Uploaded byjanedbautcc
PPTX, PDF16 views

propositional logics for discrete mathematics

02.pptx

Embed presentation

Download to read offline
PROPOSITIONAL LOGIC 030513122 - Discrete Mathematics Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka
ความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับตรรกศาสตร์  ตรรกะ (Logic) คือ ศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาเหตุและผล ด้วยวิธีการต่างๆ อย่างมีรูปแบบและระบบที่ชัดเจน โดยการพิสูจน์จากข้อเท็จจริงที่กำหนด  ตรรกศาสตร์แบ่งออกเป็น 2 ประเภท  ตรรกศาสตร์แบบดั้งเดิม เป็นตรรกศาสตร์แรกเริ่มที่พัฒนา มาจากหลักการและกระบวนการทางเหตุผลของ อริสโตเติล  ตรรกนิรนัย (Deductive Logic) เป็นการหาความจริงจากส่วน มากไปหาส่วนน้อย  ตรรกอุปนัย (Inductive Logic) เป็นการหาความจริงจากส่วน น้อยไปหาส่วนมาก  ตรรกสัญลักษณ์ (Symbolic Logic) เป็นตรรกศาสตร์ที่ใช้
ตรรกสัญลักษณ์  ตรรกสัญลักษณ์ (Symbolic logic) แบ่งได้ 2 ประเภท  ตรรกะที่ว่าด้วยประพจน์ (Propositional Logic) เป็น ตรรกศาสตร์ที่ว่าด้วยการทดสอบประโยคหรือเนื้อหา ที่ เรียกว่า ประพจน์ เพื่อหาข้อเท็จจริงหรือความสมเหตุสม ผลของประพจน์ลักษณะต่างๆ ทั้งที่เป็นประพจน์เชิงเดี่ยว และ ประพจน์เชิงซ้อน  ตรรกะที่ว่าด้วยภาคขยาย (Predicate Logic) เป็น ตรรกศาสตร์ที่ทดสอบประโยคกล่าวอ้างที่เกี่ยวข้องกับ ประโยคทั่วไป และ ประพจน์เชิงเดี่ยว เพื่อหาความสม เหตุสมผลของประโยคกล่าวอ้าง
ประพจน์  ประพจน์ (Proposition) เป็นส่วนที่ใช้พิสูจน์ เพื่อบ่งชี้ ความจริงตามหลักเหตุผล มี 2 ชนิด คือ  ประพจน์เชิงเดี่ยว (Single Proposition)  ประพจน์เชิงซ้อน (Compound Proposition)
ภาษาตรรกศาสตร์ (Syntax และ Semantics)  Syntax (ไวยกรณ์) คือการกำหนดรูปแบบของภาษา  ตัวอย่าง syntax ของคณิตศาสตร์  X + Y = 4 √  X2y+ = X  Semantics ความหมายของประโยคนั้นๆ  ในทางตรรกศาสตร์ Semantics จะบอกถึงความเป็นจริง ของประโยค  ปกติ semantics จะมีค่าแค่ true หรือ false  X + Y = 4 เป็นจริงเมื่อ X = 2 และ Y = 2 เป็นเท็จเมื่อ X = 1 และ Y = 1
Introduction: Proposition  คำนิยาม: ค่าของ proposition เรียกว่า ค่าความจริง มีค่าคือ  T หรือ 1 ถ้าเป็นจริง  F หรือ 0 ถ้าเป็นเท็จ  ความคิดเห็น คำถาม และ คำสั่ง ไม่ใช่ propositions  ตารางความจริง (Truth table) p T F
Propositions: Examples  ตัวอย่างของ propositions  วันนี้เป็นวันจันทร์ (Today is Monday) แทนด้วย สัญลักษณ์ M  สนามหญ้าเปียก (The grass is wet) แทนด้วยสัญลักษณ์ W  ฝนกำลังตก (It is raining) แทนด้วยสัญลักษณ์ R  ตัวอย่างที่ ไม่ใช่ propositions  ภาษา Java เป็นภาษาที่ดีที่สุด (Java is the best language) เนื่องจากเป็น ความคิดเห็น  เมื่อไรจะสอบปลายภาค ? (When is the final exam?) เนื่องจากเป็น คำถาม
Quiz 1: Are these propositions?  2*3 > 4  2+2 = 5  Every integer is divisible by 12  Microsoft is an excellent company  Will I get an ‘A’ in this course ?  Don’t open the windows.  Java is a programming language  C++ is better than C
ตัวเชื่อมทางตรรก (Logical connectives)  ตัวเชื่อม (Connectives) ถูกใช้สำหรับสร้างประพจน์ที่เชิงซ้อน (compound proposition) จากประพจน์ที่มากกว่าหนึ่งประพจน์ ขึ้นไป  นิเสธ (Negation) เขียนแทนด้วย a หรือ !a หรือ ā  และ (And หรือ logical conjunction) เขียนแทนด้วย   หรือ (OR หรือ logical disjunction) เขียนแทนด้วย   เอ็กซ์ออร์ (XOR หรือ exclusive or) เขียนแทนด้วย   ถ้าแล้ว (Implication) เขียนแทนด้วย  หรือ   ก็ต่อเมื่อ (Biconditional) เขียนแทนด้วย  หรือ   เรานิยามความหมาย (semantics) ของตัวเชื่อมทางตรรกโดย ใช้ตารางความจริง
ลำดับของตัวดำเนินการทางตรรก  เหมือนในทางคณิตศาสตร์ (+, - , *, / ) มีลำดับในการคำนวณ ดังนั้น ในประพจน์เชิงซ้อนก็มีลำดับในการประมวลผลเช่นกัน  อย่างไรก็ตาม ในทางตรรกจะพยายามใช้เครื่องหมาย ( ) เพื่อลด ความกำกวมของประโยคและทำให้การอ่านรูปประโยคง่ายขึ้น เช่น  p  q   r  (p)  (q  (r))  เพื่อให้การใช้วงเล็บไม่มากเกินความจำเป็น ลำดับของตัวดำเนินการ ทางตรรก เรียงความสำคัญดังนี้ : 1. Negation () 2. Conjunction () 3. Disjunction () 4. Implication () 5. Biconditional ()
Logical Connective: Negation  p เป็นนิเสธของ proposition p ซึ่งจะถือว่า proposition เหมือนกัน  ตัวอย่าง:  วันนี้ไม่ใช่วันจันทร์ (Today is not Monday) M  สนามหญ้าไม่เปียก (The grass is not wet) W  ตารางความจริง:p  p T F F T
