Relasi dan Fungsi

1. R ELASI

2. Misalkan A dan B suatu himpunan. Jika
anggota A dikaitkan dengan anggota B
berdasarkan suatu hubungan tertentu
maka diperoleh suatu relasi dari A ke B.
Ditulis R : A→B.
Misalnya
Lebih dari
Setengah dari
Faktor dari
Kurang dari
dll

3. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = {
1, 2, 3 } . Jika himpunan A ke
himpunan B dinyatakan relasi “
kurang dari “ , maka lebih jelasnya
dapat ditunjukkan pada gambar di
bawah :
1 .
2 .
3 .
4 .
.1
.2
.3
BA
Kurang dari
Diagram disamping
dinamakan diagram panah .
Arah relasi ditunjukkan
dengan anak panah dan nama
relasinya adalah
“ kurang dari “

4. Relasi antara dua himpunan
dapat dinyatakan dengan 3 cara
.
DIAGRAM PANAH DIAGRAM
CARTESIUS
HIMPUNAN
PASANGAN
BERURUTAN

5. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4,
6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang
menyatakan relasi dari P dan Q dengan
hubungan “Faktor Dari” .
. 2
. 4
. 6
. 8
1 .
2 .
3 .
4 .
QP
Faktor dari
Jawab:

6. Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan B = { 1, 2, 3,
… , 10 } .Tentukan himpunan pasangan
berurutan yang menyatakan relasi A ke B
dengan hubungan : kuadrat dari.
R={ (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5
Jawab:

7. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3,
…, 10 }.
Gambarlah diagram cartesius yang
menyatakan relasi A ke B dengan hubungan
: Satu lebihnya dari .
1
1 2 3 4 5 6 7 98 100
2
3
4
5
6
7
8
9
10
HimpunanB
Himpunan A
Jawab:

8. Daerah asal atau biasa
disebut dengan domain
suatu relasi adalah
himpunan tidak kosong
dimana sebuah relasi
didefinisikan.
Daerah kawan atau biasa
disebut dengan kodomain
suatu relasi adalah
himpunan tidak kosong
dimana anggota domain
memiliki pasangan sesuai
relasi
yang didefinisikan.
Daerah hasil atau biasa
disebut dengan range
suatu relasi adalah
sebuah
himpunan bagian dari
daerah kawan (kodomain)
yang anggotanya adalah
pasangan anggota
domain yang memenuhi
relasi yang didefinisikan.

9. 1. Sifat
ReflektifMisalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi
R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap p ∈ P berlaku (p, p)
∈ R.
Contoh: Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi
R pada himpunan P
dengan hasil relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2),
(2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}.
Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap
anggota himpunan P berpasangan
atau berelasi dengan dirinya sendiri.

10. Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan
bersifat simetris, apabila untuk setiap (x, y) ∈ R berlaku (y, x) ∈ R.
2. Sifat
Simetris
Contoh : Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan
relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2),
(1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut
bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) ∈ R,
berlaku (y,x) ∈ R.

11. 3. Sifat
TransitifMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R
bersifat transitif, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R
maka berlaku (x,z) ∈ R.
Contoh:
Diberikan himpuan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi
pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan
R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut
bersifat transitif sebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka
berlaku (x,z) ∈ R.

12. 4. Sifat
AntisimetrisMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R
dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R
dan (y,x) ∈ R berlaku x = y.
Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}.
Didefinisikan relasi R pada himpunan C
dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C}
sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5),
(4,2)}. Relasi R tersebut bersifat
antisimetris.
Contoh:

13. 5. Sifat
EkuivalensiMisalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut
relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat
refleksif, simetris, dan transitif.
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan
relasi pada himpunan P dengan R = {(1,1), (1,2),
(2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat
refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena
itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.
Contoh:

14. FUNGSI

15. Sebuah fungsi f : x  y adalah suatu aturan yang
memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan
(daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y
dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil /
range fungsi tersebut .

16. . 1
. 2
. 3
. 4
. 5
0 .
2 .
4 .
6 .
B
A
Daerah kawan/
kodomain
Daerah asal/
Domain
Daerah hasil/
Range

17. Dari contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa :
1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut
daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1,
2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan (
Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah
hasil ( Range ).

18. Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan
huruf kecil f , g , h , dan sebagainya.
Misal :
f : x  y dibaca f memetakkan x ke y ,
maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x
digunakan untuk menunjukkan bahwa y
adalah fungsi dari x .

19. Sama halnya dengan Relasi, suatu
fungsi juga dapat dinyatakan dengan
3 cara. yaitu : Diagram Panah,
Diagram Cartesius, dan Himpunan
Pasangan Berurutan.

20. Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4
}
a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a  1 ,
i  2 , u  1 , e  4 , o  2 .
b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius
c . Nyatakan pula f sebagai himpunan
pasangan berurutan .
. 1
. 2
. 3
. 4
a .
i .
u .
e .
o .
BA
a.
Jawab:
Diagram panah

21. b.
1
a i u e o0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Diagram cartesius

22. { (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
c.
Himpunan pasangan berurutan