16309407 rumus-rumus-segitiga

Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.
e-mail: padiya68@yahoo.co.id
1

Oleh : Padiya,S.Pd.
2
RUMUS-RUMUS SEGITIGA
Pandanglah  ABC pada gambar 1. Besar sudut dalam  ABC, dituliskan dengan
 A,  B, dan  C. Sisi di hadapan  A (yaitu sisi BC) panjagnya a, sisi di hadapan 
B (yaitu sisi AC) panjagnya b dan sisi di hadapan  C (yaitu sisi AB) panjangnya c.
Gambar 1
Jadi dalam  ABC terdapat 6 unsur , yaitu 3 unsur sudut (dengan  A,  B, dan
 C) dan 3 unsur sisi ( a, b , dan c).
Dalam BAB ini kita akan mempelajari rumus-rumus segitiga yang
menghubungkan unsur-unsur sudut dengan unsur-unsur sisi pada sebuah segitiga, yaitu :
aturan sinus (Dalil Sinus), atura kosinus (Dalil kosinus), dan luas segitiga.
1. ATURAN SINUS
A. Contoh-contoh untuk pengantar.
Untuk memudahkan kita dlam memahami aturan sinus itu, perlu kita simak
terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini .
1. Pada gambar 2, segitiga ABC siku-siku di B, dengan  A = 50o
,  B = 90o
, dan b
= 8 . Hitunglah :
a. besar  C b. Panjang sisi a dan sisi c.
C
b = 8 a
50o
A c B
Gambar 2
b. Dari gambar 2 didapat :
Aba
b
a
A sinsin 
= 8  sin 50o
= 8  0,7660
= 6,1 (teliti samai 1 tempat desimal)
Abc
b
c
A coscos 
A
B C
b
c
a
A = ao
sisi BC = a
B = bo
sisi AC = b
C = co
sisi AB = c
bo
ao
co
Penyelesaian :
a. Untuk menghitung  C kita gunakan
hubungan :  A +  B +  C = 180o
 C = 180o
-  A -  C
= 180o
– 50o
– 90o
= 40o

Oleh : Padiya,S.Pd.
3
= 8  cos 50o
= 8  0,6428
= 5,1 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
Jadi panjang sisi a = 6,1 dan panjang sisi c = 5,1 .
2. Pada gambar 3,  ABC lancip dengan  A = 40o
,  B = 80o
dan b = 6 .
a. Hitung besar  C !
b. Apakah panjang a dan c dapat dihitung
Langsung seperti pada contoh 1 ?
c. Buat garis tinggi CD pada sisi AB, kemudian
Hitung :
i. panjang CP iv. Panjang BP
ii. panjang BC v. Panjang AB
iii. panjang AP
Gambar 3
Penyelesaian :
a. Untuk menghitung  C, kita gunakan hubungan :
 C = 180o
-  A -  B
= 180o
– 40o
– 80o
= 60o
b. Karena  ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat
dihitung langsung seperti pada contoh 1.
c. Dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan (lihat gambar 3) kita
dapatkan :
i. AbCD
b
CD
A sinsin 
= 6  sin 40o
= 6  0,6428
ii.
B
CD
BC
BC
CD
B
sin
sin 
= o
80sin
9,3
=
9848,0
9,3
iii. AbAD
b
AD
A coscos 
= 6  cos 40o
= 6  0,7660
iv. BBCDB
BC
DB
B coscos 
A
c
b = 6
a
C
B
40o
80o
D

Oleh : Padiya,S.Pd.
4
= 3,9  cos 80o
= 3,9  0,1736
v. AB = AD + DB = 4,6 + 0,7 = 5,3
Jdi dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat
menghitung panjang sisi a dan sisi c.
3. Pada gambar 4,  ABC tumpul dengan  A = 100o
,  B = 50o
dan b = 12.
a. Hitunglah besar  C!
b. Apakah panjang a dan c dapat dihitung
Langsung seperti pada contoh 1.
c. Buat garis tinggi CD pada perpanjangan
Sisi AB, kemudian hitung panjang a dan
c !
Gambar 4
Penyelesaian :
a. Untuk menghitung  C, kita gunakan hubungan :
 C = 180o
-  A -  B
= 180o
– 100o
– 50o
= 30o
b. Karena  ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat
dihitung langsung seperti pada contoh 1.
c. Dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan (lihat gambar 4).
Maka kita dapatkan :
i. pada  DAC,  DAC = 180o
– 100o
= 80o
, sehingga
DACbCD
b
CD
DAC  sinsin
= 12  sin 80o
= 12  0,9848
= 11,8 (teliti sampai dengan 1 tempat
desimal).
DACbAD
b
AD
DAC  coscos
= 12  cos 80o
= 12  0,1736
= 2,1 (teliti sampai dengan 1 tempat
desimal).
ii. pada  PBC :
B
CD
BC
BC
CD
B
sin
sin 
= o
50sin
8,11
A B
C
b =12
c
a
100o
50o
D
A

Oleh : Padiya,S.Pd.
5
=
7660,0
8,11
BBCBD
BC
BD
B coscos 
= 15,4  cos 50o
= 15,4  0,6428
AB = BD-AD = 9,9 = 2,1 = 7,8
Jadi, dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat meng-
hitung panjang sisi a dan sisi c.
Dari contoh 1 sampai dengan contoh 3, kita dapat mengamati beberapa hal sebagai
berikut :
1. Dalam  ABC siku-siku (contoh 1), panjang sisi a dan c dapat dihitung langsung
dengan menggunakan perbandingan trigonometri.
2. Dalam  ABC lancip (contoh 2) atau tumpul (contoh 3), panjang sisi a dan c
dapat dihitung dengan menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan.
Lalu sekarang timbul pertanyaan, dapatkah panjang sisi a dan c dihitung tanpa
menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan ? Untuk menjawab pertanyaan
tersebut simaklah uraian berikut ini .
B. Aturan Sinus dan Buktinya.
Pada uraian terdahulu telah kita pelajari cara menentukan unsur-unsur sebuah segitiga
yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lain telah diketahui. Namun yang
terpenting dari padanya, adalah apa yang disebut di bawah ini :
Atau dengan rumus dapat ditulis sebagai berikut :
Bukti : Cara 1
i. Untuk  ABC lancip.
C
b a
A D B
c Gambar 5
Aturan Sinus : Dalam setiap segitiga, perbandingan
antara panjang sisi dengan sinus sudut yang
mengahadapi sisi itu adalah sama, untuk tiap sisi
dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut.
Untuk segitiga ABC berlaku :
C
c
B
b
A
a
sinsinsin

Perhatikan gambar 5
*) segitiga ADC siku-siku di D, maka :
AbCD
b
CD
A sinsin  ---(1)
*) segitiga BDC siku-siku di D, maka :
BaCD
a
CD
B sinsin  ---(2)

