Dokumen tersebut membahas tentang aturan sinus dan kosinus pada segitiga. Aturan-aturan tersebut dapat digunakan untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut pada segitiga yang belum diketahui, dengan ketentuan unsur-unsur lainnya pada segitiga tersebut telah diketahui. Contoh soal dan penyelesaiannya juga disajikan untuk membantu pemahaman materi tersebut.

2. KOMPETENSI DASAR
3.9 Menjelaskan aturan Sinus dan Cosinus
4.9 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan sinus dan Cosinus

3. INDIKATOR
 Menunjukkan aturan sinus
 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan aturan sinus

4. TUJUAN
PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini diharapkan
siswa mampu :
Menunjukkan konsep aturan Sinus
Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan aturan Sinus

5. MENU UTAMA
PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)
ATURAN SINUS
ATURAN KOSINUS
LUAS
SEGITIGA
SELESAI

6. PERHATIKAN GAMBAR
BERIKUT

7. Ayo Mengamati Masalah

8. ATURAN SINUS
Perhatikan segitiga
ABC di samping.
B C
A
Pada segitiga ABC
tersebut buatlah garis
tinggi AD.
D
Pada segitiga ABC
tersebut sisi AB = c, sisi
AC = b dan sisi BC = a.
a
bc
BUKTI :
SinC
c
SinB
b
SinA
a
==Pada segitiga ABC berlaku

9. Perhatikan segitiga ADB
dan segitiga ADC siku-siku
di D di samping.
B C
A
Pada segitiga ADB tersebut
berlaku perbandingan trigo-
nometri sebagai berikut :
D
c
a
b
⇒AD = AB.sin B
⇒ AD= c.sin B (1)
Pada segitiga ADC siku-siku
di D ⇒AD = AC.sin C
⇒AD = b.sin C (2)
AB
AD
SinB =
AC
AD
SinC =
berlaku

10. Dari (1) AD = c.SinB dan (2) AD = b.SinC
diperoleh hubungan sebagai berikut:
c.sin B = b.sin C
)3(
SinC
c
SinB
b
=

11. Perhatikan segitiga AEC dan
segitiga BEC siku-siku di E di
samping.
A B
C Pada segitiga AEC berlaku
perbandingan trigonometri
sebagai berikut :
c
a
b
⇒ EC = AC.sin A
⇒ EC= b.sin A (4)
Pada segitiga BEC siku-siku
di E berlaku :
⇒ EC = BC.sin B
⇒ EC = a.sin B (5)
Pada segitiga ABC di atas
buatlah garis tinggi CE.
E
AC
EC
SinA =
BC
EC
SinB =

12. Dari (4) EC = b.SinA dan (5) EC = a.SinB
diperoleh hubungan sebagai berikut:
b.sin A = a.sin B
)6(
SinB
b
SinA
a
=

13. Dari rumus (3) dan (6) di atas
diperoleh hubungan sebagai berikut :
Rumus terakhir dikenal dengan
ATURAN SINUS
)3(
SinC
c
SinB
b
= )6(
SinA
a
SinB
b
=
SinC
c
SinB
b
SinA
a
==

14. CONTOH SOAL
1. Pada segitiga ABC diketahui ∠ A = 30o,
∠ B = 45o
dan sisi a =
6 cm.
Tentukanlah :
a. besar ∠ C. b. panjang b.
Jawab :
• Dalam ∆ ABC berlaku ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180o
, maka
∠ C = 180o
- ∠ A - ∠ B = 180o
– 30o
– 45o
= 105o
Jadi besar ∠ C = 105o
49,8
5,0
7071,0.6
30
45.6
4530
6
===
=⇒=
o
o
oo
Sin
Sin
b
Sin
b
SinSinB
b
SinA
ab.
Jadi panjang b = 8,49 cm

