1. Chapter 2
Introduction and logic
1

2.  Discrete หมายถึง ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่ต่อเนื่อง
 Discrete mathematics : วิยุตคณิต ภินทน
คณิตศาสตร์ หรือ คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง หรือ
บางครั้งเรียกว่า คณิตศาสตร์จำากัด เป็นการศึกษา
โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีลักษณะเป็นค่าเฉพาะ
เจาะจง และไม่ต่อเนื่อง ซึ่งไม่ต้องใช้แนวคิดเกี่ยวกับ
ความต่อเนื่อง วัตถุที่ศึกษาส่วนมากในสาขานี้มักเป็น
เซตนับได้ เช่น เซตของ
จำานวนเต็ม(th.wikipedia.org)
 Operations:
 Combinatorics: การนับวัตถุที่ไม่ต่อเนื่อง
 Logical operators, relations: การกำาหนดความสัมพันธ์2

3.  พื้นฐานของการประมวลผลข้อมูลดิจิตอลทุก
ประเภทคือ:
การดำาเนินการแบบไม่ต่อเนื่องของโครงสร้าง
ที่ใช้แทนหน่วยความจำาคอมพิวเตอร์
 เป็นแนวคิดพื้นฐานสำาหรับสาขาวิทยาการ
คอมพิวเตอร์
 ใช้เป็นเครื่องมือและเทคนิคในการออกแบบและทำาความ
เข้าใจในระบบคอมพิวเตอร์
 แนวคิดของคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง ถูกนำาไป
ใช้อย่างกว้างขวางในสาขาคณิตศาสตร์,
วิทยาศาสตร์, วิศวกรรมศาสตร์,
เศรษฐศาสตร์, ชีววิทยา, ฯลฯ … 3

4.  Advanced algorithms
& data structures
 Programming
language compilers &
interpreters.
 Computer networks
 Operating systems
 Computer
architecture
 Artificial
Intelligence
 Database
management systems
 Cryptography
 Error correction
codes
 Graphics & animation
algorithms, game
engines, etc.…
4

5.  เป็นศาสตร์ที่สำาคัญในการให้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์
 ตรรกศาสตร์ถูกนำาไปประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการ
คอมพิวเตอร์:
ออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์แบบดิจิตอล
แสดงเงื่อนไขในโปรแกรม
สอบถามข้อมูลในฐานข้อมูล และโปรแกรม
ค้นหา(search engines)
 ตรรกศาสตร์เป็นระบบที่มีพื้นฐานอยู่บน
ประพจน์(propositions)
 ประพจน์ (แทนด้วย p, q, r, …) หมายถึงประโยค
บอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง(T) หรือ
เท็จ(F) เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น 5

6. “ช้างตัวใหญ่กว่าหนู”
6
เป็นประพจน์ใช่หรือไม่เป็นประพจน์ใช่หรือไม่?? yesyes
ค่าความจริงของประพจน์ค่าความจริงของประพจน์
คือคือ??
truetrue
“520 < 111”
yesyes
ค่าความจริงของประพจน์นี้ค่าความจริงของประพจน์นี้
คืออะไรคืออะไร??
falsefalse
เป็นประพจน์ใช่หรือไม่เป็นประพจน์ใช่หรือไม่??

7. “y > 5”
7
เป็นประพจน์ใช่หรือไม่เป็นประพจน์ใช่หรือไม่?? nono
ค่าความจริงของประโยคนี้ขึ้นกับค่าของตัวแปรค่าความจริงของประโยคนี้ขึ้นกับค่าของตัวแปร yy
ซึ่งขณะนี้เราไม่ทราบว่ามีค่าเท่าไร เราเรียกประโยคซึ่งขณะนี้เราไม่ทราบว่ามีค่าเท่าไร เราเรียกประโยค
แบบนี้ว่าฟังก์ชั่นของประพจน์แบบนี้ว่าฟังก์ชั่นของประพจน์((propositionalpropositional
functionfunction)) หรือ ประโยคเปิดหรือ ประโยคเปิด ((open sentenceopen sentence))
“วันนี้เป็นวันที่ 27 มกราคม และ 99 < 5”
เป็นประพจน์ใช่หรือไม่เป็นประพจน์ใช่หรือไม่?? yesyes
ค่าความจริงของประพจน์นี้ค่าความจริงของประพจน์นี้
คืออะไรคืออะไร??
falsefalse

8. “กรุณาอย่านอนกรนในห้องเรียน”
8
เป็นประพจน์ใช่หรือไม่เป็นประพจน์ใช่หรือไม่?? nono
จัดเป็นประโยคขอร้องแต่จัดเป็นประโยคขอร้องแต่ไม่ไม่เป็นประพจน์เป็นประพจน์
“x < y ก็ต่อเมื่อ y > x”
เป็นประพจน์ใช่หรือไม่เป็นประพจน์ใช่หรือไม่?? yesyes
ค่าความจริงของประพจน์นี้ค่าความจริงของประพจน์นี้
คืออะไรคืออะไร??
truetrue
…… เพราะค่าความจริงของประพจน์ไม่ได้ขึ้นอยู่เพราะค่าความจริงของประพจน์ไม่ได้ขึ้นอยู่
กับค่าของตัวแปรกับค่าของตัวแปร xx และตัวแปรและตัวแปร yy

9.  ตัวดำาเนินการ(Operator) ทำาหน้าที่รวม
นิพจน์(expression) มากกว่าหนึ่งนิพจน์เข้าด้วยกัน
 Unary operators ใช้กับตัวถูกดำาเนินการ(Operand) ตัวเดียว
(เช่น −3)
 Binary operators ใช้กับตัวถูกดำาเนินการ 2 ตัว (เช่น 3 × 4)
 ตัวดำาเนินการบูลีน(Boolean operator) จะทำาให้เกิด
ประพจน์ประกอบ(Compound proposition)เพียง
ประพจน์เดียว จากการดำาเนินการบนประพจน์ย่อย
ต่างๆ(หรือบนค่าความจริงของประพจน์เหล่านั้น)
9

