Dokumen tersebut membahas tentang homomorfisma ring, yaitu pemetaan antara dua buah ring dimana pemetaan tersebut melestarikan operasi penjumlahan dan perkalian pada kedua ring. Dokumen tersebut mendefinisikan homomorfisma ring, monomorfisma ring, epimorfisma ring, isomorfisma ring, endomorfisma, dan automorfisma ring. Selain itu juga membahas kernel dari suatu homomorfisma ring.
2. Definisi 8.2 :
Suatu pemetaan f dari Ring (R,+,.) ke Ring (R’,⊕, ⊗) disebut
suatu Homomorfisma Ring bila Ɐ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku :
1. f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)
2. f(a . b) = f(a) ⊗ f(b)
Dalam suatu Ring telah kita ketahui operasi biner yang ada pada umumnya adalah
operasi penjumlahan dan operasi perkalian, sehingga biar tidak menimbulkan
keraguan maka definisi tersebut dapat kita tuliskan sebagi berikut :
3. Definisi 8.3 :
Suatu pemetaan f dari Ring R ke Ring R’ disebut suatu Homomorfisma Ring bila Ɐ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
berlaku :
1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b)
Ada beberapa definisi khusus mengenai Homomorfisma Ring adalah sebagai berikut :
Definisi 8.4 :
a. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1 – 1) disebut dengan Monomorfisma Ring.
b. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat surjektif (pada) disebut dengan Epimorfisma Ring.
c. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat bijektif, yaitu bersifat injektif (1 – 1) dan surjektif
(pada),disebut dengan Isomorfisma Ring.
4. Definisi 8.5 :
Suatu Homomorfisma dari suatu Ring ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu
Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma.
Contoh 8.2 :
Tunjukkan apakah f : Z → R dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma Ring.
Penyelesaian :
Akan kita buktikan bahwa Ɐ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku :
1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b)
Sehingga :
1. f(a + b) = f(a) + f(b), Ɐ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
(a + b) = (a) + (b)
a + a = a + b
2. f(a . b) = f(a) . f(b), Ɐ a, b ∈ R
(a . b) = (a) . (b)
a . b= a . b
Dikarenakan untuk f (a + b) = f (a) + f (b) dan f (a . b) = f (a) . f (b) maka f : Z → R untuk f(a) = a
adalah merupakan suatu Homomorfisma Ring.
5. Contoh 8.3 :
Tunjukan apakah f : Z → R dengan f(a) = 2a adalah suatu Homomorfisma Ring.
Penyelesaian :
Akan kita buktikan bahwa Ɐ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku :
1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b)
Sehingga :
1. f(a + b) = f(a) + f(b), Ɐ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
2(a + b) = 2a + 2b
2(a + b) = 2(a + b)
a + b = a + b
2. f(a . x) = f(a) . f(b), Ɐ 𝑎, 𝑥 ∈ 𝑅
2ab = 2a . 2b
2ab ≠ 4ab
Dikarenakan untuk f(a . b) ≠ f(a) . f(b) maka f : Z → R untuk f(a) = 2a bukan merupakan Homomorfisma Ring.
6. Teorema 8.1 :
Misalkan R adalah suatu Ring dan R’ juga merupakan suatu Ring. Bila pemetaan f : R → R’
adalah suatu Homomorfisma Ring, maka :
1. f (0) = 0’, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0’ merupakan unsur nol di R’
2. f (-a) = -f (a), Ɐ a ∈ R
Bukti :
1. f(0) = 0’, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0' merupakan unsur nol di R’ Ambil
sembarang nilai a ∈ R
0 merupakan unsur nol di R. yang berarti a + 0 = 0 + a = a
Sehingga :
f(a) = f(a + 0) = f(a) +f(0)
dan
f(a) = f(0+ a) = f(0) + f(a)
maka
f(a) = f(a) +f(0) = f(0) + f(a)
Ini berarti bahwa f(0) merupakan unsur nol di R’. Karena unsur nol di R' adalah 0' maka
dengan sifat ketunggalan unsur nol didapat f (0) = 0’.
7. 2. f(-a) - (a), Ɐ a ∈ R
Ambil sembarang nilai a ∈ R
Karena ada a ∈ R, maka ada –a ∈ R
yang berarti a +(-a) = (-a) + a = 0
sehingga:
f(0) = f(a+ (-a)) = f(a) + (-a)
dan
f(0) = f((-a)+a) = f(-a) + f(a)
maka:
f(0) = f(a) + f(-a) = f (-a) + (a)
Dari pembuktian f(0) = 0’ didapat :
f(a) + f(-a) = f(-a) + f(a) = f(0) = 0’
Dengan sifat ketunggalan dari unsur balikan atau invers, maka f(-a) = -f(a).
Definisi 8.6 :
Kernel (Inti) dari suatu Homomorfisma Ring f adalah {a ∈ R | f(a) = 0’}, biasa ditulis
K = {a ∈ 𝑅 | f(a) = 0}.
Pada subpokok bahasan berikut akan dibicarakan mengenai teorema yang cukup penting
dalam Hamomortisma Ring, yaitu teorema dasar Isomomorfisma.