15. ATURAN SINUS
SinC
c
SinB
b
SinA
a
berlakuABCsegitigaPada
==

16. APLIKASI ATURAN SINUS
Aturan sinus secara umum dapat diaplikasikan
(digunakan) untuk menentukan unsur-unsur
pada sebuah segitiga yang belum diketahui,
apabila unsur-unsur yang lainnya telah
diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam
sebuah segitiga dapat terdiri dari
1) sisi, sudut, sudut disingkat ss, sd, sd
2) sudut, sisi, sudut disingkat sd, ss, sd
3) sisi, sisi, sudut disingkat ss, ss, sd

17. CONTOH :
1. Pak Udin ingin mengukur panjang
batas-batas kebunnya yang berbentuk
segitiga. Pada titik-titik pojok kebun
ditempatkan tonggak A, B dan C.
Jika jarak tonggak A dan B = 70 m
dan ∠ ABC = 40o
; ∠ BCA = 60o
,
tentukan panjang batas kebun Pak
Udin lainnya yang belum diketahui !

18. Penyelesaian:
Keadaan kebun Pak Udin di atas dapat kita gambarkan
sebagai berikut :
A B
70 m
40o
C
60o
Pada gambar di samping
Diketahui :
Panjang AB = c = 70 m
∠ ABC = ∠ B = 40o
∠ BCA = ∠ C = 60o
(sisi, sudut, sudut)
Yang belum diketahui :
∠ BAC = ∠ A = …..?
Panjang AC = b = ….?
Panjang BC = a = ….?

19. Pada segitiga ABC berlaku : ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180o
∠ A = 180o
- ∠ B - ∠ C
= 180o
– 40o
– 60o
= 80o
*) Menentukan panjang BC = a sebagai berikut :
60,79
8660,0
9848,0.70
60
80.70
.
===
=⇒=
o
o
Sin
Sin
a
SinC
SinAc
a
SinC
c
SinA
a
Jadi panjang BC = a = 79,60 m

20. *) Menentukan panjang AC = b sebagai berikut :
96,51
8660,0
6428,0.70
60
40.70
.
===
=⇒=
o
o
Sin
Sin
b
SinC
SinBc
b
SinC
c
SinB
b
Jadi panjang AC = b = 51,96 m
Dengan demikian panjang batas-batas kebun pak Udin
yang lain adalah panjang BC = 79,60 m dan panjang
AC = 51,96 m

21. 2. Pada pukul 09.00 WIB kapal
KAMBUNA berlayar dari Tanjung
Priok dengan arah 060o
dan kecepatan
rata-rata 8 mil/jam. Pada pukul 11.00
WIB kapal itu mengubah haluan
menjadi 085o
dengan kecepatan tetap.
Berapakah jarak kapal KAMBUNA
dari Tanjung Priok pada pukul 13.00
WIB dan bagaimana arahnya ?

22. Penyelesaian :
Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :
U
T
S
B
60O
P
85O
U
T
S
B Q
R
Tanjung Priok pukul 09.00 WIB
pukul 11.00 WIB
pukul 13.00 WIB
Pada gambar di atas ∠ PQS = ∠ UPQ = 60o
(sudut berseberangan)
∠ TQR = ∠ UQT - ∠ UQR = 90o
- 85o
= 5o
∠ PQR = ∠ PQS + ∠ SQT + ∠ TQR = 60o
+ 90o
+ 5o
= 155o
Panjang PR = ….?
∠ UPR = ….?
Kec = 8 mil/jam
Kec = 8 mil/jam

23. Karena kecepatan kapal tetap yaitu 8 mil/jam, dan lama
perjalanan dari P ke Q sama dengan dari Q ke R yaitu
2 jam , maka : PQ = QR = 2 jam x 8 mil/jam = 16 mil
Dengan demikian segitiga PQR adalah segitiga sama
kaki, sehingga ∠ QPR = ∠ QRP = ½ (180o
- ∠ PQR)
= ½ (180o
- 155o
) = ½ (25o
) = 12,5o
25,32
2164,0
4226,0.16
5,12
155.16
.
===
=⇒=
o
o
Sin
Sin
PR
SinP
SinQQR
PR
SinP
QR
SinQ
PR
Jadi jarak kapal KAMBUNA dari pelabuhan Tanjung Priok
pada pukul 13.00 WIB adalah 32,25 mil dengan arah 072,5o
(yaitu ∠ UPR = ∠ UPQ + ∠ QPR = 60o
+ 12,5o
= 72,5o
)
Pada segitiga PQR berlaku :