10. Formal Name Nickname Arity Symbol
Negation operator NOT Unary ¬, ~
Conjunction operator AND Binary ∧
Disjunction operator OR Binary ∨
Exclusive-OR operator XOR Binary ⊕
Implication operator IMPLIES Binary →
Biconditional operator IFF Binary ↔
10

11. Negation operator “¬” (NOT) แปลงประพจน์ใดๆ
ให้เป็นนิเสธของประพจน์นั้น
เช่น ให้ p = “ฉันมีผมสีนำ้าตาล”
ดังนั้น ¬p = “ฉันไม่มีผมสีนำ้าตาล”
ตารางค่าความจริง(truth table) ของ NOT:
11
p ¬p
T F
F T
T :≡ True; F :≡ False
“:≡” หมายถึง “ถูกนิยามแทน”
คอลัมน์ตัวถูกดำาเนินการคอลัมน์ผลลัพธ์

12. Conjunction operator “∧” (AND) เชื่อมประพจน์ 2
ประพจน์เข้าด้วยกันด้วย “และ”
เช่น ถ้า p=“ฉันจะกินส้มเป็นอาหารกลางวัน” และ
q=“ฉันจะกินทุเรียนเป็นอาหารเย็น”
ดังนั้น p∧q=“ฉันจะกินส้มเป็นอาหารกลางวัน และ ฉัน
จะกินทุเรียนเป็นอาหารเย็น”
ประพจน์ p∧q มีค่าเป็นจริง เมื่อประพจน์ “ฉันจะกินส้ม
เป็นอาหารกลางวัน” เป็นจริง และประพจน์ “ฉันจะ
กินทุเรียนเป็นอาหารเย็น” เป็นจริงทั้งคู่ กรณีอื่น
นอกเหนือจากนี้ประพจน์ p∧q มีค่าเป็นเท็จ
12

13.  สังเกตว่าการเชื่อมประพจน์
n ประพจน์เข้าด้วยกัน
(p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn)
ตารางค่าความจริงจะมีจำานวนแถว
เท่ากับ 2n
แถว
13
p q p∧q
F F F
F T F
T F F
T T T
คอลัมน์ตัวถูกดำาเนินการคอลัมน์ผลลัพธ์

14. Disjunction operator “∨” (OR) เชื่อมประพจน์ 2
ประพจน์เข้าด้วยกันด้วย “หรือ”
เช่น ถ้า p=“รถจักรยานของฉันมีล้อสีแดง” หรือ
q=“รถจักรยานของฉันมีตะกร้าสีขาว”
p∨q=“รถจักรยานของฉันมีล้อสีแดง หรือ รถ
จักรยานของฉันมีตะกร้าสีขาว”
ประพจน์ p∨q มีค่าเป็นเท็จ เมื่อประพจน์ “รถจักรยาน
ของฉันมีล้อสีแดง” เป็นเท็จ และประพจน์ “รถ
จักรยานของฉันมีตะกร้าสีขาว” เป็นเท็จทั้งคู่ กรณี
อื่นนอกเหนือจากนี้ประพจน์ p∨q มีค่าเป็นจริง
14

15.  สังเกตว่า p∨q หมายถึง
p เป็นจริง หรือ q เป็นจริง,
หรือทั้ง p และ q เป็นจริง
 Disjunction operator “∨”
อาจเรียกอีกอย่างว่า inclusive or
เพราะประพจน์จะมีค่าเป็นจริง
ในกรณีที่ทั้ง p และ q เป็นจริงทั้งคู่
15
p q p∨ q
F F F
F T T
T F T
T T T
สังเกตส่วนที่
แตกต่างจาก
AND

16.  สามารถใช้วงเล็บเพื่อจัดกลุ่มนิพจน์ย่อย:
“ฉันเพิ่งได้พบกับเพื่อนเก่า(f) และเขาตัวโตขึ้น
มาก(g) หรือฉันตัวเล็กลง(s)”
= f ∧ (g ∨ s)
 (f ∧ g) ∨ s ความหมายจะเปลี่ยนไป
 f ∧ g ∨ s ความหมายกำากวม
 หากไม่ใช้วงเล็บ “¬” มีลำาดับความสำาคัญ
มากกว่า “” และ “”
 ¬s ∧ f หมายถึง (¬s) ∧ f ไม่ใช่ ¬ (s ∧ f)
 ลำาดับความสำาคัญของตัวดำาเนินการ: ¬, ∧, ∨,
16

17. ให้ p = “เมื่อคืนนี้ฝนตก”
q = “มีหมอกลงเมื่อเช้าวันนี้”
r = “เช้าวันนี้สนามหญ้าเปียก”
จงแปลนิพจน์ต่อไปนี้:
¬p =
r ∧ ¬p =
¬ r ∨ p ∨ q =
17
“เมื่อคืนฝนไม่ตก”
“เช้าวันนี้สนามหญ้าเปียก และเมื่อ
คืนนี้ฝนไม่ตก”
“เมื่อเช้าวันนี้สนามหญ้าไม่เปียก
หรือ เมื่อคืนนี้ฝนตก หรือ มีหมอก
ลงเมื่อเช้านี้”

18. Exclusive-or operator “⊕” (XOR) รวมประพจน์ 2
ประพจน์เข้าด้วยกันแบบ “exclusive or”
p = “ฉันจะได้เกรด A วิชานี้”
q = “ฉันจะได้เกรด B วิชานี้”
p ⊕ q = “ฉันจะได้เกรด A วิชานี้ หรือ ฉันจะได้เกรด
B วิชานี้(แต่ไม่สามารถได้เกรดทั้งสองพร้อมกัน)”
18

19.  สังเกตว่า p⊕q หมายถึง
p เป็นจริง หรือ q เป็นจริง
แต่ต้องไม่เป็นจริงทั้งคู่
จึงอาจเขียนได้ว่า
(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
 การดำาเนินการนี้เรียกว่า exclusive or
เพราะประพจน์จะมีค่าเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง p และ q
เป็นจริงทั้งคู่
19
p q p⊕ q
F F F
F T T
T F T
T T F สังเกต
ส่วนที่
แตกต่าง
จาก
OR

