LOGIC

1. เอกสารประกอบการเรียน
วิชา คณิตศาสตร์ ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 <เทอม1>
สาระการเรียนรู้
จานวนและพีชคณิต
ตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ชื่อ ................................นามสกุล ...........................
ชื่อเล่น .............................. ชั้น .........เลขที่ ...........
Algebra
Arithmetic

2. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 1
คณิตศาสตร์ มคณิตศาสตร์ ม..44
ในทางตรรกศาสตร์ จะแบ่งข้อความออกเป็น 2 ลักษณะ คือ
1. ข้อความที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริง หรือเท็จ ซึ่งข้อความในลักษณะนี้ทางตรรกศาสตร์ จะเรียกว่า
“ประพจน์”
2. ข้อความที่ไม่สามารถจะบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ข้อความในลักษณะนี้จะไม่เรียกว่าประพจน์
(ไม่เป็นประพจน์นั่นเอง)
ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่า ปฏิเสธที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ข้อควรทราบเบื้องต้น
1. จะเรียกประพจน์ที่เป็นจริงว่า ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง และจะแทนค่าความจริงที่เป็นจริงด้วย T
2. จะเรียกประพจน์ที่เป็นเท็จว่า ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ และจะแทนค่าความจริงที่เป็นเท็จด้วย F
Example 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือไม่
1. 2 – 1 = 0
2. โอ้แม่เจ้า!
3. โปรดเอื้อเฟื้อแก่ชายฉกรรจ์ และนักกล้าม
4. กรุงเทพฯ เป็นเมืองหลวงของประเทศไทย
5. เมื่อคืนนอนละเมอหรือเปล่า
จะพบว่า ประโยคหรือข้อความที่มีลักษณะเป็นคาอุทาน คาขอร้อง คาสั่ง คาถาม
จะไม่เป็นประพจน์
บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Logic)

3. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 2
พิจารณาข้อความ “เขาเป็นนักคณิตศาสตร์” ข้อความนี้จะไม่ถือว่าเป็นประพจน์ เนื่องจากไม่ทราบว่า “เขา”
ในที่นี้หมายถึงใคร จึงไม่สามารถระบุได้ว่าข้อความนี้มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จกันแน่ (และ “เขา” ในที่นี้
ต่อไปจะเรียกว่า ตัวแปร) ดังนั้นข้อความนี้จึงไม่เป็นประพจน์ แต่ถ้าแทน “เขา” ด้วย “ปีทากอรัส” ก็จะทราบได้
ทันทีว่าข้อความดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้นข้อความนี้ก็จะกลายเป็นประพจน์ไป
ประโยคบอกเล่าที่มีตัวแปร ประโยคเหล่านี้ไม่เป็นประพจน์ โดยจะเรียกประโยคเหล่านี้ว่า “ประโยคเปิด”
และสามารถที่จะทาให้ประโยคเปิดเป็นประพจน์ได้ โดยการแทนตัวแปรนั้นด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ หรือ
ทาการเติมวลีบ่งปริมาณหน้าประโยคนั้นให้ครบทุกตัวแปร
Example 2 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือประโยคเปิด ถ้าเป็นประโยคเปิด ให้หาตัวแปรออกมา
ด้วย
1. เขาชอบเล่นพนันบอล
2. เส้นตรงที่ขนานกันมีความชันเท่ากัน
3. x2
– 4 = 0
4. 5x = 3
5. คุณจะไปเที่ยวกับผมไหม
ข้อควรทราบ
ในการกล่าวถึงประพจน์ เพื่อความสะดวกจะใช้อักษร p, q, r, s, …. แทนประพจน์ที่กาหนดให้ และใช้
T, F แทนค่าความจริงที่เป็นจริงและเท็จ ตามลาดับ
ในทางตรรกศาสตร์จะมี ตัวเชื่อม อยู่ทั้งหมด 4 ตัว คือ
1. การเชื่อมด้วยคาว่า “และ” จะใช้สัญลักษณ์ “ ^ ” แทน
2. การเชื่อมด้วยคาว่า “หรือ” จะใช้สัญลักษณ์ “v” แทน
3. การเชื่อมด้วยคาว่า “ถ้า…แล้ว…” จะใช้สัญลักษณ์ “ ” แทน
4. การเชื่อมด้วยคาว่า “…..ก็ต่อเมื่อ…..” จะใช้สัญลักษณ์ “ ” แทน

4. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 3
Example 3 ให้ p แทนประพจน์ น้อง………หน้าตาดี
q แทนประพจน์ น้อง………เรียนเก่ง
1. p  q หมายถึง
2. P  q หมายถึง
3. P q หมายถึง
4. P q หมายถึง
ค่าความจริงของ p  q
พิจารณาข้อความ “ภราดรเล่นฟุตบอลและเทนนิส”
ภราดร ภราดรเล่นฟุตบอลและเทนนิส
เล่นฟุตบอล
เล่นฟุตบอล
ไม่เล่นฟุตบอล
ไม่เล่นฟุตบอล
เล่นเทนนิส
ไม่เล่นเทนนิส
เล่นเทนนิส
ไม่เล่นเทนนิส
จริง
เท็จ
เท็จ
เท็จ
และจากความหมายดังกล่าวสามารถนามาสร้างตารางค่าความจริงของ P  q ได้ดังนี้
p q p  q
T
T
F
F
T
F
T
F
สรุป ประพจน์ p  q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q เป็นจริงทั้งคู่ นอกจากนี้แล้ว
ประพจน์ p  q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ทั้งสิ้น

5. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 4
ค่าความจริงของ p  q
ความหมายของคาว่า “หรือ” ในทางตรรกศาสตร์นั้น จะมีลักษณะที่แตกต่างจากคาว่า “หรือ” ในทางสังคม
ทั่วไป โดยในทางตรรกศาสตร์ จะหมายรวมถึง
1. อย่างใดอย่างหนึ่งเพียงอย่างเดียว
2. ทั้งสองอย่าง (แตกต่างจากสังคมทั่วไป)
พิจารณาข้อความ “นายดาซื้อมะม่วงหรือฝรั่ง”
ดา นายดาซื้อมะม่วงหรือฝรั่ง
ซื้อมะม่วง
ซื้อมะม่วง
ไม่ซื้อมะม่วง
ไม่ซื้อมะม่วง
ซื้อฝรั่ง
ไม่ซื้อฝรั่ง
ซื้อฝรั่ง
ไม่ซื้อฝรั่ง
จริง
จริง
จริง
เท็จ
สามารถนามาสร้างตารางค่าความจริงของ p  q ได้ดังนี้
p q p  q
T
T
F
F
T
F
T
F
สรุป
ประพจน์ P  q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ P และ q เป็นเท็จทั้งคู่ นอกจากนี้แล้ว
ประพจน์ P  q จะมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งสิ้น

6. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 5
ค่าความจริงของ p q
พิจารณาข้อความ “ถ้าน้องป้ อตอบคาถามได้ แล้วพี่หมูจะซื้อขนมให้”
จากข้อความดังกล่าว จะแยกเป็นแต่ละกรณีได้คือ
1. ตอบคาถามได้ และพี่หมูซื้อขนมให้ (ไม่ผิดสัญญา)
2. ตอบคาถามได้ แต่พี่หมูดันไม่ซื้อขนมให้ (ทาผิดสัญญา)
3. ตอบคาถามไม่ได้ แต่พี่หมูดันซื้อขนมให้ (ไม่ผิดสัญญา)
4. ตอบคาถามไม่ได้และ พี่หมูก็ไม่ซื้อขนมให้ (ไม่ผิดสัญญา)
สามารถนามาสร้างตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี้
p q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
สรุป ประพจน์ p q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จเท่านั้น
นอกจากนั้นแล้วประพจน์ p q จะมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งสิ้น
ค่าความจริงของ p q
เนื่องจาก p q มีความหมายเหมือนกับ (p q)  (q p)
ดังนั้น ในการหาค่าความจริงของ p q สามารถหาได้จากการหาค่าความจริงของ (p q)  (q p)
ได้จากการสร้างตารางค่าความจริงดังนี้
p q
P q p q q p (p q) ^ (q p)
T
T
F
F
T
F
T
F
สรุป ประพจน์ p q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกันทั้งคู่
นอกจากนี้แล้วประพจน์ p q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ

7. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 6
นิเสธของประพจน์และค่าความจริง
ถ้าให้ P เป็นประพจน์ นิเสธของ p จะมีค่าความจริงตรงข้ามกับ p และจะใช้สัญลักษณ์  p แทน
ความหมายนิเสธของ p ซึ่งสามารถเขียนเป็นตารางแสดงค่าความจริงได้ดังนี้
p  p
T
F
F
T
Example 4 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาค่าความจริงของนิเสธของประพจน์ดังกล่าว
1. 7 + 3 < 10
2. 2 + 5 = 7
3. ควายมี 2 ขา
4.น้องเจี๊ยบนิสัยไม่ดี
5.พรุ่งนี้ ทาการบ้ามาส่งครูด้วย
Example 5 ถ้า p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ p มีค่าความจริง จงหาค่าความจริงของ q
Example 6 ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นจริง และ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาความจริงของ q
Example 7 ถ้า p v q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ r มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของ q r
Example 8 ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ r  p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ  r
Example 9 หาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1.  เป็นจานวนอตรรกยะ หรือ  เป็นทศนิยมไม่รู้จบ ชนิดไม่ซ้า
2. 3 x 3 เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 9 เป็นจานวนคู่

8. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 7
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป
ข้อควรทราบ ในการหาค่าความจริง จะต้องหาค่าความจริงของประพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเสียก่อน
แต่ถ้าในโจทย์บางข้อไม่ได้ใส่วงเล็บ ถือเป็นข้อตกลง ให้หาค่าความจริงตามลาดับดังนี้
เริ่มต้น  ,  ,  , , สิ้นสุด
ในการหาค่าความจริงของประพจน์นั้นสามารถแบ่งได้ 2 กรณี คือ
1. กรณีไม่ได้บอกค่าความจริง ของประพจน์ย่อยมาให้ (ต้องสร้างตารางค่าความจริง)
- ถ้าประพจน์ย่อยมี 1 ประพจน์ ค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 2 กรณี
- ถ้าประพจน์ย่อยมี 2 ประพจน์ ค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 4 กรณี
- ถ้าประพจน์ย่อยมี 3 ประพจน์ ค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 8 กรณี
Example 10 จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p   q) p
เนื่องจากประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ ดังนั้นค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 4 กรณี
ดังตารางแสดงค่าความจริงต่อไปนี้
p q q p   q (p   q) p

9. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 8
Example 11 จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p  q) r
p q r p  q (p  q) r
2. กรณีที่กาหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยบางประพจน์มาให้ (ไม่ต้องสร้างตารางค่าความจริง)
Example 12 กาหนดให้ p เป็นจริง q เป็นเท็จ r เป็นจริง และ s เป็นเท็จ หาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1. (p q) (s  r)
2. (p   q) (r  s)
3.  (p  q) (p   q)

10. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 9
Example 13 ให้ p, q, r, s เป็นประพจน์ และค่าความจริงของ [  (p  q)]  (r s)
สัจนิรันดร์ (Tautology) ประพจน์ที่จริงเสมอ
- พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ p v  p โดยตารางค่าความจริง
p  p p   p
- พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ (p q) p โดยตารางค่าความจริง
p q p  q (p  q) p
สัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ

11. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 10
วิธีการตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ทาได้ดังนี้
1. สร้างตารางค่าความจริง (เป็นวิธีพื้นฐาน)
Example 14 ตรวจสอบว่าประพจน์ใดที่เป็นสัจนิรันดร์
1.  p (p  q)
2.  (p  q) (p   q)
2. ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง เป็นวิธีการที่ตรวจสอบว่า รูปแบบของประพจน์นั้น ๆ มีโอกาสเป็นเท็จได้หรือไม่
ถ้ามีโอกาสเป็นเท็จได้แม้แต่กรณีเดียว ก็สามารถสรุปได้เลยว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ [เป็นวิธีที่สะดวกที่สุด]
ขั้นตอนในการทาคือ
1. สมมติให้ประพจน์นั้น ๆ เป็นเท็จ
2. หาค่าความจริงของประพจน์ย่อยแต่ละประพจน์
3. ดูว่าเกิดการขัดแย้งหรือไม่
ถ้าขัดแย้งจะเป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่ขัดแย้งจะไม่เป็นสัจนิรันดร์

12. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 11
2.1 เชื่อมด้วย “หรือ”
ประพจน์ p v q จะเป็นเท็จ เมื่อ p และ q เป็นเท็จทั้งคู่
Example 15 ประพจน์ [p (q  r)]  [q (p  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Example 16 ประพจน์ [p  (q  r)]   [p   (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
2.2 เชื่อมด้วย “ถ้า … แล้ว…”
ประพจน์ p q เป็นเท็จ เมื่อ p เป็นจริง q เป็นเท็จ
Example 17 ประพจน์ (p  q) p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Example 18 ประพจน์ (p q) [(p  r) (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

13. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 12
Example 19 ประพจน์  p (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
2.3 เชื่อมด้วย “…..ก็ต่อเมื่อ…..”
ประพจน์ p q เป็นเท็จ เมื่อ p, q มีค่าความจริงต่างกัน
Example 20 ประพจน์  (p q) (p   q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Example 21 [(p r)  (q r)] [(p  q) r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Example 22 [น่าสนใจมาก]
ประพจน์ [(p r)  (q r)] [(p  q) r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

14. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 13
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ p q และ  p  q จากตารางค่าความจริงต่อไปนี้
p q  p p q  p  q
จากตารางจะพบว่า ประพจน์ p q และ  P  q มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ในลักษณะเช่นนี้
จะเรียกว่า รูปแบบของประพจน์ p q สมมูลกับประพจน์  p  q ซึ่งประพจน์ทั้ง 2 รูปแบบนี้จะมี
คุณสมบัติเหมือนกัน และที่สาคัญสามารถนาไปใช้แทนกันได้
สรุป จะเรียกว่ามันสมมูลกันได้ ถ้าค่าความจริงของทั้ง 2 ประพจน์เหมือนกันทุกกรณี
วิธีการตรวจสอบว่ามันสมมูลกันหรือไม่
1. สร้างตารางค่าความจริง (เป็นวิธีพื้นฐาน)
Example 23 พิจารณาว่า p q สมมูลกับ q  p หรือไม่
p q q  p p q  q  p
Example 24 พิจารณาว่า  (p  q) สมมูลกับ  p   q หรือไม่
p q  p q p  q  (p  q)  p   q

15. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 14
2. ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง (ในเรื่องสัจนิรันดร์) เข้าช่วย
ขั้นตอนในการตรวจสอบว่า 2 ประพจน์ สมมูลกันหรือไม่ ให้นาทั้ง 2 ประพจน์ มาเชื่อมด้วย จากนั้น
ให้ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยวิธีหาข้อขัดแย้ง
- ถ้าเป็นก็แสดงว่าทั้ง 2 ประพจน์นั้นสมมูลกัน
- ถ้าไม่เป็นแสดงว่าทั้ง 2 ประพจน์นั้นไม่สมมูลกัน
Example 25 ตรวจสอบว่า  (p  q) สมมูลกับ  p   q หรือไม่
Example 26 ตรวจสอบว่า p q สมมูลกับ  p  q หรือไม่
Example 27 ตรวจสอบว่า  (p q) สมมูลกับ p   q หรือไม่
Example 28 ตรวจสอบว่า p q สมมูลกับ q  p หรือไม่
Example 29 ตรวจสอบว่า (p  q) r สมมูลกับ p (q r) หรือไม่

16. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 15
3. ดัดแปลงจากรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ที่นามาใช้บ่อย ๆ มีดังนี้
กระทากับตนเอง
1. P  P  P
2. P  P  P
สลับที่
1. p  q  q  p
2. p  q  q  p
3. p q  q p
จัดหมู่
1. p (q  r)  (p  q)  r
2. p  (q  r)  (p  q)  r
3. p (q r)  (p q) r
เดอร์มอแกน
1.  (p  q)   p   q
2.  (p  q)   p   q
แปลงรูป
1. p q   p  q
2. p q   q  p
3.  (p q)  p  q
กระจายปกติ
1. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
2. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

17. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 16
Example 30 ตรวจสอบว่า p  (q p) สมมูลกับ  p  (p  q) หรือ
(ดัดแปลงจากข้อสอบ Ent 40)
Example 31 ตรวจสอบว่า  [(p  q) (p  q)] สมมูลกับ (p  q)  (p  q) หรือไม่
Example 32 ตรวจสอบว่า (p  q) (r  s) สมมูลกับ ( r  s) (p  q) หรือไม่
Example 33 พิจารณาข้อความ “ถ้านาย x หรือนาย y ชอบเที่ยวแล้ว นาย z จะชอบเที่ยวด้วย” สมมูลกับข้อความ
“ถ้านาย z ไม่ชอบเที่ยว แล้ว นาย x ไม่ชอบเที่ยว และนาย y ไม่ชอบเที่ยว” หรือไม่

18. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 17
พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ p  q และ  p   q จากตารางค่าความจริงต่อไปนี้
p q  p q p  q  p   q
จากตารางจะพบว่า ประพจน์ p  q และ  p   q มีค่าความจริงต่างกันทุกกรณี
รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงกันทุกกรณีเช่นนี้ จะเรียกว่านิเสธของกันและกัน เช่นจากตารางค่าความ
จริงด้านบนจะได้ว่า
- p  q เป็นนิเสธของ  p   q
-  p   q เป็นนิเสธของ p  q
หรืออาจเขียนว่า
- นิเสธของ p  q คือ  p   q
- นิเสธของ  p   q คือ p  q
และสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้
 (p  q) สมมูลกับ  p   q
 (p   q) สมมูลกับ p  q
Example 34 จงแสดงว่า p q เป็นนิเสธ ของ p   q
p q q p q p   q

19. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 18
Example 35 หานิเสธของข้อความ “ถ้าแดงสอบได้แล้ว แดงจะได้รางวัล”
Example 36 จงหานิเสธของ  (p  q) (p  q)

20. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 19
การอ้างเหตุผล
ตัวอย่างการอ้างเหตุผล เช่น
เหตุ 1. นายหมาลักทรัพย์
2. นายหมาฆ่าคน
3. นายหมาเสพยา
ผล นายหมาติดคุก
จากตัวอย่างดังกล่าว จะพบว่า การอ้างเหตุผลประกอบไปด้วย 2 ส่วนสาคัญ คือ
1. ส่วนเหตุ (ซึ่งส่วนมากเหตุที่ทาให้เกิดผลจะมีหลาย ๆ เหตุ)
2. ส่วนผล
ถ้าส่วนที่เป็นเหตุสามารถทาให้ผลเป็นจริง จะกล่าวว่าเป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล แต่ถ้าส่วนที่เป็น
เหตุไม่สามารถทาให้ผลเป็นจริงได้ จะกล่าวว่าเป็นการอ้างเหตุที่ไม่สมเหตุสมผล
วิธีการตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล หรือไม่มีดังนี้
วิธีที่ 1 ให้นาเหตุและผลที่จะตรวจสอบมาเขียนในรูป
เหตุ ผล
นั่นก็คือ (P1  P2  P3  …. Pn) q
สังเกตว่าถ้ามีเหตุหลาย ๆ เหตุให้เชื่อมด้วยคาว่า “และ” เสมอ
และตรวจสอบว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ถ้าเป็น สรุปว่า สมเหตุสมผล
ถ้าไม่เป็น สรุปว่า ไม่สมเหตุสมผล
Example 37 ใช้ตรวจสอบว่า การอ้างเหตุผลต่อไนปี้ สมเหตุสมผล หรือไม่
เหตุ 1. p q
2. p
ผล q

21. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 20
Example 38 ให้ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. p q
2. q r
ผล p r
Example 39 ให้ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. ดาจิมชอบเล่นเทนนิส หรือฟุตบอล
2. ดาจิมไม่ชอบเล่นเทนนิส
สรุป ดาจิมชอบเล่นฟุตบอล

22. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 21
วิธีที่ 2 ดัดแปลงมาจากวิธีที่ 1
พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้
(P1  P2 …..  Pn) q
T T T
T F F
F T T
F T F
จะพบว่ากรณีที่เหตุเป็นเท็จ ประพจน์ดังกล่าวจะมีค่าความจริงเป็นจริงอย่างแน่นอน [จึงไม่ต้องตรวจสอบ]
ดังนั้นในการตรวจสอบให้ตรวจสอบเฉพาะกรณีที่เหตุเป็นจริง เพื่อที่จะดูว่าผลของ q เป็นอย่างไร ถ้าผล q เป็น
จริงแสดงว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์ จึงสรุปได้ว่าการให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล
ขั้นตอนการทา ให้เหตุแต่ละเหตุเป็นจริง แล้วนามาข้อมูลดังกล่าวไปหาค่าความจริงของผล
ถ้าผลจริงก็สรุปได้ว่าสมเหตุสมผล
Example 40 ให้ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1) p (q  s)
2) p  s
ผล q
Example 41 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1)  p q 2. p ( r  s)
3) q  t 4. t
ผล  r s

23. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 22
Example 42 กาหนดเหตุดังต่อไปนี้
เหตุ 1. p q 2. r s 3. r  p
จงพิจารณาว่าผลในข้อใดที่ทาให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล
1. q   s 2. q (r   s)
3. r  q 4. (r  q) (p   s)
Example 43 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. p (q r)
2. p
3.  t q
ผล r t

24. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 23
วิธีที่ 3 จารูปแบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลของรูปแบบที่ใช้บ่อย ๆ ผสมกันความรู้เกี่ยวกับประพจน์ที่
สมมูลกันมาช่วยในการตรวจสอบการอ้างเหตุผล
รูปแบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล ที่ใช้บ่อย ๆ (ควรจา) มีดังนี้
รูปแบบที่ 1 รูปแบบที่ 2
เหตุ 1. p q เหตุ 1. p q
2. p 2. q r
ผล q ผล p r
รูปแบบที่ 3 รูปแบบที่ 4
เหตุ 1. p q เหตุ 1. p  q
2. q 2.  p
ผล q ผล q
รูปแบบที่ 5 รูปแบบที่ 6
เหตุ p  q เหตุ p
ผล p (จะสรุป q ก็ได้นะ) ผล p  q
รูปแบบที่ 7 รูปแบบที่ 8
เหตุ 1. p r เหตุ 1. p r
2. q r 2. q s
ผล (p  q) r 3. p  q
ผล r v s
Example 44 ตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1.  p q 2.  r
3. p s 4. q  r
ผล s

25. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 24
Example 45 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. p  q 2. q
3.  r  p 4. r s
ผล s
Example 46 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1.  r s 2. s (p  q) 3. r t
4.  t 5.  p
ผล q
Example 47 ตรวจสอบว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. q (p r) 2. r s
3. q 4.  s
ผล  p

26. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 25
ตัวบ่งปริมาณ
ทราบมาแล้วว่าประโยคบอกเล่าที่มีตัวแปรจะเรียกว่า “ประโยคเปิด” ตัวอย่าง เช่น “เขาเป็นนัก
คณิตศาสตร์” มีตัวแปรคือ “เขา” x + 10 = 25 มีตัวแปรคือ x นิยมใช้สัญลักษณ์
- P(x) แทน ประโยคเปิดที่มีตัวแปร x เช่น ใช้ P(x) แทน x + 2 > 5
- P(x, y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร x, y เช่น ใช้ P(x, y) แทน x2
+ y2
= 25
ประโยคเปิดเหล่านี้ไม่เป็นประพจน์ แต่สามารถทาให้เป็นประพจน์ได้ ถ้านาค่าบางค่าแทนตัวแปรในประโยค
เปิด แล้วมีผลทาให้ทราบทันทีว่า ประโยคเหล่านี้เป็นจริงหรือเท็จ โดยค่าที่นามาแทน จะต้องมาจาก
เอกภพสัมพัทธ์ที่กาหนดขึ้น และจะต้องมีการบ่งบอกจานวนที่จะนามาแทนค่าตัวแปรด้วย (ตัวบ่งปริมาณ)
สรุป ประโยคเปิดสามารถที่จะเป็นประพจน์ได้ ถ้าประกอบด้วย 3 ส่วน คือ
1. ส่วนที่เป็นประโยคเปิด
2. เอกภพสัมพัทธ์
3. ตัวบ่งปริมาณ เช่น ทุก ๆ ค่า , บางค่า
ตัวบ่งปริมาณจะมีอยู่ 2 ชนิด คือ
1. ตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด” ได้แก่ คาว่า “ทั้งหมด” , “แต่ละค่าของ…” “สาหรับทุก ๆ ค่า….” เขียนแทนด้วย
 อ่านว่า “for all” มีความหมายว่า สมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์จะเป็นไปตามเงื่อนไขที่กาหนด
x[P(x)] มีความหมายว่า สาหรับทุก ๆ x ในเอกภพสัมพัทธ์ ( ) มีเงื่อนไข P(x)
Example 48
1. x[x + 4 > 6] เมื่อ = {2, 3, 4, 5}
อ่านว่า
2. x[x2
+ 2x + 1  0] เมื่อ = {-2, 1, 3, 7}
อ่านว่า

27. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 26
Example 49 ให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง เขียนประโยคต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์
 จานวนเต็มทุกจานวนเป็นจานวนจริง
 สาหรับจานวนจริงบวก x ทุกจานวน 2x = |x|
2. ตัวบ่งปริมาณ “มีอย่างน้อยหนึ่ง” ได้แก่ คาว่า “มีอย่างน้อยหนึ่ง” “สาหรับบางค่าของ…” เขียนแทนด้วย 
อ่านว่า “for some” หมายความว่า มีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์อย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นไปตาม
เงื่อนไขที่กาหนด
x[P(x)] มีความหมายว่า มี x อย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไข P(x)
Example 50
1. x[x2
+ 2x + 3 = 0] เมื่อ U = I
อ่านว่า
2. x[x > 0  x2
+ x  0] เมื่อ U = R
อ่านว่า
Example 51
1. มีจานวนจริง x อย่างน้อยหนึ่งจานวนที่ทาให้ x2
= 2
2. มีจานวนจริงบวก x อย่างน้อยหนึ่งจานวนที่ทาให้ x2
– 2x + 3 = 0
 ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัว
ถ้ากาหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร x และกาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ ค่าความจริงของ
[P(x)] และ [P(x)] เป็นดังนี้
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อนาสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใน ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็นจริง
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมีสมาชิกใน อย่างน้อย 1 ตัว ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x)
เป็นเท็จ

28. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 27
ข้อสังเกต ถ้าจะเช็คว่า x[P(x)] จริงต้องแทน x ทุกค่า แต่ถ้าจะเช็คว่า x[P(x)] เป็นเท็จ
ถ้าเจอค่า x ที่ทาให้ P(x) เป็นเท็จค่าเดียวก็สรุปได้เลย
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมีสมาชิกใน อย่างน้อย 1 ตัว ไปแทนค่า x ใน P(x)
แล้วทาให้ P(x) เป็นจริง
x[P(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อนาสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใน ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็นเท็จ
(ไม่มีตัวไหนที่แทนแล้วเป็นจริงเลย)
ความสัมพันธ์ระหว่าง x, x ได้ดังนี้
ถ้า x[P(x) มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว x[P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นจริงด้วย
(ถ้าเช็ค x จริง สรุป x ได้เลย)
ถ้า x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว x[P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นเท็จทันที
(ถ้าเช็ค x เท็จ สรุป x เท็จได้ทันที)
Example 52 หาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1.  x[x2
– 2x – 3 = 0] เมื่อ U = {1, 2, 3, 4}
2. x[x2
+ 2x + 1  0] และ  x[x2
+ 2x + 1 0] เมื่อ U = {-2, 1, 3, 7}
3. x[x + 3 > 5] เมื่อ U = {4, 5, 6}

29. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 28
4. x[ 2x = x] โดยที่ U = R (ทาไงดีเอกภพสัมพัทธ์คือ R เลยนะ)
5. x[x + 1  x] โดยที่ U = R (เป็นจานวนจริงอีกแล้ว)
Example 53 ให้ R เป็นเซตของจานวนจริง Q เป็นเซตของจานวนตรรกยะ I เป็นเซตของจานวนเต็มและ
เอกภพสัมพัทธ์ คือ R จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1. x [ x  Q  x > 2 ] (ระวัง! มีตัวเชื่อมด้วยนะ)
2. x [x2
> 9 x > 3]

30. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 29
3. x[x2
 x V x2
+ x + 1 = 0]
Example 54 ให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1. x[ x > 0] x[x  5]
2.  x[x > 0]   x[2 < x < 5]

31. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 30
ประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณมากกว่า 1 ตัว
ถ้าประโยคเปิดมีตัวแปรมากกว่า 1 ตัว เช่น
x2
+ 2xy + y2
= 3 , (x – 5)2
+ (y – 3)2
= 25
การที่จะรู้ว่าประโยคเปิดดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จนั้นจะต้องทราบทั้งค่าของ x และ y ที่จะนาไปแทน นั่นคือ
ถ้าจะทาให้เป็นประพจน์จะต้องมีตัวบ่งปริมาณทั้งของ x, y
โดยจะใช้สัญลักษณ์ P(x, y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร x และ y
Example 55 พิจารณาว่าเป็นประพจน์หรือไม่
1. x y[x + y = y + 5]
2.  y[x + y = y + 5]
ถ้าให้ P(x, y) คือ x2
+ y2
= 2x + 1 เป็นประโยคเปิด จะทาให้เป็นประพจน์โดยนาตัวบ่งปริมาณมาใช้กับ
ประโยคเปิดดังกล่าวได้ 4 รูปแบบ คือ (ให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง)
1. x y [x2
+ y2
= 2x + 1]
อ่านว่า “สาหรับทุก ๆ x และทุก ๆ y ที่เป็นจานวนจริงที่ทาให้ x2
+ y2
= 2x + 1”
2. x y[x2
+ y2
= 2x + 1]
อ่านว่า “สาหรับบางค่าของ x และ y ที่เป็นจานวนจริงที่ทาให้ x2
+ y2
= 2x + 1”
3. x y [x2
+ y2
= 2x + 1]
อ่านว่า “สาหรับทุกค่า x ที่เป็นจานวนจริง จะมี y ที่เป็นจานวนจริงอย่างน้อยหนึ่งค่าที่ทาให้
x2
+ y2
= 2x + 1”
4. x y [x2
+ y2
= 2x + 1]
อ่านว่า “มี x ที่เป็นจานวนจริงอย่างน้อย 1 ตัว ซึ่งทาให้ x2
+ y2
= 2x + 1 สาหรับทุก ๆ จานวนจริง y”

32. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 31
Example 56 กาหนดให้ U = R ประโยค “สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ มีจานวนจริง y ซึ่งทาให้ x + y > 10 หรือ
x2
+ y2
= 3” เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ คือ
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว
ในการตรวจสอบว่าประโยคเปิด P(x,y) ใด ๆ เป็นจริงหรือเท็จนั้น ในแต่ละครั้งต้องแทนค่า x หนึ่งค่า
และ y หนึ่งค่า ในประโยคเปิดพร้อมกัน จึงจะทราบว่า P(x, y) เป็นจริงหรือเท็จ
ถ้ากาหนดให้ P(x, y) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร x, y และกาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ ค่าความจริง
ของ x y [P(x, y)] , x y [P(x, y)] , xy[P(x, y)] , x y [P(x, y)] เป็นดังนี้
x y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ ทุก ๆ ค่าของ x และ y ใน เมื่อนาไปแทนค่าแล้วทาให้
P(x, y) เป็นจริง
xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ มี x และ y อย่างน้อย 1 คู่ใน ซึ่งเมื่อนาไปแทนค่าแล้ว
ทาให้ P(x, y) เป็นเท็จ
xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อแต่ละค่าของ x ใน สามารถหาค่า y ที่อยู่ใน อย่างน้อย 1 ตัว
แทนค่าแล้วทาให้ P(x, y) เป็นจริง
xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ มี x อย่างน้อย 1 ตัว ใน ซึ่งทาให้ P(x, y) เป็นเท็จสาหรับทุก ๆ
ค่าของ y ที่อยู่ใน
x y [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ มี x อย่างน้อย 1 ตัว ใน ซึ่งทาให้ P(x, y) เป็นจริงสาหรับ
ทุกค่า y ที่อยู่ใน
x y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ ไม่มี x ที่อยู่ใน เลยที่ทาให้ P(x, y) เป็นจริงสาหรับทุกค่า
ของ y ที่อยู่ใน
xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x และ y อย่างน้อย 1 คู่ ใน ที่ทาให้ P(x, y) เป็นจริง
xy [P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ ทุก ๆ ค่าของ x และ y ที่อยู่ใน เมื่อนาไปแทนค่าแล้วทาให้ P(x, y)
เป็นเท็จ

33. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 32
Example 57 จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1. xy [x2
+ y2
= 9] เมื่อกาหนดให้ U = {0, 2, 3}
2. xy[x2
– y < 3] เมื่อกาหนดให้ U = {-1, 1, 2}
3. xy [|x + y| = |x| + |y|] เมื่อ U = {-2, -1, 0, 1, 2}
4. xy[x + y  y] เมื่อ U = I+

34. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 33
5. xy[x + y = 0] เมื่อ U = {-1, 0, 1}
6. xy [xy = y] เมื่อ U = {0, 3, 4}
7. xy[|x + y| = |x| - |y|] เมื่อ U = {-2, -1, 1, 2}
8. xy [x + y = y] เมื่อ U = I

35. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 34
9. xy [x  y = 1] เมื่อ U = I
10. xy[x2
+ x = y2
= y] เมื่อ U = {-2, -1, 0, 1, 2}
11. xy  2yx  เมื่อ U = I+

36. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 35
การสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
เนื่องจากประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณจะเป็นประพจน์ ดังนั้นสามารถที่จะนารูปแบบการสมมูลกันของ
ประพจน์มาใช้กับประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณได้เช่นเดียวกัน
ตัวอย่าง เช่น
1. x[P(x)] x(Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)]  x[P(x)]
(จากรูปแบบ p q  q p นั่นเอง)
2.  (x[P(x)]  x[Q(x)]) สมมูลกับ  x[P(x)]  x[Q(x)]
(จากรูปแบบ  (p  q)   p  q
3.  [x[P(x)] x[Q(x)]] สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)]
นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
1. นิเสธของ x[P(x)] คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกัน x[P(x)]
โดยนิเสธของ x[P(x)] จะเขียนแทนด้วย x[P(x)]
x [P(x)]  x[P(x)]
2. นิเสธของ x[P(x)] จะเขียนแทนด้วย x[P(x)]
x[P(x)]  x[ P(x)]
สังเกตว่า ถ้ามี  ให้เปลี่ยนเป็น  แต่ถ้ามี  ก็ให้เปลี่ยนกลับไปเป็น  และใส่  หน้าประโยคเปิด
Example 58 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้
1. มีนักเรียนอย่างน้อย 1 คน ในห้องนี้ไม่ใส่นาฬิกา
2. จานวนจริง x ทุกจานวนที่ทาให้ x2
 0
3. x[x + 5 = 7]
4. x[x – 5 = 3  x + y = 9]
5. x[x = 2 x2
= 4]
6. “มีอย่างน้อย 1 คน ในห้องนี้ ที่รับประทานขนมจีน”
7. x[x = 2 2 + 1]

37. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 36
ในทานองเดียวกัน ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีตัวบ่งปริมาณมากกว่าหนึ่งตัว สามารถที่จะหานิเสธของประพจน์
ดังกล่าวได้ดังนี้
 xy[P(x, y)]  xy [P(x, y)]
 xy[P(x, y)]  xy [P(x, y)]
 xy[P(x, y)]  xy[P(x, y)]
 xy[P(x, y)]  xy[P(x, y)]
Example 59 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้ (พื้นฐาน)
1. xy[x2
+ y2
> 5]
2. xy [x + y = 7]
3. xy [x + y = y2
]
4. xy [x + y > y2
– 5]
Example 60 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้
1. xy [(x + y < 4)  (x – y > 5)]
2.  x[(x + 3 = 4) x2
= 9]
3. xy [x2
+ y = y – 1 x เป็นจานวนอตรรกยะ]

38. Mathematics : AJ Noi
Logic Page | 37
Example 61 หานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้
1. x[P(x)  x[Q(x)]
2. x[P(x)]  x[Q(x)]
3.  [x[P(x)] x[Q(x)]
4. x[P(x)]   x[Q(x)]

39. แบบฝึกหัด
จงเลือกคำตอบที่ถูกต้อง
1. ประโยคในข้อใดต่อไปนี้เป็นประพจน์
ก. เดือนตุลำคมนี้น้ำท่วมกรุงเทพมหำนครหรือไม่ ข. อย่ำลอกคำตอบของผู้อื่น
ค. ดำวฤกษ์ไม่มีแสงสว่ำงในตัวเอง ง. x + 1 = 2
2. ข้อควำมใดไม่เป็นประพจน์
ก. สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ x2
 0 ข. 5 เป็นจำนวนตรรกยะ
ค. สำหรับจำนวนจริง x และ y ใด ๆ x + y = 8 ง. สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ x > x
3. ข้อควำมใดเป็นประพจน์
ก. รักดีหำมจั่ว รักชั่วหำมเสำ ข. บนดำวพลูโตมีสิ่งที่มีชีวิตอำศัยอยู่
ค. กินข้ำวให้เสร็จก่อนแล้วจึงดูทีวี ง. ขอให้ทุกคนโชคดีในกำรสอบ
4. ถ้ำให้ p แทน 2 น้อยกว่ำ 6
q แทน 6 หำรด้วย 2 เท่ำกับ 3
r แทน 3 เป็นจำนวนเต็มคี่
ข้อควำม “ 2 น้อยกว่ำ 6 และ 6 หำรด้วย 2 เท่ำกับ 3 ดังนั้น 3 เป็นจำนวนเต็มคี่ ”
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ในข้อใด
ก. ( p  q )  r ข. ( p  q )  r
ค. ( p  q ) r ง. ( p  q ) r
5. ให้ p แทน “ นักเรียนชั้น ม. 4 ”
q แทน “ ผู้ที่เรียนวิชำ ค 011 ”
r แทน “ ผู้ที่ได้รับอนุญำตให้เข้ำห้องประชุม ”
ข้อควำม “นักเรียนชั้น ม. 4 ที่เรียนวิชำ ค 011 เป็นผู้ที่ไม่ได้รับอนุญำตให้เข้ำห้องประชุม ”
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ข้อใด
ก. ( p  q ) ~ r ข. ( p  q ) ~ r
ค. ( p  q )  ~ r ง. ( p  q )  ~ r
6. ถ้ำ p , q และ r เป็นประพจน์ที่มีค่ำควำมจริง เป็นจริง , เท็จ และจริงตำมลำดับ แล้วประพจน์ใด
ต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. ( p  r ) q ข. ( q  ~ p ) p
ค. ( p  ~ q ) ~ r ง. ( p  ~q ) r
7. ถ้ำกำหนดให้ประพจน์ p ( q  r ) มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จแล้ว ข้อสรุปใดถูกต้อง
ก. p เป็นเท็จ ข. q เป็นเท็จ ค. r เป็นเท็จ ง. ~ q  ~ r เป็นจริง
คณิตศำสตร์ ม. 4 “ต ร ร ก ศ ำ ส ต ร์”

40. 2
8. ถ้ำ pq มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ และ p rมีค่ำควำมจริงเป็นจริงเป็นเท็จแล้วข้อใดมีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. ~ ( p  q ) ข. ~ (p r) ค. ( p  r ) q ง. P (qr)
9. ถ้ำ ~ p ~q เป็นเท็จ และ q  r เป็นจริง ข้อใดต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ก. ~ p  (q r ) ข. ( p  q ) r
ค. ( q p )  ~ r ง. ( p  ~ q ) ~ r
10. กำหนด ( p  q ) r เป็นจริง และ r ~ s เป็นเท็จ ประพจน์ใดมีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ก. ~ s p ข. (pq ) r ค. ( p  q ) ~ r ง. r (~ s  p )
11. กำหนดให้ [ p  ( q r )] [ (q  s) (q  r) ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริงและ
p มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ ข้อใดเป็นค่ำควำมจริงของ q , r , s ตำมลำดับ
ก. T, T, F ข. F, F, T ค. T, F, T ง. F, T, F
12. กำหนดให้ ~ p q , ~ p  r , ~ r เป็นประพจน์ที่มีค่ำควำมจริงเป็นจริง ประพจน์ในข้อใด
ต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. p q ข. q r ค. p  r ง. p  ~ q
13. กำหนดให้ p แทนประพจน์ “ 2 + 2 = 4 ” q แทนประพจน์ “ 4 x 8 = 24 ”
แล้วประพจน์ p q มีค่ำควำมจริงตรงกับค่ำควำมจริงของประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
ก. p ~ q ข. ~ p q ค. ( p  q ) p ง. (pq) q
14. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ สมมูลกับประพจน์ p q
ก. ~ p  q ข. p  ~ q ค. ~ p  q ง. p  ~ q
15. ประพจน์ ~ ( ~ p q ) สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
ก. ~ ( p  q ) ข. ~ ( p  q ) ค. ~ p  q ง. p  ~ q
16. ประพจน์ p ~ q สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
ก. ~ p  q ข. ~ ( p  q ) ค. p  ~ q ง. ~ ( p  q )
17. ประพจน์ ( p  q ) r สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
ก. ~ r ( ~ p  ~ q ) ข. ( ~ p  ~ q )  r
ค. ( ~ p  ~ q ) ~ r ง. ~ p  ( ~ q  r )
18. ประพจน์ ~ ( p q ) r สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
ก. ~ r ( p  q ) ข. ~ r ( ~ p  q )
ค. ~ r ( p  ~ q ) ง. ~ r ( ~ p  q )
19. ประโยค “ไม่เป็นควำมจริงที่ว่ำ ถ้ำ x + y  1 แล้ว ( x + y )2
> 1 ”จะมีควำมหมำย
เช่นเดียวกับประโยคใด ต่อไปนี้
ก. x + y  1 และ ( x + y )2
> 1 ข. ถ้ำ ( x + y )2
 1 แล้ว x + y = 1
ค. x + y  1 และ ( x + y )2
 1 ง. ถ้ำ x + y = 1 แล้ว ( x + y )2
 1

41. 3
20.กำหนดให้ประพจน์ x y สมมูลกับประพจน์ y  ~ x ประพจน์ ( ~ p  q ) r
สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
ก. ( r  p )  ( ~ r  q ) ข. ( r  p )  ( r  ~ q )
ค. ( r  p )  ( ~ r  q ) ง. ( r  p )  ( r  ~ q )
21. กำหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ดังนั้นประพจน์ ~ [ (p  q ) ( ~ q  r ) ]
สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
ก. p  ~ ( q r ) ข. ~ q ( ~ p  r )
ค. ~ ( p  q )  ( q  r ) ง. ~ ( p  q ) ( q  ~ r )
22. ข้อควำมใดสมมูลกับข้อควำม “ ถ้ำ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ”
ก. ถ้ำ a = 0 หรือ b = 0 แล้ว ab = 0 ข. ถ้ำ ab  0 แล้ว a  0 หรือ b  0
ค. ถ้ำ a  0 หรือ b  0 แล้ว ab  0 ง. ถ้ำ a  0 และ b  0 แล้ว ab  0
23. ประพจน์ในข้อใดสมมูลกับ p q
ก. ( p  ~ q ) ( r  ~ r ) ข. ( p  ~ q ) ~ p
ค. ( p  ~ q ) q ง. สมมูลทั้ง ก, ข, ค
24. ข้อควำม “ ถ้ำ x = 3 แล้ว x2
= 9 ” สมมูลกับข้อควำมในข้อใด
ก. ถ้ำ x2
 9 แล้ว x  3 ข. ถ้ำ x  3 แล้ว x2
 9
ค. ถ้ำ x  3 แล้ว x2
= 9 ง. ถ้ำ x = 3 แล้ว x2
 9
25. “ ถ้ำวิภำหนีเรียนแล้ววิภำถูกทำโทษ ” สมมูลกับข้อใด
ก. ถ้ำวิภำถูกทำโทษ แล้ววิภำหนีเรียน ข. ถ้ำวิภำไม่ถูกทำโทษ แล้ววิภำไม่หนีเรียน
ค. วิภำหนีเรียน และวิภำถูกทำโทษ ง. วิภำไม่หนีเรียน และวิภำไม่ถูกทำโทษ
26. กำหนดข้อควำม “ ถ้ำนำยแดงกินผักแล้ว นำยแดงไม่เป็นหวัด ” ข้อควำมข้ำงบนนี้สมมูลกับข้อควำมในข้อใด
ก. ถ้ำนำยแดงไม่กินผักแล้ว นำยแดงเป็นหวัด ข. ถ้ำนำยแดงเป็นหวัด แล้วนำยแดงไม่กินผัก
ค. นำยแดงกินผัก และนำยแดงไม่เป็นหวัด ง. นำยแดงไม่กินผัก และนำยแดงเป็นหวัด
27. นิเสธของประพจน์ ( p q ) r คือข้อใด
ก. ( p  ~ q )  ~ r ข. ( p  ~ q)~ r ค. (~pq)~ r ง. (p~ q)  ~ r
28. ข้อใดเป็นนิเสธของ ~ p ( q  ~ r )
ก. ~ p  ~ q  r ข. p  ~ ( q  r )
ค. ~ p ( ~ q  r ) ง. ( q  ~ r ) ~ p
29. นิเสธ ของข้อควำม “ พิไลเป็นคนสวย แต่ไม่ฉลำด ” คือข้อใด
ก. พิไลเป็นคนไม่สวย หรือไม่ฉลำด ข. พิไลเป็นคนสวย แต่ฉลำด
ค. ถ้ำพิไลเป็นคนสวย แล้วพิไลฉลำด ง. พิไลไม่เป็นคนสวย และไม่ฉลำด

