Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan hasil kali cartesius antara dua himpunan atau lebih. Definisi relasi adalah pernyataan yang mendefinisikan hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Hasil kali cartesius dari dua himpunan adalah himpunan semua pasangan berurutan dengan elemen pertama dari himpunan pertama dan elemen kedua dari himpunan kedua.
Relasi dan fungsi memberikan konsep penting dalam matematika untuk menghubungkan dua himpunan. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen di himpunan asal dihubungkan dengan tepat satu elemen di himpunan hasil."
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan hasil kali cartesius antara dua himpunan atau lebih. Definisi relasi adalah pernyataan yang mendefinisikan hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Hasil kali cartesius dari dua himpunan adalah himpunan semua pasangan berurutan dengan elemen pertama dari himpunan pertama dan elemen kedua dari himpunan kedua.
Relasi dan fungsi memberikan konsep penting dalam matematika untuk menghubungkan dua himpunan. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen di himpunan asal dihubungkan dengan tepat satu elemen di himpunan hasil."
Dokumen tersebut membahas tentang graf isomorfik dan planar. Graf dikatakan isomorfik jika memiliki hubungan kebersisian yang sama meskipun penggambarannya berbeda. Graf planar adalah graf yang dapat digambar di bidang datar tanpa sisi yang saling memotong.
1. Dokumen tersebut membahas perjalanan pengembangan konsep bilangan sejak zaman prasejarah hingga zaman sejarah, mulai dari bilangan asli, bilangan cacah, hingga bilangan bulat. Bilangan bulat merupakan sistem bilangan yang tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian.
2. Dokumen juga menjelaskan sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat sebagai aksioma, seperti tertut
Dokumen tersebut membahas soal latihan graf planar dan homomorfisme graf K3,3. Pertama, dijelaskan cara menggambar graf planar tanpa persilangan dan menentukan planaritas graf. Kedua, dibahas tentang graf planar terhubung reguler dan rumus untuk menentukan jumlah simpulnya. Ketiga, dijelaskan cara menentukan graf mana yang homomorfik dengan K3,3.
Dokumen tersebut membahas tentang Aljabar Boolean yang merupakan aljabar yang terdiri dari himpunan dengan dua operator biner yaitu infimum dan supremum. Aljabar Boolean memenuhi postulat-postulat Huntington seperti closure, identitas, komutatif, distributif, dan komplemen. Aljabar Boolean dua nilai {0,1} merupakan contoh aljabar Boolean.
Dokumen tersebut membahas tentang penalaran dan logika. Secara singkat, dokumen tersebut menjelaskan bahwa penalaran adalah cara berpikir dengan menggunakan akal budinya, serta membahas tentang proposisi, operator logika, tabel kebenaran, dan hukum-hukum logika.
Dokumen tersebut membahas tentang graf isomorfik dan planar. Graf dikatakan isomorfik jika memiliki hubungan kebersisian yang sama meskipun penggambarannya berbeda. Graf planar adalah graf yang dapat digambar di bidang datar tanpa sisi yang saling memotong.
1. Dokumen tersebut membahas perjalanan pengembangan konsep bilangan sejak zaman prasejarah hingga zaman sejarah, mulai dari bilangan asli, bilangan cacah, hingga bilangan bulat. Bilangan bulat merupakan sistem bilangan yang tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian.
2. Dokumen juga menjelaskan sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat sebagai aksioma, seperti tertut
Dokumen tersebut membahas soal latihan graf planar dan homomorfisme graf K3,3. Pertama, dijelaskan cara menggambar graf planar tanpa persilangan dan menentukan planaritas graf. Kedua, dibahas tentang graf planar terhubung reguler dan rumus untuk menentukan jumlah simpulnya. Ketiga, dijelaskan cara menentukan graf mana yang homomorfik dengan K3,3.
Dokumen tersebut membahas tentang Aljabar Boolean yang merupakan aljabar yang terdiri dari himpunan dengan dua operator biner yaitu infimum dan supremum. Aljabar Boolean memenuhi postulat-postulat Huntington seperti closure, identitas, komutatif, distributif, dan komplemen. Aljabar Boolean dua nilai {0,1} merupakan contoh aljabar Boolean.