20. Implication p → q หมายความว่า “ถ้า p แล้ว q”
คือ ถ้า p เป็นจริง แล้ว q เป็นจริง แต่ ถ้า p ไม่เป็นจริง แล้ว q อาจ
เป็นจริงหรือเป็นเท็จก็ได้
เช่น ให้ p = “คุณขยันเรียน”
q = “คุณจะได้เกรดที่ดี”
p → q = “ถ้า คุณขยันเรียน แล้ว คุณจะได้เกรดที่ดี” (แต่ถ้า
ไม่ขยันเรียน ก็อาจได้เกรดที่ดีหรือเกรดที่ไม่ดีก็ได้)
ประพจน์ p→q มีค่าเป็นเท็จ เมื่อประพจน์ “คุณขยันเรียน”
เป็นจริง และประพจน์ “คุณจะได้เกรดที่ดี” เป็นเท็จ
กรณีอื่นๆนอกเหนือจากนี้ประพจน์ p→q มีค่าเป็นจริง
20
เหตุ
(antecedent)
ผล
(consequent)

21.  รูปแบบของ implication ที่สมนัยกัน(Equivalent) :
If P, then Q
P implies Q
If P, Q
P is a sufficient condition for Q
Q if P
Q whenever P
Q is a necessary condition for P
 Terminology:
P = premise, hypothesis, antecedent
Q = conclusion, consequence
21

22.  p → q เป็นเท็จ เฉพาะเมื่อ
p เป็นจริง แต่ q เป็นเท็จ
 ประพจน์ p → q เป็นจริง
โดยไม่จำาเป็นว่า p หรือ q
จะต้องเป็นจริงทั้งคู่
เช่น
 “(1=0) → หมูบินได้” เป็นจริง
22
p q p→q
F F T
F T T
T F F
T T T
เป็น
False
เพียง
กรณีเดียว

23.  “ถ้าแพนด้ามีขนรอบตาสีดำา แล้วพรุ่งนี้พระอาทิตย์จะขึ้น”
True หรือ False?
 “ถ้าวันอังคารเป็นวันหนึ่งวันในสัปดาห์ แล้วฉันเป็นแมวนำ้า”
True หรือ False?
 “ถ้า 1+1=6 แล้วโก๊ะตี๋เป็นชาวฝรั่งเศส”
True หรือ False?
 “ถ้า 3>8 แล้วกรุงเทพเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย”
True หรือ False?
 “ถ้าฉันเป็นคนไทยแล้วปลาฉลามวิ่งได้”
True หรือ False?
23

24. คำาศัพท์บางคำาที่อาจเจอในเรื่องการ implication p → q
ได้แก่:
 บทกลับ(converse) : q → p
 ข้อความผกผัน(inverse) : ¬p → ¬q
 ข้อความแย้งสลับที่(contrapositive) : ¬q → ¬ p
 จากประพจน์ทั้งสามข้างต้นมีประพจน์ประเภทหนึ่งที่มี
ความหมายเดียวกันกับ p → q คือ?
24

25. การพิสูจน์การสมมูลของ p → q กับข้อความแย้งสลับ
ที่(contrapositive) โดยใช้ตารางค่าความจริง :
25
p q ¬q ¬p p→q ¬q →¬p
F F T T T T
F T F T T T
T F T F F F
T T F F T T

26. Biconditional p ↔ q แสดงว่า p เป็นจริง ก็ต่อ
เมื่อ (if and only if --IFF) q เป็นจริง
p = “Bush ชนะการเลือกตั้งปี 2004”
q = “Bush จะเป็นประธานาธิบดีในปี 2005”
p ↔ q = “Bush ชนะการเลือกตั้งปี 2004 ก็ต่อ
เมื่อ Bush จะเป็นประธานาธิบดีในปี 2005 ”
26

27.  p ↔ q มีค่าความจริงเป็นจริง
เมื่อ p และ q มีค่าความจริง
เหมือนกัน(เท็จทั้งคู่ หรือ จริงทั้งคู่)
 สังเกตว่าตารางค่าความจริงนี้
ตรงข้ามกับตารางค่าความจริงของ 
ดังนั้น p ↔ q สมมูลกับ ¬(p ⊕ q)
27
p q p ↔ q
F F T
F T F
T F F
T T T

28. 28
p q ¬p p∧q p∨q p⊕q p→q p↔q
F F T F F F T T
F T T F T T T F
T F F F T T F F
T T F T T F T T

29. Name: not and or xor implies iff
Propositional logic: ¬∧ ∨ ⊕ → ↔
Boolean algebra: p pq + ⊕
C/C++/Java (wordwise): ! && || != ==
C/C++/Java (bitwise): ~ & | ^
Logic gates:
29

30.  บิต(bit) คือ binary (base 2) digit: 0 หรือ 1
 บิตสามารถใช้แทนค่าความจริงได้ โดย: 0 แทน “เท็จ”; 1
แทน “จริง”
 Boolean algebra ตัวแปรแทนบิต, + หมายถึง “or”,
และการคูณหมายถึง “and”
 ตัวดำาเนินการบูลีน สามารถนำาไปใช้ดำาเนินการ
กับบิตสตริงในลักษณะบิตต่อบิตได้
ตัวอย่าง เช่น:
01 1011 0110
11 0001 1101
11 1011 1111
Bit-wise OR, Bit-wise AND , Bit-wise XOR
30
Topic #2 – Bits

31. จงเขียนประโยคต่อไปนี้ในรูปของตัวแปรและ
ตัวดำาเนินการทางตรรกะ
 นิสิตที่ลงทะเบียนเรียนวิชาเครือข่ายคอมพิวเตอร์ จะ
เป็นนิสิตที่ผ่านการเรียนวิชาแคลคูลัส หรือวิชา
คอมพิวเตอร์เบื้องต้นมาแล้ว
 หากท่านซื้อประกันภัยรถยนต์กับบริษัทประกันคุ้มดี
ท่านสามารถเลือกรับเงินสดคืน 2,000 บาท หรือ
เลือกขอสินเชื่อเงินกู้ได้ในอัตราดอกเบี้ย 2%
 ฉันเคยไปดูละครเวทีเรื่องบัลลังก์เมฆ หรือ เรื่องบ้าน
ทรายทอง แต่ไม่เคยร้องไห้
31

32.  P: นิสิตลงทะเบียนเรียนวิชาเครือข่ายคอมพิวเตอร์
 Q: นิสิตผ่านการเรียนวิชาแคลคูลัส
 R: นิสิตผ่านการเรียนวิชาคอมพิวเตอร์เบื้องต้น
 P → Q ∨ R
32
• นิสิตที่ลงทะเบียนเรียนวิชาเครือข่าย
คอมพิวเตอร์ จะเป็นนิสิตที่ผ่านการเรียนวิชา
แคลคูลัส หรือวิชาคอมพิวเตอร์เบื้องต้นมาแล้ว

33.  P: ท่านซื้อประกันภัยรถยนต์กับบริษัทประกันคุ้มดี
 Q: ท่านสามารถเลือกรับเงินสดคืน 2,000 บาท
 R: ท่านสามารถขอสินเชื่อเงินกู้ได้ในอัตรา
ดอกเบี้ย 2%
 P → Q ⊕ R
33
• หากท่านซื้อประกันภัยรถยนต์กับบริษัทประกันคุ้ม
ดี ท่านสามารถเลือกรับเงินสดคืน 2,000 บาท
หรือเลือกขอสินเชื่อเงินกู้ได้ในอัตราดอกเบี้ย 2%

34.  P: ฉันเคยไปดูละครเวทีเรื่องบัลลังก์เมฆ
 Q: ฉันเคยไปดูละครเวทีเรื่องบ้านทรายทอง
 R: ฉันเคยร้องไห้
 (P ∨ Q) ∧ ¬R
34
• ฉันเคยไปดูละครเวทีเรื่องบัลลังก์เมฆ หรือ เรื่อง
บ้านทรายทอง แต่ไม่เคยร้องไห้

35. การสมมูล(Equivalence)ประพจน์ประกอบที่เขียนต่างกัน
แต่มีความหมายเหมือนกัน จะกล่าวได้ว่าประพจน์ทั้ง
สองนั้น “สมมูล” กัน
สัจนิรันดร์(Tautology) เป็นประพจน์ประกอบที่มีค่าความ
จริงเป็นจริงเสมอ ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อย
จะเป็นอะไรก็ตาม เช่น
 p ∨ ¬p
 ¬(P∧Q) ↔ (¬P)∨(¬ Q)
ขัดแย้ง(Contradiction) เป็นประพจน์ประกอบที่มีค่าความ
จริงเป็นเท็จเสมอ ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อย
จะเป็นอะไรก็ตาม เช่น
 p ∧ ¬p
 ¬(¬(P ∧ Q) ↔ (¬P) ∨ (¬Q))
Contingency เป็นประพจน์ประกอบที่ไม่เป็นสัจนิรันดร์35

36. การแสดงว่า
[¬p ∧(p ∨q )]→q
เป็นสัจนิรันดร์แสดงได้ 2 วิธี:
1. ใช้ตารางค่าความจริง โดยแสดงว่าทุกแถวของ
ประพจน์
[¬p ∧(p ∨q )]→q มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด
2. ใช้กฏในการพิสูจน์
36

37. 37
p q ¬p p ∨q ¬p ∧(p ∨q ) [¬p ∧(p ∨q )]→q
T T
T F
F T
F F

38. 38
p q ¬p p ∨q ¬p ∧(p ∨q ) [¬p ∧(p ∨q )]→q
T T F
T F F
F T T
F F T

39. 39
p q ¬p p ∨q ¬p ∧(p ∨q ) [¬p ∧(p ∨q )]→q
T T F T
T F F T
F T T T
F F T F

40. 40
p q ¬p p ∨q ¬p ∧(p ∨q ) [¬p ∧(p ∨q )]→q
T T F T F
T F F T F
F T T T T
F F T F F

41. 41
p q ¬p p ∨q ¬p ∧(p ∨q ) [¬p ∧(p ∨q )]→q
T T F T F T
T F F T F T
F T T T T T
F F T F F T

42. สัจนิรันดร์และขัดแย้งสามารถเกิดขึ้นได้ในการเขียน
โปรแกรม หากออกแบบไม่ดี เช่น:
 while(x <= 3 || x > 3)
x++;
 if(x > y)
if(x == y)
return “never got here”;
42

43.  ประพจน์ประกอบ p สมมูลเชิงตรรก กับประพจน์
ประกอบ q ก็ต่อเมื่อ(IFF) ประพจน์ประกอบ p↔q เป็น
สัจนิรันดร์ เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า p⇔q (หรือ
หนังสือบางเล่มใช้ p ≡ q)
 ประพจน์ประกอบ p และประพจน์ประกอบ q สมมูลเชิง
ตรรก ซึ่งกันและกัน ก็ต่อเมื่อ(IFF) p และ q มีค่าความ
จริงเหมือนกันในทุกๆแถวของตารางค่าความจริง
43

44. ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า p∨q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)
p∨q มีค่าความจริงเหมือนกันในทุกๆแถวกับ (¬p ∧
¬q) ดังนั้น p∨q สมมูลกับ (¬p ∧ ¬q)
44
p q pp∨∨qq ¬¬pp ¬¬qq ¬¬pp ∧∧¬¬qq ¬¬((¬¬pp ∧∧¬¬qq))
F F
F T
T F
T T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T

45. เมื่อประพจน์ประกอบเกิดจากประพจน์ย่อย
หลายๆประพจน์ จำานวนแถวในตารางค่าความ
จริงก็จะเพิ่มมากขึ้นด้วย
Q1: จำานวนแถวของตารางค่าความจริงของ
ประพจน์ประกอบนี้เท่ากับเท่าไร?:
( (p→p) ∧ (¬(s∧r)∨¬t) )→ (¬q→r )
Q2: จำานวนแถวของตารางค่าความจริงของ
ประพจน์ประกอบที่มีประพจน์ย่อย n ประพจน์
เท่ากับเท่าไร?
45
32 rows
2n

46. จงพิสูจน์ว่าประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์:
( (p →p ) ∨ (¬(s∧r)∨¬t) ) ∨ (¬q→r )
⇔ T ∨ (¬(s∧r)∨¬t )) ∨ (¬q→r )
⇔ T
46

47.  เอกลักษณ์(Identity): p∧T ⇔ p p∨F ⇔ p
 ครอบคลุม(Domination): p∨T ⇔ T p∧F ⇔ F
 สะท้อน(Idempotent): p∨p ⇔ p p∧p ⇔ p
 นิเสธซ้อน(Double Negation): ¬¬p ⇔ p
 สลับที่(Commutative): p∨q ⇔ q∨p p∧q ⇔ q∧p
 เปลี่ยนกลุ่ม(Associative): (p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r)
(p∧q)∧r ⇔ p∧(q∧r)
 กระจาย(Distributive): p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
 ซึมซับ(Absorption): p∨(p∧q) ⇔ p และ p∧ (p∨q) ⇔ p
 T : สัจนิรันดร์ F : ขัดแย้ง
47

48.  เดอมอร์แกน(De Morgan’s):
¬(p∧q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
¬(p∨q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
 สัจนิรันดร์/ขัดแย้ง:
p ∨ ¬p ⇔ T p ∧ ¬p ⇔ F
จากคุณสมบัติการสมมูล สามารถนิยามตัวดำาเนินการหนึ่ง
ด้วยตัวดำาเนินการอื่นได้ดังนี้
 Exclusive or: p⊕q ⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)
p⊕q ⇔ (p∧¬q)∨(q∧¬p)
 Implies: p→q ⇔ ¬p ∨ q
 Biconditional: p↔q ⇔ (p→q) ∧ (q→p)
p↔q ⇔ ¬(p⊕q)
48

49. จงแสดงว่า
[¬p ∧(p ∨q )]→q
เป็นสัจนิรันดร์ ทำาได้ 2 วิธี:
1. ใช้ตารางค่าความจริง
2. ใช้กฏการสมมูลเพื่อให้ได้ค่าผลลัพธ์สุดท้ายออกมาเป็น
จริง(True)
49

50. [¬p ∧(p ∨q )]→q
50

51. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
โครงสร้างคณิตศาสตร์เต็มหน่วยสำาหรับ
วิศวกรรมซอฟต์แวร์ 51
51

52. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
⇔ [ F ∨ (¬p ∧q)]→q ข้อขัดแย้ง
52

53. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
⇔ [ F ∨ (¬p ∧q)]→q ข้อขัดแย้ง
⇔ [¬p ∧q ]→q เอกลักษณ์
53

54. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
⇔ [ F ∨ (¬p ∧q)]→q ข้อขัดแย้ง
⇔ [¬p ∧q ]→q เอกลักษณ์
⇔ ¬ [¬p ∧q ] ∨ q implication
54

55. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
⇔ [ F ∨ (¬p ∧q)]→q ข้อขัดแย้ง
⇔ [¬p ∧q ]→q เอกลักษณ์
⇔ ¬ [¬p ∧q ] ∨ q implication
⇔ [¬(¬p)∨ ¬q ] ∨ q เดอมอร์แกน
55

56. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
⇔ [ F ∨ (¬p ∧q)]→q ข้อขัดแย้ง
⇔ [¬p ∧q ]→q เอกลักษณ์
⇔ ¬ [¬p ∧q ] ∨ q implication
⇔ [¬(¬p)∨ ¬q ] ∨ q เดอมอร์แกน
⇔ [p ∨ ¬q ] ∨ q นิเสธซ้อน
56

57. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
⇔ [ F ∨ (¬p ∧q)]→q ข้อขัดแย้ง
⇔ [¬p ∧q ]→q เอกลักษณ์
⇔ ¬ [¬p ∧q ] ∨ q implication
⇔ [¬(¬p)∨ ¬q ] ∨ q เดอมอร์แกน
⇔ [p ∨ ¬q ] ∨ q นิเสธซ้อน
⇔ p ∨ [¬q ∨q ] เปลี่ยนกลุ่ม
57

58. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
⇔ [ F ∨ (¬p ∧q)]→q ข้อขัดแย้ง
⇔ [¬p ∧q ]→q เอกลักษณ์
⇔ ¬ [¬p ∧q ] ∨ q implication
⇔ [¬(¬p)∨ ¬q ] ∨ q เดอมอร์แกน
⇔ [p ∨ ¬q ] ∨ q นิเสธซ้อน
⇔ p ∨ [¬q ∨q ] เปลี่ยนกลุ่ม
⇔ p ∨ [q ∨¬q ] สลับที่
58

59. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
⇔ [ F ∨ (¬p ∧q)]→q ข้อขัดแย้ง
⇔ [¬p ∧q ]→q เอกลักษณ์
⇔ ¬ [¬p ∧q ] ∨ q implication
⇔ [¬(¬p)∨ ¬q ] ∨ q เดอมอร์แกน
⇔ [p ∨ ¬q ] ∨ q นิเสธซ้อน
⇔ p ∨ [¬q ∨q ] เปลี่ยนกลุ่ม
⇔ p ∨ [q ∨¬q ] สลับที่
⇔ p ∨ T สัจนิรันดร์
59

60. [¬p ∧(p ∨q )]→q
⇔ [(¬p ∧p)∨(¬p ∧q)]→q กระจาย
⇔ [ F ∨ (¬p ∧q)]→q ข้อขัดแย้ง
⇔ [¬p ∧q ]→q เอกลักษณ์
⇔ ¬ [¬p ∧q ] ∨ q implication
⇔ [¬(¬p)∨ ¬q ] ∨ q เดอมอร์แกน
⇔ [p ∨ ¬q ] ∨ q นิเสธซ้อน
⇔ p ∨ [¬q ∨q ] เปลี่ยนกลุ่ม
⇔ p ∨ [q ∨¬q ] สลับที่
⇔ p ∨ T สัจนิรันดร์
⇔ T ครอบคลุม
60

61. ¬(P∨(¬P∧Q)) สามารถทำาให้ดูง่ายขึ้นโดยการใช้กฏของ
logical equivalence ต่อไปนี้:
¬(P∨(¬P∧Q))
⇔ ¬P∧¬(¬P∧Q)) De Morgan’s law
⇔ ¬P∧[¬(¬P)∨¬Q] De Morgan’s law
⇔ ¬P∧(P∨¬Q) Double negation law
⇔ (¬P∧P)∨(¬P∧¬Q]Distributive law
⇔ F∨(¬P∧¬Q) เนื่องจาก P∧P⇔F
⇔ ¬P∧¬Q Identity law for F
⇔ ¬(P∨Q) De Morgan’s law
61

