ตรรกสาสตร์

1. หน่วยที่ 2
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

2. ประพจน์
ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใด
อย่างหนึ่งเท่านั้น ประโยคหรือข้อความที่มีลักษณะดังกล่าว จะอยู่
ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้

3. ตัวอย่าง จงพิจารณาประโคต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือไม่
1. c  {a , b , c}
2. 5 + 3  8
3. 2 เป็นคาตอบของสมการ 2y = 4
4. อย่าเดินลัดสนาม
5. { 2 , 3 } = { a , b }
เป็นประพจน์
เป็นประพจน์
เป็นประพจน์
ไม่เป็นประพจน์
เป็นประพจน์

4. 6.   { 1 , 2 , 3 }
7. 3 เป็นตัวประกอบของ 25
8. -2 เป็นคาตอบของสมการ 2x+1 = 9 หรือไม่
9. กรุณาเปิดหน้าต่างด้วย
10. ฝนตกหรือเปล่า
เป็นประพจน์
เป็นประพจน์
ไม่เป็นประพจน์
ไม่เป็นประพจน์
ไม่เป็นประพจน์

5. การเชื่อมประพจน์
ในวิชาคณิตศาสตร์หรือในชีวิตประจาวัน จะพบประโยค
ที่ได้จากการเชื่อมประโยคอื่น ๆ ด้วยคาว่า “และ” “ หรือ ”
“ ถ้า ... แล้ว ... ” “ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลง
จากประโยคเดิมโดยเติมคาว่า “ไม่” คาเหล่านี้เรียกว่า ตัวเชื่อม

6. เพื่อสะดวกในการศึกษาเกี่ยวกับการเชื่อมประพจน์ จะใช้
อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น p , q , r , s , … แทน
ประพจน์ที่นามาเชื่อมกัน ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม
ย่อมขึ้นกับจานวนประพจน์ที่นามาเชื่อมกัน ซึ่งสามารถพิจารณา
ค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยใช้ T แทน จริง และ
ใช้ F แทน เท็จ

7. ถ้ามีปะพจน์เดียว คือ p จะมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริง
ที่เกิดขึ้นได้ 2 กรณี คือ จริง ( T ) หรือ เท็จ ( F )

8. p q
T T
T F
F T
F F
p q
T
F
T
F
T
F
ถ้ามีสองประพจน์ คือ p และq จะมีกรณีเกี่ยวกับ
ค่าความจริงที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด 4 กรณี ดังนี้

9. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ”
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “ และ” มีข้อตกลงว่าประพจน์
ใหม่ จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นามาเชื่อมกันนั้นเป็นจริง
ทั้งคู่ กรณีอื่น ๆ เป็นเท็จทุกกรณี
p หรือ q เขียนแทนด้วย p  q

10. p q p  q
T T T
T F F
F T F
F F F
ตารางค่าความจริงของ p  q

11. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ”
p หรือ q เขียนแทนด้วย p  q
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “หรือ” มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่
จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ประพจน์ที่นามาเชื่อมกันนั้นเป็นเท็จทั้งคู่
กรณีอื่น ๆ เป็นจริงทุกกรณี

12. p q p  q
T T T
T F T
F T T
F F F
ตารางค่าความจริงของ p  q

13. ถ้า p แล้ว q เขียนแทนด้วย p  q
การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า ... แล้ว ...”
ประพจน์ซึ่งตามหลังคาว่า ถ้า เรียกว่า เหตุ
ส่วนประพจน์ซึ่งตามหลังคาว่า แล้ว เรียกว่า ผล
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “ถ้า ... แล้ว ...” มีข้อตกลงว่า
ประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จ ในกรณีที่เหตุเป็นจริง และ ผล เป็นเท็จ
เท่านั้น กรณีอื่น ๆ เป็นจริงทุกกรณี

14. p q p  q
T T T
T F F
F T T
F F T
ตารางค่าความจริงของ p  q

15. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ”
ในการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่
จะเป็นจริง ในกรณีที่ประพจน์ที่นามาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงด้วยกันทั้งคู่
หรือเป็นเท็จด้วยกันทั้งคู่เท่านั้นกรณีอื่น ๆ เป็นเท็จเสมอ
p ก็ต่อเมื่อ q เขียนแทนด้วย p  q

16. p q p  q
T T T
T F F
F T F
F F T
ตารางค่าความจริงของ p  q

17. นิเสธของประพจน์
นิเสธของประพจน์ p คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับ
ประพจน์ p
นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย p

18. ตารางค่าความจริงของ p
P p
T F
F T

19. 1. 5 เป็นจานวนนับ และ 7 เป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่าง จงเขียนประพจน์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ และหาค่าความจริง
ของแต่ละประพจน์
วิธีทา ให้ p แทน 5 เป็นจานวนนับ (T)
และ q แทน 7 เป็นจานวนเต็ม (T)
จะได้p  q แทน 5 เป็นจานวนนับ และ 7 เป็นจานวนเต็ม
(T)

20. 2. 5+2 = 10 หรือ 3 < 1
วิธีทา ให้ p แทน 5+2 = 10 (F)
จะได้p  q แทน 5+2 = 10 หรือ 3 < 1 (F)
และ q แทน 3 < 1 (F)

21. 3. ถ้า 2 เป็นจานวนคู่ แล้ว 2 + 7  9
วิธีทา ให้ p แทน 2 เป็นจานวนคู่ (T)
และ q แทน 2 + 7  9 (F)
จะได้p  q แทน 5+2 = 10 หรือ 3 < 1 (F)

22. 4. 15 เป็นจานวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ 15 เป็นจานวนคี่
วิธีทา ให้ p แทน 15 เป็นจานวนเฉพาะ (F)
และ q แทน 15 เป็นจานวนคี่ (T)
จะได้p  q แทน 15 เป็นจานวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ 15 เป็นจานวนคี่ (F)
(F)

23. ตัวอย่าง จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้ และบอกค่าความจริง
ของประพจน์ที่เป็นนิเสธ
1. 5 + 9 17
นิเสธ ของ 5 + 9 17 คือ 5 + 9 17 (T)
หรือ 5 + 9 17 (T)

24. 2. { 1 , 2} = { 4 , 5}
นิเสธ ของ { 1 , 2} = { 4 , 5} คือ { 1 , 2}  { 4 , 5} (T)

25. 3. 10 เป็นจานวนเต็มบวก
นิเสธ ของ10 เป็นจานวนเต็มบวก คือ 10 ไม่เป็นจานวนเต็มบวก (F)

26. 4. {2 , 5}
นิเสธ ของ {2 , 5} คือ {2 , 5} (F)

27. 5. 2 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ
นิเสธ ของ 2 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ คือ 2 เป็นจานวนเฉพาะ (T)

28. การหาค่าความจริงของประพจน์
หมายเหตุ
การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่สองตัวขึ้นไป
จะหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยในวงเล็บก่อน แต่ถ้าประพจน์นั้น
ไม่ได้ใส่วงเล็บให้หาค่าความจริงของตัวเชื่อม “” ก่อนแล้วจึงหา
ค่าความจริงของตัวเชื่อม “” , “” จากนั้นจึงหาค่าความจริงของ
ตัวเชื่อม “” และลาดับสุดท้ายเป็นการหาค่าความจริงของตัวเชื่อม
“”

29. 1. (p  s)  t
ตัวอย่าง กาหนดให้ p , q , r , s และ t มีค่าความจริง
เป็นจริง เท็จ จริง เท็จ และ เท็จ ตามลาดับ
จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
วิธีทา ( p  s )  t
T F
F
F
F
ดังนั้น (p  s)  t มีค่าความจริงเป็นเท็จ

30. 2. (p  s)  (q  r)
วิธีทา ( p  s )  ( q  r )
T F F T
T T
T
ดังนั้น (p  s)  (q  r) มีค่าความจริงเป็นจริง

31. 3. [ (r  s)  p]
วิธีทา [  ( r  s )  p ]
T F
T
F
F
F
T
. ดังนั้น [ (r  s)  p] มีค่าความจริงเป็นจริง

32. 4. [(pq)(tr)]s
วิธีทา [ ( p  q )  ( t  r ) ]  s
T F F T F
F T
F
T
ดังนั้น [(pq)(tr)]s มีค่าความจริงเป็นจริง

33. การสร้างตารางค่าความจริง
ถ้ามีประพจน์สามประพจน์ คือ p , q และ r มีกรณีเกี่ยวกับค่า
ความจริงที่จะพิจารณา ทั้งหมด 8 กรณี ดังนี้
p q r
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
p rq
T
F
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T

34. ตัวอย่าง จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์
ต่อไปนี้
1. ( p  q ) ( pq )
วิธีทา p q
T T
T F
F T
F F
pq pq
T T
T F
T T
F T
(pq)  (pq)
T
F
T
F

35. วิธีทา
2. (pq)  p
p q
T T
T F
F T
F F
pq
T
F
T
T
(pq)  p
T
F
F
F

36. วิธีทา
3. p  (p  q)
p q
T T
T F
F T
F F
pq
T
T
T
F
p  (p  q)
T
T
F
F

37. 4. (p  q)  q
วิธีทา
p q
T T
T F
F T
F F
pq
T
F
F
F
(p  q)  q
T
F
T
F
(p  q)
F
T
T
T

38. 5. p  ( q  r )
วิธีทา
p q r
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
q  r
T
F
T
T
T
F
T
T
p  ( q  r )
T
T
T
T
T
F
T
T

39. คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

40. รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
ในวิชาตรรกศาสตร์ ถ้ารูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใด
มีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี แล้วจะสามารถนาไปใช้แทนกันได้
เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดังกล่าวว่าเป็น รูปแบบประพจน์ที่
สมมูลกัน

41. ตัวอย่าง จงตรวจสอบดูว่ารูปแบบของประพจน์ในข้อใดบ้างสมมูลกัน
1. (p) กับ p
วิธีทา p p
T F
F T
(p)
T
F
ดังนั้น (p) สมมูลกับ p
หรือ (p) p

42. 2. p  q กับ q  p
วิธีทา p q
T T
T F
F T
F F
pq qp
T T
T T
T T
F F
ดังนั้น p  q กับ q  p
หรือ p  q  q  p

43. 3. (p  q) กับ p  q
วิธีทา
p q
T T
T F
F T
F F
p q
F F
F T
T F
T T
p  q (p  q)
T F
F T
F T
F T
p  q
F
T
T
T
ดังนั้น (p  q) กับ p  q
หรือ (p  q)  p  q

44. ตัวอย่าง “รูปแบบของประพจน์ (ก) เป็นนิเสธของรูปแบบของประพจน์ (ข)
เมื่อค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ (ก) ต่างกับค่าความจริงของ
รูปแบบของประพจน์ (ข) ทุกกรณี”