42. 4
30. รูปแบบประพจน์ในข้อใด เป็นสัจนิรันดร์
ก. ( ~ p q )  ( p  ~ q ) ข. ( ~ p q ) ( q p )
ค. ( ~ r  ~ s )  ( r  s ) ง. ( ~ p q ) ( q ~ p )
31. ข้อต่อไปนี้ ข้อใดเป็นสัจนิรันดร์
ก. [ ( p q )  p ] ~ q ข. [ ( p q )  ~ q ] ~ p
ค. ( p  ~ q ) ( p  q ) ง. ( ~ p q ) ( P  ~ p )
32. จงพิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
(1) ( p ~ q ) ~ ( p  q ) เป็นสัจนิรันดร์
(2) ~ ( ~ p q ) ~ ( p q ) เป็นสัจนิรันดร์
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. ข้อ 1 ถูก ข. ข้อ 2 ถูก ค. ข้อ 1 และข้อ2 ถูก ง. ข้อ 1 และ ข้อ 2 ผิด
33. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์
ก. [ ( p  r ) ( q  r ) ] ( p q )
ข. [ ( p  ~ q ) ~ p ] ( p q )
ค. [ ( p  ~ q ) ~ q ] ( p q )
ง. [ ( p  ~ q ) ~ q ] ( p q )
34. กำหนดประพจน์ 1. ( p  ~ p ) ( q  ~ q )
2. [ p  ( q  ~ q ) ] [ ~ p  ( q  ~ q ) ]
3. ~ ( p q )  ( ~ p ~ q )
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. นิเสธของ 1 เท่ำนั้นที่เป็นสัจนิรันดร์ ข. นิเสธของ 1 และ 2 เท่ำนั้นที่เป็นสัจนิรันดร์
ค. นิเสธของ 1 , 2 และ 3 เป็นสัจนิรันดร์ ง. นิเสธของ 1 , 2 และ 3 ไม่เป็นสัจนิรันดร์
35. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ก. [(p  q)  ~ p] (~ p  q) ข. [(pq) (p  q)] [(~p~q) (~p~ q)]
ค. ~ (p q) ~ (~ p  q) ง. [(~ p  q)  p] (p  q)
36. ให้ Q แทน จำนวนตรรกยะ R แทน จำนวนจริง
ประโยค “จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ใด
ก. x [ x  Q  x  R ] ข. x [ x  Q x  R ]
ค. x [ x  Q x  R ] ง. x [ x  Q  x  R ]
37. ให้ E แทน จำนวนคู่ O แทน จำนวนคี่
ประโยค “จำนวนเต็มคู่บำงตัวเป็นจำนวนคี่” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ใด
ก. x [ x E  x  O ] ข. x [ x E x O ]
ค. x [ x E x  O ] ง. x [ x E  x O ]

43. 5
38. กำหนดเอกภำพสัมพัทธ์ U และ p(x) เป็นประโยคเปิด จงพิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
(1) ถ้ำ x [ p(x) ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริงแล้ว x [ p(x) ] จะมีค่ำควำมจริงเป็นจริง
(2) ถ้ำ x [ p(x) ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริงแล้ว x [ ~ p(x) ] จะมีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ข้อ (1) และ (2) ถูกต้อง ข. ข้อ (1) เท่ำนั้นที่ถูกต้อง
ค. ข้อ (2) เท่ำนั้นที่ถูกต้อง ง. ข้อ (1) และ (2) ไม่ถูกต้อง
39. กำหนดเอกภพลักษณ์ U ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
ก. ประพจน์ x [ p(x) ] x [ p(x) ] เป็นสัจนิรันดร์
ข. ประพจน์ x [~ p(x) ] x [~ p(x) ] เป็นสัจนิรันดร์
ค. ประพจน์ x [~ p(x) ] x [ p(x) ] เป็นสัจนิรันดร์
ง. ประพจน์ x [ p(x) ] x [~ p(x) ] ไม่เป็นสัจนิรันดร์
40. กำหนดเอกสัมพัทธ์ U = เซตของจำนวนเต็ม ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. x [ x2
 0 หรือ x2
+ 1 = 0 ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ข. x [ x + 4 = 0 และ x – 2 = -6 ] มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ค. x [ x2
> 0 และ x เป็นจำนวนตรรกยะ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ง. x [ ถ้ำ x < 3 แล้ว x < 5 ] มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
41. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = R+
= เซตของจำนวนจริงบวก ประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. xy [ x + y  x ] ข. x y [ xy U ]
ค. x y [ x > y ] ง. x y [ x + y = 0 ]
42. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = { - 1, 0, 1} จงพิจำรณำประพจน์ต่อไปนี้
(1) x y [ x2
– y = y2
– x ] (2) xy [ x2
– y = y2
– x ]
(3) x y [ x2
– y = y2
– x ] (4) xy [ x2
– y = y2
– x
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ประพจน์ (1) และ (2) มีค่ำควำมจริงเป็นจริง ข. ประพจน์ (1) และ (3) มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ค. ประพจน์ (1), (3), (4) มีค่ำควำมจริงเป็นจริง ง. ประพจน์ (2), (3), (4) มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
43. กำหนดประพจน์ x y [ xy = 1 ]  xy [ xy = y ]
เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดต่อไปนี้ที่ทำให้ประพจน์ที่กำหนดให้มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ก. เซตของจำนวนเต็ม ข. เซตของจำนวนเต็มบวก
ค. เซตของจำนวนจริง ง. เซตของจำนวนจริงบวก
44. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U =เซตของจำนวนจริงและกำหนดประโยคเปิด p(x) แทน x เป็นจำนวนอตรรกยะ
q(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ ประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ
ก. x [ p(x) q( 2 ) ] ข. x [q(x) p(0.5)]
ค. x [p(x)  ~q( 2 ) ] ง. x [q(x)  ~ p(0.5)]

44. 6
45. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. x [ x < 1] x [x > 1] สมมูลกับ x [ x  1 ] x [ x  1 ]
ข. x [ x A ] x [ x B ] สมมูลกับ x [x A ]  x [ x B]
ค. x [ x < 1 xA ] ไม่สมมูลกับ x [x  A x  1 ]
ง. x [x A x B ] ไม่สมมูลกับ x [x A x B ]
46. กำหนดกำรอ้ำงเหตุผลต่อไปนี้
(1) เหตุ 1. p  ~q (2) เหตุ 1. r q
2. q 2. ~p r
3. r ~p 3. ~s ~q
ผล ~ r ผล p  v
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. อ้ำงเหตุผล (1) เท่ำนั้นที่สมเหตุสมผล ข. กำรอ้ำงเหตุผล (2) เท่ำนั้นที่สมเหตุสมผล
ค. ข้อ (1) และ (2) สมเหตุสมผล ง. กำรอ้ำงเหตุผล (1) และ (2) ไม่สมเหตุสมผล
47. กำหนดกำรอ้ำงเหตุผล ซึ่งประกอบด้วยเหตุดังนี้
เหตุ 1. P (q r)
2. s (t u)
3. p  q
4. s  t
ผลในข้อใดต่อไปนี้ ทำให้กำรอ้ำงเหตุผลนี้สมเหตุสมผล
ก. ผล ~r  u ข. ผล r  u
ค. ผล r  ~u ง. ผล ~r  ~u
48. กำหนดกำรอ้ำงเหตุผล ซึ่งประกอบด้วยเหตุดังนี้
เหตุ 1. ถ้ำนักเรียนตั้งใจเรียนแล้ว นักเรียนจะสอบได้
2. ถ้ำนักเรียนเกเรแล้ว นักเรียนจะสอบตก
3. นักเรียนตั้งใจเรียน และทำแบบฝึกหัดสม่ำเสมอ
ผลในข้อใดต่อไปนี้ ทำให้กำรอ้ำงเหตุผลนี้สมเหตุสมผล
ก. ผล นักเรียนไม่เกเร ข. ผล นักเรียนเกเร
ค. ผล นักเรียนเกเรแต่ตั้งใจเรียน ง. ผล นักเรียนเกเรแต่สอบได้
Do not worry about your difficulties in Mathematics.
I assure you mine are still greater.
อย่ำรู้สึกกังวลเกี่ยวกับควำมยำกของวิชำคณิตศำสตร์…
จนถึงทุกวันนี้ข้ำพเจ้ำยืนยันได้ว่ำคณิตศำสตร์ยังเป็นเรื่องยำก
สำหรับข้ำพเจ้ำ
คำคมจำกอัลเบิร์ต
ไอน์สไตน์

45. เอกสาร สรุปสูตรวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน&เพิ่มเติมระดับม.ปลาย
สรุป : อาจารย์ ประสิทธิ์ พงศ์ดารง (อาจารย์น้อย) Page 1
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกศาสตร์
ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่า ปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง(T)หรือค่าความจริงเป็นเท็จ(F)อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ประโยคหรือข้อความที่มีลักษณะเป็นคาอุทาน คาขอร้อง คาสั่ง คาถาม ไม่เป็นประพจน์
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีคาสรรพนาม(ตัวแปร) และสามารถทาให้เป็นประพจน์ได้เมื่อทราบค่า
ของตัวแปร เช่น x + 3 = 5 เป็นต้น
ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมชนิดต่างๆ
ตัวเชื่อมของประพจน์มี 4 แบบ คือ
1. คาว่า “และ” แทนด้วย “”
2. คาว่า “หรือ” แทนด้วย “”
3. “ถ้า...แล้ว...” แทนด้วย “ ”
4. “…ก็ต่อเมื่อ...” แทนด้วย “ ”
หลักการจา จากรณีที่แตกต่าง
การสร้างตารางค่าความจริง ถ้ามีจานวน n ประพจน์ (p1 ,p2 ,p3 , … , pn) ค่าความจริงของทั้ง n ประพจน์
จะเป็นไปได้ทั้งหมด 2n
กรณี เช่น ในตารางข้างต้น จะมีประพจน์ 2 ประพจน์ (p, q) กรณีทั้งหมดที่เป็นไปได้มี 4 กรณี
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันและนิเสธกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์ที่สมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี แทนด้วย “ ”
ประพจน์ 2 ประพจน์ที่นิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงต่างกันทุกกรณี แทนด้วย “ ”
คุณสมบัติของประพจน์ที่สมมูลกัน
1. สมบัติ สลับที่และเปลี่ยนกลุ่ม ตัวเชื่อม “”,“” และ “ ”
2. สมบัติแจกแจง p  (q  r) (p  q)  (p  r) // p  (q  r) (p  q)  (p  r)
3. สมบัติตัดออก ( p ) p
4. สมบัติเดอร์มอแกน (p  q) p  q // (p  q) p  q
5. สมบัติเปลี่ยนรูป p q p  q // p q q p
สัจนิรันดร์ (Tautology)
สัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
วิธีตรวจสอบมี 3 วิธี ดังนี้ 1. สร้างตารางค่าความจริง (เป็นวิธีพื้นฐาน) 2. ใช้วิธีสมมูลกัน
3. ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง(นิยมใช้***)
*** ใช้วิธีหาข้อขัดแย้งเป็นวิธีการที่ตรวจสอบว่า รูปแบบของประพจน์นั้น ๆ มีโอกาสเป็นเท็จได้หรือไม่
ถ้ามีโอกาสเป็นเท็จได้แม้แต่กรณีเดียวก็สามารถสรุปได้เลยว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ ขั้นตอนในการทาคือ
1. สมมติให้ประพจน์นั้น ๆ เป็นเท็จ
2. หาค่าความจริงของประพจน์ย่อยแต่ละประพจน์
3. ดูว่าเกิดการขัดแย้งหรือไม่
ตอบ ถ้าขัดแย้งจะเป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่ขัดแย้งจะไม่เป็นสัจนิรันดร์
บทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น(Logic)
p q p q p q p→q p↔q
T T T T T T
T F F T F F
F T F T T F
F F F F T T

46. เอกสาร สรุปสูตรวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน&เพิ่มเติมระดับม.ปลาย
สรุป : อาจารย์ ประสิทธิ์ พงศ์ดารง (อาจารย์น้อย) Page 2
การอ้างเหตุผล//ข้อความสมเหตุสมผล
วิธีการตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล หรือไม่มีดังนี้
วิธีที่ 1 ให้นาเหตุและผลที่จะตรวจสอบมาเขียนในรูป เหตุ ผล รูปแบบ (P1  P2  P3  …. Pn) q
แล้วตรวจสอบสัจนิรันดร์ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์จะสรุปได้ สมเหตุสมผล
วิธีที่ 2 (นิยมใช้***)ให้เหตุแต่ละเหตุเป็นจริง แล้วนามาข้อมูลดังกล่าวไปหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยพิจารณาผล
ถ้าผลจริงจะสรุปได้ว่าสมเหตุสมผล
วิธีที่ 3 จารูปแบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลของรูปแบบที่ใช้บ่อย ๆ
ตัวบ่งปริมาณ
1. ตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด” ได้แก่ คาว่า “ทั้งหมด” “สาหรับทุก ๆ ค่า...” เขียนแทนด้วย  อ่านว่า “for all”
2. ตัวบ่งปริมาณ “มีอย่างน้อยหนึ่ง” ได้แก่ คาว่า “มีอย่างน้อยหนึ่ง” “สาหรับบางค่าของ…” เขียนแทนด้วย 
อ่านว่า “for some” หรือ “there exists”
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัว เมื่อกาหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร x และ
กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U คือ ค่าความจริงของ [P(x)] และ [P(x)] เป็นดังนี้
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อนาสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใน U ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็นจริง
x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมีสมาชิกใน U อย่างน้อย 1 ตัว ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วทาให้ P(x) เป็นจริง
3. ประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว ประโยคเปิดจะมีได้ 4 รูปแบบ คือ
1. x y [P(x, y)] อ่านว่า “สาหรับทุก ๆ x และทุก ๆ y ที่เป็นจานวนจริงที่ทาให้ P(x, y)
2. x y [P(x, y)] อ่านว่า “สาหรับบางค่าของ x และ y ที่เป็นจานวนจริงที่ทาให้ P(x, y)
3. x y [P(x, y)] อ่านว่า “สาหรับทุกค่า x ที่เป็นจานวนจริง จะมี y ที่อย่างน้อยหนึ่งค่าที่ทาให้ P(x, y)
4. x y [P(x, y)] อ่านว่า “มี x ที่เป็นจานวนจริงอย่างน้อย 1 ตัว ซึ่งทาให้ P(x, y) สาหรับทุก ๆ y”
สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
1. x [P(x)] x [P(x)]
2. x [P(x)] x [P(x)]
3. x y [P(x, y)] x y [ P(x, y)]
4. x y [P(x, y)] x y [ P(x, y)]
5. x y[P(x, y)] x y [ P(x, y)]
6. x y [P(x, y)] x y [ P(x, y)]
Noi

47. ตรรกศาสตร์ 1
PAT 1 (มี.ค. 59)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์ใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) (~𝑝 → 𝑞) → (~𝑞 → 𝑝) เป็นสัจนิรันดร์
(ข) (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ∧ 𝑞) ไม่เป็นสัจนิรันดร์
(ค) (𝑝 → 𝑞) ∨ (~𝑟 → ~𝑞) สมมูลกับ 𝑝 → 𝑟
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
PAT 1 (ต.ค. 58)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์ โดยที่ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ (~𝑝 ∧ ~𝑞) เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (𝑞 ↔ 𝑟) ∨ 𝑝 มีค่าความจริงเป็น จริง 2. (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑟 → 𝑝) มีค่าความจริงเป็น จริง
3. (𝑟 → 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ 𝑞) มีค่าความจริงเป็น จริง 4. (𝑞 → ~𝑝) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
5. (𝑟 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 → ~𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
12. กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนตรรกยะ ให้ 𝑃(𝑥) คือ 8𝑥3
− 4𝑥 − 1 = 0
𝑄(𝑥) คือ 8𝑥4
− 8𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 0
และ 𝑅(𝑥) คือ 𝑥3
+ 𝑥2
> 0
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ∀𝑥[𝑄(𝑥) → 𝑅(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ค) ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑅(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) ถูกเพียงข้อเดียว 2. ข้อ (ข) ถูกเพียงข้อเดียว
3. ข้อ (ค) ถูกเพียงข้อเดียว 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
27 Jul 2016

48. 2 ตรรกศาสตร์
PAT 1 (มี.ค. 58)
2. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้าประพจน์ 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น จริง
แล้วประพจน์ (𝑝 → 𝑞) ↔ (𝑝 → 𝑟) มีค่าความจริงเป็น จริง
(ข) ถ้าประพจน์ 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
แล้วประพจน์ [(~𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑟] ∨ (𝑝 ∨ ~𝑟) มีค่าความจริงเป็น จริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (พ.ย. 57)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 แทนประพจน์ใดๆ ให้ 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟) แทนประพจน์ที่ประกอบด้วยประพจน์ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟
และค่าความจริงของประพจน์ 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟) แสดงดังตารางต่อไปนี้
ประพจน์ 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟) สมมูลกับประพจน์ใดต่อไปนี้
1. (𝑞 → 𝑝) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 2. (𝑞 → 𝑝) → (𝑝 → ~𝑟)
3. (𝑝 ∧ ~𝑞) → (𝑞 ∧ 𝑟) 4. (𝑝 ∧ ~𝑞) → (𝑝 → ~𝑟)
𝑝 𝑞 𝑟 ค่าความจริงของ 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟)
T T T T
T T F T
T F T F
T F F F
F T T T
F T F T
F F T T
F F F T

49. ตรรกศาสตร์ 3
2. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ { 𝑥 ∈ ℝ | 0 < 𝑥 < 1 } พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ประพจน์ ∃ 𝑥∀𝑦 [ 𝑥2
− 𝑦2
< 𝑦 − 𝑥 ] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ประพจน์ ∀𝑥∀𝑦 [ |𝑥 − 𝑦| < 1 − 𝑥𝑦 ] มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (เม.ย. 57)
3. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 และ 𝑡 เป็นประพจน์ ซึ่ง 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
𝑝 ↔ (𝑠 ∨ 𝑡) มีค่าความจริงเป็น จริง
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็น จริง
1. (𝑞 ∧ 𝑠) → (𝑝 ∧ 𝑞) 2. (𝑠 ∧ 𝑡) → ~𝑞
3. (𝑞 ∨ 𝑠) ↔ 𝑝 4. (𝑝 → 𝑟) → 𝑠
PAT 1 (มี.ค. 57)
2. กาหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจานวนจริง โดยที่ 𝑎𝑏 > 0
ให้ 𝑝 แทนประพจน์ “ถ้า 𝑎 < 𝑏 แล้ว 1
𝑎
>
1
𝑏
” และ 𝑞 แทนประพจน์ “√𝑎𝑏 = √ 𝑎√𝑏 ”
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง
1. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝) 2. (~𝑞 ⇒ ~𝑝) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑝)
3. (𝑝 ∧ ~𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝) 4. (~𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∧ 𝑞)

50. 4 ตรรกศาสตร์
3. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟 และ 𝑠 เป็นประพจน์ใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้าประพจน์ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ (𝑟 ∧ 𝑠) และประพจน์ 𝑝 มีค่าความจริงเป็นจริง
แล้วสรุปได้ว่าประพจน์ 𝑠 มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ประพจน์ (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∧ 𝑠) สมมูลกับ ประพจน์ [𝑞 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟)] ∧ [𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑠)]
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (มี.ค. 56)
1. กาหนดให้ 𝑃 แทน ประพจน์ “ถ้า 𝐴 ∪ 𝐶 ⊂ 𝐵 ∪ 𝐶 แล้ว 𝐴 ⊂ 𝐵 เมื่อ 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เป็นเซตใดๆ”
และให้ 𝑄 แทน ประพจน์ “ถ้า 𝐶 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 แล้ว 𝐶 ⊂ 𝐴 และ 𝐶 ⊂ 𝐵 เมื่อ 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เป็นเซตใดๆ”
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ประพจน์ [(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ~𝑄] ⇔ 𝑃 มีค่าความจริงเป็น จริง
(ข) ประพจน์ (𝑃 ⇒ 𝑄) ⇒ (~𝑃 ∧ ~𝑄) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (ต.ค. 55)
2. กาหนดให้ 𝑝 และ 𝑞 เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์
1. (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑝) 2. (~𝑝 ∨ ~𝑞) ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)
3. [(𝑝 ∧ ~𝑞) ⇒ ~𝑝] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞) 4. [(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ ~𝑞] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)

51. ตรรกศาสตร์ 5
3. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้า 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์โดยที่ 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็นจริง
แล้ว 𝑟 ⇒ [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (~𝑝 ⇒ 𝑟)] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) กาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ { 𝑥 ∈ R | 𝑥2
≤ 2𝑥 + 3 } เมื่อ R คือเซตของจานวนจริง
แล้ว ∃𝑥[3 𝑥
+ 6 = 33−𝑥] มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
PAT 1 (มี.ค. 55)
2. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟 และ 𝑠 เป็นประพจน์ใดๆ
ประพจน์ [(𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ ~𝑝] ⇒ [(𝑟 ∨ 𝑠) ∧ (𝑟 ∨ ~𝑠)] สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
1. 𝑝 ⇒ 𝑟 2. 𝑞 ⇒ 𝑟
3. (𝑝 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) 4. (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑠)
PAT 1 (ธ.ค. 54)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์ใดๆ โดยที่ ~𝑝 → 𝑞 มีค่าความจริงเป็นเท็จ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. (𝑝 ↔ 𝑟) → [(𝑝 ∨ 𝑟) → 𝑞] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ข. (𝑝 → 𝑟) → (~𝑞 → 𝑝) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อสรุปใดถูกต้อง
1. ก. ถูก ข. ถูก 2. ก. ถูก ข. ผิด
3. ก. ผิด ข. ถูก 4. ก. ผิด ข. ผิด

52. 6 ตรรกศาสตร์
2. กาหนดให้ 𝑃(𝑥) และ 𝑄(𝑥) เป็นประโยคเปิด ถ้า ∀𝑥[𝑃(𝑥)] ∧ ∀𝑥[~𝑄(𝑥)] มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว
ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)] 2. ∃𝑥[~𝑃(𝑥) ∨ ~𝑄(𝑥)]
3. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ ~𝑄(𝑥)] 4. ∀𝑥[𝑃(𝑥) → ~𝑄(𝑥)]
PAT 1 (มี.ค. 54)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เป็นประพจน์โดยที่ 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) , 𝑟 ∨ ~𝑝 และ 𝑝 มีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์ใน
ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. [𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ ~𝑟)] ⇔ ~(𝑞 ∧ 𝑟) 2. [𝑝 ⇒ (𝑟 ⇒ q)] ⇔ [(𝑟 ⇒ 𝑝) ⇒ 𝑞]
3. [𝑝 ⇒ ~(𝑟 ∧ 𝑞)] ⇔ [𝑟 ⇒ (𝑝 ∧ 𝑞)] 4. [𝑝 ∨ ~(𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇔ [𝑟 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)]
PAT 1 (ต.ค. 53)
1. กาหนดให้ 𝐴 , 𝐵 และ 𝐶 เป็นประพจน์ใดๆ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ถ้า 𝐴 ⇔ 𝐵 มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว (𝐵 ∧ 𝐶) ⇒ (~𝐴 ⇒ 𝐶) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
2. ประพจน์ 𝐴 ⇒ [(𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (𝐵 ∨ 𝐶)] เป็นสัจนิรันดร์
3. ประพจน์ [(𝐴 ∧ 𝐵) ⇒ 𝐶] ⇒ [(𝐴 ⇒ 𝐵) ⇒ (𝐴 ⇒ 𝐶)] เป็นสัจนิรันดร์
4. ประพจน์ (𝐴 ⇒ 𝐶) ∧ (𝐵 ⇒ 𝐶) สมมูลกับประพจน์ (𝐴 ∧ 𝐵) ⇒ 𝐶

53. ตรรกศาสตร์ 7
2. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง และ
𝑃(𝑥) แทน √(𝑥 + 1)2 = 𝑥 + 1
𝑄(𝑥) แทน √ 𝑥 + 1 > 2
ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์ ∃𝑥[𝑃(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[𝑄(𝑥)]
1. ∃𝑥[~𝑃(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[~𝑄(𝑥)] 2. ∃𝑥[𝑃(𝑥)] ⇒ ∃𝑥[𝑄(𝑥)]
3. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[𝑃(𝑥)] 4. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[𝑄(𝑥)]
PAT 1 (ก.ค. 53)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟 และ 𝑠 เป็นประพจน์ที่ ประพจน์ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∨ 𝑠) มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ
ประพจน์ 𝑝 ⇔ 𝑟 มีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง
1. (𝑞 ⇒ 𝑝) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) 2. 𝑞 ⇒ [𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ~𝑟)]
3. (𝑝 ⇒ 𝑠) ⇔ (𝑟 ⇔ 𝑞) 4. (𝑟 ⇔ 𝑠) ∧ [𝑞 ⇒ (𝑝 ∧ 𝑟)]
2. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {−1, 0, 1} ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 + 2 > 0] มีค่าความจริงเป็นจริง
2. ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 = 1] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
4. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 > 1] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

54. 8 ตรรกศาสตร์
PAT 1 (มี.ค. 53)
1. กาหนดให้ 𝑝 และ 𝑞 เป็นประพจน์ใดๆ ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ 𝑝 2. (~𝑝 ∧ 𝑝) ⇒ 𝑞
3. [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑝] ⇒ 𝑞 4. (~𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (~𝑝 ∧ ~𝑞)
PAT 1 (ต.ค. 52)
ตอนที่ 1
1. กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซต {−2, −1, 1, 2} ประโยคในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 ≤ 0 ∧ |𝑥| = 𝑦 + 1] 2. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 ≤ 𝑦 ∧ −(𝑥 + 𝑦) ≥ 0]
3. ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = 0 ∨ 𝑥 − 𝑦 = 0] 4. ∀𝑥∀𝑦[|𝑥| < |𝑦| ∨ |𝑥| > |𝑦|]
2. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟 เป็นประพจน์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า 𝑞 ∧ 𝑟 มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว 𝑝 และ 𝑝 ∨ [(𝑞 ∧ 𝑟) ⇒ 𝑝] มีค่าความจริงเหมือนกัน
ข. ถ้า 𝑝 มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว 𝑟 และ (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑟 มีค่าความจริงเหมือนกัน
ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

55. ตรรกศาสตร์ 9
PAT 1 (ก.ค. 52)
1. กาหนดให้ 𝑃(𝑥) และ 𝑄(𝑥) เป็นประโยคเปิด
ประโยค ∀𝑥[𝑃(𝑥)] → ∃𝑥[~𝑄(𝑥)] สมมูลกับประโยคในข้อใดต่อไปนี้
1. ∀𝑥[~𝑃(𝑥)] → ∃𝑥[𝑄(𝑥)] 2. ∀𝑥[𝑄(𝑥)] → ∃𝑥[~𝑃(𝑥)]
3. ∃𝑥[𝑃(𝑥)] → ∀𝑥[𝑄(𝑥)] 4. ∃𝑥[~𝑄(𝑥)] → ∀𝑥[𝑃(𝑥)]
2. กาหนดให้ U = {𝑛 ∈ 𝐼+ | 𝑛 ≤ 10} ประโยคในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. ∀𝑥∀𝑦[(𝑥2
= 𝑦2) → (𝑥 = 𝑦)] 2. ∀𝑥∃𝑦[(𝑥 ≠ 1) → (𝑥 > 𝑦2)]
3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦] 4. ∃𝑥∃𝑦[(𝑥 − 𝑦)2
≥ 𝑦2
+ 9𝑥𝑦]
PAT 1 (มี.ค. 52)
1. กาหนดให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟 เป็นประพจน์ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ประพจน์ 𝑝 → (𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟)) สมมูลกับประพจน์ 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟)
ข. ประพจน์ 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟) สมมูลกับประพจน์ (𝑞 → 𝑝) ∨ ~(𝑝 → ~𝑟)
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

56. 10 ตรรกศาสตร์
2. กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ 𝒰 = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 ∩ 𝑦 ≠ ∅] 2. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 ∪ 𝑦 = 𝒰]
3. ∀𝑥∃𝑦[𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑦 ⊂ 𝑥] 4. ∃𝑥∀𝑦[𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑦 ⊂ 𝑥]
A-NET 52
ตอนที่ 1
1. พิจารณาประโยคต่อไปนี้
ก. ∃𝑥 [√|𝑥| + 2 < 𝑥]
ข. ∃𝑥[2|𝑥| > 3𝑥]
เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใด ทาให้ประโยค ก. และ ข. มีค่าความจริงเป็นจริง
1. {−2, 0, 2} 2. {−2, 0, 3} 3. {0, 1, 2} 4. {0, 1, 3}
2. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็นจริง และ (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑟 มีค่าความจริงเป็นเท็จ
แล้ว 𝑞 → (𝑝 ∨ 𝑟) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข. การอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผล
เหตุ 1) ~𝑝 ∨ 𝑞 2) (𝑝 ∨ 𝑞) → ~𝑟 3) 𝑝 → ~𝑟
ผล 𝑞 ∨ 𝑟
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

57. ตรรกศาสตร์ 11
4. กาหนดให้ 𝒰 เป็นเซตคาตอบของอสมการ ||𝑥 + 1| + 2| ∙ ||𝑥 + 1| − 2| ≤ 25
ประโยคในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง
1. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = 14] 2. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = 11]
3. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = −11] 4. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = −14]
A-NET 51
ตอนที่ 1
1. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑟 และ (𝑞 → 𝑟) → 𝑠 ต่างมีค่าความจริงเป็นเท็จ
แล้ว (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑟 ∨ 𝑠) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข. การอ้างเหตุผลข้างล่างนี้สมเหตุสมผล
เหตุ 1) ~𝑝 → ~(𝑞 ∨ 𝑟) 2) 𝑞 ∧ 𝑠 3) ~𝑟
ผล 𝑠 → 𝑝
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
A-NET 50
ตอนที่ 1
2. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจานวนเฉพาะบวก
ข้อความ ∀𝑥∃𝑦[𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 𝑦] มีค่าความจริงเป็นจริง
ข. นิเสธของข้อความ ∀𝑥[𝑃(𝑥) → [𝑄(𝑥) ∨ 𝑅(𝑥)]]
คือ ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ ~𝑄(𝑥) ∧ ~𝑅(𝑥)]
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

