1. Homomorfisma gelanggang surjektif dari suatu gelanggang ke gelanggang lain akan mengirimkan unsur satuan ke unsur satuan kecuali jika unsur tersebut berada di inti homomorfisma. 2. Homomorfisma surjektif antara lapangan dan gelanggang selalu merupakan isomorfisma. 3. Bayangan homomorfik dari gelanggang prinsipal ideal selalu merupakan gelanggang prinsipal ideal.

1. 1. Andaikan φ : R → S adalah suatu homomorfisma gelanggang yang sur-
jektif dari suatu gelanggang R dengan unsur kesatuan ke gelanggang S.
Misalkan u adalah suatu unsur satuan di R. Perlihatkanlah bahwa (u)φ
adalah suatu unsur satuan jika dan hanya jika u tidak berada di Inti(φ).
Jawab :
Karena φ : R → S adalah suatu homomorfisma gelanggang yang srjektif,
maka untuk setiap s ∈ S terdapat r ∈ R sehingga S = (r)φ. Diberikan
u ∈ R adalah unsur satuan, artinya untuk u = 0 terdapat u−1
∈ R
sehingga u · u−1
= u−1
· u = 1 ∈ R.
⇒ Jika (u)φ adalah unsur satuan di R maka u tidak berada di Inti(φ).
Yakni karena u ∈ R maka u−1
∈ R sehingga
(u · u−1
)φ = (u)φ · (u−1
)φ = (1)φ
karena 1 ∈ R tidak berada di Inti(φ), maka (1)φ = 0. Hal ini
berakibat u tidak berada di Inti(φ).
⇐ Jika u tidak berada di Inti(φ) maka (u)φ adalah unsur satuan di
R. Karena u /∈ Inti(φ) mengakibatkan (u)φ = 0 sehingga (u)φ = 1
dan u merupakan unsur satuan di R.
2. Perlihatkanlah suatu homomorfisma surjektif dari suatu lapangan ke su-
atu gelanggang yang memiliki lebih dari satu unsur adalah suatu isomor-
fisma.
Jawab :
Andaikan φ : F → R adalah suatu pemetaan homomorfisma surjektif
dari suatu lapangan ke suatu gelanggang, untuk membuktikan φ adalah
suatu isomorfisma maka ditunjukkan bahwa φ memenuhi pemetaan in-
jektif. Yaitu untuk setiap r ∈ F memiliki unsur kebalikan r−1
∈ R
1

2. sehingga
(r)φ = (r−1
)φ
r−1
= (r−1
)−1
r−1
= r
sehingga φ merupakan pemetaan injektif. Sehingga karena φ homomor-
fisma srjektif dan injektif maka φ adalah suatu isomorfisma.
3. Perlihatkanlah bahwa bayangan homomorfik dari suatu gelanggang prin-
sipal ideal adalah gelanggang prinsipal ideal.
4. Andaikan R dan S adalah gelanggang.
a. Perlihatkan bahwa pemetaan surjektif φ dari R x S ke R yang
diberikan oleh (a, b)φ = a adalah suatu homomorfisma gelanggang.
b. Perlihatkan bahwa pemetaan φ dari R ke R x S yang didefinisikan
oleh (a)φ = (a, 0) adalah homomorfisma gelanggang dan injektif.
c. Perlihatkanlah bahwa R x S ∼= S x R.
Jawab :
a. Untuk memperlihatkan pemetaan surjektif φ dari R x S ke R yang
diberikan oleh (a, b)φ = a adalah suatu homomorfisma gelanggang
jika φ mempertahankan operasi pada gelaggang, yakni untuk setiap
(a1, b1), (a2, b2) ∈ R x S dan a1, a2 ∈ R dipenuhi
((a1, b1) + (a2, b2)) φ = (a1 + a2)
= (a1, b1)φ + (a2, b2)φ
selanjutnya,
((a1, b1) · (a2, b2)) φ = a1 · a2
= (a1, b1)φ · (a2, b2)φ
karena φ dari R x S ke R memenuhi operasi homomorfisma, maka
pemetaan surjektif φ adalah suatu homomorfisma gelangang.
2

3. b. Untuk memperihatkan φ adalah homomorfisma gelanggang, maka
akan ditunjukkan untuk setiap a, b ∈ R dan (a, 0), (b, 0) ∈ R x S
memenuhi
(a + b)φ = (a, 0) + (b, 0)
= (a)φ + (b)φ
selanjutnya,
(a · b)φ = (a, 0) · (b, 0)
= (a)φ · (b)φ
maka φ adalah homomorfisma gelanggang, selanjutnya untuk mem-
perlihatkan bahwa pemetaan φ adalah injektif. Maka, bila
(a)φ = (b)φ, maka
(a, 0) = (b, 0), hal ini berakibat a = b
diperoleh bahwa φ adalah pemetaan injektif.
c. Kita akan mendefinisikan suatu pemetaan φ : R x S → S x R
demikian sehingga φ adaah suatu isomorfisma. Pemetaan φ dapat
didefinisikan sebagai (a, b)φ = (b, a) untuk a ∈ R dan b ∈ S. Selan-
jutnya akan ditunjukkan φ adalah suatu homomorfisma gelanggang
dan bijektif.
Untuk setiap (a1, b1), (a2, b2) ∈ R x S dan (b1, a1), (b2, a2) ∈ S x R
memenuhi
((a1, b1) + (a2, b2)) φ = (b1, a1) + (b2, a2)
= (a1, b1)φ + (a2, b2)φ
dan untuk
((a1, b1) · (a2, b2)) φ = (b1, a1) · (b2, a2)
= (a1, b1)φ · (a2, b2)φ
dan φ adalah pemetaan yang surjektif jika φ memiliki banyangan
di R x S. Yaitu untuk setiap (b, a) ∈ S x R terdapat (a, b) ∈ R x
S sehingga (b, a)φ = (b, a). Dan φ adalah homomorfisma surjektif.
Selanjutnya, bila (a1, b1)φ = (a2, b2)φ, maka
(b1, a1) = (b2, a2).
3

4. Hal ini berakibat (a1, b1) = (a2, b2) dan φ adalah pemetaan injektif.
Karena φ adalah homomorfisma surjektif dan injektif, φ adalah su-
atu isomorfisma dan R x S ∼= S x R.
5. Andaikan n adalah bilangan bulat yang membagi m. Misalkan a ∈ Zn
adalah suatu unsur idempotent, yakni a2
= a. Perlihatkan pemetaan
φ : Zm → Znyang didefinisikan oleh (x)φ = ax adalah suatu homomor-
fisma gelanggang.
Jawab :
Untuk sebarang unsur x, y ∈ Zm memenuhi
(x + y)φ = a(x + y)
= ax + ay
= (x)φ + (y)φ
Selanjtnya,
(x · y)φ = a(x · y) = a2
(xy)
= ax · ay
= (x)φ · (y)φ
Karena φ dapat mempertahankan operasi gelanggng maka φ adalah su-
atu homomorfisma gelanggang.
4