Dokumen tersebut membahas tentang penalaran dan logika. Secara singkat, dokumen tersebut menjelaskan bahwa penalaran adalah cara berpikir dengan menggunakan akal budinya, serta membahas tentang proposisi, operator logika, tabel kebenaran, dan hukum-hukum logika.
Bab II membahas pengertian relasi, fungsi, sifat dan jenis-jenis fungsi. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen himpunan asal dipetakan secara tunggal ke himpunan sasaran. Terdapat tiga sifat fungsi yaitu injektif, surjektif dan bijektif. Jenis fungsi meliputi fungsi konstan, identitas, linier, kuadrat dan rasional.
1. Dokumen tersebut membahas tentang konsep fungsi satu variabel, termasuk pengertian bilangan real, operasi hitung, sifat-sifat bilangan real, sistem bilangan real, dan urutan bilangan real.
2. Materi lain yang dibahas adalah ketaksamaan, selang, nilai mutlak, fungsi matematika, domain dan kodomain fungsi, serta cara menggambar grafik fungsi.
3. Diberikan juga contoh soal tentang penyelesaian ketaks
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 04KuliahKita
Dokumen ini membahas tentang relasi, invers relasi, dan kombinasi operasi relasi seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup. Relasi invers dari relasi R adalah relasi R-1 dari himpunan B ke A. Matriks yang merepresentasikan relasi invers didapat dengan melakukan transpose matriks asli. Operasi kombinasi relasi diterapkan untuk relasi biner dengan menggunakan aturan operasi himpunan.
Dokumen tersebut membahas tentang materi relasi dan fungsi pada matematika kelas VIII semester satu. Materi tersebut mencakup pengertian relasi, cara menyatakan relasi, pengertian fungsi, rumusan fungsi, dan contoh soal latihan.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi matematika dan sifat-sifatnya seperti fungsi injektif, surjektif, bijektif, dan fungsi ke dalam (fungsi into). Terdapat contoh soal untuk memahami setiap sifat fungsi beserta penjelasannya.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika. Terdapat penjelasan mengenai pengertian relasi dan fungsi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta jenis-jenis fungsi seperti fungsi konstan, identitas, linear, dan kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika. Relasi adalah hubungan antar unsur-unsur himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap unsur himpunan A dikaitkan dengan tepat satu unsur himpunan B. Dokumen ini menjelaskan berbagai jenis relasi seperti relasi ekivalen, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta sifat-sif
Kelompok ini membahas pengertian relasi dan fungsi. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan yang dapat diungkapkan dengan himpunan pasangan, diagram panah, atau diagram Cartesius. Fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen di domain dipetakan ke satu elemen di kodomain. Fungsi dapat bersifat injektif (satu-satu), surjektif (onto), atau bijektif (korespondensi satu-satu).
Dokumen tersebut membahas tentang produk cartesius, relasi, dan fungsi. Produk cartesius adalah himpunan semua pasangan terurut yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan. Relasi adalah subset dari produk cartesius dua himpunan yang mendefinisikan hubungan antara elemen-elemennya. Ada berbagai jenis relasi seperti relasi refleksif, simetris, transitif. Fungsi adalah relasi khusus antara dua himp
Dokumen tersebut membahas tentang matriks, relasi, dan fungsi. Secara singkat, matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom, relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah pemetaan satu-ke-satu antara dua himpunan.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika. Relasi adalah hubungan antara unsur-unsur dari dua himpunan, yang direpresentasikan sebagai himpunan pasangan terurut. Relasi dapat direpresentasikan menggunakan diagram panah, tabel, matriks, atau graf berarah. Relasi dapat bersifat refleksif, transitive, simetris, atau antisimetris berdasarkan sifat-sifat tertentu.