Logical Connective: Logical AND  ตัวเชื่อม AND จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อประพจน์ที่ถูกเชื่อมด้วย AND เป็นจริงทั้งคู่ โดยสามารถเรียกตัวเชื่อมนี้อีกอย่างหนึ่งว่า conjunction  ตัวอย่าง:  ฝนกำลังตก และ อากาศอุ่น (It is raining and it is warm)  (2+3=5) and (1<2)  แมวของสมชายตาย และ แมวของสมชายไม่ตาย  ตารางความจริง : p q pq T T T T F F F T F F F F
Logical Connective: Logical OR  ตัวเชื่อม OR จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อประพจน์ที่ถูกเชื่อมด้วย OR มี อย่างน้อยหนึ่งประพจน์ที่เป็นจริง โดยสามารถเรียกตัวเชื่อมนี้ อีกอย่างหนึ่งว่า disjunction  ตัวอย่าง:  ฝนกำลังตก หรือ อากาศเย็น  (2+3=5) or (1<2)  คุณอยากได้เค้ก หรือ ไอศครีม  ตารางความจริง : p q pq T T T T F T F T T F F F
Logical Connective: Logical XOR  ตัวเชื่อม XOR (Exclusive OR) จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อประพจน์ที่ถูก เชื่อมด้วย XOR มีประพจน์ที่เป็นจริงเพียงแค่ประพจน์เท่านั้น  ตัวอย่าง:  ไฟจะมีสถานะ “ติด” หรือ “ดับ” (ไม่มี 2 สถานะพร้อมกัน)  คุณอยากได้เค้ก หรือ ไอศกรีม (ให้เลือกอย่างเดียวเท่านั้น)  ตารางความจริง : p q p  q T T F T F T F F T F T F
Logical Connective: Implication (1)  คำนิยาม: กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ การทำ implication pq จะเป็นประพจน์ที่ให้ค่าเท็จ เมื่อ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จ  p จะถูกเรียกว่า สมมติฐาน (hypothesis), สิ่งที่มา ก่อน(antecedent) หรือ หลักฐาน (premise)  q จะถูกเรียกว่า ข้อสรุป (conclusion), สิ่งที่ตามมา (consequence)  ตารางความจริง : p q p  q T T T T F F F T T F F T
Logical Connective: Implication (2)  ตัวอย่าง  ถ้าคุณซื้อตั๋วเครื่องบินก่อน แล้ว ราคาตั๋วเครื่องบินจะถูก  ถ้า x เป็นจำนวนเต็ม แล้ว x2  0  ถ้า ฝนตก แล้ว สนามหญ้าจะเปียก  ลิงจะออกลูกเป็นไข่ ถ้า สมชายสอบตก
QUIZ 2: จงหาความหมายของประพจน์ ต่อไปนี้  ถ้า -1 เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว 2+2=5  ถ้า -1 เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว 2+2=4  ถ้าสอบปลายภาคเต็ม แล้วจะได้เกรด ‘A’
Logical Connective: Biconditional (1)  คำนิยาม: ก็ต่อเมื่อ (biconditional) เขียนแทนด้วย pq เป็น ประพจน์ที่จะให้ค่าจริง ก็ต่อเมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือน กัน  pq จะมีค่าเท่ากับ (pq)(qp)  ตัวอย่าง :  x>0 ก็ต่อเมื่อ x2 เป็นเลขบวก  สัญญาณกันขโมยจะดัง ก็ต่อเมื่อ ขโมยขึ้นบ้าน  ตารางความจริง : p q p  q T T T T F F F T F F F T
QUIZ 3: จงหาความหมายของประพจน์ ต่อไปนี้  x2 + y2 = 0 ก็ต่อเมื่อ x=0 and y=0  2 + 2 = 4 ก็ต่อเมื่อ if 2<2  x2  0 ก็ต่อเมื่อ x  0
Converse, Inverse, Contrapositive  พิจารณาประพจน์ p  q  converse ของประพจน์ นี้คือ q  p  inverse ของประพจน์ นี้คือ p  q  contrapositive ของประพจน์ นี้คือ q  p p q p  q p  q q  p (converse) p  q (inverse) q  p (contraposition) T T F F T T T T T F F T F T T F F T T F T F F T F F T T T T T T
ตารางความจริง  ตารางความจริงใช้ในการแสดงความสัมพันธ์ ระหว่างความจริงของ  ประพจน์เชิงเดี่ยว และ  ประพจน์เชิงซ้อน p q pq pq pq pq pq T T T T F T T T F F T T F F F T F T T T F F F F F F T T
การสร้างตารางความจริง  ตัวอย่าง : การสร้างตารางความจริง (( p  q ) q ) p q 0 0 0 1 1 0 1 1 p q (1) pq T T T T F F F T F F F F p q (1) pq (2) q T T T F T F F T F T F F F F F T p q (1) pq (2) q ( 1)  (2) T T T F T T F F T T F T F F F F F F T T
การใช้ประโยชน์ของตรรกศาสตร์ใน คอมพิวเตอร์ (1)  คอมพิวเตอร์เก็บข้อมูลต่างๆในรูปแบบเลขฐาน สอง โดยตัวเลข 1 หลัก เรียกว่า บิท (bit)  bit string คือ bit ที่เรียงลำดับ  การใช้ตัวเชื่อมทางตรรก สามารถทำได้กับ bit string ที่มีความยาวเท่ากัน  ตัวอย่าง : 0110 1010 1101 0101 0010 1111 Bitwise OR 0111 1010 1111 Bitwise AND 0100 0010 1101 Bitwise XOR 0011 1000 0010
การใช้ประโยชน์ของตรรกศาสตร์ใน คอมพิวเตอร์ (2)  การค้นหาข้อมูล แบบ Boolean Search เช่น การ ค้นหาใน google  ถ้าพิมพ์ choopan  ถ้าพิมพ์ choopan AND kmutnb • Google ไม่ต้องการ คำว่า “AND” ก็ได้ • การใช้ NOT ใน google ใน เครื่องหมาย – เช่น choopan -kmutnb
การใช้ประโยชน์ของตรรกศาสตร์ใน คอมพิวเตอร์ (3)  วงจรดิจิทัล
