Download to read offline
Integruvannya deyakikh tipiv_funktsiy
- 2. • В математичному аналізіінтегралом функції називають розширене поняття суми функції. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.
- 3. Інтегрування раціональних дробів Раціональнимдробом називається відношення двох многочленів, тобто дробу виду: де m і n – натуральні числа. Цей дріб називається правильним раціональним дробом якщо степінь чисельника менша за степінь знаменника, в протилежному випадку він називається неправильним раціональним дробом .
- 4. • Випадок 1.Знаменник правильного раціонального дробу можна записати у вигляді добутку декількох різних лінійних множників, тобто у вигляді: Виявляється, що в цьому випадку даний правильний дріб розкладається на суму так званих елементарних дробів, де А1 ,А2 ,….Аn -деякі числа. Для розкладу даного правильного дробу на елементарні застосовується так званий метод невизначених коефіцієнтів, потім ці елементарні дроби інтегруюються. ..
- 5. Приклад 1. Знайтиінтеграл 1. Розкладаємо знаменник на прості дійсні множники (коренями відповідного квадратного рівняння знаменника є x1 = -4, х2 =2 2. Записуємо схему розкладу підінтегрального дробу на елементарні доданки 3. Звільняємось від знаменників, приводячи праву частину останньої рівності до спільного знаменника, і перетворюємо цю частину:
- 6. 4. Складаємо системурівнянь, прирівнюючи коефіцієнти при одна- кових степенях х обох частин останньої рівності, і розв'язуємо її: 5. Записуємо розклад підінтегрального дробу на суму елементарних доданків: 6. Знаходимо шуканий інтеграл як суму інтегралів доданків:
- 7. Випадок 2. Знаменникправильного раціонального дробу можна записати у вигляді добутку декількох лінійних множників, причому деякі з них повторюються. У цьому випадку задача розв'язується аналогічно попередній, але має ту особливість в схемі розкладу підінтегрального дробу на елементарні доданки, що кожний множник знаменника виду при розкладі дає доданок виду:
- 8. Приклад 2. Знайтиінтеграл 1. Записуємо схему розкладу підінтегрального дробу на елементарні доданки: 2. Звільняємось від знаменників, приводячи праву частину останньої рівності до спільного знаменника, і перетворюємо цю частину: 3. Складаємо систему рівнянь, прирівнюючи коефіцієнти при одна- кових степенях обох частин останньої рівності, і розв'язуємо її:
- 9. 4. Записуємо розкладпід інтегрального дробу на суму елементарних доданків: 5. Знаходимо шуканий інтеграл як суму інтегралів доданків:
- 10. Випадок 3. Чисельникпідінтегрального дробу має вигляд Mx +N: а знаменником є квадратний тричлен з комплексними коренями. В цьому випадку інтеграл обчислюють за допомогою підстановки z= ax+b/2 (половина похідної квадратного тричлена позначається через z .
- 11. Приклад 3. Знайтиінтеграл 1. Перетворемо спочатку знаменник дробу: x2 +7x+14 = (x2 + 7x + 49/4) +14 = (x +7/2)2 +7/4. 2. Введемо підстановку ,тоді ,
- 12. Випадок 4. Взнаменник правильного підінтегрального дробу входять множини виду аi х + b, з яких деякі можуть повторюватись, і квадратний тричлен ax2 +bx +c з комплексними коренями. В цьому випадку інтеграл обчислюють, використовуючи підходи, зазначені в попередніх випадках, та приховуючи ту особливість, що вказаний квадратний тричлен в схемі розкладу знаменника на множники дає доданок виду
- 13. Інтегрування методом раціоналізації полягаєв тому, що за допомогою вдало підібраної підстановки інтегрування дану функцію приводять до інтегрування раціональної функції. Інтегрування методом раціоналізації. Інтегрування функції виду
- 14. Нехай інтегральна функціяє раціональним виразом відносно змінної інтегрування x різних коренів деякої лінійної функції ax+b, тобто має вигляд Інтеграл від такої функції зводиться до інтеграла від раціонального дробу постановкою ax + b = tm , де m – найменше спільне кратне усіх показників m1, m2,… mk. тому
- 15. Інтегрування функції виду Покажемо,що тригонометричний диференціал приводиться до раціонального виду підстановкою
- 16. Окрім того, зрівності знаходимо, що Тому інтеграл є інтегралом від раціональної функції, бо раціональна функція від раціональної функції є функцією раціонального.
- 17. Приклад 4. Зайтиінтеграл Вводимо підстановку ,тоді Тоді даний інтеграл
- 18. • Підстановка єуніверсальною, оскільки дозволяє проінтегрувати будь-яку функцію • Однак, в багатьох випадках вона приводить до дуже складних обчислень. Застосовуючи більш вдалі підстановки, можна спростити такі обчислення. При цьому користуються наступним правилом.
- 19. Правила • Якщо функціяпри заміні на змінюється знак , то треба зробити підстановку • Якщо функція при заміні на змінюється знак,то треба зробити підстановку • Якщо функція при одночасній заміні на і на не змінюється, то треба зробити підстановку або .
- 20. Інтегрування деяких інших тригонометричнихфункцій Розглянемо інтеграли виду , якщо m – непарне число, то потрібно зробити підстановку якщо n – непарне число, то підстановку . У випадку, коли m і n – парні числа, зручніше замість підстановки використати тригонометричні формули які зводяться до подвійного аргументу.
- 21. Приклад 5 .Знайти інтеграл
- 22. При обчисленні інтеграліввиду користуються тригонометричними формулами: