Dokumen tersebut membahas tiga konsep ideal dalam aljabar abstrak, yaitu: 1) Menunjukkan bahwa himpunan N merupakan ideal kiri dan kanan dari gelanggang R. 2) Menunjukkan bahwa annihilator dari himpunan A (Ann(A)) merupakan ideal dari gelanggang R. 3) Menunjukkan bahwa akar radikal dari ideal N (√N) merupakan ideal dari gelanggang R.

1. Nama : Mutia Sari
Nim : 150803023
1. Andaikan R adalah gelanggang komutatif dan misalkan a, b ∈ R. Perli-
hatkanlah bahwa himpunan N = {x ∈ R : ax ∈ bR} dengan bR = {br :
r ∈ R} adalah suatu ideal dari R.
Jawab :
Diberikan R gelanggang komutatif, untuk membuktikan N adalah suatu
ideal, maka ∀a, x ∈ R : ax ∈ bR sehingga N = .
Selanjutnya, untuk sebarang dua unsur a1x, a2, x ∈ N, diperoleh a1x −
a2x = (a1 − a2)x. Karena a1, a2 ∈ R, maka a1 − a2 ∈ R dan untuk
b1, b2, r ∈ R berlaku (b1 − b2)r ∈ bR sehingga a1x − a2x = (a1 − a2)x ∈
bR ∈ N.
Untuk sebarang unsur n, x ∈ R maka nx ∈ R. Sehingga karena R grup
komutatif maka n(ax) = n(xa) = (nx)a ∈ N. Jadi N adalah suatu
ideal kiri dari R. Karena R adalah suatu gelanggang komutatif, maka
N juga merupakan ideal kanan dari R. Jadi, N adalah suatu ideal dari R.
2. Andaikan R adalah suatu gelanggang komutatif dan misalkan A ⊆ R.
Perlihatkanlah bahwa annihilator dari A, yakni
Ann(A) = {r ∈ R : ra = 0 untuk semua a ∈ A}
adalah ideal dari R.
Jawab :
Diberikan R gelanggang komutatif, untuk membuktikan N adalah suatu
ideal, maka untuk mempelihatkan Ann(A) ideal dari R, untuk r ∈ R :
ra = 0 diperlihatkan Ann(A) = . Untuk sebarang dua unsur r1a =
0, r2a = 0 ∈ Ann(A), diperoleh r1a − r2a = (r1 − r2)a = 0 ∈ Ann(A).
Selanjutnya, untuk sebarang unsur x, a ∈ R dan a ∈ A, xr ∈ R. Se-
hingga x(ra) = (xr)a = 0 ∈ Ann(A). Jadi Ann(A) adalah suatu ideal
1

2. kiri dari R. Karena R adalah gelanggang komutatif maka Ann(A) akan
ideal kanan dari R. Diperlihatkan bahwa Ann(A) adalah ideal dari R.
3. Andaikan R adalah gelanggang komutatif dan misalkan N adalah suatu
ideal dari R. Perlihatkanlah bahwa nil radikal dari N, yakni
√
N = {r ∈ R : rn ∈ N untuk suatu bilangan bulat positip n}
adalah suatu ideal dari R.
Jawab :
Untuk menunjukkan bahwa
√
N adalah ideal, maka untuk r ∈ R : rn
∈
N, sehingga
√
N = . Untuk unsur r1, r2 ∈ R maka r1 −r2 ∈ R sehingga
(r1 − r2)n
∈ N untuk n ∈ Z+
.
Kemudian karena N adalah ideal maka untuk x ∈ R dan r ∈ R berlaku
xr = rx ∈ N, maka untuk r ∈ R berlaku xrn
∈ N adalah anggota
√
N.
Dan karena R adalah gelanggang komutatif dan
√
N ideal kiri maka
√
N
juga ideal kanan, sehingga diperlihatkan bahwa
√
N adalah ideal dari R.
2