Bab 5 membahas analisis fungsi dan grafik fungsi. Terdapat beberapa poin penting yaitu:
1) Menjelaskan konsep dasar relasi dan fungsi termasuk domain, kodomain, dan himpunan penyelesaian;
2) Menentukan jenis-jenis relasi seperti relasi refleksif, simetris, transitif, dan ekuivalensi;
3) Mengdefinisikan fungsi sebagai relasi khusus dan menyatakannya dalam bentuk diagram panah, himp
Dokumen tersebut membahas pengertian relasi dan fungsi. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen domain dipetakan secara tunggal ke elemen kodomain. Dokumen juga menjelaskan konsep injektif, surjektif, dan bijektif pada fungsi.
Dokumen tersebut membahas pengertian relasi dan fungsi. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen domain dipetakan secara tunggal ke elemen kodomain. Dokumen juga menjelaskan konsep injektif, surjektif, dan bijektif pada fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi antara dua himpunan. Relasi adalah hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap anggota himpunan asal dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan kawan. Dokumen ini juga menjelaskan cara-cara mendefinisikan relasi dan fungsi melalui diagram panah, diagram cartesius, dan h
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Modul Ajar PAI dan Budi Pekerti Kelas 8 Fase D Kurikulum Merdeka
Matdis 4-relasi-dan-fungsi
1. RELASI
Relasi antara Ayah dan anak, Ibu dengan anak, dll
Dalam aritmatika: Relasi “Lebih besar” atau “Lebih
kecil” digunakan untuk membandingkan dua buah
bilangan yang berbeda
Binary Relation/Relation = relasi antara 2 objek
2. RELASI DALAM HIMPUNAN
Relasi dari himpunan A ke himpunan B, artinya
Memetakan setiap anggota pada himpunan A (x ∈ A)
dengan anggota pada himpunan B
(y ∈ B)
Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga
merupakan himpunan, yaitu himpunan yang berisi
pasangan berurutan yang mengikuti aturan tertentu,
contoh (x,y) ∈ R
Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan
himpunan bagian dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A
× B)
3. NOTASI DALAM RELASI
Relasi antara dua buah objek dinyatakan dengan
himpunan pasangan berurutan
(x,y) ∈ R
contoh: relasi F adalah relasi ayah dengan
anaknya, maka:
F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}
xRy dapat dibaca: x memiliki hubungan R dengan y
4. CONTOH
Himpunan A : himpunan nama orang
A={Via, Andre, Ita}
Himpunan B : himpunan nama makanan
B={es krim, coklat, permen}
Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B
adalah:
5. CONTOH RELASI
A B
via
R permen
Andre coklat
Ita es krim
A : Domain
B : Kodomain
R : Relasi dengan nama “ Makanan Kesukaan “
Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya
adalah A
7. CARA MENYATAKAN RELASI
• Diagram Panah
A R permen
permen
B
via
Andre coklat
coklat
Ita Es krim
es krim
• R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B}
8. CARA MENYATAKAN RELASI
Himpunan pasangan berurutan
R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) ,
(Andre,es krim) , (Ita,es krim)}
Diagram Kartesius
p er m e n
co k la t
es krim
via andre ita
9. CARA MENYATAKAN RELASI
Tabel
Nama Makanan
Via Permen
Via Coklat
Andre Coklat
Andre Es Krim
Ita Es Krim
10. CARA MENYATAKAN RELASI
Matriks
Baris = domain
Kolom = kodomain
permen coklat Es krim
Via 1 1 0
Via 1 1 0
Andre 0 1 1
Andre 0 1 1
Ita 0 0 1 Ita 0 0 1
11. CARA MENYATAKAN RELASI
Graph berarah
hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu
himpunan (bukan antara dua himpuanan).
Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik
(disebut juga simpul atau vertex)
Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).
Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke
simpul b.
Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)
simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)
Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul
a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loop
12. CARA MENYATAKAN RELASI
Contoh graph berarah
Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d,
b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.