หยุดเล่นเกมกันซักนิด  ในเกาะแห่งหนึ่ง ผู้คนในเกาะนี้มีอยู่ 2 ประเภท  อัศวิน พูดแต่เรื่องจริง  คนพาล พูดแต่เรื่องโกหก  มีคนนอกเกาะขึ้นเกาะนี้มาพบคน 2 คน นาย A กับ นาย B  A บอกว่า “B เป็นอัศวิน”  B บอกว่า “เรา 2 คนเป็นคนละประเภทกัน”  คำถาม: จงหาว่า A กับ B เป็นอัศวินหรือคนพาล
คำนิยามเกี่ยวกับค่าความเป็นจริง (1)  Tautology : เป็นประโยคที่ให้ความเป็นจริงในทุก กรณี R  ((P  Q)  (R  Q)) P Q R P  Q R  Q (R  Q) (P  Q)  (R  Q) R  ((P  Q)  (R  Q)) T T T T T F T T T T F T T F T T T F T F F T T T T F F F T F F T F T T T T F T T F T F T T F T T F F T T F T T T F F F T T F T T Tautology ที่ง่ายที่สุด คือ P  P
คำนิยามเกี่ยวกับค่าความเป็นจริง (2)  Self-contradiction : เป็นประโยคที่ให้ความเป็นเท็จใน ทุกกรณี (P  Q)  (Q  P)  Contingent : เป็นประโยคที่สามารถมีทั้งค่าจริงและเท็จ P Q P  Q (P  Q) Q  P (Q  P) (P  Q)  (Q  P) T T T F T F F T F F T T F F F T T F F T F F F T F T F F Contradiction ที่ง่ายที่สุด คือ P  P
คำนิยามเกี่ยวกับค่าความเป็นจริง (4)  2 ประโยคจะถือว่า Logically equivalent ก็ต่อเมื่อค่า ความเป็นจริงของทั้ง 2 ประโยคเหมือนกันในทุก กรณี P  Q และ (Q  P) P Q  P Q P  Q Q  P (Q  P) T T F F T F T T F F T T F T F T T F F T F F F T T T F T
การเท่ากันของประพจน์ (Propositional Equivalences)  ในการจัดการกับประพจน์ทางตรรก บ่อยครั้งที่จะมี การเปลี่ยนประพจน์เดิม ด้วยประพจน์ใหม่ ที่มีความ หมายเหมือนกัน (ค่าความจริงเหมือนกัน)  ประพจน์ที่มีความจริงเหมือนกันเรียกว่า การเท่ากัน ทางตรรก  สามารถหาได้ด้วย 2 วิธีหลักๆ คือ  การใช้ตารางความจริง  การใช้กฎของการแทนที่ (replacement rules)
ตัวอย่าง 1 : การใช้ตารางความจริงหาความ เท่ากันทางตรรก  ประพจน์ (p  q) และ (p  q) เท่ากันทางตรรก หรือไม่?  Solution :p q pq p pq 0 0 0 1 1 0 1 1 p q pq p pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 p q pq p pq 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 p q pq p pq T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T
ตัวอย่าง 2 : การใช้ตารางความจริงหาความ เท่ากันทางตรรก จงพิสูจน์การเท่ากันของสมการต่อไปนี้ (P  (Q  R))  [(P  Q)  ( P  R)] P Q R (Q  R) P  (Q  R) (P  (Q  R)) (P  Q) (P  R) (P  Q) ( P  R) [(P  Q)  ( P  R)] T T T T T F T T T F T T F F F T T F F T T F T F F T F T F T T F F F F T F F F T F T T T T F T T T F F T F F T F T T T F F F T F T F T T T F F F F F T F T T T F
QUIZ : หาความเท่ากันทางตรรก  จงหาว่า (p  r)  (q  r) เท่ากันทางตรรกกับ (p  q)  r หรือไม่ (p  r)  (q  r)  (p  q)  r p q r p r q r (p r)  (q  r) p  q (p  q)  r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
Rules of Replacement (1) ชื่อกฎ Logically equivalent Identity Law P  T  P P  F  P Domination Law P  T  T P  F  F Idempotent Law P  P  P, P  P  P Double negation Law  P  P Commutative Law P  Q  Q  P P  Q  Q  P Associative Law (P  Q)  R  P  (Q  R) (P  Q)  R  P  (Q  R) De Morgan’s Law (P  Q)  P  Q (P  Q)  P  Q Absorption Law P  (P  Q)  P P  (P  Q)  P Negation Law P  P  T P  P  F ประโยคใน propositional logic สามารถแทนที่กันได้ ถ้าประโยคทั้ง 2 นั้น logically equivalent
Rules of Replacement (2) Conditional Statements Biconditional Statements Material Implication Law Material equivalence Law
ตัวอย่าง 1: การพิสูจน์ด้วยกฎ  จงแสดงว่า (p  q) q เป็น tautology 0. (p  q) q 1.  (p  q)  q Implication Law 2.  (p  q)  q De Morgan’s Law 3.  p  (q  q) Associative Law 4.  p  1 Negation Law 5.  1 Domination Law
ตัวอย่าง 2: การพิสูจน์ด้วยกฎ  จงแสดงว่า (q  p)  (p  q)  q 0. (q  p)  (p  q) 1.  (q  p)  (p  q) Implication Law 2.  (q  p)  (p  q) De Morgan’s & Double negation 3.  (q  p)  (q  p) Commutative Law 4.  q  (p  p) Distributive Law 5.  q  1 Identity Law  q Identity Law
ตัวอย่าง 3: การพิสูจน์ด้วยกฎ จงพิสูจน์การเท่ากันของสมการต่อไปนี้ (P  (Q  R))  [(P  Q)  ( P  R)] (P  (Q  R))  (P  (Q  R)) Impl  P  (Q  R) DM  P  (Q   R) DM  (P  Q)  (P   R) Dist  ( ( P)  Q)  ( ( P)   R) DN   ( P  Q)   ( P  R) DM   ( P  Q)   ( P  R) DM   [( P  Q)  ( P  R)] DM   [(P  Q)  (P  R)] Impl
แบบฝึกหัดทำส่ง  จงเขียนตารางความจริงของ  (p → q) ∨ ( ￢ p → q)  (p ∧ q) → (p ∨ q)  ((p  q) ∨ ￢ q)  (p  q) ∧ ( ￢ p  q) q  จงพิสูจน์ความเท่ากันทางตรรกของประโยค ¬p (q r) → → และ q (p r) → ∨ ด้วยตารางความจริง และการใช้กฎแทนที่

