X X X X X XX X Αθόκε γηα θάζε <1 έρνπκε f(x)> f(1) x <1 (f,g IR) g(x)>g(1) 4 1 + >1 4 +1>55 5 4 +2 +2>5 +3 2 +1>32 1 + >1 3 3 x Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε ζην (-,1) Από ηα παξαπάλω πξνθύπηεη όηη ε εμίζωζε (1) έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην IR, ηνλ αξηζκό xo=1
6.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 6 ΘΕΜΑ 5. Α. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα Γ θαη ε εμίζωζε f(x)=0 έρεη ζην Γ , n2 ξίδεο λα απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε f΄(x)=0 έρεη ζην Γ ηνπιάρηζηνλ n-1 ξίδεο Β. Να ιπζεί ζην IR ε εμίζωζε x x 3 +2 4 =19 x+3 ΛΥΣΗ Έζηω 1 2 nξ ,ξ ,...,ξ Γ κε 1 2 nξ <ξ <...<ξ (n2) νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο f(x)=0 Δπεηδή ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα Γ έπεηαη όηη ε f είλαη ζπλερήο ζηα δηαζηήκαηα 1 2 n-1 nξ ,ξ ,..., ξ ,ξ θαη παξαγωγίζηκε ζηα δηαζηήκαηα 1 2 n-1 nξ ,ξ ,..., ξ ,ξ Αθόκε είλαη 1 2 nf(ξ )=f(ξ )=...=f(ξ )=0 ,αθνύ νη αξηζκνί 1 2 nξ ,ξ ,...,ξ είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο f(x)=0. Άξα ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Rolle ζε θαζέλα από ηα δηαζηήκαηα 1 2 n-1 nξ ,ξ ,..., ξ ,ξ , νπόηε ππάξρνπλ 1 1 2 n-1 n-1 nμ (ξ ,ξ ),...,μ (ξ ,ξ ) ώζηε 1 n-1f΄(μ )=0,...,f΄(μ )=0 Άξα ε εμίζωζε f΄(x)=0 έρεη ηνπιάρηζηνλ n-1 ξίδεο ζην δηάζηεκα Γ. Β. x x ...3 +2 4 =19 x+3 :(ε) Έρνπκε : (ε) x x 3 +2 4 -19 x-3=0 f(x)=0 , όπνπ x x f(x)=3 +2 4 -19 x-3, x IR
7.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 7 Άξα ε εμίζωζε (ε) είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζωζε f(x)=0 Παξαηεξνύκε όηη 0 0 f(0)=3 +2 4 -19 0-3=0 θαη 2 2 f(2)=3 +2 4 -19 2-3=0 Άξα νη αξηζκνί 1 2x =0,x =2 είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο f(x)=0 Γηα ηελ ζπλάξηεζε f έρνπκε : x x x 2 x 2 f΄(x)=3 ln3+2 4 ln4-19 θαη f΄΄ (x)=3 (ln3) +2 4 (ln4) >0 γηα θάζε x R Υπνζέηνπκε όηη νη εμίζωζε f(x)=0 έρεη ηνπιάρηζηνλ ηξείο πξαγκαηηθέο ξίδεο, ηόηε: 1. Η εμίζωζε f(x)=0 έρεη ηξείο ηνπιάρηζηνλ ξίδεο ζην IR. 2. Η εμίζωζε f΄(x)=0 έρεη δπν ηνπιάρηζηνλ ξίδεο ζην IR. 3. Η εμίζωζε f΄΄(x)=0 έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην IR. Άηνπν, αθνύ είλαη f΄΄ (x)>0 γηα θάζε xIR. Από ηα παξαπάλω πξνθύπηεη όηη ε εμίζωζε f(x)=0, νπόηε θαη ε εμίζωζε (ε) έρεη αθξηβώο δπν ιύζεηο ζην IR νη νπνίεο είλαη x1=0,x2=2
8.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 8 ΘΕΜΑ 6. Να ιπζεί ε εμίζωζε x x x 3 +5 =2 4 , xR ΛΥΣΗ … x x x 3 +5 =2 4 : (1) Δίλαη θαλεξό όηη νη αξηζκνί x1=0 θαη x2=1 είλαη νη ιύζεηο ηεο εμίζωζεο (1) (αθνύ 0 0 0 1 1 1 3 +5 =2 4 θαη 3 +5 =2 4 ) Έζηω ηώξα όηη ε εμίζωζε (1) έρεη άιιε ιύζε ox IR- 0,1 ηόηε ζα ηζρύεη o o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x 3 +5 =2 4 5 - 4 4 -3 f(5)- f(4) f(4)- f(3) 5 - 4 = 4 -3 = = :(2) 5- 4 4-3 5- 4 4-3 όπνπ ox f(t)=t , t >0 Η ζπλάξηεζε f(t)= ox t ,t>0 είλαη παξαγωγίζηκε ζην (0,+) κε f΄(t)=xo ox -1 t , oπόηε ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ. ζε θαζέλα από ηα δηαζηήκαηα 3,4 θαη 4,5 , επνκέλωο ππάξρνπλ μ1(3,4)θαη μ2(4,5) ώζηε 1 2 f(4)- f(3) f(5)- f(4) f΄(μ )= :(α)θαη f΄(μ )= :(β) 4-3 5- 4 Από ηελ (2) ιόγω ηωλ (α) θαη (β) έρνπκε f΄(μ1)=f΄(μ2) xo ox -1 1ξ = xo ox -1 2ξ o ox -1 x -1 1 2μ =μ (αθνύ xo0)
9.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 9 o ox -1 x -1 0 1 1 1 2 2 2 1 o 2 o μ μ μ =1 = μ μ μ μ x -1=0 (αθνύ 0< 1) μ x =1 Άηνπν αθνύ xo1 Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη αθξηβώο δπν ιύζεηο ζην R νη νπνίεο είλαη : x1=0 ,x2=2
10.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 10 ΘΕΜΑ 7. Αλ ε ζπλάξηεζε f:IRR είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR κε ηελ f΄ λα είλαη ζπλάξηεζε 1-1 , λα ιπζεί ε εμίζωζε f(x)+f(4x -3) = f(2x -1)+f(3x - 2) , xR ΛΥΣΗ ... f(x)+f(4x -3) = f(2x -1)+f(3x - 2):(1) Παξαηεξνύκε όηη ν αξηζκόο xo=1 είλαη ε ιύζε ηεο εμίζωζεο (1) αθνύ f(1)+f(4 1-3) = f(2 1-1)+f(3 1- 2) Έζηω ηώξα x>1 ηόηε είλαη x < 2x -1< 3x - 2 < 4x -3 επεηδή ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR έπεηαη όηη ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ ζε θαζέλα από ηα δηαζηήκαηα x,2x -1 θαη 3x - 2,4x - 3 νπόηε ππάξρνπλ μ1(x,2x-1) θαη μ2(3x-2,4x-3) ώζηε : 1 2 f(2x -1)- f(x) f(2x -1)- f(x) f(4x - 3)- f(3x - 2) f΄(μ ) = = θαη f΄(μ ) = = (2x -1)- x x -1 (4x - 3)-(3x - 2) f(4x - 3)- f(3x - 2) = x -1 Έρνπκε όκωο 1 2 1 2 1 2x < μ < 2x -1< 3x - 2 < μ < 4x - 3 μ μ f΄(μ ) f΄(μ ),(f΄ ζπλάξηεζε ΄΄1-1΄΄) f(2x -1)- f(x) f(4x - 3)- f(3x - 2) x -1 x -1 f(2x -1)- f(x) f(4x - 3)- f(3x - 2) f(x)+ f(4x - 3) f(2x -1)+ f(3x - 2) Δπνκέλωο ζην (1,+) ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε
11.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 11 Οκνίωο απνδεηθλύεηαη θαη ζην (-,1) ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην IR,ηνλ αξηζκό xo=1