13. LATIHAN 1
Z = {1,2,3,4};
R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z}
Nyatakan relasi tersbut dalam bentuk
Himpunan pasangan berurutan
Matrix
Graf
16. TRANSITIF
Sebuah relasi dikatakan bersifat transitif jika:
xRy , yRz => xRz ; x,y, z ∈ A
Contoh:
R = {(a,d),(d,e),(a,e)}
17. SIMETRIK
Sebuah relasi dikatakan bersifat simetris jika:
xRy, berlaku pula yRx untuk (x dan y) ∈ A
Cotoh:
A={a,b,c,d}
R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}
18. ASIMETRIK
Relasi asimetrik adalah kebalikan dari relasi simetrik
Artinya
(a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R
Contohnya
R = {(a,b), (a,c), (c,d)}
19. ANTI SIMETRIK
Relasi R dikatakan antisimetrik jika, untuk setiap x
dan y di dalam A; jika xRy dan yRx maka x=y
20. EQUIVALEN
Sebuah relasi R dikatakan equivalen jika memenuhi
syarat:
Refelksif
Simeteris
Transitif
21. PARTIALLY ORDER SET
(POSET)
Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian (POSET)
jika memenuhi syarat:
Refleksif
Antisimetri
Transitif
22. LATIHAN 2
A={1,2,3,4} Sebutkan sifat untuk relasi < pada
himpunan A !
Apakah relasi berikut asimetris, transitif?
R = {(1,2),(3,4),(2,3)}
Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?
R merupakan relasi pada himpunan Z, yang
dinyatakan oleh aRb jika dan hanya jika a=b atau a=–b
Periksa, apakah relasi tersebut merupakan relasi
ekivalen !
23. OPERASI DALAM RELASI
Operasi himpunan seperti
irisan, gabungan, selisih, dan penjumlahan (beda
setangkup) juga berlaku pada relasi
Jika R1 dan R2 masing-masing merupakan relasi dari
himpuna A ke himpunan B, maka R1 ∩ R2, R1 ∪
R2, R1 – R2, dan R1 ⊕ R2 juga adalah relasi dari A ke
B.
25. OPERASI DALAM BENTUK MARIKS
Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A
dinyatakan oleh matriks
Maka:
26. KOMPOSISI RELASI
Misalkan
R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B
T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.
Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah
relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :
T ο R = {(a, c) a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B
sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }
27. KOMPOSISI RELASI
Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}
Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :
R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}
Relasi dari B ke C didefisikan oleh :
T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
Maka komposisi relasi R dan T adalah
T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}
28. KOMPOSISI RELASI
T ο R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)}
R T
29. FUNGSI
Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi
Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk setiap x
anggota A memiliki tepat satu pasangan, y, anggota
himpunan B
Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan
unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A.
Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.
30. FUNGSI
Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B,
kita dapat menuliskan dalam bentuk :
f:A→B
artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau
transformasi.
31. DOMAIN, KODOMAIN DAN
JELAJAH
f:A→B
A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B
dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.
Misalkan f(a) = b,
maka b dinamakan bayangan (image) dari a,
dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f
dinamakan jelajah (range) dari f.
32. Domain : A = {a,b,c,d}
Kodomain : B = {1,2,3,4,5}
1 adalah image dari a, 2 adalah image dari c
b adalah pre-image dari 3
Range dari fungsi tersebut adalah J = {1,2,3,5}
J B
33. PENULISAN FUNGSI
Himpunan pasangan terurut.
• Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam
bentuk :
f = {(2, 4), (3, 9)}
Formula pengisian nilai (assignment)
• f(x) = x2 + 10,
• f(x) = 5x
35. FUNGSI INJEKTIF
Fungsi satu-satu
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika
untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2
berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata
lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
a 1
b 2
c 3
d 4
5
36. FUNGSI SURJEKTIF
Fungsi kepada
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika
untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling
tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.
Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya
(semua kodomain adalah peta dari domain).
a 1
b 2
c 3
d
37. FUNGSI BIJEKTIF
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan
hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat
tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak
ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B.
Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif
sekaligus fungsi surjektif.
a 1
b 2
c 3
d
4
38. FUNGSI INVERS
Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu
sendiri
f:A B di mana f(a) = b
f –1: B A di mana f –1(b) = a
Catatan: f dan f –1 harus bijective
39. OPERASI FUNGSI
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
Komposisi:
(f o g)(x) = f(g(x))
40. LATIHAN 3
f(x) = x2 + 1
g(x) = x + 6
Tentukan:
(f + g)(x)
(f – g)(x)
(f . g)(x)
(f o g)(x)
Invers dari g(x)