More Related Content

PDF
Logic
byMantanaSathitwibon
 
PPT
Logic
bykrukanidfkw
 
PPT
Logic
byAkkradet Keawyoo
 
PDF
9789740329909
byCUPress
 
PDF
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
byครูนิก อดิศักดิ์
 
PDF
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
byAtar Tharinee
 
PDF
ตรรกศาสตร์
byนกแก้ว บุรีรัมย์
 
PDF
Logic e
byAkimoto Akira
 
Logic
byMantanaSathitwibon
 
Logic
bykrukanidfkw
 
Logic
byAkkradet Keawyoo
 
9789740329909
byCUPress
 
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
byครูนิก อดิศักดิ์
 
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
byAtar Tharinee
 
ตรรกศาสตร์
byนกแก้ว บุรีรัมย์
 
Logic e
byAkimoto Akira
 

Similar to propositional logics for discrete mathematics

PDF
Logic game
byJiraprapa Suwannajak
 
PDF
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
byAon Narinchoti
 
PDF
All m4
byRawichW
 
PDF
ตรรกศาสตร์
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
PDF
Logic
byThanuphong Ngoapm
 
PPT
04 การเชื่อมประพจน์
byคุณครูพี่อั๋น
 
PDF
Logicc
byRawichW
 
PDF
สรุปเข้มฯ#7 คณิตศาสตร์
byPasit Suwanichkul
 
PDF
Sk7 ma
bySu Surut
 
PDF
Sk7 ma
byfamousjung
 
PPTX
หน่วยที่ 5 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
byวิทยาลัยเทคโนโลยีพังโคนพณิชยการ P C - T E C H
 
PPT
สมมูล
byคุณครูพี่อั๋น
 
PPTX
หน่วยที่ 2 ตรรกศาสตร์
byจูน นะค่ะ
 
PPTX
หน่วยที่ 2 ตรรกศาสตร์
byจูน นะค่ะ
 
PDF
การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
ความหมายตรรกศาสตร์1
byทับทิม เจริญตา
 
DOC
0102 01 พัฒนาการของตรรกศาสตร์
byคุณครูพี่อั๋น
 
PDF
Logic content
byadunjanthima
 
PDF
31201mid521
byคุณครูพี่อั๋น
 
PDF
ความหมายตรรกศาสตร์1
byทับทิม เจริญตา
 
Logic game
byJiraprapa Suwannajak
 
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
byAon Narinchoti
 
All m4
byRawichW
 
ตรรกศาสตร์
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
Logic
byThanuphong Ngoapm
 
04 การเชื่อมประพจน์
byคุณครูพี่อั๋น
 
Logicc
byRawichW
 
สรุปเข้มฯ#7 คณิตศาสตร์
byPasit Suwanichkul
 
Sk7 ma
bySu Surut
 
Sk7 ma
byfamousjung
 
หน่วยที่ 5 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
byวิทยาลัยเทคโนโลยีพังโคนพณิชยการ P C - T E C H
 
สมมูล
byคุณครูพี่อั๋น
 
หน่วยที่ 2 ตรรกศาสตร์
byจูน นะค่ะ
 
หน่วยที่ 2 ตรรกศาสตร์
byจูน นะค่ะ
 
การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม
byทับทิม เจริญตา
 
ความหมายตรรกศาสตร์1
byทับทิม เจริญตา
 
0102 01 พัฒนาการของตรรกศาสตร์
byคุณครูพี่อั๋น
 
Logic content
byadunjanthima
 
31201mid521
byคุณครูพี่อั๋น
 
ความหมายตรรกศาสตร์1
byทับทิม เจริญตา
 

propositional logics for discrete mathematics

  • 1.
    PROPOSITIONAL LOGIC 030513122 -Discrete Mathematics Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka
  • 2.
    ความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับตรรกศาสตร์  ตรรกะ (Logic)คือ ศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาเหตุและผล ด้วยวิธีการต่างๆ อย่างมีรูปแบบและระบบที่ชัดเจน โดยการพิสูจน์จากข้อเท็จจริงที่กำหนด  ตรรกศาสตร์แบ่งออกเป็น 2 ประเภท  ตรรกศาสตร์แบบดั้งเดิม เป็นตรรกศาสตร์แรกเริ่มที่พัฒนา มาจากหลักการและกระบวนการทางเหตุผลของ อริสโตเติล  ตรรกนิรนัย (Deductive Logic) เป็นการหาความจริงจากส่วน มากไปหาส่วนน้อย  ตรรกอุปนัย (Inductive Logic) เป็นการหาความจริงจากส่วน น้อยไปหาส่วนมาก  ตรรกสัญลักษณ์ (Symbolic Logic) เป็นตรรกศาสตร์ที่ใช้
  • 3.
    ตรรกสัญลักษณ์  ตรรกสัญลักษณ์ (Symboliclogic) แบ่งได้ 2 ประเภท  ตรรกะที่ว่าด้วยประพจน์ (Propositional Logic) เป็น ตรรกศาสตร์ที่ว่าด้วยการทดสอบประโยคหรือเนื้อหา ที่ เรียกว่า ประพจน์ เพื่อหาข้อเท็จจริงหรือความสมเหตุสม ผลของประพจน์ลักษณะต่างๆ ทั้งที่เป็นประพจน์เชิงเดี่ยว และ ประพจน์เชิงซ้อน  ตรรกะที่ว่าด้วยภาคขยาย (Predicate Logic) เป็น ตรรกศาสตร์ที่ทดสอบประโยคกล่าวอ้างที่เกี่ยวข้องกับ ประโยคทั่วไป และ ประพจน์เชิงเดี่ยว เพื่อหาความสม เหตุสมผลของประโยคกล่าวอ้าง
  • 4.
    ประพจน์  ประพจน์ (Proposition)เป็นส่วนที่ใช้พิสูจน์ เพื่อบ่งชี้ ความจริงตามหลักเหตุผล มี 2 ชนิด คือ  ประพจน์เชิงเดี่ยว (Single Proposition)  ประพจน์เชิงซ้อน (Compound Proposition)
  • 5.
    ภาษาตรรกศาสตร์ (Syntax และ Semantics) Syntax (ไวยกรณ์) คือการกำหนดรูปแบบของภาษา  ตัวอย่าง syntax ของคณิตศาสตร์  X + Y = 4 √  X2y+ = X  Semantics ความหมายของประโยคนั้นๆ  ในทางตรรกศาสตร์ Semantics จะบอกถึงความเป็นจริง ของประโยค  ปกติ semantics จะมีค่าแค่ true หรือ false  X + Y = 4 เป็นจริงเมื่อ X = 2 และ Y = 2 เป็นเท็จเมื่อ X = 1 และ Y = 1
  • 6.
    Introduction: Proposition  คำนิยาม:ค่าของ proposition เรียกว่า ค่าความจริง มีค่าคือ  T หรือ 1 ถ้าเป็นจริง  F หรือ 0 ถ้าเป็นเท็จ  ความคิดเห็น คำถาม และ คำสั่ง ไม่ใช่ propositions  ตารางความจริง (Truth table) p T F
  • 7.
