Downloaded 58 times
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
- 1. ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ประพจน์ หมายถึง ประโยคหรือข้อความที่ใช้สาหรับบอกค่าความเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่าง หนึ่งส่วน ประโยคหรือข้อความที่ไม่สามารถบอกค่าความจริงหรือเป็นเท็จได้จะไม่เรียกว่า ประพจน์ ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์ เช่น ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก สุนัขมี 4 ขา ประเทศไทยมีชายแดนติดกับประเทศอินเดีย เดือนมกราคมมี 30 วัน ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ เช่น ห้ามเดินลัดสนาม กรุณาปิดไฟก่อนออกจากห้อง เธอกาลังจะไปไหน เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย Y + 5 = 8 ประโยคเปิด คือ ประโยคหรือข้อความที่มีค่าตัวแปรอยู่ในประโยค และยังไม่สามารถทราบค่าความจริง ถ้าทาการแทน ค่าตัวแปรนั้นด้วยค่าบางอย่าง จาทาให้ประโยคหรือข้อความนั้นมีค่าออกมาเป็นจริงหือเป็นเท็จ ต้วอย่างของ ประโยคเปิด เช่น เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ถ้าแทนเขาด้วยชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติไทยประโยคนี้จะมีค่าเป็น จริง ถ้าแทนเข้าด้วยอื่นที่ไม่ใช่ชื่อนักฟุตบอลทีมชาติไทย ประโยคนี้จะมีค่าเป็นเท็จ Y + 5 = 8 ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย 3 ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นจริง ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย ตัวเลข อื่น ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นเท็จ ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ใช้สาหรับกรณีที่ต้องการเชื่อมประพจน์มาก ว่า 1 ประพจน์เข้าด้วยกัน เรียกว่า ประพจน์เชิงประกอบ ส่วนประพจน์ที่ไม่มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เรียกว่า ประพจน์เดี่ยว สัญลักษณ์ที่ใช้ สาหรับเป็นตัวเขื่อมทางตรรกศาสตร์มีดังต่อไปนี้
- 2. ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ สัญลักษณ์ และ หรือ ถ้า...แล้ว ก็ต่อเมื่อ ไม่ ~ ในทางตรรกศาสตร์เพื่อความสะดวกสาหรับการศึกษาเกี่ยวกับการทางานของตัวเชื่อม ทางตรรกศาสตร์ นิยมแทนแต่ละประพจน์ด้วยตัวอักษร P,Q,R ... และใช้T (True) และ F (False) แทนค่าของผลลัพธ์ที่ได้จาก ประพจน์เป็นจริงและเป็นเท็จ ตามลาดับ ถ้า P แทนประพจน์ "ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก" ค่าของความจริงที่ได้จากประพจน์ P มี ผลลัพธ์ออกมาเป็นจริง แทนค่าความจริงของประพจน์ P คือ T ถ้า Q แทนประพจน์ "เดือนมกราคมมี 30 วัน" ค่าของความจริงที่ได้จากประพจน์ Q มีผลลัพธ์ ออกมาเป็นเท็จ แทนค่าความจริงของประพจน์ Q คือ F ข้อความ สัญลักษณ์ ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และ เดือนมกราคม มี 30 วัน ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก หรือ เดือนมกราคม มี 30 วัน ถ้าดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก แล้ว เดือนมกราคม มี 30 วัน ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ก็ต่อเมื่อ เดือนมกราคม มี 30 วัน ค่าความจริงของประพจน์ ผลลัพธ์ที่ได้จากประพจน์เชิงประกอบที่ใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ แต่ละชนิด จะมีผลลัพธ์ที่ต่างกัน ออกไป การแสดงผลลัพธ์ที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์สามารถแสดงโดยใช้ตารางค่า ความจริงสาหรับใช้ แสดงค่าความจริงทั้งหมดที่สามารถเป็นไปได้ โดยค่าความจริงทั้งหมดที่สามารถเป็นไปได้ที่เกิดจากประพจน์ เชิงประกอบมีค่า เท่ากับ เมื่อ n คือจานวนประพจน์เดี่ยวที่ประกอบอยู่ภายในประพจน์เชิงประกอบ เช่น ประพจน์เชิงประกอบเกิดจากประพจน์เดี่ยวจานวน 2 ประพจน์ ค่าความจริงทั้งหมดที่สามารถเป็นไปได้คือ 4 คา
- 3. ถ้าให้ P,Q คือประพจน์ และ T,F คือผลลัพธ์ของประพจน์ ที่เป็นจริงและเป็นเท็จตามลาดับ ผลลัพธ์ที่ได้ จากการกระทาของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แต่ละชนิดได้ ดังนี้ ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาของตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ "และ" จะเป็นจริง เพียงกรณีเดี่ยว คือ เมื่อค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองที่นามากระทากันเป็นจริงทั้งคู่ ถ้ามีประพจน์ใดประพจน์ หนึ่งเป็นเท็จ ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็นเท็จทันที P Q P ^ Q F F F F T F T F F T T T ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ" ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรือ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาของตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ "หรือ" จะเป็นจริง เมื่อค่าความจริงของประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง ถ้าประพจน์ทั้งสองที่นามากระทากันเป็นเท็จทั้งคู่ ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็นเท็จ P Q P v Q F F F F T T T F T T T T ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรือ" ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า....แล้ว" ประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาจองตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็นลักษณะของ ประพจน์ที่เป็นเหตุเป็นผลกัน โดยประพจน์ที่อยู่ถัดจาก "ถ้า" จะเป็นประพจน์ที่เป็นเหตุ ส่วนประพจน์ที่อยู่ถัด จาก "แล้ว" จะเป็นประพจน์ที่เป็นผล ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็นเท็จเมื่อ