24. APAKAH ANDA
SUDAH MENGERTI
????
PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)
SUDAH =
BELUM =

25. ATURAN KOSINUS
Pada setiap segitiga
ABC berlaku :
a2
= b2
+ c2
– 2.b.c.Cos A
b2
= a2
+ c2
– 2.a.c.Cos B
c2
= a2
+ b2
– 2.a.b.Cos C
ac
cba
CosC
ac
bca
CosB
bc
acb
CosA
2
2
2
222
222
222
−+
=
−+
=
−+
=

26. A(0,0) B(c,0)c
C(b.cos A, b.sinA)
b
a
X
Y C
BA
Perhatikan segitiga ABC di
samping.
Jika segitiga tersebut kita
letakkan pada bidang koor-
dinat kartesius dengan titik
A berimpit pada titik asal
O(0,0) dan sisi AB berimpit
dengan sumbu X.
Titik A(0,0) ,
Titik B(c,0)
Titik C(b.cos A, b.sinA)
Maka diperoleh koordinat-
koordinat titik sudut segi-
tiga itu sebagai berikut.
BUKTI :
O

27. A(0,0) B(c,0)c
C(b.cos A, b.sinA)
b
a
X
Y C
BA
BC2
= (b.cosA – c)2
+ (b.sinA-0)2
a2
= b2
.cos2
A – 2.b.c.cos A + c2
+
b2
.sin2
A
a2
= b2
+ c2
– 2.b.c.cos A
Kita cari panjang BC dengan
menggunakan rumus jarak :
a2
= b2
( cos2
A + sin2
A ) + c2
-
2.b.c.cosA
karena cos2
A + sin2
A = 1, maka
O
bc
acb
CosAatau
2
222
−+
=

28. Dengan cara yang sama, jika kita letakkan sudut B pada titik asal
O(0,0) dan sisi BC berimpit dengan sumbu X, maka akan kita
peroleh :
Demikian juga , jika kita letakkan sudut C pada titik asal O(0,0)
dan sisi CA berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh :
Rumus-rumus di atas dinamakan ATURAN KOSINUS
ac
bca
Batau
CosBaccab
2
cos
.2
222
222
−+
=
−+=
ab
cba
Catau
CosCabbac
2
cos
.2
222
222
−+
=
−+=

29. CONTOH SOAL
Jawab :
a 2
= b2
+ c2
– 2.b.c.cos A
a2
= 52
+ 62
– 2.5.6.cos 60o
= 25 + 36 – 60. ½
= 61 – 30
= 31
a = √ 31. Jadi panjang a = √31 cm.
Pada segitiga ABC diketahui ∠A = 60o
, b = 5 cm dan c
= 6 cm. Tentukan panjang a !.

30. ATURAN COSINUS
CosCabbac
CosBaccab
CosAbccba
berlakuABCsegitigaPada
.2
.2
.2
222
222
222
−+=
−+=
−+=

31. APLIKASI
ATURAN COSINUS
Aturan cosinus secara umum dapat
diaplikasikan (digunakan) untuk
menentukan
1. Panjang sisi pada sebuah segitiga yang
belum diketahui, apabila dua sisi lainnya
dan besar sudut yang diapit oleh kedua
sisi itu diketahui (ss,sd,ss)
2. Besar sudut-sudut sebuah segitiga jika
panjang ketiga buah sisinya telah
diketahui (ss,ss,ss)

32. CONTOH :
1. Sebuah bola bilyard bergerak
dengan arah 060o
sejauh 40 cm,
kemudian memantul dan bergerak
dengan arah 280o
sejauh 35 cm.
Tentukan jarak dan arah posisi akhir
bola bilyard dari posisi awal. !