58. 12 ตรรกศาสตร์
3. กาหนดเหตุให้ดังนี้
1. เอกภพสัมพัทธ์ไม่เป็นเซตว่าง
2. ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)]
3. ∀𝑥[𝑄(𝑥) ∨ 𝑅(𝑥)]
4. ∃𝑥[~𝑅(𝑥)]
ข้อความในข้อใดต่อไปนี้เป็นผลที่ทาให้การอ้างเหตุผล สมเหตุสมผล
1. ∃𝑥[𝑃(𝑥)] 2. ∃𝑥[𝑄(𝑥)] 3. ∀𝑥[𝑃(𝑥)] 4. ∀𝑥[𝑄(𝑥)]
A-NET 49
ตอนที่ 1
9. กาหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์คือ 𝒰 = {−3, − 2, − 1, 1, 2, 3} ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 < 𝑦] 2. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 − 𝑦2
< 𝑥]
3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥𝑦2
= 𝑥] 4. ∃𝑥∀𝑦[𝑥2
𝑦 = 𝑦]
10. ให้ 𝑝, 𝑞, 𝑟 เป็นประพจน์ ถ้าประพจน์ 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) มีค่าความจริงเป็นจริง และ 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) มีค่าความจริงเป็น
เท็จ แล้ว ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. ~𝑞 ∨ (𝑝 → 𝑟) 2. ~𝑝 → (~𝑝 ∨ 𝑞)
3. (𝑞 ∨ 𝑟) → ~𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 4. [(~𝑞) ∨ (~𝑟)] → [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)]

59. ตรรกศาสตร์ 13
เฉลย
PAT 1 (มี.ค. 59) 1. 1
PAT 1 (ต.ค. 58) 1. 2 12. 3
PAT 1 (มี.ค. 58) 2. 1
PAT 1 (พ.ย. 57) 1. 3 2. 3
PAT 1 (เม.ย. 57) 3. 1
PAT 1 (มี.ค. 57) 2. 3 3. 1
PAT 1 (มี.ค. 56) 1. 2
PAT 1 (ต.ค. 55) 2. 3 3. 1
PAT 1 (มี.ค. 55) 2. 3
PAT 1 (ธ.ค. 54) 1. 4 2. 1
PAT 1 (มี.ค. 54) 1. 3
PAT 1 (ต.ค. 53) 1. 3 2. 2
PAT 1 (ก.ค. 53) 1. 2 2. 3
PAT 1 (มี.ค. 53) 1. 4
PAT 1 (ต.ค. 52) 1/1. 4 1/2. 1
PAT 1 (ก.ค. 52) 1. 2 2. 4
PAT 1 (มี.ค. 52) 1. 2 2. 1
A-NET 52 1/1. 2 1/2. 4 1/4. 3
A-NET 51 1/1. 3
A-NET 50 1/2. 3 1/3. 2
A-NET 49 1/9. 3 1/10. 4

60. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 1
คณิตศาสตร์ มคณิตศาสตร์ ม..44
บทนำ
1. ให้นักเรียนหาจานวนอีก 3 จานวน ต่อจากแบบรูปของจานวนที่กาหนดให้ พร้อมให้เหตุผล
1. 1, 4, 9, 16, 25, …
2. 1, 3, 6, 10, 15, …
3. 2, 5, 10, 17, 26, 37, …
4. 4, 8, 12, 16, …
5. 1, 3, 9, 27, …
2. ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งตั้งอยู่บนส่วนของเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง จงวัดขนาดของมุมประชิด
3. หาผลคูณของจานวนคี่กับจานวนคี่
3 x 5 = ………………………
7 x 9 = ………………………
11 x 13 = ………………………
15 x 17 = ………………………
อาจสรุปได้ว่า …………………………………………………………………………………………….
บทที่ 2 กำรให้เหตุผล (Reasoning)
B
C
P
Z
A O X O Y O
Q
M

61. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 2
1. กำรให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)
การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยการอ้างประสบการณ์ หรือค้นหาความจริงจากการ
กระทาซ้าหลาย ๆ ครั้ง หรือสิ่งที่เกิดขึ้นจากส่วนย่อย จากกรณีย่อย ๆ หลายเหตุ ซึ่งแต่ละเหตุเป็นอิสระจากกัน
แล้วสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป เช่น
1. มนุษย์พบว่าทุก ๆ วันที่ผ่านมาดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตก มนุษย์จึง
สรุปผลว่า ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตกเสมอ
2. วิภาพบว่า ไข่เป็ดที่คุณแม่ซื้อมาจากตลาด เปลือกไข่มีสีขาวทุกใบ
จึงสรุปว่า เปลือกไข่เป็ดมีสีขาว
3. ชาวสวนสังเกตเห็นต้นกล้วยจะกี่พันต้นก็ตาม ให้ผลเพียงครั้งเดียวแล้วต้นก็ตาย ไม่ว่าต้นกล้วย
ที่ไหนก็ให้ผลเพียงครั้งเดียวแล้วต้นก็จะตายทั้งนั้น ก็สรุปได้ว่าต้นกล้วยทุกต้นให้ผลเพียงครั้งเดียวแล้วต้นก็
จะตายทั้งนั้น ก็สรุปได้ว่าต้นกล้วยทุกต้นให้ผลเพียงครั้งเดียวต้นก็ตาย
การให้เหตุผลแบบอุปนัยใช้อย่างกว้างขวางในวิชาวิทยาศาสตร์ และในชีวิตประจาวันก็ใช้การให้
เหตุผลแบบอุปนัยช่วยในการตัดสินใจ โดยมีความเชื่อว่าสิ่งที่เกิดขึ้นในปัจจุบันหรืออนาคต จะเหมือนอดีตที่
ผ่านมา ดังนั้นก็จะปฏิบัติหรือให้เหตุผลเหมือนเหตุการณ์ในอดีต ดังตัวอย่าง
ตัวอย่ำงที่ 1 เช้านี้ก่อนออกจากบ้านสุปรียา มองออกไปเห็นท้องฟ้าครึ้มฝน และได้ยินข่าวพยากรณ์อากาศ
บอกว่าฝนจะตก สุปรียาเลยถือร่มไปด้วย การตัดสินใจของสุปรียาเป็นการให้เหตุผลแบบ
อุปนัย ซึ่งในเช้าวันนั้นฝนอาจจะตก และจาเป็นต้องใช้ร่ม แต่ก็เป็นไปได้เหมือนกันที่ท้องฟ้า
อาจจะโปร่งขึ้นแล้วฝนไม่ตก
ตัวอย่ำงที่ 2 พอแม่บอกน้องนัทว่าจะพาไปหาหมอฟัน น้องนัทร้องไห้ทันที ทั้งนี้เป็นเพราะว่าในอดีต
ทุกครั้งที่ไปหาหมอฟัน น้องนัทจะได้รับความเจ็บปวดจากการถอนฟัน หรือรักษาฟัน ดังนั้น
เลยคิดว่าครั้งนี้คงจะเจ็บปวดอีก ความกลัวของน้องนัทก็มีเหตุผลพอสมควร แต่ถึงอย่างไร
ก็ตามการไปหาหมอฟันครั้งนี้ น้องนัทอาจไม่เจ็บปวดก็ได้
นักวิทยาศาสตร์ ทาการทดลองสิ่งใดสิ่งหนึ่ง แบบเดียวกันซ้าหลาย ๆ ครั้ง ผลการทดลองที่ได้ออกมา
เหมือนกันทุกครั้ง ก็มั่นใจเชื่อถือได้ แล้วนาผลนั้นมาสรุปเป็นกฎเกณฑ์ ตัวอย่าง เช่น
ในปี ค.ศ. 1866 พระชาวออสเตรีย ชื่อ เกรเกอร์ เมนเดล ได้เผยแพร่ ผลงานชิ้นสาคัญ คือ ทฤษฎี
พันธุกรรม โดยเมนเดลได้ทดลองกับถั่ว และสังเกตเห็นว่าลักษณะที่เกิดขึ้นเป็นรูปแบบที่ตายตัว ตัวอย่างเช่น
เมื่อเขาผสมพันธุ์เม็ดถั่วเขียวกับถั่วเหลือง เขาพบว่าผลิตผลที่ได้ทุก 4 เม็ด โดยเฉลี่ยแล้วเป็นสีเขียว 3 เม็ด และ
เป็นสีเหลือง 1 เม็ด จากผลการทดลองเมนเดล สามารถยืนยันกฎทั่วไปของพันธุกรรมได้ และนามาใช้กับ
มนุษย์ เช่นเขาสามารถพยากรณ์สีของตาและสีของผมได้

62. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 3
1. จากรูปแบบของจานวนต่อไปนี้ นักเรียนควรจะหาบรรทัดต่อไปได้อย่างไร
11 x 11 = 121
11 x 22 = 242
11 x 33 = 363
11 x 44 = 484
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
2. กาหนดพจน์ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... จงหาพจน์ถัดไป
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
3. กาหนดพจน์สามพจน์แรก จงหาพจน์ถัดไปของลาดับ
3.1 1, 2, 4, …
3.2 2, 4, 6, …
4. ทดลองแทนค่าจานวนนับ n ใน n2
– 79n + 1601 ดังนี้
แทน n ด้วย 1 จะได้ 12
– 79 + 1601 = 1523 เป็นจานวนเฉพาะ
แทน n ด้วย 2 จะได้ 22
– 158 + 1601 = 1447 เป็นจานวนเฉพาะ
แทน n ด้วย 3 จะได้ 32
– 237 + 1601 = 1373 เป็นจานวนเฉพาะ
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
แบบฝึกหัด 1

63. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 4
การหาข้อสรุปหรือความจริงโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่จาเป็นต้องถูกต้องเสมอไป เพราะ
การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการสรุปจากหลักฐานหรือข้อเท็จจริงที่มีอยู่ ข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากน้อยเพียงใด
ขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล หลักฐาน และข้อเท็จจริงที่นามาอ้าง ได้แก่
1. จำนวน้้อูล หลักฐานหรือข้อเท็จจริงที่นามาอ้างมีมากพอสาหรับการสรุปความหรือไม่
ตัวอย่างเช่น
1. เมื่อไปรับประทานอาหารที่ร้านแห่งหนึ่งแล้วเกิดอาการท้องเสีย จึงนามาสรุปว่าอาหารจาก
ร้านแห่งนั้นทาให้ท้องเสีย การสรุปเช่นนี้จะมีความน่าเชื่อถือน้อย เนื่องจากเป็นการสรุปจากเหตุการณ์เพียง
ครั้งเดียว ข้อสรุปจะน่าเชื่อถือมากขึ้นหากมีการทดลองรับประทานอาหารที่ร้านเดิมแล้วท้องเสียเกือบทุกครั้ง
2. จากรูปแบบของจานวน 2, 4, a a ควรเป็นจานวนใด
จากการสังเกตรูปแบบของจานวน a อาจมีค่าได้ต่างกันแล้วแต่เหตุผล คือ
ถ้าเหตุผล คือ 2 = 0 + 2
4 = 2 + 2
จะได้ว่า a = 4 + 2 = 6
แต่ถ้าเหตุผลคือ 2 = 21
4 = 22
จะได้ว่า a = 23
= 8
2. ้้อูล หลักฐานหรือข้อเท็จจริงที่อ้างอิงเป็นตัวแทนที่ดีในการหาข้อสรุปหรือไม่ เช่น ในการหา
ข้อสรุปว่าคนไทยชอบกินข้าวเจ้าหรือข้าวเหนียวมากกว่ากัน หากหาข้อมูลจากคนไทยที่อาศัยอยู่ในภาคเหนือ
หรือภาคอีสาน จะพบว่าคนที่ตอบว่าชอบกินข้าวเหนียวมากกว่าคนที่ชอบกินข้าวเจ้า แต่ถ้าถามคนที่อาศัยอยู่ใน
ภาคกลางหรือภาคใต้ จะพบว่าคนที่ตอบว่าชอบกินข้าวเจ้ามากกว่าคนที่ชอบกินข้าวเหนียว เป็นต้น
3. ้้อสรุป ที่ต้องการมีความซับซ้อนเพียงใด เช่น ข้อสรุปในเรื่องที่เกี่ยวกับจิตใจ เกี่ยวกับหัวข้อการ
มีลูกชายดีกว่าการมีลูกสาว ความคิดในเรื่องดังกล่าวมีความซับซ้อน คาตอบขึ้นอยู่เหตุผลของแต่ละคนซึ่ง
แตกต่างกัน

64. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 5
้้อสังเกต
1. การสรุปผลจากการสังเกตเหตุการณ์หรือจากการทดลองหลาย ๆ ครั้ง ผลสรุปอาจจะไม่จริงเสมอไป
เช่น กรณีที่วิภาสังเกตไข่เป็ดที่คุณแม่ซื้อมาจากตลาด แล้วสรุปว่าไข่เป็ดทุกฟองมีสีขาว เพราะมีไข่เป็ดบางฟอง
มีสีเทาอมเขียว
2. การสรุปผลโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัยบางครั้งก็ขึ้นอยู่กับประสบการณ์เดิมของผู้สรุป เช่น
พิจารณาจานวน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 จานวนถัดจาก 12 คือจานวนใด ส่วนมากจะตอบ
ว่า 13 เพราะอาศัยจากการสังเกตจานวนที่อยู่ติดกันจะมากกว่ากันอยู่ 1 ดังนั้นถัดจาก 12 ก็คือ 13 แต่อาจมีบาง
คนตอบว่า จานวนถัดไปคือ 1 เพราะเขาสังเกตจากตัวเลขบนหน้าปัดนาฬิกา
3. จากข้อมูลเดียวกันหากผู้สรุปคิดต่างกันอาจได้ผลสรุปไม่ตรงกัน เช่น
พิจารณาจานวน 2, 4, 6 จานวนถัดจาก 6 คือจานวนใด
บางคนอาจตอบว่า 8 เพราะเขาคิดถึงจานวนนับคู่
บางคนอาจตอบว่า 10 เพราะเขาคิดว่า 6 ได้มาจาก 2 + 4 ดังนั้น ถัดจาก 6 ก็คือ 4 + 6 = 10
บางคนอาจตอบว่า 22 เพราะเขาคิดว่า 6 ได้มาจาก (2 x 4) – 2 ดังนั้น ถัดจาก 6 ก็คือ
(4 x 6) – 2 = 22
และอาจมีบางคนตอบอย่างอื่นอีก
4. นอกจากนี้การสรุปโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัยแม้ว่าจะได้สังเกต หรือทดลองหลายครั้งก็ตาม
ก็อาจจะสรุปผิดพลาดได้ เช่น
ทดลองแทนค่าจานวนนับ n ใน n2
– 79n + 1601 ดังนี้
แทน n ด้วย 1 จะได้ 12
– 79 + 1601 = 1523 เป็นจานวนเฉพาะ
แทน n ด้วย 2 จะได้ 22
– 158 + 1601 = 1447 เป็นจานวนเฉพาะ
แทน n ด้วย 3 จะได้ 32
– 237 + 1601 = 1373 เป็นจานวนเฉพาะ
ถ้าทดลองไปเรื่อย ๆ จนถึง เมื่อแทน n ด้วย 79 ก็ยังได้ผลเป็น จานวนเฉพาะ
อาจสรุปว่า n2
– 79n + 1601 เป็นจานวนเฉพาะสาหรับทุกจานวนเต็มบวก ซึ่งข้อสรุปดังกล่าว ไม่
ถูกต้อง เพราะเมื่อแทนค่า n ด้วย 80 จะได้ 802
– (79 x 80) + 1601 = 412
ซึ่งไม่ใช่จานวนเฉพาะ
ความรู้ในทางคณิตศาสตร์สมัยแรกเริ่ม ส่วนใหญ่ได้มาด้วยการให้เหตุผลแบบอุปนัยเช่นเดียวกัน
กล่าวคือ ใช้การสังเกตหรือทดลองหลาย ๆ ครั้ง แล้วสรุปเป็นข้อเท็จจริง ในปัจจุบันการให้เหตุผลแบบอุปนัย
ยังคงมีความสาคัญและจาเป็นในวิชาคณิตศาสตร์ ในการค้นหาความสัมพันธ์ของสิ่งของต่าง ๆ มาก เช่น การ
หาพจน์ทั่วไปของลาดับดังตัวอย่างต่อไปนี้

65. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 6
ตัวอย่ำง พิจารณาจานวน 1, 3, 5, 7, 9, … จงหาพจน์ที่ n
วิธีทำ จาการสังเกต พจน์ที่ 1 คือ 1
พจน์ที่ 2 คือ 3 = 1 + 2
พจน์ที่ 3 คือ 5 = 1 + 2 + 2
พจน์ที่ 4 คือ 7 = 1 + 2 + 2 + 2
3 ตัว
พจน์ที่ 5 คือ 9 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2
4 ตัว
้้อสรุป พจน์ที่ n คือ 1 + (2 +…+ 2) = 1 + 2(n-1) = 2n – 1
n –1 ตัว
้้อสังเกต อาจมีบางคนคิดต่างจากที่กล่าวมาข้างต้น และได้ผลต่างไปจากที่กล่าวมา
แบบฝึกหัด 2
1. ให้นักเรียนหาจานวนอีก 3 จานวน ต่อจากแบบรูปของจานวนที่กาหนดให้พร้อมให้เหตุผล
1. 2, 5, 8, 11, 14, 17, …
2. 7, 14, 21, 28, 35, 42, …
3. 12, 34, 56, 78, …
2. ให้นักเรียนใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยเขียนต่อจากแบบรูปที่กาหนด
1. 1 = 1 = 2
1 + 3 = 4 = 2
1 + 3 + 5 = ………… = 2
1 + 3 + 5 + 7 = ………… = 2
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….

66. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 7
2. 7 x 9 = 63
707 x 9 = 6363
70707 x 9 = 636363
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
3. (1 x 9) + 2 = …………………………………………
(12 x 9) + 3 = …………………………………………
(123 x 9) + 4 = …………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
4. 12 = 11 + 1
123 = 111 + 11 + 1
1234 = 1111 + 111 + 11 + 1
12345 = ………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
5. 37,037,037,037 x 3 = 111,111,111,111
37,037,037,037 x 6 = 222,222,222,222
37,037,037,037 x 9 = 333,333,333,333
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

67. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 8
6. 11 x 404 = 4444
111 x 4004 = 444444
1111 x 40004= 44444444
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
7. 12 = 11 + 1
123 = 111 + 11 + 1
1234 = 1111 + 111 + 11 + 1
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
8. 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

68. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 9
3. ให้นักเรียนเขียนรูปถัดไปอีก 1 รูป พร้อมให้เหตุผล
รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3
รปที่ จำนวนก้ำนไู้้ีด (m)
จำนวนจุดที่ปลำยไู้้ีด
2 อันพบกัน (p)
จำนวนรปสี่เหลี่ยูจัตุรัส (s)
1 4 x 1 = 4 4 1
2 4 x 3 = 12 10 3 = 2(1) + 1
3 ……………………… ……………………….. …………………………….
4 ……………………… ……………………….. …………………………….
5 ……………………… ……………………….. …………………………….
ความสัมพันธ์ระหว่าง m, p และ s
……………………………………………………………………………………………………………….

69. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 10
แบบฝึกหัด 3
เมื่อกาหนดเหตุหรือข้ออ้างให้ นักเรียนจงตอบว่าผลควรเป็นเช่นไร
1. เหตุ 1). นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ทุกคนต้องเรียนวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน
2). เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานบทที่ 1 คือ เรื่องเซต
ผล ………………………………………………………………………………………………………….
2. เหตุ 1). แมวทั้งหมดเป็นหมา
2). หมาทั้งหมดร้อง “เหมียว”
ผล ………………………………………………………………………………………………………….
3. เหตุ 1). ไก่ทุกตัวมีสี่ขา
2). สัตว์ที่มีสี่ขาทุกชนิดว่ายน้าได้
ผล ………………………………………………………………………………………………………….
4. เหตุ 1). ผู้ชายทุกคนเป็นผู้หญิง
2). ผู้หญิงทุกคนเลี้ยงลูกด้วยน้านม
ผล …………………………..…………………………………………………………………………….
5. เหตุ 1). คนเป็นสิ่งที่มีชีวิต
2). สิ่งที่มีชีวิตทุกชนิดบินได้
ผล ……………………………………………………………………………………………………….

70. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 11
จำกแบบฝึกหัด 3พิจารณาค่าความจริงของข้อความที่เป็นเหตุ กับค่าความจริงของข้อความที่เป็นผล
ข้อ เหตุ 1 ค่าความจริง เหตุ 2 ค่าความจริง ผล ค่าความจริง
1. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4
ทุกคนต้องเรียนวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน
เป็นจริง เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน
บทที่ 1 คือ เรื่องเซต
เป็นจริง นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ทุกคน
ต้องเรียนเรื่องเซต
เป็นจริง
2. แมวทั้งหมดเป็นหมา ……………. หมาทั้งหมดร้อง “เหมียว” …………... แมวทั้งหมดร้องเหมียว
3. ไก่ทุกตัวมีสี่ขา ……………. สัตว์ที่มีสี่ขาทุกชนิดว่ายน้าได้ …………... ไก่ทุกตัวว่ายน้าได้
4. ผู้ชายทุกคนเป็นผู้หญิง ……………. ผู้หญิงทุกคนเลี้ยงลูกด้วยนม …………... ผู้ชายทุกคนเลี้ยงลูกด้วยน้านม
5. คนเป็นสิ่งมีชีวิต …………… สิ่งมีชีวิตทุกชนิดบินได้ …………... คนบินได้

72. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 13
2. กำรให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
ในการสรุปความรู้ที่เป็นผลมาจากความรู้ชุดหนึ่ง จาเป็นต้องยอมรับความรู้พื้นฐานบางอย่างเสียก่อน
ถ้าไม่มีการยอมรับความรู้พื้นฐานบางอย่างมาก่อน จะต้องสงสัยในความเป็นจริงหรือเท็จของความรู้เหล่านั้นไม่
สิ้นสุด ความรู้พื้นฐานที่ยอมรับเป็นข้อตกลงเบื้องต้นมีชื่อเรียกต่าง ๆ กัน เช่น เหตุ (Premise) สมมติฐาน
(hypothesis) หรือสัจพจน์ (axioms or postulate) เรียกวิธีการสรุปความรู้ที่เป็นผลมาจากความรู้พื้นฐานเหล่านี้
ว่า การให้เหตุผลแบบนิรนัย ชาวกรีกโบราณได้เล็งเห็นถึงความจาเป็นของการให้เหตุผลแบบนิรนัย โดยเริ่ม
จากความรู้พื้นฐานที่ยอมรับ แล้วจึงใช้ตรรกวิทยา เป็นเครื่องช่วยสรุปความรู้ใหม่ ๆ
ตัวอย่ำงกำรให้เหตุผลแบบนิรนัย
รู้ว่า 1. นกทุกชนิดเป็นสัตว์มีปีก
และ 2. กาเป็นนกชนิดหนึ่ง เป็นความรู้พื้นฐานที่รู้กันอยู่แล้ว
สรุปได้ว่า 3. กาเป็นสัตว์มีปีก
เรียกข้อความที่ 1 และข้อที่ 2 ว่าเหตุหรือสมมติฐาน ซึ่งเป็นความรู้พื้นฐานที่รู้กันอยู่แล้ว และเรียก
ข้อความที่ 3 ว่าผลหรือข้อสรุป
กำรให้เหตุผลแบบนิรนัย ประกอบด้วย้้อควำู 2 ส่วน
1. ส่วนที่เป็นเหตุ คือ ข้ออ้าง (Premises) หรือ สมมติฐาน (Hypothesis)
2. ส่วนที่เป็นผล คือ ข้อสรุป (Conclusion) หรือเป็นผลจากข้ออ้างในส่วนที่เป็นเหตุ
การสรุปผลจะถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นการสรุปผลได้อย่างสมเหตุสมผล (Valid)
การให้เหตุผลแบบนิรนัย ข้อสรุปจะมีได้ 2 แบบ คือ
1. ข้อสรุปที่สมเหตุสมผล (Valid Conclusion) คือข้อสรุปที่ได้มาจากเหตุหรือข้ออ้าง ที่บังคับให้ต้องเกิดผล
อย่างนั้น
2. ข้อสรุปที่ไม่สมเหตุสมผล (Invalid Conclusion) คือข้อสรุปที่ได้มาจากเหตุหรือข้ออ้าง ที่ไม่ได้บังคับให้
ต้องสรุปผลอย่างนั้น
การนิรนัยในตรรกศาสตร์นั้นประพจน์ในส่วนที่เป็นเหตุกับประพจน์ในส่วนที่เป็นผลจะเป็นจริงหรือ
เท็จก็ได้ ความสมเหตุสมผลในการสรุปไม่เกี่ยวกับค่าความจริงของประพจน์ ทั้ง 2 ส่วน
้้อสังเกต จากเอกสารฝึกหัด 1
้้อ เหตุ 1 เหตุ 2 ผล จากตัวอย่างจะเห็นว่าความเป็นจริงกับความ
สมเหตุสมผลนั้นเป็นคนละเรื่องกัน ข้อสรุป
อาจจะสมเหตุสมผลได้โดยไม่ถูกต้อง กับความ
เป็นจริง นั่นคือความสมเหตุสมผลขึ้นอยู่กับ
เหตุที่กาหนดให้เท่านั้น
1 จริง จริง จริง
2 เท็จ เท็จ จริง
3 เท็จ เท็จ เท็จ
4 เท็จ จริง เท็จ
5 จริง เท็จ เท็จ

73. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 14
แบบฝึกหัด 4
จงตรวจสอบว่า การอ้างเหตุผลในแต่ละข้อต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่
1. เหตุ 1. สัตว์มีปีกทุกชนิดบินได้
2. หนูมีปีก
ผล หนูบินได้
2. เหตุ 1. นักกีฬากลางแจ้งทุกคนมีสุขภาพดี
2. สุชัยเป็นนักกีฬาบาสเกตบอล
ผล สุชัยสีสุขภาพดี
3. เหตุ 1. นักดนตรีทุกคนเป็นคนกรุงเทพฯ
2. วิภาดาเป็นคนกรุงเทพฯ
ผล วิภาดาเป็นนักดนตรี
4. เหตุ 1. ชาวบ้านบางคนขยัน
2. ผู้หญิงทั้งหมดขยัน
ผล ชาวบ้านบางคนเป็นผู้หญิง
5. เหตุ 1. นักเรียนทุกคนใส่ถุงเท้า
2. ประไพศรีใส่ถุงเท้า
ผล ประไพศรีเป็นนักเรียน
สรุปว่ำ การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ
1. ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ
2. การสรุปผลสมเหตุสมผล
การตรวจสอบว่าข้อสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นสามารถตรวจสอบได้หลายวิธีแล้วแต่ลักษณะของ
ข้อความที่กาหนดมาให้ วิธีการหนึ่งก็คือใช้แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ แทนเซต วิธีนี้จะใช้กับข้อความที่
ตีความหมายในเชิงเซตได้
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ ต้องวาดแผนภาพตามสมมุติฐานทุกกรณีที่เป็นไป
ได้ แล้วใช้หลักการพิจารณาดังนี้
1. ถ้าทุกแผนภาพแสดงผลสรุปตามที่กาหนด กล่าวได้ว่าการสรุปผลสมเหตุสมผล
2. ถ้ามีบางแผนภาพไม่แสดงผลสรุปตามที่สรุปไว้ กล่าวได้ว่าการสรุปผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
วิธีการที่ใช้การตรวจสอบการสมเหตุสมผลที่กล่าวมา เรียกว่า การอ้างเหตุผลโดยใช้ตรรกบทของ
ตรรกศาสตร์ (Syllogistic Logic)

74. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 15
้้อควำูที่ใช้กำรอ้ำงเหตุผลที่ใช้กันูีอย่ด้วยกัน 4 แบบ
1. สมาชิกของ A ทุกตัวเป็นสมาชิกของ B
A  B
2. ไม่มีสมาชิกของ A ตัวใดเป็นสมาชิกของ B A B
3. สมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
4. สมาชิกของ A บางตัว ไม่เป็นสมาชิกของ B
A B A - B
ยังูี้้อควำูที่ใช้ในกำรอ้ำงเหตุผลเพิู่อีก 2 แบบ
1. มีสมาชิกของ A หนึ่งตัวที่เป็นสมาชิกของ B
2. มีสมาชิกของ A หนึ่งตัวไม่เป็นสมาชิกของ B หรือ
A B A B
B
B
a
a a
A
A
A B

75. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 16
ตัวอย่ำงที่ 1 จงตรวจสอบว่าผลสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1). คนทุกคนเป็นปลา
2). ปลาทุกตัวเป็นแมว
ผล คนทุกคนเป็นแมว
วิธีตรวจสอบ วาดแผนภาพให้สอดคล้องตามเหตุทั้งสองข้อ จะได้ดังรูป
ตัวอย่ำงที่ 2 จงตรวจสอบว่าผลสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1). มนุษย์ทุกคนมีเขา
2). ไก่บางตัวเป็นมนุษย์
ผล ไก่บางตัวมีเขา
วิธีทำ วาดแผนภาพตามสมมุติฐานได้ดังนี้

76. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 17
ตัวอย่ำงที่ 3 จงตรวจสอบว่าผลสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1). ผู้หญิงบางคนเป็นนางฟ้า
2). นางฟ้าบางคนชอบร้องเพลง
ผล ผู้หญิงบางคนชอบร้องเพลง
วิธีทำ วาดแผนภาพตามสมมติฐานได้ดังนี้
ตัวอย่ำงที่ 4 จงตรวจสอบว่าผลสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1). นกบางชนิดบินไม่ได้
2). ปลาบางชนิดบินได้
ผล นกบางชนิดไม่ใช่ปลา
วิธีทำ วาดแผนภาพตามเหตุได้ดังนี้

77. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 18
แบบฝึกหัดที่ 5
I. กำรสรุปผลจำกสิ่งกำหนดให้ใน้้อ 1-6 สูเหตุสูผลหรือไู่
1. เหตุ 1. มนุษย์ทั้งหมดมีหาง 2. เหตุ 1. นกทุกตัวมีปีก
2. ไก่ทุกตัว เป็นมนุษย์ 2. ค้างคาวทุกตัวมีปีก
ผล ไก่ทุกตัวมีหาง ผล ค้างคาวทุกตัวเป็นนกชนิดหนึ่ง
3. เหตุ 1. ปลาทุกตัวว่ายน้าได้ 4. เหตุ 1. แมวทุกตัวมี 4 ขา
2. ไก่บางตัวเป็นปลา 2. ไม่มีสัตว์สี่ขาใด ๆ มีมือ
ผล ไก่บางตัวว่ายน้าได้ ผล แมวทุกตัวไม่มีมือ
5. เหตุ 1. คนทาดีบางคนไม่ได้ดี 6. เหตุ 1. ดาวบางดวงไม่มีแสงสว่างในตัวเอง
2. คนได้ดีทุกคนร่ารวย 2. สัตว์บางตัวไม่มีแสงสว่างในตัวเอง
ผล คนทาดีบางคนไม่ร่ารวย ผล สัตว์บางตัวไม่ใช่ดาว
จะสรุปผลที่สูเหตุสูผลจำกสููุติฐำนที่กำหนดให้ใน้้อ 7-12 ได้หรือไู่ ถ้ำได้จงสรุป
7. เหตุ 1. นักเรียนทุกคนต้องอ่านหนังสือ 8. เหตุ 1. นักเรียนทุกคนต้องอ่านหนังสือ
2. คนอ่านหนังสือบางคนสอบตก 2. คนอ่านหนังสือทุกคนสอบได้
9. เหตุ 1. ดอกไม้บางชนิดมีกลิ่นหอม 10. เหตุ 1. นกทุกชนิดเป็นสัตว์เลือดอุ่น
2. สิ่งมีกลิ่นหอมบางชนิดมีราคาแพง 2. สัตว์เลือดอุ่นบางชนิดไม่อยู่ในน้า
11. เหตุ 1. ครูทุกคนเป็นคนใจดี 12. เหตุ 1. สัตว์ทุกชนิดไม่มีขา 4 ขา
2. ไม่มีคนใจดีคนใดเป็นคนดุร้าย 2. สัตว์บางชนิดมีปีก

78. Mathematics : AJ Noi
Reasoning Page | 19
II. จงพิจำรณำว่ำกำรใช้เหตุผลในแต่ละ้้อต่อไปนี้เป็นเหตุผลเชิงอุปนัย หรือนิรนัย
1. เนื่องจากในมหาสมุทรอาร์คติคมีภูเขาน้าแข็งลอยอยู่นับพันปีมาแล้ว
ดังนั้น มหาสมุทรอาร์ติค ก็จะมีภูเขาน้าแข็งต่อไปอีกในอนาคต
ตอบ ...............................................................................
2. แมวทุกตัวไม่ชอบน้า และสัตว์ที่ไม่ชอบน้าทั้งหมดก็จะไม่อาบน้า
ดังนั้น แมวทุกตัวจะไม่เคยอาบน้า
ตอบ ...............................................................................
3. วินัยพยายามเปิดพัดลมโดยนาพัดลมไปลองเสียบกับปลั๊กทุกตัวที่มีในบ้าน แต่ปรากฎว่าพัดลมก็ไม่
ทางาน เขาจึงคิดว่าพัดลมของเขาเสียแล้ว
ตอบ ...............................................................................
4. มหาวิทยาลัยจะให้เงินทุนการศึกษาแก่นักศึกษาที่ได้เกรดเฉลี่ยไม่ต่ากว่า 3.50 อรสาได้เกรดเฉลี่ย 3.65
ดังนั้นอรสาจึงได้รับเงินทุนการศึกษาจากมหาวิทยาลัย
ตอบ ...............................................................................

79. เอกสาร สรุปสูตรวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน&เพิ่มเติมระดับม.ปลาย
สรุป : อาจารย์ ประสิทธิ์ พงศ์ดารง (อาจารย์น้อย) Page 1
การให้เหตุผล(Reasoning)
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์จะแบ่งออกเป็น 2 วิธีหลักๆ ดังนี้ 1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย
2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย
การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)
การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยการอ้างประสบการณ์ หรือค้นหาความจริงจากการกระทาซ้า
หลาย ๆ ครั้ง หรือสิ่งที่เกิดขึ้นจากส่วนย่อย จากกรณีย่อย ๆ หลายเหตุ ซึ่งแต่ละเหตุเป็นอิสระจากกัน แล้วสรุปเป็น
ความรู้แบบทั่วไป
การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการนาความรู้พื้นฐานที่ยอมรับ(เป็นข้อตกลงเบื้องต้นมีชื่อเรียกต่าง ๆ กัน) เช่น
เหตุ (Premise) สมมติฐาน (hypothesis)หรือสัจพจน์ (axioms or postulate) แล้วจึงใช้ตรรกวิทยา เป็นเครื่องช่วย
สรุปความรู้ใหม่ ๆ ซึ่งการให้เหตุผลในโจทย์ปัญหาบทนี้ ทุกคนจะต้องทาใจยอมรับเหตุที่เป็นจริง เสียก่อน(แม้จะขัดกับ
ความเป็นจริงก็ตาม) แล้วนาเหตุที่ยอมรับไปสรุปผล
ข้อความที่ใช้ในการอ้างเหตุผล
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ ต้องวาดแผนภาพตามสมมุติฐานทุกกรณีที่เป็นไปได้ แล้วใช้
หลักการพิจารณาดังนี้ 1. ถ้าทุกแผนภาพแสดงผลสรุปตามที่กาหนด กล่าวได้ว่าการสรุปผลสมเหตุสมผล
2. ถ้ามีบางแผนภาพไม่แสดงผลสรุปตามที่สรุปไว้ กล่าวได้ว่าการสรุปผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
วิธีการที่ใช้การตรวจสอบการสมเหตุสมผล เรียกว่าการอ้างเหตุผลโดยใช้ตรรกบทของตรรกศาสตร์(Syllogistic Logic)
ข้อความที่ใช้การอ้างเหตุผลที่ใช้กันมีอยู่ด้วยกัน 6 แบบ
ข้อความ รูปแผนภาพ ข้อความ รูปแผนภาพ
สมาชิกของ A ทุกตัว
เป็นสมาชิกของ B
เช่น คนทุกคนเป็นปลา
A = คน B = ปลา
A  B
สมาชิกของ A บางตัว
ไม่เป็นสมาชิกของ B
เช่น สัตว์บางตัวไม่ใช่ดาว
A = สัตว์ B = ดาว
A - B
ไม่มีสมาชิกของ A ตัวใด
เป็นสมาชิกของ B
เช่น นกทุกชนิดบินไม่ได้
A = นก B = บินได้
มีสมาชิกของ A หนึ่ง
ตัวที่เป็นสมาชิกของ B
เช่น ครูบางคนเป็นคนใจดี
ตาลเป็นครูและใจดี A = ครู B = ใจดี a = ตาล
สมาชิกบางตัวของ A
เป็นสมาชิกของ B
เช่น สัตว์บางชนิดมีปีก
A = สัตว์ B = มีปีก
มีสมาชิกของ A หนึ่ง
ตัวไม่เป็นสมาชิกของ B
เช่น ตาลเป็นครูแต่ไม่ใจดี
A=ครู, B=ใจดี, a=ตาล
fsdafsf
บทที่ 2 การให้เหตุผล(Reasoning)
BA
BA
B
A
a
A B
BA
a
B
a
BAA

80. การให้เหตุผล 1
O-NET 59
8. กาหนด “เหตุ” เป็นดังนี้
1) คนที่ออกกาลังกายสม่าเสมอทุกคน จะมีสุขภาพดี
2) คนที่กินอาหารหวานจัดทุกคน จะมีสุขภาพไม่ดี
3) มานะมีสุขภาพดี แต่สมศรีมีสุขภาพไม่ดี
ข้อใดต่อไปนี้เป็น “ผล” ที่ทาให้ผลสรุปสมเหตุสมผล
1. มานะไม่กินอาหารหวานจัด 2. มานะออกกาลังกายสม่าเสมอ
3. สมศรีกินอาหารหวานจัด 4. สมศรีไม่กินอาหารหวานจัด
5. สมศรีออกกาลังกายสม่าเสมอ
O-NET 58
1. จงพิจารณาเหตุต่อไปนี้
1) ทุกคนที่ชอบกินผลไม้จะชอบกินผัก
2) ทุกคนที่ชอบรสหวานจะชอบกินผลไม้
3) ขาวไม่ชอบกินผัก
4) ดาชอบกินผลไม้
ผลสรุปในข้อใดต่อไปนี้ทาให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล
1. ขาวไม่ชอบรสหวาน 2. ขาวชอบกินผลไม้ 3. ดาชอบรสหวาน
4. ดาไม่ชอบรสหวาน 5. ดาไม่ชอบกินผัก
25 May 2016

81. 2 การให้เหตุผล
O-NET 57
6. พิจารณาผลสรุปต่อไปนี้ ก. เหตุ 1) ทุกครั้งที่ฝนตก การจราจรจะติดขัด
2) วันนี้การจราจรติดขัด
ผล วันนี้ฝนตก
ข. เหตุ 1) ดาไม่ชอบกินผัก
2) ทุกคนที่กินผักมีสายตาดี
ผล ดาสายตาไม่ดี
ค. เหตุ 1) ผู้ที่ประหยัดจะไม่ยากจน
2) นายมีเป็นคนยากจน
ผล นายมีเป็นคนไม่ประหยัด
ข้อใดถูก
1. ก., ข. และ ค. สมเหตุสมผล 2. ก. และ ข. สมเหตุสมผล แต่ค. ไม่สมเหตุสมผล
3. ข. และ ค. สมเหตุสมผล แต่ ก. ไม่สมเหตุสมผล 4. ค. สมเหตุสมผล แต่ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล
5. ก., ข. และ ค. ไม่สมเหตุสมผล
O-NET 56
9. จงพิจารณาผลสรุปต่อไปนี้
(ก) เหตุ 1) ทุกคนที่อ่านหนังสือก่อนสอบจะสอบได้
2) สมชายสอบได้
ผล สมชายอ่านหนังสือก่อนสอบ
(ข) เหตุ 1) ทุกครั้งที่ฝนตกจะมีฟ้าแลบ
2) วันนี้ไม่มีฟ้าแลบ
ผล วันนี้ผนไม่ตก
(ค) เหตุ 1) แมวบางตัวไม่ชอบกินปลา
2) เหมียวเป็นแมวของฉัน
ผล เหมียวไม่ขอบกินปลา
ข้อใดถูก
1. (ก), (ข) และ (ค) สมเหตุสมผล 2. (ก) และ (ข) สมเหตุสมผล แต่ (ค) ไม่สมเหตุสมผล
3. (ข) และ (ค) สมเหตุสมผล แต่(ก) ไม่สมเหตุสมผล 4. (ข) สมเหตุสมผล แต่ (ก) และ (ค) ไม่สมเหตุสมผล
5. (ก), (ข) และ (ค) ไม่สมเหตุสมผล

82. การให้เหตุผล 3
O-NET 54
3. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้
ก. เหตุ 1. ถ้าฝนไม่ตก แล้ว เดชาไปโรงเรียน
2. ฝนตก
ผล เดชาไม่ไปโรงเรียน
ข. เหตุ 1. รัตนาขยันเรียน หรือ รัตนาสอบชิงทุนรัฐบาลได้
2. รัตนาไม่ขยันเรียน
ผล รัตนาสอบชิงทุนรัฐบาลได้
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. สมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไม่สมเหตุสมผล
3. ก. ไม่สมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4. ก. ไม่สมเหตุสมผล และ ข. ไม่สมเหตุสมผล
O-NET 53
2. พิจารณาการให้เหตุผลต่อไปนี้
เหตุ 1) A
2) เห็ดเป็นพืชมีดอก
ผล เห็ดเป็นพืชชั้นสูง
ข้อสรุปข้างต้นสมเหตุสมผล ถ้า A แทนข้อความใด
1. พืชชั้นสูงทุกชนิดมีดอก 2. พืชชั้นสูงบางชนิดมีดอก
3. พืชมีดอกทุกชนิดเป็นพืชชั้นสูง 4. พืชมีดอกบางชนิดเป็นพืชชั้นสูง
O-NET 52
11. พิจารณาผลต่างระหว่างพจน์ของลาดับ 2, 5, 10, 17, 26, … โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย พจน์ที่ 10 ของลาดับ
คือข้อใดต่อไปนี้
1. 145 2. 121 3. 101 4. 84

83. 4 การให้เหตุผล
20. กาหนดเหตุให้ดังต่อไปนี้
เหตุ (ก) ทุกจังหวัดที่อยู่ไกลจากกรุงเทพมหานครเป็นจังหวัดที่มีอากาศดี
(ข) เชียงใหม่เป็นจังหวัดที่มีอากาศไม่ดี
ข้อสรุปในข้อใดต่อไปนี้สมเหตุสมผล
1. เชียงใหม่เป็นจังหวัดที่อยู่ไม่ไกลจากกรุงเทพมหานคร
2. นราธิวาสเป็นจังหวัดที่อยู่ไม่ไกลจากกรุงเทพมหานคร
3. เชียงใหม่เป็นจังหวัดที่อยู่ไกลจากกรุงเทพมหานคร
4. นราธิวาสเป็นจังหวัดที่อยู่ไกลจากกรุงเทพมหานคร
O-NET 51
16. จากรูปแบบต่อไปนี้
โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 11 2. 22 3. 33 4. 44
29. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
1. คนตีกอล์ฟเก่งทุกคนเป็นคนสายตาดี
2. คนที่ตีกอล์ฟได้ไกลกว่า 300 หลา บางคน เป็นคนสายตาดี
3. ธงชัยตีกอล์ฟเก่งแต่ตีได้ไม่ไกลกว่า 300 หลา
แผนภาพในข้อใดต่อไปนี้มีความเป็นไปได้ที่จะสอดคล้องกับข้อความทั้งสามข้างต้นเมื่อจุดแทนธงชัย
1. 2.
3. 4.
7 14 21 77
1 2 4 2 4 8 3 6 12 … 𝑎 𝑏 𝑐

84. การให้เหตุผล 5
O-NET 50
33. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี
(2) คนที่มีสุขภาพดีบางคนเป็นคนดี
(3) ภราดรเป็นนักกีฬา และเป็นคนดี
แผนภาพในข้อใดต่อไปนี้มีความเป็นไปได้ที่จะสอดคล้องกับข้อความทั้งสามข้อข้างต้น เมื่อจุดแทนภราดร
1. 2.
3. 4.
O-NET 49
ตอนที่ 1
25. เหตุ (1) ไม่มีคนขยันคนใดเป็นคนตกงาน
(2) มีคนตกงานที่เป็นคนใช้เงินเก่ง
(3) มีคนขยันที่ไม่เป็นคนใช้เงินเก่ง
ผล ในข้อใดต่อไปนี้เป็นการสรุปผลจาก เหตุข้างต้นที่เป็นไปอย่างสมเหตุสมผล
1. มีคนขยันที่เป็นคนใช้เงินเก่ง 2. มีคนใช้เงินเก่งที่เป็นคนตกงาน
3. มีคนใช้เงินเก่งที่เป็นคนขยัน 4. มีคนตกงานที่เป็นคนขยัน

85. 6 การให้เหตุผล
เฉลย
O-NET 59 8. 1
O-NET 58 1. 1
O-NET 57 6. 4
O-NET 56 9. 4
O-NET 54 3. 3
O-NET 53 2. 3
O-NET 52 11. 3 20. 1
O-NET 51 16. 4 29. 4
O-NET 50 33. 4
O-NET 49 1/25. 2