- 4. ค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นเหตุเป็นจริงและประพจน์ที่ เป็นผลมีค่าเป็นเท็จ นอกนั้นในกรณีอื่นผลลัพธ์เชิง ประกอบทีได้จะมีค่าออกมาเป็นจริง PQ F F T F T T T F F T T T ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" การกระทาของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จะเป็นจริงเมื่อ ค่าความจริงของประพจน์ทั้ง สองที่นามากระทากันมีค่าความจริงที่เหมือนกันคือ ค่าความจริงของประพจน์เป็น จริงทั้งคู่หรือเป็นเท็จทั้งคู่ ถ้าค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองที่นามากระทากันมีค่าต่างกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะ ออกมาเป็นเท็จ P Q F F T F T F T F F T T T ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" นิเสธของประพจน์ การทานิเสธของประพจน์หรือการกระทาตัวดาเนินการ "ไม่" จะเป็นการเปลี่ยนค่าความจริงของประพจน์ นั้นให้เป็นค่าที่ตรงข้าม คือ ถ้าค่าความจริงของประพจน์นั้นเป็นจริง การทานิเสธของประพจน์นั้นจะได้ผลลัพธ์ ออกมาเป็นเท็จ ถ้าค่าความจริงของประพจน์นั้นเป็นเท็จ การทานิเสธของประพจน์นั้นจะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น จริง
- 5. P Q ~P TF F F T T ตารางค่าความจริงที่ได้จากการกระทานิเสธของประพจน์ ประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ การหาค่าความจริงของประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ สามารถทาได้โดยใช้ ตารางค่าความจริง การบอกลาดับของการกระทาระหว่างประพจน์จาใช้วงเล็บในการบอกลาดับการทางาน ถ้ามี นิเสธ ให้ทาในส่วนของนิเสธของประพจน์ก่อนเป็นอันดับแรก ตัวอย่างของการหาค่าความจริงของประพจน์ที่ ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์แสดงได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนตารางค่าความจริงของ ~Q^R จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้ Q R ~Q ~Q^R F F T F F T T T T F F F T T F F ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R) v (R^~S) จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 3 ประพจน์ย่อย คือ Q,R และ S ดังนั้นค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้ มีทั้งหมด 23 = 8 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางความจริงได้ดังนี้ Q R S ~R Q^~S ~S R^~S (A^~R) v (R^~S) F F F T F T F F F F T T F F F F F T F F F T T T F T T F F F F F T F F T T T F T
- 6. T F TT T F F T T T F F F T T T T T T F F F F F ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R)<-->(Q^R) จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้ Q R ~Q ~Q v R Q^R (~QvR)<-->(Q^R) F F T T F F F T T T F F T F F F F T T T F T T T การหาค่าความจริงโดยไม่ใช้ตารามความจริง การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ นอกจากหาค่าโดยใช้ตารางค่าความจริงในการหาค่าความ จริง ยังสามารถทาได้อีกวิธีหนึ่ง คือ การแทนค่าความจริงของแต่ละประพจน์ย่อยลงไป แล้วทาการพิจารณาการ กระทาของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เพื่อนามาหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบนนั้น ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ คือ P^~Q เมื่อ ประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งสองประพจน์ ตัวอย่าง ที่ 2 จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ คือ (P^~R)-->(R<-- >Q) เมื่อประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีค่าความจริงเป็นจริงและประพจน์ R มีค่าความเป็นจริงเป็นเท็จ ประพจน์สัจนิรันดร์ ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่ประกอบด้วยค่าความจริงที่เป็นจริงในทุกกรณี ตัวอย่างเช่น ประพจน์เชิงประกอบที่ประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ กรณีที่สามารถเป็นไปได้คือ 4 กรณี โดยที่ทุก กรณีจะให้ค่าความจริงออกมาเป็นจริงทั้งหมด
- 7. ตัวอย่างที่ 1 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์P-->(QvP) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ Q P QvP P-->(QvP) F F F T F T T T T F T T T T T T ประพจน์ P -->(QvP) เป็นสัจนิรันดร์ ตัวอย่างที่ 2 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ P Q R QvR P-->(QvR) P^R (Q<-->(P^R) (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) F F F F T F T T F F T T T F T T F T F T T F F T F T T T T F F T T F T F F F T T T F F T T T F T T T T T T F F T T T T T T T T T ประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์ ประพจน์ที่สมมูลกัน ประพจน์สองประพจน์มีความสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองประกอบด้วยประพจน์ย่อยที่เหมือนกัน และให้ค่าความ จริงออกมาเหมือนกันในทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ แทนการสมมูลกัน
- 8. ตัวอย่างที่ 1 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์P-->Q และ ~Q-->~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกันหรือไม่ P Q P-->Q ~P ~Q ~Q-->~P F F T T T T F T T T F T T F F F T F T T T F F T P-->Q และ ~Q-->~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน หรือเขียนได้ว่า P-->Q ~Q-->~P ตัวอย่างที่ 2 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน ์์(P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ P Q P-->Q ~(P-->Q) ~Q P^~Q F F T F T F F T T F F F T F F T T T T T T F F F ประพจน์ ~(P-->Q) และ P^~Q เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน หรือเขียนได้ว่า ~(P-->Q) P^~Q
- 9.
- 14.
- 19.
- 21.
- 24.
- 25. จงใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันอยู่แล้ว ตรวจสอบดูว่า ประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่ จงตรวจดูว่าข้อความก. สมมูลกับข้อความ ข. หรือไม่
- 29.
- 30.
- 32.
- 33.
- 35.
- 38.
- 39.