    Propositions: Examples  ตัวอย่างของpropositions  วันนี้เป็นวันจันทร์ (Today is Monday) แทนด้วย สัญลักษณ์ M  สนามหญ้าเปียก (The grass is wet) แทนด้วยสัญลักษณ์ W  ฝนกำลังตก (It is raining) แทนด้วยสัญลักษณ์ R  ตัวอย่างที่ ไม่ใช่ propositions  ภาษา Java เป็นภาษาที่ดีที่สุด (Java is the best language) เนื่องจากเป็น ความคิดเห็น  เมื่อไรจะสอบปลายภาค ? (When is the final exam?) เนื่องจากเป็น คำถาม
  • 8.
    Quiz 1: Arethese propositions?  2*3 > 4  2+2 = 5  Every integer is divisible by 12  Microsoft is an excellent company  Will I get an ‘A’ in this course ?  Don’t open the windows.  Java is a programming language  C++ is better than C
  • 9.
    ตัวเชื่อมทางตรรก (Logical connectives)  ตัวเชื่อม(Connectives) ถูกใช้สำหรับสร้างประพจน์ที่เชิงซ้อน (compound proposition) จากประพจน์ที่มากกว่าหนึ่งประพจน์ ขึ้นไป  นิเสธ (Negation) เขียนแทนด้วย a หรือ !a หรือ ā  และ (And หรือ logical conjunction) เขียนแทนด้วย   หรือ (OR หรือ logical disjunction) เขียนแทนด้วย   เอ็กซ์ออร์ (XOR หรือ exclusive or) เขียนแทนด้วย   ถ้าแล้ว (Implication) เขียนแทนด้วย  หรือ   ก็ต่อเมื่อ (Biconditional) เขียนแทนด้วย  หรือ   เรานิยามความหมาย (semantics) ของตัวเชื่อมทางตรรกโดย ใช้ตารางความจริง
  • 10.
    ลำดับของตัวดำเนินการทางตรรก  เหมือนในทางคณิตศาสตร์ (+,- , *, / ) มีลำดับในการคำนวณ ดังนั้น ในประพจน์เชิงซ้อนก็มีลำดับในการประมวลผลเช่นกัน  อย่างไรก็ตาม ในทางตรรกจะพยายามใช้เครื่องหมาย ( ) เพื่อลด ความกำกวมของประโยคและทำให้การอ่านรูปประโยคง่ายขึ้น เช่น  p  q   r  (p)  (q  (r))  เพื่อให้การใช้วงเล็บไม่มากเกินความจำเป็น ลำดับของตัวดำเนินการ ทางตรรก เรียงความสำคัญดังนี้ : 1. Negation () 2. Conjunction () 3. Disjunction () 4. Implication () 5. Biconditional ()
  • 11.
    Logical Connective: Negation p เป็นนิเสธของ proposition p ซึ่งจะถือว่า proposition เหมือนกัน  ตัวอย่าง:  วันนี้ไม่ใช่วันจันทร์ (Today is not Monday) M  สนามหญ้าไม่เปียก (The grass is not wet) W  ตารางความจริง:p  p T F F T
  • 12.
    Logical Connective: LogicalAND  ตัวเชื่อม AND จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อประพจน์ที่ถูกเชื่อมด้วย AND เป็นจริงทั้งคู่ โดยสามารถเรียกตัวเชื่อมนี้อีกอย่างหนึ่งว่า conjunction  ตัวอย่าง:  ฝนกำลังตก และ อากาศอุ่น (It is raining and it is warm)  (2+3=5) and (1<2)  แมวของสมชายตาย และ แมวของสมชายไม่ตาย  ตารางความจริง : p q pq T T T T F F F T F F F F
  • 13.
    Logical Connective: LogicalOR  ตัวเชื่อม OR จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อประพจน์ที่ถูกเชื่อมด้วย OR มี อย่างน้อยหนึ่งประพจน์ที่เป็นจริง โดยสามารถเรียกตัวเชื่อมนี้ อีกอย่างหนึ่งว่า disjunction  ตัวอย่าง:  ฝนกำลังตก หรือ อากาศเย็น  (2+3=5) or (1<2)  คุณอยากได้เค้ก หรือ ไอศครีม  ตารางความจริง : p q pq T T T T F T F T T F F F
  • 14.
    Logical Connective: LogicalXOR  ตัวเชื่อม XOR (Exclusive OR) จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อประพจน์ที่ถูก เชื่อมด้วย XOR มีประพจน์ที่เป็นจริงเพียงแค่ประพจน์เท่านั้น  ตัวอย่าง:  ไฟจะมีสถานะ “ติด” หรือ “ดับ” (ไม่มี 2 สถานะพร้อมกัน)  คุณอยากได้เค้ก หรือ ไอศกรีม (ให้เลือกอย่างเดียวเท่านั้น)  ตารางความจริง : p q p  q T T F T F T F F T F T F
  • 15.
    Logical Connective: Implication(1)  คำนิยาม: กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ การทำ implication pq จะเป็นประพจน์ที่ให้ค่าเท็จ เมื่อ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จ  p จะถูกเรียกว่า สมมติฐาน (hypothesis), สิ่งที่มา ก่อน(antecedent) หรือ หลักฐาน (premise)  q จะถูกเรียกว่า ข้อสรุป (conclusion), สิ่งที่ตามมา (consequence)  ตารางความจริง : p q p  q T T T T F F F T T F F T
  • 16.
    Logical Connective: Implication(2)  ตัวอย่าง  ถ้าคุณซื้อตั๋วเครื่องบินก่อน แล้ว ราคาตั๋วเครื่องบินจะถูก  ถ้า x เป็นจำนวนเต็ม แล้ว x2  0  ถ้า ฝนตก แล้ว สนามหญ้าจะเปียก  ลิงจะออกลูกเป็นไข่ ถ้า สมชายสอบตก
  • 17.
    QUIZ 2: จงหาความหมายของประพจน์ ต่อไปนี้ ถ้า -1 เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว 2+2=5  ถ้า -1 เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว 2+2=4  ถ้าสอบปลายภาคเต็ม แล้วจะได้เกรด ‘A’
  • 18.
    Logical Connective: Biconditional(1)  คำนิยาม: ก็ต่อเมื่อ (biconditional) เขียนแทนด้วย pq เป็น ประพจน์ที่จะให้ค่าจริง ก็ต่อเมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือน กัน  pq จะมีค่าเท่ากับ (pq)(qp)  ตัวอย่าง :  x>0 ก็ต่อเมื่อ x2 เป็นเลขบวก  สัญญาณกันขโมยจะดัง ก็ต่อเมื่อ ขโมยขึ้นบ้าน  ตารางความจริง : p q p  q T T T T F F F T F F F T
  • 19.
    QUIZ 3: จงหาความหมายของประพจน์ ต่อไปนี้ x2 + y2 = 0 ก็ต่อเมื่อ x=0 and y=0  2 + 2 = 4 ก็ต่อเมื่อ if 2<2  x2  0 ก็ต่อเมื่อ x  0
  • 20.
    Converse, Inverse, Contrapositive พิจารณาประพจน์ p  q  converse ของประพจน์ นี้คือ q  p  inverse ของประพจน์ นี้คือ p  q  contrapositive ของประพจน์ นี้คือ q  p p q p  q p  q q  p (converse) p  q (inverse) q  p (contraposition) T T F F T T T T T F F T F T T F F T T F T F F T F F T T T T T T
  • 21.
  • 22.
    การสร้างตารางความจริง  ตัวอย่าง :การสร้างตารางความจริง (( p  q ) q ) p q 0 0 0 1 1 0 1 1 p q (1) pq T T T T F F F T F F F F p q (1) pq (2) q T T T F T F F T F T F F F F F T p q (1) pq (2) q ( 1)  (2) T T T F T T F F T T F T F F F F F F T T
  • 23.
    การใช้ประโยชน์ของตรรกศาสตร์ใน คอมพิวเตอร์ (1)  คอมพิวเตอร์เก็บข้อมูลต่างๆในรูปแบบเลขฐาน สองโดยตัวเลข 1 หลัก เรียกว่า บิท (bit)  bit string คือ bit ที่เรียงลำดับ  การใช้ตัวเชื่อมทางตรรก สามารถทำได้กับ bit string ที่มีความยาวเท่ากัน  ตัวอย่าง : 0110 1010 1101 0101 0010 1111 Bitwise OR 0111 1010 1111 Bitwise AND 0100 0010 1101 Bitwise XOR 0011 1000 0010
  • 24.
    การใช้ประโยชน์ของตรรกศาสตร์ใน คอมพิวเตอร์ (2)  การค้นหาข้อมูลแบบ Boolean Search เช่น การ ค้นหาใน google  ถ้าพิมพ์ choopan  ถ้าพิมพ์ choopan AND kmutnb • Google ไม่ต้องการ คำว่า “AND” ก็ได้ • การใช้ NOT ใน google ใน เครื่องหมาย – เช่น choopan -kmutnb
  • 25.
  • 26.
    หยุดเล่นเกมกันซักนิด  ในเกาะแห่งหนึ่ง ผู้คนในเกาะนี้มีอยู่2 ประเภท  อัศวิน พูดแต่เรื่องจริง  คนพาล พูดแต่เรื่องโกหก  มีคนนอกเกาะขึ้นเกาะนี้มาพบคน 2 คน นาย A กับ นาย B  A บอกว่า “B เป็นอัศวิน”  B บอกว่า “เรา 2 คนเป็นคนละประเภทกัน”  คำถาม: จงหาว่า A กับ B เป็นอัศวินหรือคนพาล
  • 27.
    คำนิยามเกี่ยวกับค่าความเป็นจริง (1)  Tautology :เป็นประโยคที่ให้ความเป็นจริงในทุก กรณี R  ((P  Q)  (R  Q)) P Q R P  Q R  Q (R  Q) (P  Q)  (R  Q) R  ((P  Q)  (R  Q)) T T T T T F T T T T F T T F T T T F T F F T T T T F F F T F F T F T T T T F T T F T F T T F T T F F T T F T T T F F F T T F T T Tautology ที่ง่ายที่สุด คือ P  P
  • 28.
    คำนิยามเกี่ยวกับค่าความเป็นจริง (2)  Self-contradiction :เป็นประโยคที่ให้ความเป็นเท็จใน ทุกกรณี (P  Q)  (Q  P)  Contingent : เป็นประโยคที่สามารถมีทั้งค่าจริงและเท็จ P Q P  Q (P  Q) Q  P (Q  P) (P  Q)  (Q  P) T T T F T F F T F F T T F F F T T F F T F F F T F T F F Contradiction ที่ง่ายที่สุด คือ P  P
  • 29.