62.  จงตรวจสอบว่า (p ∨ (¬p ∧ q)) ⇔ ¬p ∧¬q โดยใช้
ตารางค่าความจริง(Truth table)
 จงแสดงว่า p → q ⇔ ¬ p ∨ q โดยใช้ตารางค่า
ความจริง
 จงตรวจสอบว่า (p ∧ ¬q) → (p ⊕ r) ⇔ ¬p ∨ q
∨ ¬r
โดยใช้ กฎการสมมูล(Equivalence laws)
 จงแสดงว่า (p → q) ∧ (p → r) ⇔ p → (q ∧ r) โดย
ใช้ กฎการสมมูล(Equivalence laws)
 จงแสดงว่า (p ∧ q) → (p ∨ q) เป็นสัจนิรันดร์
(Tautology) 62

63.  ประพจน์เดี่ยวหรือประพจน์ย่อย: p, q, r, …
 ตัวดำาเนินการบูลีน: ¬ ∧ ∨ ⊕ → ↔
 ประพจน์ประกอบ: s :≡ (p ∧ ¬q) ∨ r
 การสมมูล: p∧¬q ⇔ ¬(p → q)
 การพิสูจน์การสมมูลโดยใช้:
ตารางค่าความจริง
การใช้กฎการสมมูล p ⇔ q ⇔ r …
63

64. ประโยคเปิด หรือฟังก์ชั่นของประพจน์: ได้แก่
ประโยคที่มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป เช่น : x-3 > 5
หากแทนค่าตัวแปร x ลงไปด้วยค่าใดๆประโยคเปิดนี้จะ
กลายเป็นประพจน์
กำาหนดฟังก์ชั่นของประพจน์ด้วย P(x) โดยที่ P
เป็น predicate และ x เป็นตัวแปร(variable)
64
ค่าความจริงของค่าความจริงของ P(2) ?P(2) ? falsefalse
ค่าความจริงของค่าความจริงของ P(8) ?P(8) ?
ค่าความจริงของค่าความจริงของ P(9) ?P(9) ?
falsefalse
truetrue
จะเห็นว่าค่าความจริงขึ้นอยู่กับค่าของจะเห็นว่าค่าความจริงขึ้นอยู่กับค่าของ
ตัวแปรตัวแปร

65. จงพิจารณาฟังก์ชั่นของประพจน์ Q(x, y, z) ซึ่งนิยาม
โดย : x + y = z
ในที่นี้ Q เป็น predicate และ x, y, และ z เป็น
ตัวแปร(variables)
65
ค่าความจริงของค่าความจริงของ Q(2, 3, 5) ?Q(2, 3, 5) ?truetrue
ค่าความจริงของค่าความจริงของ Q(0, 1, 2) ?Q(0, 1, 2) ?
ค่าความจริงของค่าความจริงของ Q(9, -9, 0) ?Q(9, -9, 0) ?
falsefalse
truetrue
ฟังก์ชั่นของประพจน์ฟังก์ชั่นของประพจน์ จะกลายเป็นประพจน์ เมื่อตัวแปรจะกลายเป็นประพจน์ เมื่อตัวแปร
ทุกตัวถูกแทนด้วยค่าเริ่มต้นค่าใดค่าหนึ่งทุกตัวถูกแทนด้วยค่าเริ่มต้นค่าใดค่าหนึ่ง

66. Person(x)Person(x) เป็นจริง ถ้าเป็นจริง ถ้า xx เป็นคนเป็นคน
 Person(Person(แม่ประยูรแม่ประยูร) = T) = T
 Person(Person(มิคกี้เมาส์มิคกี้เมาส์) = F) = F
CSCourse(x)CSCourse(x) เป็นจริง ถ้าเป็นจริง ถ้า xx เป็นรหัสวิชาเรียนเป็นรหัสวิชาเรียน
ในมในม..บูรพาบูรพา
 CSCourse(310205) = TCSCourse(310205) = T
 CSCourse(222155) = FCSCourse(222155) = F
ถ้าต้องการเขียนฟังก์ชั่นของประพจน์ที่มีความหมายต่อถ้าต้องการเขียนฟังก์ชั่นของประพจน์ที่มีความหมายต่อ
ไปนี้ จะเขียนอย่างไรไปนี้ จะเขียนอย่างไร??
 มนุษย์ทุกคนในโลกต้องตายมนุษย์ทุกคนในโลกต้องตาย
 ในโลกนี้มีดอกกุหลาบที่มีสีชมพูในโลกนี้มีดอกกุหลาบที่มีสีชมพู 66

67.  ตัวบ่งปริมาณ(Quantifiers) ทำาให้ทราบว่ามีสมาชิกจำานวน
เท่าไรในเอกภพสัมพัทธ์(U.D.) ที่เป็นไปตามเงื่อนไขของ
predicate ที่กำาหนด
 “” คือ FOR∀LL หรือ universal quantifier
∀x P(x) หมายถึง สำาหรับ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ทำาให้
P(x) เป็นจริง
 “” คือ XISTS หรือ existential quantifier
∃x P(x) หมายความว่า มี x ในเอกภพสัมพัทธ์(อย่างน้อย1
ตัว) ที่ทำาให้ P(x) เป็นจริง
67

68.  ตัวอย่าง:
ให้เอกภพสัมพัทธ์(U.D.)ของ x เป็นที่จอดรถในม.บูรพา
ให้ P(x) เป็น predicate “x เต็มแล้ว”
xP(x), คือประพจน์: “ที่จอดรถทุกที่ในม.บูรพาเต็ม
แล้ว”
 “∀x P (x)” มีค่าเป็นจริง เมื่อแทนทุกค่าของ x
เข้าไปใน P(x) แล้ว ทำาให้ P(x) มีค่าเป็นจริง
 เปรียบได้กับการเชื่อมประพจน์ย่อยทั้งหมดเข้า
ด้วยกันด้วย AND ∀x P (x ) ⇔ P (x1) ∧P (x2)
∧ P (x3) ∧ …
68

69. กำาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ประกอบด้วย
 Leo: สิงโต
 Bill: อีกาสีขาว
 Jan: อีกาสีดำา
กำาหนดฟังก์ชั่นของประพจน์ ดังนี้
P (x) = “x เป็นอีกา”
Q (x) = “x มีสีดำา”
∀ x ( P (x) Q (x ) )
“ถ้า x เป็นอีกาแล้ว x มีสีดำา” หรือ “อีกาทุก
ตัวมีสีดำา”
Q: ประพจน์ข้างต้นมีค่าความจริงเป็นจริง
หรือเท็จ? 69

70. A: เป็นเท็จ เนื่องจากประพจน์ดังกล่าวสมมูลกับ
(P (Leo)Q (Leo))∧(P (Jan)Q (Jan))∧(P (Bill)Q (Bill))
Bill เป็น ตัวอย่างค้าน(counter-example), หมายถึงค่าที่
ทำาให้ประพจน์ประกอบทั้งประโยคมีค่าความจริงเป็นเท็จ
P (Bill) เป็นจริง เพราะ Bill เป็นอีกา แต่ Q (Bill) เป็นเท็จ
เพราะ Bill มีสีขาวไม่ใช่สีดำา ดังนั้นประพจน์ P (Bill)Q
(Bill) เป็นเท็จ เนื่องจาก TF ให้ค่าความจริงเป็น F
เป็นผลให้การเชื่อมประพจน์ย่อยทั้งหมดด้วย AND ให้ค่า
ความจริงออกมาเป็นเท็จ
70

71.  ตัวอย่าง:
ให้เอกภพสัมพัทธ์ของ x เป็นที่จอดรถในม.บูรพา
ให้ P(x) เป็น predicate “x เต็มแล้ว”
 ∃xP(x), คือประพจน์ : “ที่จอดรถบางที่ในม.บูรพาเต็มแล้ว”
หรือ “ที่จอดรถอย่างน้อยหนึ่งที่ในม.บูรพาเต็มแล้ว”
 “∃x P (x)” มีค่าเป็นจริง เมื่อสามารถหาค่า x ได้
อย่างน้อยหนึ่งค่า แทนเข้าไปใน P(x) แล้ว ทำาให้
P(x) มีค่าเป็นจริง
 เปรียบได้กับการเชื่อมประพจน์ย่อยทั้งหมดเข้าด้วยกัน
ด้วย OR ∃x P (x ) ⇔ P (x1) ∨P (x2) ∨P (x3) ∨
… 71

72. กำาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ประกอบด้วย
Leo: สิงโต
Bill: อีกาสีขาว
Jan: อีกาสีดำา
กำาหนดฟังก์ชั่นของประพจน์ ดังนี้
P (x) = “x เป็นอีกา”
Q (x) = “x มีสีดำา”
∃x ( P (x) Q (x))
Q: ประพจน์ข้างต้นมีค่าความจริงเป็นจริงหรือ
เท็จ?
72

73. A: เป็นจริง เนื่องจากประพจน์ดังกล่าวสมมูล
กับ
(P (Leo)Q (Leo) )∨(P (Jan) Q (Jan) )∨(P(Bill)Q
(Bill) )
P (Leo) เป็นเท็จ เพราะ Leo เป็นสิงโต ไม่ใช่อีกา ดัง
นั้นประพจน์ P (Leo) Q (Leo) เป็นจริง เป็นผล
ให้การเชื่อมประพจน์ย่อยทั้งหมดด้วย OR ให้ค่า
ความจริงออกมาเป็นจริง
Leo เรียกว่า ตัวอย่างบวก(Positive example)
73

74. ตัวอย่าง เช่น:
P(x): x เป็นนิสิตของม.บูรพา
G(x): x เป็นนกเพนกวิน
ประพจน์ x (P(x) ∧ G(x)) หมายถึง ?
“มี x อย่างน้อยหนึ่ง ที่ x นั้นเป็นนิสิตขอ
งม.บูรพา และ x นั้นเป็นนกเพนกวิน” หรือ
 “มีนิสิตม.บูรพาอย่างน้อยหนึ่งคนที่เป็นนก
เพนกวิน”
74

75. Commutativity of quantifiers
∀x∀y P(x, y) ≡ ∀y∀x P(x, y)? YES!
∀x∃y P(x, y) ≡ ∃y∀x P(x, y)? NO!
ความหมายต่างกัน!
75

76.  กำาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ เซตของจำานวนนับ {0, 1, 2,
3, … }
ให้ R (x,y ) = “x < y”
Q1: ∀x ∃y R (x,y ) หมายถึง?
Ans1: “จำานวน x ทุกตัวมีค่าน้อยกว่า จำานวน y บางตัว”
Q2: ∃y ∀x R (x,y ) หมายถึง?
Ans2: “จำานวน y บางตัวมีค่ามากกว่าจำานวน x ทุกตัว”
Q: ค่าความจริงของประพจน์ x∃yR(x,y) และ y∀xR(x,y)
คืออะไร?
76

77. Ans: ∀x∃y R(x,y) เป็นจริง และ y∀x R(x,y) เป็นเท็จ
∀x ∃y R (x,y): “จำานวน x ทุกตัวมีค่าน้อยกว่า จำานวน y
บางตัว” เป็นจริง โดยกำาหนดให้ y = x + 1
∃y ∀x R (x,y): “จำานวน y บางตัวมีค่ามากกว่าจำานวน x ทุก
ตัว” เป็นเท็จ เพราะจำานวน y ไม่สามารถมีค่ามากกว่าตัว
ของมันเองได้ ดังนั้นจึงให้กรณีที่ x = y ของประพจน์นี้
เป็นตัวอย่างค้าน(counterexample)
77

78.  จงแสดงประโยค“If somebody is female and is a
parent, then this person is someone’s mother” เป็น
logical expression.
 กำาหนดให้
F(x): x is female.
P(x): x is a parent.
M(x, y): x is the mother of y.
ข้อความนี้ประยุกต์ใช้กับทุกคน
∀x ((F(x) ∧ (P(x)) → ∃y M(x, y))
78