Oleh : Padiya,S.Pd.
6
Dari (1) dan (2) didapat :
bsinA = asinB atau
---------(3)
C
E
b a
A B
c
Gambar 6
bsinC = csinB atau
---------(6)
C
c
B
b
A
a
sinsinsin

ii. Untuk  ABC tumpul :
C
a
b
D A c B
Gambar 7
bsinA = asinB atau
---------(3)
C
E
b a
A c B
Gambar 8
b
b
A
a
sinsin

Perhatikan gambar 6
*) segitiga AEC siku-siku di E, maka :
CbAE
b
AE
C sinsin  ---(4)
*) segitiga BEC siku-siku di E, maka :
BcAE
c
AE
B sinsin  ---(5)
C
c
B
b
sinsin

Perhatikan gambar 5
*) segitiga ADC siku-siku di D, maka :
AbCD
b
CD
A sinsin  ---(1)
*) segitiga BDC siku-siku di D, maka :
BaCD
a
CD
B sinsin  ---(2)
b
b
A
a
sinsin

Perhatikan gambar 6
*) segitiga AEC siku-siku di E, maka :
CbAE
b
AE
C sinsin  ---(4)
*) segitiga BEC siku-siku di E, maka :
BcAE
c
AE
B sinsin  ---(5)

Oleh : Padiya,S.Pd.
7
bsinC = csinB atau
---------(6)
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
 (terbukti)
Bukti : Cara 2
i. Untuk  ABC lancip:
Y C(b.cosA,b.sinA) Y C(a.cosB,a.sinB)
b a a b
yc yc
O=A c B X O=B c A X
(a) (b)
Gambar 9
Perhatikan gambar 9 di atas !
Pada gambar 9 (a) didapat hubungan : yc = b.sinA -----(1)
Pada gambar 9 (b) didapat hubungan : yc = a.sinB -----(2)
Dari (1) dan (2) didapat hubungan
b.sinA = a.sin B atau
B
b
A
a
sinsin
 --------(3)
Y B(c.cosA,c.sinA) Y B(a.cosC,a.sinC)
c a a c
yb yb
O=A b C X O=C b A X
(a) (b)
Gambar 10
Pada gambar 10 (a) didapat hubungan : yb = c.sinA -----(4)
Pada gambar 10 (b) didapat hubungan : yb = a.sinC -----(5)
c.sinA = a.sin C atau
C
c
A
a
sinsin
 --------(6)
C
c
B
b
sinsin


Oleh : Padiya,S.Pd.
8
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
 (terbukti)
ii. Untuk  ABC tumpul :
Y Y
B(c.cosA,c.sinA) B(a.cosC,a.sinC)
yb c a a c yb
D O=A b C X O=C b A D X
(a) (b)
Gambar 11
Pada gambar 11 (a) didapat hubungan : yb = c.sinA ------ (1)
Pada gambar 11 (b) didapat hubungan : yb = a.sinC ------ (2)
Dari (1) dan (2) didapat hubugan :
c.sinA = a.sin C atau
C
c
A
a
sinsin
 --------(3)
Y Y
A(c.cosB,c.sinB) A(b.cosC,b.sinC)
c ya b b ya c
O=B a C X O=C a B X
(a) (b)
Gambar 12
Pada gambar 12 (a) didapat hubungan : ya = c.sinB -----(4)
Pada gambar 12 (b) didapat hubungan : ya = b.sinC -----(5)
c.sinB = b.sin C atau
C
c
B
b
sinsin
 --------(6)
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
 (terbukti)
Bukti cara 3:
C
b a
A x O
c
B
x
Perhatikan gambar 13 di samping !
 D =  A (sudut dalam segmen yang sama)
 CBD siku-siku (menghdapi busur
2
1
lingkaran DC),
CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
a
Aatau
R
a
CD
a
D
2
sin
2
sin  atau
R
A
a
2
sin
 ----- (1)

Oleh : Padiya,S.Pd.
9
D
Gambar 13
C
b a
A O
c y
B
y
E
Gambar 14
C
F
b a
A O
c
B
Gambar 15
Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan :
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin

ii. Untuk  ABC tumpul:
C
a b
A x O B
c
x
D
Gambar 16
 E =  B (sudut dalam segmen yang sama)
 CAE siku-siku (menghdapi busur
2
1
lingkaran CE),
CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
b
Batau
R
b
CE
b
E
2
sin
2
sin  atau
R
B
b
2
sin
 ----- (2)
 F =  C (sudut dalam segmen yang sama)
 BAF siku-siku (menghdapi busur
2
1
lingkaran BF),
BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
c
Catau
R
c
BF
c
F
2
sin
2
sin  atau
R
C
c
2
sin
 ----- (3)
z
z
 D =  A (sudut dalam segmen yang
sama)
 CBD siku-siku (menghdapi busur
2
1
lingkaran DC),
CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
a
Aatau
R
a
CD
a
D
2
sin
2
sin 
atau
R
A
a
2
sin
 ----- (1)

Oleh : Padiya,S.Pd.
10
C
a b
A O y B
c
y
E
Gambar 17
C
a
b
A
c B
O
F
Gambar 18
Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan :
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
 terbukti
C..Penggunaan Aturan Sinus
Aturan sinus secara umum dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur pada
sebuah segitiga yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lainnya telah diketahui.
Unsur-unsur yang diketahui dalam sebuah segitiga dapat terdiri atas :
2. sebuah sisi dan dua buah sudut :
- sisi, sudut, sudut (ss, sd, sd)
- sudut, sisi, sudut (sd, ss, sd)
3. dua buah sisi dan sebuah sudut yang berhadapan dengan salah satu sisi itu.
- sisi, sisi, sudut (ss, ss, sd).
Untuk memahami penggunaan aturan sinus, marilah kita simak beberapa contoh
berikut ini :
1. Dalam kasus 1, unsur-unsur yang diketahui : sebuah sisi dan dua buah sudut.
Diketahui  ABC dengan  A = 38o
,  B = 64o
dan sisi b = 5.
a. Hitunglah  C !
 E =  B (sudut dalam segmen yang
sama)
 CAE siku-siku (menghdapi busur
2
1
lingkaran CE),
CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
b
Batau
R
b
CE
b
E
2
sin
2
sin 
atau
R
B
b
2
sin
 ----- (2)
 F=  180o
-  C (sudut hadap segiempat
tali busur),  BAF = 90o
BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
CCF o
sin)180sin(sin 
R
c
Catau
R
c
BF
c
C
2
sin
2
sin 
atau
R
C
c
2
sin
 ----- (3)

Oleh : Padiya,S.Pd.
11
b. Hitunglah panjang sisi a dan c !.
Penyelesaian:
a.  C = 180o
-  A -  B = 180o
– 38o
– 64o
= 78o
b. Panjang sisi a dan c ditentukan dengan aturan sinus
- panjang sisi a
42,3
8988,0
0785,3
8988,0
6157,05
64sin
38sin5
sin
sin
sinsin









a
a
a
a
B
Ab
a
B
b
A
a
o
o
- panjang sisi c
44,5
8988,0
8905,4
8988,0
9781,05
64sin
78sin5
sin
sin
sinsin









c
c
c
c
B
Cb
c
C
c
B
b
o
o
Atau dengan cara lain :
a. Dengan menggunakan daftar logaritma :
42,3
424,3
5345,0log
)0465,0(2104,06990,0log
1009537,9()107893,9(6990,0log
64sinlog38sinlog5loglog
64sin
38sin.5
loglog
64sin
38sin5















a
a
a
a
a
a
a
a
oo
o
o
o
o
b. Dengan menggunakan kalkulator.
Kalkulator yang dapat dipakai untuk keperluan ini adalah kalkulator jenis ilmiah
(scientific calculator), misalnya kalkulator merk ” Casio seri fx-3600P”
Caranya :
- Pertama-tama mode ukuran sudut diatur dalam kedudukan ”DEG” (degree =
derajat).
-Kemudian tekan berturut-turut tombol :
3 8 sin x 5 = : 6 4 sin =
-Hasil perhitungan akan ditunjukkan pada layar sebagai : 3,424930761
-Apabila hasil itu dibulatkan sampai 2 tempat desimal, maka diperoleh a = 3,42
(sesuai dengan perhitungan sebelumnya).

Oleh : Padiya,S.Pd.
12
2. Dalam kasus 2, unsur-unsur yang diketahui : dua buah sisi dan sebuah sudut yang
menghadapi salah satu dari sisi itu.
Diketahui  ABC, dengan  B = 30o
, a = 7 , dan b = 6.
Hitunglah :
a.Besar  A !
b..Besar  C !
c..Panjang c !
Penyelesaian :
a. o
o
A
b
Ba
A
B
b
A
a
68,3558,0
6
5,3
6
5,07
6
30sin7sin
sin
sinsin







b.  C = 180o
-  A -  B = 180o
– 35,68o
– 30o
= 114,32o
c. 94,10
5,0
4678,5
5,0
9113,06
30sin
32,114sin6
sin
sin
sinsin






 o
o
B
Cb
c
C
c
B
b
3. Diketahui  PQR dengan  P = 30o
,  Q = 45o
dan q = 7. Tentukanlah :
a. Besar  R !
b. Panjang p dan r !
Penyelesaian :
a.  R = 180o
-  P -  Q = 180o
– 30o
– 45o
= 105o
b. - menentukan panjang p
95,4
7071,0
5,3
7071,0
5,07
45sin
30sin7
sin
sin
sinsin






 o
o
Q
Pq
p
Q
q
P
p
- menentukan panjang r
56,9
7071,0
7613,6
7071,0
9659,07
45sin
105sin7
sin
sin
sinsin






 o
o
Q
Rq
r
R
r
Q
q
4..Diketahui  ABC dengan  B = 60o
, a = 4 dan b = 7
Hitunglah besar  A !
Penyelesaian :
66,294949,0
7
464,3
7
8660,04
7
60sin4sin
sin
sinsin






 A
b
Ba
A
B
b
A
a o
5.
Gambar 20
C
6 7
30o
A c B
Gambar 19
C
B
A
Seekor laba-laba (A) menjaring seekor lalat (B)
dan seekor lebah (C). Apabila sudut BAC = 20o
dan jarak laba-laba (A) dengan lalat (B) = 6, jarak
antara lalat (B) dengan lebah (C) = 5. Berapakah
jarak laba-laba (A) dengan lebah (C) ?

Oleh : Padiya,S.Pd.
13
Penyelesaian :
Kejadian tersebut dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga berikut ini.
C
? 5
B
20o
A
Gambar 21
 B = 180o
-  A -  C = 180o
– 20o
– 24,23o
= 135,77o
12,10
3420,0
4625,3
3420,0
6925,05
20sin
77,135sin5
sin
sin
sinsin






 o
o
A
BBC
AC
A
BC
B
AC
Jadi jarak antara laba-laba dengan lebah adalah 10,12
2. ATURAN KOSINUS
A. Contoh-contoh untuk pengantar.
Untuk memudahkan kita dalam memahami Aturan Kosinus itu, perlu kita simak
terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini :
1. Pada gambar 22,  ABC siku-siku di A, dengan b = 3 dan c = 4 .
Hitunglah: C
a. Panjang a !
b. Besar  B dan  C! b=3 a
A c=4 B
Gambar 22
Penyelesaian :
a. Dengan menggunakan Theorema Pythagoras diperoleh :
52516943 2222
 cba
b. Dari gambar 22 diperoleh :
o
B
a
b
B 87,366,0
5
3
sin 
o
C
a
c
C 13,538,0
5
4
sin 
2. Pada gambar 23  ABC lancip dengan 
A = 50o
, b = 6 dan c = 5.
a. Apakah sisi a , B dan  C dapat
dihitung langsung seperti pada contoh
1?
b. Apakah sisi a , B dan  C dapat
dihitung dg aturan sinus ?
C
b = 6 a
A B
c=5
Gambar 23
6 o
o
C
C
BC
AAB
C
C
AB
A
BC
23,24
41,0
5
3420,06
5
20sin6
sin
sin
sin
sinsin









Oleh : Padiya,S.Pd.
14
Penyelesaian :
a. Dalam hal di atas sisi a tidak dapat ditung dengan Theorema Pythagoras.
Sudut B dan C tidak dapat dihitung dengan perbandingan trigonometri.
b. Dengan menerapkan aturan sinus pada  ABC di atas diperoleh :
CB
a
C
c
B
b
A
a
o
sin
5
sin
6
50sin
sinsinsin


Dari perhitungan di atas, terlihat bahwa dengan aturan sinus, kita juga tidak
dapat menghitung sisi a,  B dan  C.
3. Pada gambar 24,  ABC tumpul dengan a = 4, b = 5 dan c = 8.
a. Apakah  A,  B dan  C dapat A
dihitung langsung seperti pada
contoh 1 ?
b. Apakah  A,  B dan  C dapat c = 8
dihitung dengan aturan sinus ? b = 5
B C
a = 4
Gambar 24
Penyelesaian :
a. Sudut A, B dan C dalam hal di atas tidak dapat dihitung dengan perbandingan
trigonometri.
b. Dengan menerapkan aturan sinus pada  ABC di atas diperoleh :
CBA
C
c
B
b
A
a
sin
8
sin
5
sin
4
sinsinsin


Ternyata dengan aturan sinus, kita juga tidak dapat menghitung  A,  B dan
 C.
Dari contoh 2 di atas kita dapat meihat bahwa apabila dalam sebuah segitiga diketahui
dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu maka unsur-unsur lainnya yang
belum diketahui tidak dapat ditentukan dengan aturan sinus. Demikian pula pada contoh
3 pada sebuah segitiga yang diketahui ketiga sisinya, unsur-unsur yang lainnya juga tidak
dapat ditentukan dengan aturan sinus.
Untuk dapat menghitung unsur-unsur yang belum diketahui dalam segitiga pada contoh 2
dan 3 marilah kita simak uraian berikut ini :
B. Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) dan Buktinya.
Dengan rumus dapat ditulis (untuk segitiga ABC) :
Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) : Pada setiap segitiga, kuadrat sebuah sisi adalah
sama dengan jumlah kuadrat-kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dengan dua
kali hasil perkalian antara sisi-sisi itu dengan kosinus sudut yang diapitnya.

Oleh : Padiya,S.Pd.
15
Dengan menggunakan rumus dapat dituiskan sebagai berikut :
A.
Cabbaciii
Baccabii
Abccbai
cos.2)(
cos.2)(
cos.2)(
222
222
222



B.
ab
cba
Ciii
ac
bca
Bii
bc
acb
Ai
2
cos)(
2
cos)(
2
cos)(
222
222
222






Bukti :
Dalam pembahasan ini hanya akan dibuktikan dengan cara 1, pembaca diharapkan
dapat membuktikan dengan yang lain.
(i) C
b tc a
A D c B
(ii) A
c ta b
B E a C
(iii) B
a tb c
C F b A
Gambar 25
Pada gambar 25 (i) tc adalah garis tinggi pada sisi c.
Dengan menerapkan Theorema Pythagoras
- pada segitiga siku-siku BCD diperoleh :
222
)(BDta c  ------ (1)
- pada segitiga siku-siku ACD diperoleh :
Abtc sin.
2
 ------ (2)
- dan AD = b.cosA, sehingga BD = AB-AD
= c – b.cosA ------(3)
Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :
bc
acb
A
atau
Abccba
AbccAAba
AbAbccAba
AbcAba
2
cos
cos.2
cos.2)cos(sin
cos.cos.2sin.
)cos.()sin.(
222
222
22222
222222
222






A(i) dan B(i)
terbutki

Oleh : Padiya,S.Pd.
16
Pada gambar 25 (ii) ta adalah garis tinggi pada sisi a. Dengan menerapkan Theorema
Pythagoras
- pada segitiga siku-siku AEC diperoleh :
222
)(ECtb a  ------ (1)
- pada segitiga siku-siku BEA diperoleh :
Bcta sin.
2
 ------ (2)
- dan BE = c.cosB, sehingga EC = BC - BE
= a – c.cosB ------(3)
ac
bca
B
atau
Baccab
BacaBBcb
BcBacaBcb
BcaBcb
2
cos
cos.2
cos.2)cos(sin
cos.cos.2sin.
)cos.()sin.(
222
222
22222
222222
222






Pada gambar 25 (iii) tb adalah garis tinggi pada sisi b. Dengan menerapkan Theorema
Pythagoras
- pada segitiga siku-siku AFB diperoleh :
222
)(AFtc b  ------ (1)
- pada segitiga siku-siku BFC diperoleh :
Catb sin.
2
 ------ (2)
- dan CF = a.cosC, sehingga AF = AC - CF
= b – a.cosC ------(3)
ab
cba
C
atau
Cabbac
CabbCCac
CaCabbCac
CabCac
2
cos
cos.2
cos.2)cos(sin
cos.cos.2sin.
)cos.()sin.(
222
222
22222
222222
222






ii. Untuk  ABC tumpul.
C
tc a Gambar 26
b
D A c B
A(ii) dan B(ii)
terbutki
A(iii) dan B(iii)
terbutki

Oleh : Padiya,S.Pd.
17
Pada gambar 26 tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras
- pada segitiga siku-siku BCD diperoleh :
222
)(BDta c  ------ (1)
- pada segitiga siku-siku ACD diperoleh :
AbAbCADbt o
c sin.)180sin(.sin.
2
 ------ (2)
- dan AD = b.cosCAD = b.cos(180o
-A) = b.(-cosA) = -b.cosA, sehingga BD = AB + AD
= c + (- b.cosA) = c – b.cosA ------(3)
bc
acb
A
atau
Abccba
AbccAAba
AbAbccAba
AbcAba
2
cos
cos.2
cos.2)cos(sin
cos.cos.2sin.
)cos.()sin.(
222
222
22222
222222
222






A B
ta c b tb a c
E B C F C A
(i) (ii)
Gambar 27
Dengan cara yang sama dengan menggunakan gambar 27 (i) kita akan mendapatkan
hubungan sebagai berikut :
Baccab cos.2222
 atau
ac
bca
B
2
cos
222

 (Rumus A(ii) dan B(ii))
Dan dengan mengunakan gambar 27 (ii) kita akan mendapatkan hubungan :
Cabbac cos.2222
 atau
ab
cba
C
2
cos
222

 (Rumus A (iii) dn B (iii) )
C. Penggunaan Aturan Kosinus
Aturan kosinus dapat kita gunakan untuk menentukan unsur-unsur yang belum
diketahui dari sebuah segitiga, jika diketahui :
1. dua buah sisi dan sebuah sudut yang diapit oleh kedua sisi itu.
- sisi, sudut, sisi (ss, sd, ss)
2. ketiga buah sisinya
- sisi, sisi, sisi (ss, ss, ss)
Untuk lebih memahami penggunaan aturan kosinus, simaklah beberapa contoh
berikut ini :
A(i) dan B(i)
terbutki
a b

Oleh : Padiya,S.Pd.
18
1. Dalam kasus 1. Kita lihat contoh pada sub A contoh 2:
Diketahui  ABC lancip dengan  A = 50o
, b = 6 dan c = 5 .
Tentukanlah :
a. panjang sisi a !
b. besar  B dan  C!
Penyelesaian :
a. Untuk menghitung panjang sisi a, kita gunakan rumus :
74,4
432,22
432,22
568,3861
)6428,0.(602536
50cos.5.6.256
cos.2
2
2
2
222
222







a
a
a
a
a
a
Abccba
o
b. Untuk menghitung besar  B, kita gunakan rumus :
o
B
B
ac
bca
B
76
2419,0cos
2419,0
4,47
4676,11
4,47
36254676,22
5).74,4.(2
65)74,4(
2
cos
222222









Untuk menghitung besar  C , kita gunakan rumus :
o
C
C
ab
cba
C
96,53
5884,0cos
5884,0
88,56
4676,33
88,56
25364676,22
6).74,4.(2
56)74,4(
2
cos
222222









2. Dalam kasus 2, kita lihat contoh pada sub A contoh 3.
Diketahui  ABC tumpul, dengan a = 4 , b = 5 dan c = 8.
Hitunglah besar  A,  B,  C !
Penyelesaian :
Untuk menghitung besar  A , kita gunakan rumus :
o
C
C
bc
acb
A
15,24
9125,0cos
9125,0
80
73
80
166425
8.5.2
485
2
cos
222222










Oleh : Padiya,S.Pd.
19
Untuk menghitung besar  B, kita gunakan rumus :
o
B
B
ac
bca
B
75,30
8594,0cos
8594,0
64
55
64
256416
8.4.2
584
2
cos
222222









Untuk menghitung besar  C , kita gunakan rumus :
o
C
C
ab
cba
C
09,125
575,0cos
575,0
40
23
40
642516
5.4.2
854
2
cos
222222











3. Pada ABC, lihat gambar 28 diketahui C
 A = 40o
, b = 5 dan c = 6. tentukanlah
panjang sisi a ! b = 5 a
Penyelesaian : A 40o
B
88,3
04,15
04,15
96,4561
7660,0603625
40cos.6.5.265
cos.2
2
2
2
222
222







a
a
a
a
a
a
Abccba
o
4. Pada  ABC, diketahui a = 8 , b = 6 dan c = 10. Tentukanlah besar  C !
Penyelesaian :
o
C
C
C
C
C
ab
cba
C
90
0cos
96
0
cos
96
1003664
cos
6.8.2
1068
cos
2
cos
222
222









c = 6
Gambar 28

Oleh : Padiya,S.Pd.
20
5. Kota Q terletak 20 km disebelah utara kota P, dan kota R terletak 15 km disebelah
barat laut dari kota P. Hitunglah jarak antara kota Q dan kota R !
Penyelesaian :
Kejadian di atas dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga sebagai berikut :
U
Q
TL
20 km
B T
P
15 km
R
S
BD
Gambar 29
Dari gambar 29 terlihat :
PQ = r = 20 km
PR = q = 15 km
QPR = BPQ +  BPR = 90o
+ 45o
= 135o
Sehingga jarak kota Q dan kota R adalah QR
QR2
= PQ2
+ PR2
– 2.PQ.PR.Cos QPR
QR2
= 202
+ 152
– 2.20.15.cos 135o
QR2
= 400 + 225 - 600(-0,7071)
QR2
= 625 +424,26
QR2
= 1049,26
QR = 26,1049
QR = 32,39
Jadi jarak antara kota Q dan kota R adalah 32,39 km.
6. Perhatikan gambar 30. O adalah titik pusat lingkaran, dengan OP dan OQ adalah
jari-jari lingkaran. Jika PQ = 3 dan OP = 2. Tentukanlah nilai cos ao
!
O
2 ao
2
P 3 Q
Gambar 30
Jadi cos ao
= -0,125
Penyelesaian :
Dari gambar 30 terlihat :
PQ = sisi o = 3
OP = sisi q = 2
OQ = sisi p = 2
 O = ao
, maka :
125,0cos
6
1
cos
6
944
cos
2.2.2
322
cos
2
cos
222
222









o
o
o
o
a
a
a
a
pq
oqp
O

Oleh : Padiya,S.Pd.
21
*) Petunjuk penggunaan aturan sinus dan aturan kosinus:
Apabila Anda dihadapkan pada suatu masalah yang berhubungan dengan penggunaan
aturan sinus dan aturan kosinus, apakah Anda sudah dapat menentukan rumus (aturan )
mana yang paling tepat untuk menyelesaikan masalah tersebut ?. Kalu belum perhatikan
petunjuk di bawah ini :
No. Dalam  ABC diketahui Ditanya Aturan yang digunakan
1 Sisi, sudut, sudut
i). a, A,  C
ii). a,  B,  A
iii). b,  A,  B
iv). b,  B,  C
v). c,  A,  C
vi). c,  B,  C
b, c, B
b, c,  C
a, c,  C
a, c,  A
a, b,  B
a, b,  A
Aturan sinus (c dicari dulu)
Aturan sinus (b dicari dulu)
Aturan sinus (a dicari dulu)
Aturan sinus (c dicari dulu)
Aturan sinus (a dicari dulu)
Aturan sinus (b dicari dulu)
2 Sudut, sisi, sudut
i).  A, c,  B
ii).  B, a,  C
iii).  A, b,  C
a, b,  C
b, c,  A
a, c,  B
Aturan sinus (C dicari dulu)
Aturan sinus (A di cari dulu)
Aturan sinus ( B dicari dulu)
3 Sisi, sisi, sudut
i). a, b,  A
ii). a, c,  C
iii). b, c,  B
iv). b, a,  B
v). c, a,  C
vi). c, b,  C
c,  B,  C
b,  A,  B
a,  A,  C
c,  A,  C
b,  A,  B
a,  A,  B
Aturan sinus (B dicari dulu)
Aturan sinus ( C dicari dulu)
Aturan sinus ( C dicari dulu)
Aturan sinus ( A dicari dulu)
Aturan sinus ( A dicari dulu)
Aturan sinus ( B dicari dulu)
4 Sisi, sudut, sisi
i). a,  C, b
ii). b,  A, c
iii). c,  B, a
c,  A,  B
a,  B,  C
b,  A,  C
Aturan kosinus (c dicari dulu
dilanjutkan dengan aturan sinus)
Aturan kosius ( a dicari dulu
Aturan kosinus (b dicari dulu
5 Sisi, sisi, sisi
a, b, c A, B, C Aturan kosinus

Oleh : Padiya,S.Pd.
22
3. LUAS SEGITIGA
Di Sekolah Menengah Pertama, kita mengetahui bahwa luas daerah sebuah segitiga
dapat dihitung, jika panjang alas dan tinggi pada alas tersebut diketahui, misalnya luas
daerah segitiga ABC lancip seperti pada gambar 31 (i) maupun segitiga ABC tumpul
seperti pada gambar 31 (ii) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
atABCLuas
2
1
 -------- (1)
(i) A (ii) A
c t b t c b
B C B C
a a
Gambar 31
Dalam sub bab ini, kita akan mempelajari cara-cara perhitungan luas segitiga, jika
tiga unsur yang terdapat dalam segitiga tersebut telah diketahui. Ketiga unsur yang
diketahui itu kemungkinannya adalah :
a. dua sisi dan satu sudut yang dipit oleh kedua sisi itu (sisi, sudut, sisi/ ss, sd, ss)
b. dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut itu (sudut, sisi,
sudut/sd,ss,sd).
c. dua sisi dn satu sudut yang menghadap pada salah satu sisi itu (sisi, sisi,
sudut/ss,ss,sd).
d. ketiga sisinya (sisi,sisi,sisi/ss,ss,ss)
A. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi
itu.
Agar Anda memahami penurunan rumus luas segitiga yang diketahui panjang dua sisi
dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu, simaklah kembali dua buah segitiga pada
gambar 31 di atas, t adalah garis tinggi dati titik A ke sisi BC (gambar 31 (i)) atau
perpanjangan sisi BC (gambar 31 (ii)) yang panjangnya a.
Dari gambar 31 tersebut kita peroleh hubungan sebagai berikut :
*) Cct
b
t
C sin.sin  sehingga
Luas  ABC = at
2
1
menjadi
CbaABCLuas sin..
2
1
 -------- (2)
*) Bct
c
t
B sin.sin  sehingga
Luas  ABC = at
2
1
menjadi

Oleh : Padiya,S.Pd.
23
BcaABCLuas sin..
2
1
 -------- (3)
*) dari aturan sinus :
a
Ab
B
B
b
A
a sin.
sin
sinsin
 sehingga
BcaABCLuas sin..
2
1
 menjadi
a
Ab
caABCLuas
sin.
..
2
1

