1. ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
ประพจน์
หมายถึง ประโยคหรือข้อความที่ใช้สาหรับบอกค่าความเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่าง หนึ่ง ส่วน
ประโยคหรือข้อความที่ไม่สามารถบอกค่าความจริงหรือเป็นเท็จได้จะไม่เรียกว่า ประพจน์
ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์ เช่น
ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
สุนัขมี 4 ขา
ประเทศไทยมีชายแดนติดกับประเทศอินเดีย
เดือนมกราคมมี 30 วัน
ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ เช่น
ห้ามเดินลัดสนาม
กรุณาปิดไฟก่อนออกจากห้อง
เธอกาลังจะไปไหน
เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย
Y + 5 = 8
ประโยคเปิด
คือ ประโยคหรือข้อความที่มีค่าตัวแปรอยู่ในประโยค และยังไม่สามารถทราบค่าความจริง ถ้าทาการแทน
ค่าตัวแปรนั้นด้วยค่าบางอย่าง จาทาให้ประโยคหรือข้อความนั้นมีค่าออกมาเป็นจริงหือเป็นเท็จ ต้วอย่างของ
ประโยคเปิด เช่น
เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ถ้าแทนเขาด้วยชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติไทยประโยคนี้จะมีค่าเป็น
จริง ถ้าแทนเข้าด้วยอื่นที่ไม่ใช่ชื่อนักฟุตบอลทีมชาติไทย ประโยคนี้จะมีค่าเป็นเท็จ
Y + 5 = 8 ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย 3 ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นจริง ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย ตัวเลข
อื่น ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นเท็จ
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ใช้สาหรับกรณีที่ต้องการเชื่อมประพจน์มาก ว่า 1 ประพจน์เข้าด้วยกัน เรียกว่า
ประพจน์เชิงประกอบ ส่วนประพจน์ที่ไม่มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เรียกว่า ประพจน์เดี่ยว สัญลักษณ์ที่ใช้
สาหรับเป็นตัวเขื่อมทางตรรกศาสตร์มีดังต่อไปนี้

2. ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ สัญลักษณ์
และ
หรือ
ถ้า...แล้ว
ก็ต่อเมื่อ
ไม่ ~
ใน ทางตรรกศาสตร์เพื่อความสะดวกสาหรับการศึกษาเกี่ยวกับการทางานของตัวเชื่อม ทางตรรกศาสตร์
นิยมแทนแต่ละประพจน์ด้วยตัวอักษร P,Q,R ... และใช้T (True) และ F (False) แทนค่าของผลลัพธ์ที่ได้จาก
ประพจน์เป็นจริงและเป็นเท็จ ตามลาดับ
ถ้า P แทนประพจน์ "ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก" ค่าของความจริงที่ได้จากประพจน์ P มี
ผลลัพธ์ออกมาเป็นจริง แทนค่าความจริงของประพจน์ P คือ T
ถ้า Q แทนประพจน์ "เดือนมกราคมมี 30 วัน" ค่าของความจริงที่ได้จากประพจน์ Q มีผลลัพธ์
ออกมาเป็นเท็จ แทนค่าความจริงของประพจน์ Q คือ F
ข้อความ สัญลักษณ์
ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และ เดือนมกราคม มี 30 วัน
ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก หรือ เดือนมกราคม มี 30 วัน
ถ้าดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก แล้ว เดือนมกราคม มี 30
วัน
ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ก็ต่อเมื่อ เดือนมกราคม มี 30
วัน
ค่าความจริงของประพจน์
ผลลัพธ์ที่ได้จากประพจน์เชิงประกอบที่ใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ แต่ละชนิด จะมีผลลัพธ์ที่ต่างกัน
ออกไป การแสดงผลลัพธ์ที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์สามารถแสดงโดยใช้ตารางค่า ความจริงสาหรับใช้
แสดงค่าความจริงทั้งหมดที่สามารถเป็นไปได้ โดยค่าความจริงทั้งหมดที่สามารถเป็นไปได้ที่เกิดจากประพจน์
เชิงประกอบมีค่า เท่ากับ เมื่อ n คือจานวนประพจน์เดี่ยวที่ประกอบอยู่ภายในประพจน์เชิงประกอบ เช่น
ประพจน์เชิงประกอบเกิดจากประพจน์เดี่ยวจานวน 2 ประพจน์ ค่าความจริงทั้งหมดที่สามารถเป็นไปได้คือ 4
คา

3. ถ้าให้ P,Q คือ ประพจน์ และ T,F คือผลลัพธ์ของประพจน์ ที่เป็นจริงและเป็นเท็จตามลาดับ ผลลัพธ์ที่ได้
จากการกระทาของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แต่ละชนิดได้ ดังนี้
ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ"
ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาของตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ "และ" จะเป็นจริง
เพียงกรณีเดี่ยว คือ เมื่อค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองที่นามากระทากันเป็นจริงทั้งคู่ ถ้ามีประพจน์ใดประพจน์
หนึ่งเป็นเท็จ ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็นเท็จทันที
P Q P ^ Q
F F F
F T F
T F F
T T T
ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ"
ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรือ"
ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาของตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ "หรือ" จะเป็นจริง
เมื่อค่าความจริงของประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง ถ้าประพจน์ทั้งสองที่นามากระทากันเป็นเท็จทั้งคู่
ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็นเท็จ
P Q P v Q
F F F
F T T
T F T
T T T
ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรือ"
ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า....แล้ว"
ประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาจองตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็นลักษณะของ
ประพจน์ที่เป็นเหตุเป็นผลกัน โดยประพจน์ที่อยู่ถัดจาก "ถ้า" จะเป็นประพจน์ที่เป็นเหตุ ส่วนประพจน์ที่อยู่ถัด
จาก "แล้ว" จะเป็นประพจน์ที่เป็นผล ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็นเท็จเมื่อ

4. ค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นเหตุเป็นจริงและประพจน์ที่ เป็นผลมีค่าเป็นเท็จ นอกนั้นในกรณีอื่นผลลัพธ์เชิง
ประกอบทีได้จะมีค่าออกมาเป็นจริง
P Q
F F T
F T T
T F F
T T T
ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
"ถ้า...แล้ว"
ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ"
การกระทาของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จะเป็นจริงเมื่อ
ค่าความจริงของประพจน์ทั้ง สองที่นามากระทากันมีค่าความจริงที่เหมือนกันคือ ค่าความจริงของประพจน์เป็น
จริงทั้งคู่หรือเป็นเท็จทั้งคู่ ถ้าค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองที่นามากระทากันมีค่าต่างกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะ
ออกมาเป็นเท็จ
P Q
F F T
F T F
T F F
T T T
ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
"ก็ต่อเมื่อ"
นิเสธของประพจน์
การทานิเสธของประพจน์หรือการกระทาตัวดาเนินการ "ไม่" จะเป็นการเปลี่ยนค่าความจริงของประพจน์
นั้นให้เป็นค่าที่ตรงข้าม คือ ถ้าค่าความจริงของประพจน์นั้นเป็นจริง การทานิเสธของประพจน์นั้นจะได้ผลลัพธ์
ออกมาเป็นเท็จ ถ้าค่าความจริงของประพจน์นั้นเป็นเท็จ การทานิเสธของประพจน์นั้นจะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น
จริง

5. P Q ~P
T F F
F T T
ตารางค่าความจริงที่ได้จากการกระทานิเสธของประพจน์
ประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
การหาค่าความจริงของประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ สามารถทาได้โดยใช้
ตารางค่าความจริง การบอกลาดับของการกระทาระหว่างประพจน์จาใช้วงเล็บในการบอกลาดับการทางาน ถ้ามี
นิเสธ ให้ทาในส่วนของนิเสธของประพจน์ก่อนเป็นอันดับแรก ตัวอย่างของการหาค่าความจริงของประพจน์ที่
ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์แสดงได้ดังนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนตารางค่าความจริงของ ~Q^R
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4
กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้
Q R ~Q ~Q^R
F F T F
F T T T
T F F F
T T F F
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R) v (R^~S)
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 3 ประพจน์ย่อย คือ Q,R และ S ดังนั้นค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้
มีทั้งหมด 23 = 8 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางความจริงได้ดังนี้
Q R S ~R Q^~S ~S R^~S (A^~R) v (R^~S)
F F F T F T F F
F F T T F F F F
F T F F F T T T
F T T F F F F F
T F F T T T F T

6. T F T T T F F T
T T F F F T T T
T T T F F F F F
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R)<-->(Q^R)
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4
กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้
Q R ~Q ~Q v R Q^R (~QvR)<-->(Q^R)
F F T T F F
F T T T F F
T F F F F T
T T F T T T
การหาค่าความจริงโดยไม่ใช้ตารามความจริง
การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ นอกจากหาค่าโดยใช้ตารางค่าความจริงในการหาค่าความ
จริง ยังสามารถทาได้อีกวิธีหนึ่ง คือ การแทนค่าความจริงของแต่ละประพจน์ย่อยลงไป แล้วทาการพิจารณาการ
กระทาของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เพื่อนามาหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบนนั้น
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ คือ P^~Q เมื่อ
ประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งสองประพจน์
ตัวอย่าง ที่ 2 จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ คือ (P^~R)-->(R<--
>Q) เมื่อประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีค่าความจริงเป็นจริงและประพจน์
R มีค่าความเป็นจริงเป็นเท็จ
ประพจน์สัจนิรันดร์
ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่ประกอบด้วยค่าความจริงที่เป็นจริงในทุกกรณี ตัวอย่างเช่น
ประพจน์เชิงประกอบที่ประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ กรณีที่สามารถเป็นไปได้คือ 4 กรณี โดยที่ทุก
กรณีจะให้ค่าความจริงออกมาเป็นจริงทั้งหมด

7. ตัวอย่างที่ 1 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ P-->(QvP) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Q P QvP P-->(QvP)
F F F T
F T T T
T F T T
T T T T
ประพจน์ P -->(QvP) เป็นสัจนิรันดร์
ตัวอย่างที่ 2 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
P Q R QvR P-->(QvR) P^R (Q<-->(P^R) (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R))
F F F F T F T T
F F T T T F T T
F T F T T F F T
F T T T T F F T
T F T F F F T T
T F F T T T F T
T T T T T F F T
T T T T T T T T
ประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์
ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์สองประพจน์มีความสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองประกอบด้วยประพจน์ย่อยที่เหมือนกัน
และให้ค่าความ จริงออกมาเหมือนกันในทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ แทนการสมมูลกัน

8. ตัวอย่างที่ 1 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ P-->Q และ ~Q-->~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกันหรือไม่
P Q P-->Q ~P ~Q ~Q-->~P
F F T T T T
F T T T F T
T F F F T F
T T T F F T
P-->Q และ ~Q-->~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน
หรือเขียนได้ว่า P-->Q ~Q-->~P
ตัวอย่างที่ 2 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน ์์(P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
P Q P-->Q ~(P-->Q) ~Q P^~Q
F F T F T F
F T T F F F
T F F T T T
T T T F F F
ประพจน์ ~(P-->Q) และ P^~Q เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน
หรือเขียนได้ว่า ~(P-->Q) P^~Q

9. ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

14. จงสร้างตารางหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

19. จงหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบในแต่ละข้อ เมื่อกาหนดค่าความจริงบางประพจน์ให้

21. จงหาค่าความจริงประพจน์ย่อยในแต่ละข้อ

24. จงตรวจสอบว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่ โดยใช้ตารางค่าความจริง

25. จงใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันอยู่แล้ว ตรวจสอบดูว่า ประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
จงตรวจดูว่าข้อความ ก. สมมูลกับข้อความ ข. หรือไม่

29. จงตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริงว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
จงตรวจสอบโดยใช้วิธีหาข้อขัดแย้งว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

30. จงตรวจสอบโดยใช้ความรู้เรื่องสมมูล ว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

32. จงเขียนข้อความให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์
จงเขียนข้อความแทนสัญลักษณ์ในแต่ละข้อ กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ จานวนจริง

33. จงเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ในแต่ละข้อ

35. จงหาค่าความจริงของประพจน์ในแต่ละข้อ

38. จงพิจารณาว่า ประพจน์แต่ละคู่ต่อไปนี้ สมมูลกันหรือไม่

39. จงหานิเสธในแต่ละข้อ