79.  จงแสดงประโยค “Everyone has exactly one best
friend” เป็น logical expression.
 กำาหนดให้
B(x, y): y is the best friend of x.
 ประโยคกล่าวว่า “exactly one best friend” หมายความถ้า y
เป็นเพื่อนที่ดีที่สุดของ x แล้วคนอื่น ๆ(แทนด้วย z) นอกจาก y ไม่
อาจเป็นเพื่อนที่ดีที่สุดของ x
 If y is the best friend of x, then all other people z other
than y can not be the best friend of x.
∀x∃y∀z (B(x, y) ∧ ((z ≠ y) → ¬B(x, z)))
79

80. จงเขียนประโยคสัญลักษณ์ของข้อความที่กำาหนด
พร้อมทั้งหาค่าความจริงของประโยค
 “ผลรวมของจำานวนเต็มบวกสองจำานวน เป็น
จำานวนบวก”
 เอกภพสัมพัทธ์(U.D.) ของ x และ y คือ เซตของ
จำานวนเต็ม
∀x∀y((x>0)∧(y>0)→(x+y>0))
 “จำานวนจริงทุกจำานวน ยกเว้นศูนย์ มีจำานวนที่คูณ
กับมันแล้วเท่ากับหนึ่ง”
 เอกภพสัมพัทธ์(U.D.) ของ x และ y คือ เซตของ
จำานวนจริง 80
T
T

81.  ∀x ∃y Q (x,y ) สมมูลกับ y ∃x Q (y,x )
 แต่ x ∃y Q (x,y ) ไม่สมมูลกับ y ∀x Q (x,y
)
 จากนิยามของตัวบ่งปริมาณ: ถ้า u.d.=a,b,c,…
∀x P(x) ⇔ P(a) ∧ P(b) ∧ P(c) ∧ …
∃x P(x) ⇔ P(a) ∨ P(b) ∨ P(c) ∨ …
 สามารถพิสูจน์ได้ว่า:
∀x P(x) ⇔ ¬∃x ¬P(x)
∃x P(x) ⇔ ¬∀x ¬P(x)
 โดยใช้กฎใด?
81

82.  ∀x ∀y P(x,y) ⇔ ∀y ∀x P(x,y)
∃x ∃y P(x,y) ⇔ ∃y ∃x P(x,y)
 ∀x (P(x) ∧ Q(x)) ⇔ (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x))
∃x (P(x) ∨ Q(x)) ⇔ (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x))
 แบบฝึกหัด:
จงพิสูจน์กฎข้างต้น แสดงด้วยว่าใช้กฎใด??
82
กฎการสลับที่ และ การเปลี่ยนกลุ่ม

83. จากกฎของเดอมอร์แกน จะได้ว่า:
 Conjunctional negation:
¬(p1∧p2∧…∧pn) ⇔ (¬p1∨¬p2∨…∨¬pn)
 Disjunctional negation:
¬(p1∨p2∨…∨pn) ⇔ (¬p1∧¬p2∧…∧¬pn)
เนื่องจากตัวบ่งปริมาณสมมูลกับการ AND(∀) หรือการ OR(∃) จึง
ได้ว่า:
 Universal negation: ¬ ∀x P(x ) ⇔ ∃x ¬P(x )
 Existential negation: ¬ ∃x P(x ) ⇔ ∀x ¬P(x )
83

84. ในโลกนี้ดอกกุหลาบไม่ได้มีสีแดงทุกดอก
(U.D. คือ ดอกไม้ในโลกนี้)
 ¬∀x (Rose(x) → Red(x))
 ∃x (Rose(x) ∧ ¬Red(x))
84
ในโลกนี้ไม่มีคนที่เพียบพร้อมไปหมดทุกอย่าง
(U.D. คือ สิ่งมีชีวิตในโลกนี้)
∀ ¬¬∃∃x (Person(x)x (Person(x) ∧∧ Perfect(x))Perfect(x))
∀ ∀∀x (Person(x)x (Person(x) →→ ¬¬Perfect(x))Perfect(x))

85. จงหา: ¬ ∀x ∃y x2
≤ y
นั่นคือเราต้องการหาประพจน์ที่ตรงข้ามกับ “ค่า
ของ x ทุกตัว ที่เมื่อนำาไปยกกำาลังสองแล้วมีค่า
น้อยกว่าหรือเท่ากับ y บางตัว” ประพจน์ตรง
ข้ามคือ “มี x บางตัว ที่เมื่อนำาไปยกกำาลังสอง
แล้วมีค่าไม่น้อยกว่าหรือเท่ากับ y ทุกตัว”
สามารถหานิเสธของประพจน์ได้โดย เปลี่ยนตัว
บ่งปริมาณจาก เป็น หรือ เปลี่ยนตัวบ่ง
ปริมาณจาก เป็น และหานิเสธของฟังก์ชั่นข
องประพจน์ที่ตามมา จากตัวอย่างจะได้ว่า:
∃x ∀y ¬( x 2
≤ y ) ⇔ ∃x ∀y x 2
> y85

86. 1. จงเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ตัวบ่งปริมาณ
เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำานวนจริง
2. มีจำานวนจริง x ซึ่ง x+0 = 2x
3. มี x และ y บางตัวบวกกันได้ 5
4. มี x บางตัว เมื่อคูณกับ y ทุกตัวจะได้ y เสมอ
 กำาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ U.D. = {1, 2, 3} และ
P(x,y)= (x/y=1) จงหาค่าความจริงของ
 ∀x ∃y P(x,y)
 ∃x ∀y P(x,y)
 ∀y ∃x P(x,y)
 ∃y ∀x P(x,y)
86

87. 3. การหานิเสธ
 จงหานิเสธของ “มีจำานวนจริงบางจำานวนเป็น
จำานวนคู่”
 ให้เอกภพสัมพัทธ์คือ คนในประเทศไทย
W(x) แทน “x เป็นผู้หญิง” และ L(x) แทน “x
ผมยาว”
จงหานิเสธของ “มีคนไทยซึ่งเป็นผู้หญิง แต่
ไม่มีผมยาว”
 จงหานิเสธของ x∃y(xy=1)
 จงหานิเสธของ x(x>0) ∨ ∃x(x2
<0) 87