33. Penyelesaian :
Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :
K
U
S
B T
60O
L
U
T
S
B
280O
M
40 cm
35 cm
Pada gambar disamping
∠ KLS = ∠ UKL = 60o
∠ KLB = ∠ BLS - ∠ KLS
= 90o
– 60o
= 30o
∠ BLM = 10o
∠ KLM = ∠ KLB + ∠ BLM
= 30o
+ 10o
= 40o
Dengan demikian pada segi-
tiga KLM diketahui :
Panjang KL = m = 40 cm
∠ KLM = ∠ L = 40o
Panjang LM = k = 35 cm
(ss, sd, ss)
Posisi awal bola bilyard
Posisi akhir bola bilyard
Panjang KM = l =….?
∠ UKM = ….?

34. Menentukan panjang KM = l adalah sebagai berikut :
08,262,680
2,680
8,21442825
7660,0.280016001225
40.40.35.24035
.2
2
2
2
222
222
==
=
−=
−+=
−+=
−+=
l
l
l
l
Cosl
CosLkmmkl
o
Jadi jarak posisi akhir bola bilyard dari posisi awal
adalah = panjang KM = l = 26,08 cm

35. Menentukan arah bola bilyard pada posisi akhir dari
Posisi awal, sebagai berikut :
∠ UKM = ∠ UKT - ∠ MKL - ∠ LKT
o
MKL
CosMKL
MKLCos
MKLCos
KMKL
LMKMKL
MKLCos
62,59
5057,0
4,2086
17,1055
4,2086
122517,6801600
08,26.40.2
3508,2640
..2
222
222
=∠⇒
==⇒
−+
=∠⇒
−+
=∠⇒
−+
=∠

36. Dengan demikian ∠ UKM = ∠UKT - ∠ LKT - ∠ MKL
= 90o
-30o-
59,62o
=0,38o
Jadi dengan demikian jarak bola bilyard pada posisi
akhir dari posisi awal adalah = panjang KM = 26,08 cm
dengan arah 0,38o

37. APAKAH ANDA
SUDAH
MENGERTI ????
PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)
SUDAH =
BELUM =

38. LUAS SEGITIGA
A B
C
a
b
c
Luas segitiga ABC disam-
ping adalah :
L = ½ a.b.sin C
atau L = ½ a.c.sin B
L = ½ b.c.sin Aatau

39. A B
C
ab
c
Pada segitiga ABC di
atas kita buat garis
tinggi CD.
D
Luas segitiga ABC di samping
adalah :
L = ½ x AB x CD (1)
Pada segitiga ADC, siku-
siku di D berlaku :
⇒CD = AC.sin A (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
hubungan sebagai berikut :
L = ½ x AB x CD
L = ½ x AB x AC.sin A
L = ½ .c.b.sinA
L = ½ .b.c.sin A
BUKTI :
AC
CD
SinA =

40. A B
C
ab
c
Pada segitiga ABC di atas
kita buat garis tinggi CD.
D
Luas segitiga ABC di samping
adalah :
L = ½ x AB x CD (3)
Pada segitiga BDC, siku-
siku di D berlaku :
⇒CD = BC.sin B (4)
Dari (3) dan (4) diperoleh
hubungan sebagai berikut :
L = ½ x AB x CD
L = ½ x AB x BC.sin B
L = ½ .c.a.sinB
L = ½ .a.c.sin B
BC
CD
SinB =

41. A C
B
ac
b
Pada segitiga ABC di atas
kita buat garis tinggi BE.
E
Luas segitiga ABC di samping
adalah :
L = ½ x AC x BE (5)
Pada segitiga BEC, siku-
siku di E berlaku :
⇒BE = BC.sin C (6)
Dari (5) dan (6) diperoleh
hubungan sebagai berikut :
L = ½ x AC x BE
L = ½ x AC x BC.sinC
L = ½ .b.a.sin C
L = ½ .a.b.sin C
BC
BE
SinC =

42. CONTOH SOAL
1. Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui a = 4 cm, b =
6 cm dan ∠ C = 30o
Jawab :
L = ½ a.b.sin C = ½ .4.6.sin 30o
= 12. ½ = 6
Jadi luas segitiga ABC tersebut adalah 6 cm2
2. Luas segitiga ABC adalah 24√3 cm2
. Panjang sisi a = 8
cm dan panjang sisi c = 12 cm. Tentukan besar ∠ B (dua
kemungkinan)!.
o
BatauBmaka
SinB
SinB
ca
L
SinBSinBacL
12060
3
2
1
3
2
1
48
324
12.8.
2
1
324
.
2
1
.
2
1
0
==
=
===
=⇒=
Jawab :

43. RUMUS LUAS SEGITIGA
SinAcbLuas
atauSinBcaLuas
atauSinCbaLuas
berlakuABCsegitigaPada
..
2
1
..
2
1
..
2
1
=
=
=

44. APLIKASI
RUMUS LUAS SEGITIGA
Rumus luas segitiga dapat digunakan
untuk menghitung luas segiempat,
segilima, segienam dan segi banyak
lainnya. Dengan kata lain rumus luas
segitiga dapat digunakan untuk
menghitung atau menentukan luas
segi-n dengan n ≥ 3

45. Contoh 1 :
A B
CD
Pada jajargenjang ABCD di atas diketahui :
AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan ∠ BAD = 60o
.
Hitunglah luas daerah jajargenjang ABCD
tersebut.
8 cm
6 cm
60o

46. Penyelesaian
A B
CD
8 cm
6 cm
60o
60o
Pada jajargenjang tersebut kita bagi menjadi dua buah
segitiga yaitu , segitiga ABD dan segitiga BDC
yang kongruen (sama dan sebangun)

47. Luas segitiga ABD adalah
L = ½ AB. BD. Sin ∠ BAD
L = ½ 8.6.Sin 60o
L = ½ 48. 0,8660
L = 20,784
Jadi luas segitiga ABD = 20,874 cm2
Karena segitiga BDC kongruen dengan segitiga ABD,
Maka luas ∆ BDC = luas ∆ ABD = 20, 874 cm2
Dengan demikian luas jajargenjang ABCD adalah
sama dengan luas segitiga ABD ditambah luas
segitiga BDC = 20,784 cm2
+ 20.784 cm2
= 41,564
cm2

48. Contoh 2 :
P
Q
R
ST
U
O
8 cm 8 cm
Pada gambar di samping
segienam PQRSTU berada
dalam sebuah lingkaran
yang berjari-jari 8 cm dan
berpusat di O
Hitunglah :
a. Luas ∆ OPQ
b. Luas segienam PQRSTU

49. Penyelesaian :
P
Q
R
ST
U
O
8 cm 8 cm8 cm 8 cm
O
Karena PQRSTU merupakan
segienam beraturan, maka
∠POQ = 360o
/6 = 60o
dan
OP = OQ = 8 cm.
a. Luas ∆ POQ = ½xOPxOQx
sin ∠ POQ
= ½ x 8 x 8 x Sin 60o
= 32 x 0,8660
= 27,712 cm2
Pada segienam PQRSTU kita
buat enam buah segitiga,yaitu :
∆ POQ, ∆ QOR, ∆ ROS ,
∆ SOT, ∆ TOU, dan ∆ UOP
yang kongruen

50. b. Segienam PQRSTU terbentuk dari enam segitiga
yang masing-masing kongruen dengan ∆ POQ
Jadi luas segienam PQRSTU
= 6 x luas ∆ POQ
= 6 x 27,712 cm2
= 166,272 cm2

51. APAKAH ANDA
SUDAH
MENGERTI ????
PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)
SUDAH =
BELUM =

52. SEMOGA BERHASIL
ANDA S UDAH SELESAI
MEMPELAJARI
RUMUS-RUMUS SEGITIGA
DALAM TRIGONOMETRI
SELAMAT