AcbABCLuas sin..
2
1
 ------ (4)
Contoh :
Diketahui  ABC dengan a = 5 cm, b = 7 cm dan  C = 40o
. Hitunglah luas  ABC
tersebut !
Penyelesaian
Dengan rumus (2) luas  ABC sama dengan :
25,11
)6428,0.(7.5.
2
1
40sin.7.5.
2
1
sin..
2
1




ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
CbaABCLuas
o
Jadi luas daerah segitiga ABC adalah 11,25 cm2
B. Luas segitiga , jika diketahui dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara
kedua sudut itu.
Jika pada sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya dan panjang sebuah
sisinya yang terletak di antara kedu sudut itu, maka luas daerah segitiga itu dapat
dihitung dengan rumus :
)sin(.2
sin.sin.2
CB
CBa
ABCLuas

 ------ (5)
)sin(.2
sin.sin.2
CA
CAb
ABCLuas

 ------ (6)
)sin(.2
sin.sin.2
BA
BAc
ABCLuas

 ------- (7)

Oleh : Padiya,S.Pd.
24
Bukti :
A
Ca
c
C
c
A
a
sin
sin.
sinsin
 , kemudian subtitusikan
A
Ca
c
sin
sin.

ke rumus (3) diperoleh :
B
A
Ca
aABCLuas sin.
sin
sin.
.
2
1

A
BCa
ABCLuas
sin
sin.sin.
.
2
1 2

)sin(
sin.sin.
.
2
1 2
CB
BCa
ABCLuas

 -------- rumus 5 terbukti.
B
Cb
c
C
c
B
b
sin
sin.
sinsin
B
Cb
c
sin
sin.

A
B
Cb
bABCLuas sin.
sin
sin.
.
2
1

B
ACb
ABCLuas
sin
sin.sin.
.
2
1 2

)sin(
sin.sin.
.
2
1 2
CA
CAb
ABCLuas

C
Ac
a
C
c
A
a
sin
sin.
sinsin
C
Ac
a
sin
sin.

Bc
C
Ac
ABCLuas sin..
sin
sin.
.
2
1

C
BAc
ABCLuas
sin
sin.sin.
.
2
1 2

)sin(
sin.sin.
.
2
1 2
BA
BAc
ABCLuas

Contoh :
Tetukanlah luas  ABC, jika diketahui  B = 60o
,  C = 30o
dan a = 8 cm !
Penyelesaian :
Dengan rumus 5 luas  ABC adalah :
)sin(
sin.sin.
.
2
1 2
CB
BCa
ABCLuas


Dari hubungan A = 180o
– (B + C)
maka sin A= sin{180o
– (B + C)
sin A = sin (B + C)
Dari hubungan B = 180o
– (A + C)
maka sin B= sin{180o
– (A + C)
sin B = sin (A + C)
Dari hubungan C = 180o
– (A + B)
maka sin C = sin{180o
– (A + B)
sin C = sin (A + B)

Oleh : Padiya,S.Pd.
25
)3060sin(
30sin.60sin.8
.
2
1 2
oo
oo
ABCLuas


38316.
2
1
 ABCLuas
Jadi luas daerah  ABC sama dengan 8 3 cm2
C. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang menghadap pada
salah satu sisi itu.
Jika pada sebuah segitiga diketahui panjang dua sisinya dan besar sudut yang
menghadapi salah satu dari sisi itu, maka luas daerah segitiga itu dapat dihitung
melaui langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1 :
- Kita tentukan sudut-sudut yang belum diketahui dengan aturan sinus.
Langkah 2 :
- Setelah semua sudut pada segitiga itu diketahui luas daerah segitiga dapat
dihitung dengan salah satu dari rumus 2 s.d. 7
Contoh :
Hitunglah luas  ABC, jika diketahui a = 6 cm, b = 4 cm dan  B = 40o
!
Penyelesaian :
Langkah 1 : menentukan  A dan  C dengan aturan sinus :
o
o
A
b
Ba
A
B
b
A
a
6,749642,0
4
8568,3
4
6428,06
4
40sin.6sin.
sin
sinsin



Atau  A = 180o
– 74,6o
= 105,6o
 C = 180o
-  A -  B = 180o
– 74,6o
– 40o
= 65,4o
atau
 C = 180o
-  A -  B = 180o
– 105,6 – 40o
= 34,6o
Langkah 2 : Menghitung luas ABC dengan rumus (2) :
- Untuk  C = 65,4o
9,10
9092,012
4,65sin46
2
1
sin..
2
1




ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
CbaABCLuas
o
Jadi untuk  C = 65,4o
luas  ABC = 10,9 cm2
- Untuk  C = 34,6o
8,6
5678,012
6,34sin46
2
1
sin..
2
1




ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
CbaABCLuas
o
Jadi untuk  C = 34,6o
luas  ABC = 6,8 cm2

Oleh : Padiya,S.Pd.
26
D. Luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya.
Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a , sisi b dan sisi c, maka luas
segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :
)(
2
1
))()((
cbasdengan
csbsassABCLuas


--------- (8)
Bukti :
Dari hubungan sin2
A + cos2
A = 1  sin2
A = 1 – cos2
A
 sin2
A = (1 + cos A)(1 – cos A)
dan hubungan
bc
acb
A
2
cos
222

 diperoleh :
))()((
2
sin
))()((
2
4
sin
))()((16
2
1
sin
)(2).(2).(2.2
2
1
sin
)(2222)()).(4
)(2222)()).(3
)(2222)()).(2
2)).(1
)(
2
1
))()()((
2
1
sin
)2(
))()()((
sin
2
))((
2
))((
sin
2
)(
2
)(
sin
2
)2(
2
2
sin
2
2
2
2
sin
2
1
2
1sin
2
2
2
2222
2
222222
2
222222
2
22222
2
csbsass
bc
A
csbsass
bc
A
csbsass
bc
A
bscsass
bc
A
sehingga
bsbsbcbacba
cscsccbacba
asasacbaacb
scba
cbasmengambildengan
cbacbaacbacb
bc
A
bc
cbacbaacbacb
A
bc
cbacba
bc
acbacb
A
bc
cba
bc
acb
A
bc
cbcba
bc
acbcb
A
bc
acbbc
bc
acbbc
A
bc
acb
bc
acb
A















 






 





 






 





 






 





 






 





 












 












 


Oleh : Padiya,S.Pd.
27
Dengan mengambil rumus (4)
Luas  ABC = SinAcb ..
2
1
dan kita substitusikan ))()((
2
sin csbsass
bc
A 
Kita peroleh :






 ))()((
2
..
2
1
csbsass
bc
cbABCLuas
))()(( csbsassABCLuas  (terbukti).
Contoh :
Hitung luas  ABC, jika diketahui panjang a = 5 cm, b = 6 cm dn c = 7 cm !
Jawab :
9)18(
2
1
)765(
2
1
)(
2
1
 cbas
s – a = 9 – 5 = 4, s – b = 9 – 6 = 3, s – c = 9 – 7 = 2
sehingga luas  ABC adalah :
66
216
2349
))()((




ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
csbsassABCLuas
Jadi luas  ABC = 6 6 cm2
E. Luas segitiga , jika diketahui ketiga sudutnya dan jari-jari ingkaran luarnya.
Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui besar ketiga sudutnya dan panjang jari-jari
ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :
-------- (9)
Bukti:
Dari aturan sinus : ARaR
A
a
sin.22
sin

Dan BRbR
B
b
sin.22
sin

Substitusikan nilai a dan b di atas ke dalam rumus (2) :
Luas  ABC =
2
1
a.b.sinC deiproleha :
Luas  ABC =
2
1
.2R.sinA.2R.sinB.sinC
Luas  ABC = 2R2
.sinA.sinB.sinC (terbukti)
Luas  ABC = 2R2
.sinA.sinB.sinC

Oleh : Padiya,S.Pd.
28
Contoh :
Diketahui segitiga ABC, dengan  A = 50o
,  B = 60o
dan  C = 70o
dan jari-jari
lingkaran luarnya R = 8 cm. Hitunglah luas  ABC tersebut !
Penyelesaian :
Luas  ABC = 2R2
.sinA.sinB.sinC
Luas  ABC = 282
sin50o
sin60o
sin70o
Luas  ABC = 2640,76600,86600,9397
Luas ABC = 79,79
Jadi luas  ABC = 79,79 cm2
F. Luas Segitiga jika diketahui ketiga sisinya dan jari-jari lingkaran luarya.
Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya dan panjang jari-jari
ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :
R
abc
ABCLuas
4
 -------- (10)
Bukti :
Dari rumus (9) Luas  ABC = 2R2
.sinA.sinB.sinC dan aturan sinus
R
c
C
R
b
B
R
a
A
2
sin,
2
sin,
2
sin  diperoleh
3
2
2
8
2
222
2
R
abcR
ABCLuas
R
c
R
b
R
a
RABCLuas




















R
abc
ABCLuas
4
 ------- (terbukti)
Contoh :
Dalam sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm , b = 7cm, c = 5 cm dan
jari-jari lingkaran luarnya 5 cm. Hitunglah luas segitiga ABC tersebut !
Penyelesaian :
25,8
20
165
54
575
4






ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
R
abc
ABCLuas
Jadi luas  ABC = 8,25 cm2

Oleh : Padiya,S.Pd.
29
G. Menentukan luas segiempat dan segibanyak beraturan dengan menggunakan
rumus luas segitiga.
i.Luas Segiempat.
Perhatikan gambar 32. ABCD adalah sebuah segiempat sembarang.
P adalah titik potong diagonal AC dan BD.
Misalkan  DPA = , maka :
Luas  DAC = Luas  ADP + Luas  CDP
=
2
1
PD.AP.sin  +
2
1
DP.PC.sin(180o
-)
=
2
1
PD.AP.sin  +
2
1
DP.PC.sin 
=
2
1
PD.(AP+PC).sin 
=
2
1
PD.AC.sin 
Dengan cara yang sama dapat diperoleh :
Luas  ABC =
2
1
BP.AC.sin 
Luas segiempat ABCD = Luas  DAC + Luas  ABC
=
2
1
PD.AC.sin  +
2
1
BP.AC.sin 
=
2
1
AC.(BP+PD).sin 
=
2
1
AC.BD.sin 
Jadi luas segiempat ABCD =
2
1
AC.BD.sin  atau
Contoh :
1. Tentukanlah luas segiempat ABCD, jika panjang diagonal AC = 6 cm, BD = 10
cm dan sudut yang dibentuk oleh diagonal AC dan BD = 60o
!
Penyelesaian :
Luas segiempat ABCD =
2
1
AC.BD.sin 
=
2
1
610sin 60o
= 30 0,8660 = 25,98
Jadi luas segiempat ABCD = 25,98 cm2
Luas suatu segiempat sama dengan setengah dari perkalian antara diagonal-
diagonalnya dengan sinus sudut yang diapit oleh diagonal-diagonal tersebut.

Oleh : Padiya,S.Pd.
30
2. Pada segiempat PQRS (Gambar 33). PQ = 6 cm, QR = 4 cm, RS = 5 cm dan SP =
5 cm, serta  P = 100o
.
Hitunglah :
a. panjang QS b. Besar  R c. Luas segiempat PQRS.
Penyelesaian :
P
5 100o
6
S Q
5 4
R
Gambar 33
Jadi panjnag QS = 8, 45 cm.
ii. Luas Segilima beraturan
D
s r s
E r O r C

s r r s
A s B
Gambar 34
a. Pada  PQS :
QS2
= PQ2
+ QS2
– 2.PQ.PS.cos P
QS2
= 62
+ 52
– 2.6.5.cos 100o
QS2
= 36 + 25 – 60.(-0,1736)
QS2
= 61 + 10,42
QS2
= 71,42
QS = 42,71
QS = 8,45
b. Pada  QRS :
cos R = 7609,0
40
42,30
40
42,712516
5.4.2
)45,8(54
..2
222222








SRQR
QSSRQR
 R = 139,5o
c. Luas segiempat PQRS = Luas  PQS + Luas  QRS
Luas  PQS = 77,149848,015100sin56
2
1
sin...
2
1
 o
PPSPQ
Luas  QRS = 5,66494,0105,139sin54
2
1
sin...
2
1
 o
RRSQR
Jadi luas segiempat PQRS = 14,77 + 6,5 = 21,27 cm2
Gambar 34 menunjukkan sebuah segi-
lima beraturan ABCDE dengan titik-
titk sudutnya terletak pada ling-karan
yang berjari-jari r. O adalah titik pusat
lingkara dan s adalah panjang sisi
segilima ABCDE.
AOB = BOC = COD = DOE =
EOA = o
o
72
5
360


Oleh : Padiya,S.Pd.
31
Pada segilima ABCDE terdapat 5 segitiga yang sama dan sebangun (kongruen).
Kita ambil salah satu dari segitiga tersebut yaitu  AOB
Luas  AOB = sin...
2
1
OBOA
= o
rr 72sin...
2
1
= o
r 72sin..
2
1 2
Luas segilima ABCDE = 5 x luas  AOB = 5  o
r 72sin..
2
1 2
Dengan menggunakan salah satu rumus luas segitiga no. 5 , 6 tau 7, kita peroleh :
)sin(
sin.sin.
.
2
1 2