12.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 12 ΘΕΜΑ 8. Αλ ε ζπλάξηεζε f: IRIR είλαη γλεζίωο αύμνπζα , λα ιπζεί ε εμίζωζε X X X X f(7 5 )+ f(4 3 ) = f(3 4 )+ f(5 7 ) , xR ΛΥΣΗ … x x x x f(7 5 )+f(4 3 ) = f(3 4 )+f(5 7 ) :(1) Παξαηεξνύκε όηη ν αξηζκόο xo=1 απνηειεί ιύζε ηεο εμίζωζεο (1), αθνύ 1 1 1 1 1 1 1 1 f(7 5 )+ f(4 3 ) = f(35)+ f(12) θαη f(3 4 )+ f(5 7 ) = f(12)+ f(35), νπόηε f(7 5 )+ f(4 3 ) = f(3 4 )+ f(5 7 ) Γηα x>1 έρνπκε xx 1 x x xx x xx 1 xx x 77 7 7 7R> , 55 5 5 7 7 55 5 3 4 4 34 44 4 4 > , R 3 33 3 3 X X X X f(5 7 ) > f(7 5 ) (f IR) f(3 4 ) > f(4 3 ) X X X X f(7 5 )+ f(4 3 ) < f(3 4 )+ f(5 7 ) Δπνκέλωο ζην (1,+) ε εμίζωζε (1)δελ έρεη ιύζε ,όκνηα απνδεηθλύεηαη όηη θαη ζην (-,1) ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε . Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη κηα κόλν ιύζε ζην IR ,ηνλ αξηζκό xo=1
13.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 13 ΘΕΜΑ 9. Γηα ηελ δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:IRI * R ηζρύεη 2 f(x)f΄΄(x) > (f΄(x)) γηα θάζε xIR α) Να κειεηεζεί ωο πξνο ηελ κνλνηνλία ε ζπλάξηεζε f΄(x) g(x) = ,x IR f(x) β) Να ιπζεί ε εμίζωζε f(x) xf΄(x)f(2x) = e f(x) , xR ΛΥΣΗ α) Η g είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR ωο πειίθν παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ κε 2 2 2 ' f΄(x) (f΄(x)) f(x)- f΄(x)f΄(x) f(x)f΄΄(x)-(f΄(x)) g΄(x) = = = > 0 f(x) (f(x)) (f(x)) ΄ γηα θάζε xIR (αθνύ γηα θάζε xIR έρνπκε: 2 2 2 22 2 f(x)f΄΄(x) > (f΄(x)) f(x)f΄΄(x)-(f΄(x)) > 0 f(x)f΄(x)-(f΄(x)) > 0 (f(x))(f(x)) > 0 (f(x)) > 0 Άξα ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR
14.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 14 f(x) xf΄(x) f(x) xf΄(x) f(2x) β)... = e : (1) f(x) f(2x) έρνπκε : (1) ln = ln(e ) f(x) f(2x) f(x) ln = xf΄(x) f(x)(ln(f(2x))-ln(f(x))) = xf΄(x) f(x) xf΄(x) n(f(2x))-ln(f(x)) = h(2x)-h(x) = x h΄(x):(Δ) f(x) l Όπνπ h(x)=ln(f(x)) γηα ηελ νπνία είλαη h΄(x)= f΄(x) = g(x) f(x) νπόηε ε h΄ είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Έηζη ε εμίζωζε (1)είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζωζε (Δ) Δίλαη θαλεξό όηη ν αξηζκόο xo=0 είλαη ιύζε ηεο εμίζωζεο (Δ) αθνύ h(20)-h(0)=0h΄(0) Έζηω ηώξα x>0 επεηδή ε h είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR έπεηαη όηη ε h ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ ζην x,2x νπόηε ππάξρεη μ(x,2x) ώζηε h(2x)-h(x) h(2x)-h(x) h΄(μ) = = : (α) 2x - x x Έρνπκε όκωο x<μ<2xh΄(x)<h΄(μ) (h΄ IR) x>0 h(2x)-h(x) h΄(x) < h(2x)-h(x) > x h΄(x) x Δπνκέλωο ζην (0,+) ε εμίζωζε (Δ) , νπόηε θαη ε ηζνδύλακε ηεο εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε . Οκνίωο εξγαδόκελνη απνδεηθλύεηαη όηη θαη ζην (-,0) ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε .Έηζη ε εμίζωζε (1)έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην R ηνλ αξηζκό xo=0
15.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 15 ΘΕΜΑ 10. Γηα ηε ζπλάξηεζε f:RR ηζρύεη f(x+ey )>f(x) γηα θάζε x,yR α) λα απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R β) λα ιπζεί ε εμίζωζε f(x2 )+lnx=f(x) , x>0 ΛΥΣΗ α) …f(x+ey )>f(x) : (1) Δζηω x1,x2R κε x1<x2 Από ηελ (1) γηα x=x1R θαη y=ln(x2-x1)R ( αθνύ x2-x1>0 ) έρνπκε όηη ηζρύεη f(x1+ 2 1ln(x -x ) e )>f(x1) f(x1+(x2-x1))>f(x1) f(x1)<f(x2) Δπνκέλωο γηα θάζε x1,x2R κε x1<x2 ηζρύεη f(x1)<f(x2) , νπόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R. β) …f(x2 )+lnx=f(x) :(ε) είλαη θαλεξό όηη ε (ε) έρεη ωο ιύζε ηνλ αξηζκό xo=1 , αθνύ f(12 )+ln1=f(1) Αθόκε γηα θάζε x>1 έρνπκε : x>1 2 2(lnx ) x x f(x ) f(x) , (f R) lnx ln1 lnx 0 f(x2 )+lnx>f(x) Δπνκέλωο ζην (1,+) ε εμίζωζε (ε) δελ έρεη ιύζε
16.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 16 Δπίζεο γηα θάζε x(0,1) έρνπκε : 0<x<1 2 2(lnx ) x x f(x ) f(x) , (f R) lnx ln1 lnx 0 f(x2 )+lnx<f(x) Δπνκέλωο ζην (0,1) ε εμίζωζε (ε) δελ έρεη ιύζε Από ηα παξαπάλω πξνθύπηεη όηη ζην (0,+) ε εμίζωζε (ε) έρεη αθξηβώο κία ιύζε ην xo=1.
17.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 17 ΘΕΜΑ 11. Η ζπλάξηεζε f:RR είλαη παξαγωγίζηκε θαη θπξηή ζην R θαη είλαη f(1)=2 , f΄(1)=1. Να βξεζνύλ νη α,βR ώζηε λα ηζρύεη f(α+β-5)+f(α-β-1)=2α-4 ΛΥΣΗ Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο Cf ζην ζεκείν Α(1,f(1)) είλαη y-f(1)=f΄(1)(x-1)y-f(1)=f΄(1)(x-1)y-2=1(x-1)y=x+1 Δπεηδή ε f είλαη θπξηή ζην R έπεηαη όηη ε Cf βξίζθεηαη πάλω από ηελ εθαπηνκέλε ηεο επζεία ε:y=x+1 ζε όιν ην R κε εμαίξεζε ην θνηλό ζεκείν επαθήο ηνπο Μ(1,f(1)) . Άξα γηα θάζε xR ηζρύεη f(x)x+1 : (Σ) κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα x=1. Έηζη ιόγω ηεο (Σ) έρνπκε : f(α+β-5)(α+β-5)+1 f(α+β-5)α+β-4 : (2) κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν όηαλ α+β-5=1 Αθόκε ιόγω ηεο (Σ) έρνπκε f(α-β-1)(α-β-1)+1 f(α-β-1)α-β : (3) κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν όηαλ α-β-1=1 Από (1) θαη (2) έρνπκε όηη ηζρύεη f(α+β-5)+f(α-β-1)2α-4 κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν όηαλ ηζρύνπλ α+β-5=1 θαη α-β-1=1 Δπνκέλωο γηα λα ηζρύεη f(α+β-5)+f(α-β-1)=2α-4 πξέπεη θαη αξθεί λα είλαη α+β - 5 =1 α+β = 6 α = 4 α -β -1=1 α -β = 2 β = 2 Άξα είλαη α=4 , β=2
Download