    คำนิยามเกี่ยวกับค่าความเป็นจริง (4)  2 ประโยคจะถือว่าLogically equivalent ก็ต่อเมื่อค่า ความเป็นจริงของทั้ง 2 ประโยคเหมือนกันในทุก กรณี P  Q และ (Q  P) P Q  P Q P  Q Q  P (Q  P) T T F F T F T T F F T T F T F T T F F T F F F T T T F T
  • 30.
    การเท่ากันของประพจน์ (Propositional Equivalences)  ในการจัดการกับประพจน์ทางตรรกบ่อยครั้งที่จะมี การเปลี่ยนประพจน์เดิม ด้วยประพจน์ใหม่ ที่มีความ หมายเหมือนกัน (ค่าความจริงเหมือนกัน)  ประพจน์ที่มีความจริงเหมือนกันเรียกว่า การเท่ากัน ทางตรรก  สามารถหาได้ด้วย 2 วิธีหลักๆ คือ  การใช้ตารางความจริง  การใช้กฎของการแทนที่ (replacement rules)
  • 31.
    ตัวอย่าง 1 :การใช้ตารางความจริงหาความ เท่ากันทางตรรก  ประพจน์ (p  q) และ (p  q) เท่ากันทางตรรก หรือไม่?  Solution :p q pq p pq 0 0 0 1 1 0 1 1 p q pq p pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 p q pq p pq 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 p q pq p pq T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T
  • 32.
    ตัวอย่าง 2 :การใช้ตารางความจริงหาความ เท่ากันทางตรรก จงพิสูจน์การเท่ากันของสมการต่อไปนี้ (P  (Q  R))  [(P  Q)  ( P  R)] P Q R (Q  R) P  (Q  R) (P  (Q  R)) (P  Q) (P  R) (P  Q) ( P  R) [(P  Q)  ( P  R)] T T T T T F T T T F T T F F F T T F F T T F T F F T F T F T T F F F F T F F F T F T T T T F T T T F F T F F T F T T T F F F T F T F T T T F F F F F T F T T T F
  • 33.
    QUIZ : หาความเท่ากันทางตรรก จงหาว่า (p  r)  (q  r) เท่ากันทางตรรกกับ (p  q)  r หรือไม่ (p  r)  (q  r)  (p  q)  r p q r p r q r (p r)  (q  r) p  q (p  q)  r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
  • 34.
    Rules of Replacement(1) ชื่อกฎ Logically equivalent Identity Law P  T  P P  F  P Domination Law P  T  T P  F  F Idempotent Law P  P  P, P  P  P Double negation Law  P  P Commutative Law P  Q  Q  P P  Q  Q  P Associative Law (P  Q)  R  P  (Q  R) (P  Q)  R  P  (Q  R) De Morgan’s Law (P  Q)  P  Q (P  Q)  P  Q Absorption Law P  (P  Q)  P P  (P  Q)  P Negation Law P  P  T P  P  F ประโยคใน propositional logic สามารถแทนที่กันได้ ถ้าประโยคทั้ง 2 นั้น logically equivalent
  • 35.
    Rules of Replacement(2) Conditional Statements Biconditional Statements Material Implication Law Material equivalence Law
  • 36.
    ตัวอย่าง 1: การพิสูจน์ด้วยกฎ จงแสดงว่า (p  q) q เป็น tautology 0. (p  q) q 1.  (p  q)  q Implication Law 2.  (p  q)  q De Morgan’s Law 3.  p  (q  q) Associative Law 4.  p  1 Negation Law 5.  1 Domination Law
  • 37.
    ตัวอย่าง 2: การพิสูจน์ด้วยกฎ จงแสดงว่า (q  p)  (p  q)  q 0. (q  p)  (p  q) 1.  (q  p)  (p  q) Implication Law 2.  (q  p)  (p  q) De Morgan’s & Double negation 3.  (q  p)  (q  p) Commutative Law 4.  q  (p  p) Distributive Law 5.  q  1 Identity Law  q Identity Law
  • 38.
    ตัวอย่าง 3: การพิสูจน์ด้วยกฎ จงพิสูจน์การเท่ากันของสมการต่อไปนี้(P  (Q  R))  [(P  Q)  ( P  R)] (P  (Q  R))  (P  (Q  R)) Impl  P  (Q  R) DM  P  (Q   R) DM  (P  Q)  (P   R) Dist  ( ( P)  Q)  ( ( P)   R) DN   ( P  Q)   ( P  R) DM   ( P  Q)   ( P  R) DM   [( P  Q)  ( P  R)] DM   [(P  Q)  (P  R)] Impl
  • 39.
    แบบฝึกหัดทำส่ง  จงเขียนตารางความจริงของ  (p→ q) ∨ ( ￢ p → q)  (p ∧ q) → (p ∨ q)  ((p  q) ∨ ￢ q)  (p  q) ∧ ( ￢ p  q) q  จงพิสูจน์ความเท่ากันทางตรรกของประโยค ¬p (q r) → → และ q (p r) → ∨ ด้วยตารางความจริง และการใช้กฎแทนที่