AB
AOBLuas
)5454sin(
54sin.54sin.
.
2
1 2
oo
oo
s
AOBLuas


o
o
s
AOBLuas
108sin
54sin.
.
2
1 22

Sehingga luas segilima ABCDE = 5  luas  AOB = 5  o
o
s
108sin
54sin.
.
2
1 22
Contoh :
1. Hitunglah luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 cm !
Penyelesaian :
Luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 adalah =
93,61
9022,1
81,117
9022,1
6545,0365
9511,02
)8090,0(65
108sin2
54sin.5 2222





o
o
s
Jadi luas segilima beraturan yang panjang sisinya 6 adalah 61,93 cm2
Jadi luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran
luarnya = o
r 72sin
2
5 2
Ingat : Segitiga AOB adalah segitiga sama kaki, sehingga  OBA =
 OAB =  = ooooo
54108
2
1
)72180(
2
1
)180(
2
1

Jadi luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisi-
sisinya = o
o
s
108sin2
54sin5 22

Oleh : Padiya,S.Pd.
32
2. Hitunglah luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya r = 10
cm !
Penyelesaian :
Luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm adalah
= 78,237
2
55,475
2
9511,0105
2
72sin.5 22



o
r
Jadi luas segilima beraturan yang panjang sisinya 6 adalah 237,78 cm2
iii. Luas segienam beraturan.
Perhatikan gambar 35. U s T
Dalam lingkaran yang berpusat di O
dan berjari-jari r terdapat segienam s r r s
beraturan PQRSTU dengan panjang
sisi s. P r O r S
Dari gambar jelas bahwa  = o
o
60
6
360
 s r r s
sedangkan  = ooo
60)60180(
2
1
 Q s R
Karena  =  = 60o
, maka  POQ adalah Gambar 35
segitiga sama sisi
Di dalam segienam PQRSTU terdapat 6 buah segitiga yang sama dan sebangun
(kongruen). Salah satu dari segitiga tersebut kita ambil untuk mencari luasnya,
misal  POQ.
2
60sin.
60sin...
2
1
sin...
2
1
2 o
o
r
POQLuas
rrPOQLuas
OQOPPOQLuas


 
Sehingga luas segienam PQRSTU = 6  luas  POQ = 6 
2
60sin..6
2
60sin. 22 oo
rr

Atau dengan menggunakan rumus luas segitiga no. 5, 6, atau 7 kita peroleh :
o
o
oo
oo
s
POQLuas
s
POQLuas
PQ
POQLuas
120sin.2
60sin.
)6060sin(.2
60sin.60sin
)sin(.2
sin.sin.
22
2
2








Jadi luas segienam beraturan yang diketahui panjang jari-jari lingkaran
luarnya r adalah
2
60sin..6 2 o
r

Oleh : Padiya,S.Pd.
33
Luas segienam PQRSTU = 6  luas  POQ = 6  o
o
o
o
ss
120sin.2
60sin..6
120sin.2
60sin. 2222

Contoh :
1. Hitunglah luas segiena beraturan, jika diketahui panjang jari-jari lingkaran
luarnya r = 8 cm !.
Penyelesaian :
Luas segienam beraturan yang diketahui panjang jari-jari lingkaran luarnya r = 8 cm
adalah 27,166
2
54,332
2
8660,0646
2
60sin.86
2
60sin..6 22





oo
r
cm2
2. Hitunglah luas segienam beraturan yang mempunyai panjang sisi s = 8 cm !.
Penyelesaian :
Luas segienam beraturan yang mempunyai panjang sisi s = 8 cm adalah
2
22222
27,166
2
54,332
8660,02
)8660,0(646
120sin.2
60sin.86
120sin.2
60sin..6
cm
s
o
o
o
o






iv. Luas segi-n beraturan.
Perhatikan kembali rumus luas segilima dan segienam beraturan berikut ini :
2
5
360
sin..5
2
54sin5
lim
2
2 






o
o
r
r
beraturanasegiLuas
2
6
360
sin..6
2
60sin..6
2
2 






o
o
r
r
beraturansegienamLuas
Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan rumus
luas segi-n beraturan sebagai berikut :
2
360
sin.. 2
n
rn
beraturannsegieLuas
o

Kemudian kita perhatikan juga rumus luas segilima dan segienam beraturan yang
kedua :





 













 

5
180).25(
sin.2
5.2
180).25(
sin..5
108sin2
54sin5
lim
2
2
22
o
O
o
o
s
s
beraturanasegiLuas
Jadi luas segienam beraturan yang panjang sisinya s adalah
o
o
s
120sin.2
60sin..6 22

Oleh : Padiya,S.Pd.
34





 













 

6
180).26(
sin.2
6.2
180).26(
sin..6
120sin.2
60sin..6
2
2
22
o
o
o
o
s
s
beraturansegienamLuas
Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan luas segi-
n beraturan sebagai berikut :





 













 

n
n
n
n
sn
beraturannsegiLuas o
o
180).2(
sin.2
.2
180).2(
sin..
2
2
Catatan : n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 2 (n  2), r adalah jari-jari
lingkaran luar segi-n beraturan tersebut dan s adalah panjang sisi segi-n beraturan
tersebut.
Contoh :
1. Hitunglah luas segi-7 beraturan yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran
yang berjari-jari r = 10 cm !
Penyelesaian :
Luas segi-7 beraturan yang berjari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm adalah
2
2
2
63,273
2
26,574
2
7818,0700
2
43,51sin.107
2
7
360
sin..7
cm
r o
o











2. Hitunglah luas segi-9 beraturan yang panjang sisinya s = 30 cm !
Penyelesaian :
Luas segi-9 beraturan yang panjang sisinya s = 30 cm adalah
2
22
22
2
2
2
39,5563
2856,1
2,7152
2856,1
8830,08100
6428,02
)9392,0(8100
140sin.2
)70.(sin8100
9
1807
sin.2
18
1807
sin.9009
9
180).29(
sin.2
92
180).29(
sin.309
180).2(
sin.2
.2
180).2(
sin..
cm
n
n
n
n
sn
o
o
o
o
o
o
o
o











 













 







 























 













 

Oleh : Padiya,S.Pd.
35
DAFTAR PUSTAKA
1. Matematika SMA Jilid 7, Depdikbud 1981
2. Matematika SMA Jilid 9, Depdikbud 1980
3. Matematika SMA 1, Wilson Simangunsong, Sukino, Drs. I Nyoman Susila, MSc,
Erlangga, 1991
4. Matematika SMA 1, Sartono Wirodikromo, Dedi D Windyagiri, Erlangga, 1993
5. Matematika SMA 1, Suah Sembiring, Ganeca Exact Bandung , 1988
6. Ilmu Konamatra, Dr. WK Baart, Prof. Dr. Meulenbeld, Buku Teknik, Jakarta,
1952
7. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri C, Fatah Ashari, dkk, Epsilon
Group Bandung, 1991.
8. Trigonometri, CJ. Alders,
9. Ensiklopedi Matematika, ST Negoro, B. Harahap, Ghalia Indonesia, 1982

16309407 rumus-rumus-segitiga

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 16309407 rumus-rumus-segitiga

Similar to 16309407 rumus-rumus-segitiga (20)

More from ronald valther

More from ronald valther (6)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

16309407 rumus-rumus-segitiga