1. Terdapat tiga teorema utama tentang isomorfisma ring: teorema isomorfisma pertama menyatakan bahwa homomorfisma ring dengan inti nol adalah isomorfisma; teorema kedua menyatakan bahwa faktorisasi ideal adalah ring; teorema ketiga menyatakan bahwa faktorisasi ideal ganda adalah isomorfisma. 2. Ring R adalah lapangan jika dan hanya jika R tidak memiliki ideal sejati.

1. ISOMORFISMA RING
Teorema1 :TeoremaIsomorfismaPertama
Bila adalahsuatuhomomorfismadari Ring pada Ring dengan inti ,
maka
Bukti :
1. Defenisisuatupemetaan sedemikian sehingga adalah suatu isomorfisma.
Karena adalah homomorfisma dari pada , dapat dinyatakan sebagai :
Sehinggapemetaan dapat didefenisikan sebagai . Karena
pendefinisian melibatkan koset domainnya, kita harus memperlihatkan bahwa
didefenisikan dengan baik.Denganperkataan lain dan adalah suatu koset
yang sama, makakitaharusmemperlihatkanbahwa , yakni
.
Ambilsembarang dan dimana dan
Berdasarkandefenisipemetaanmaka dan
Karena adalah homomorfisma maka
Selanjutnya
Andaikan . Akibat 9.1.5 menjamin . Karena adalah inti dari
, diperoleh
adalah homomorfisma
Kanselisasi
Defenisipemetaan
Jadi adalah terdefenisidenganbaik.
2. Selanjutnyakitaperlihatkanbahwa adalah suatuhomomorfismagelanggang
Ambilsembarang dan dimana dan , diperoleh
Defenisi ideal

2. adalah homomorfisma
Defenisi pemetaan
Selanjutnya
Defenisi ideal
adalah homomorfisma
Defenisipemetaan
Jadi adalahsuatuhomomorfismagelanggang.
3. Akan ditunjukkan bersifat surjektif
Ambilsembarang berarti
Karena dan berarti dipetakanke
Pilih
Sehingga adalahhomomorfismasurjektif.
4. Akan ditunjukkan bersifatinjektif
Ambil
Kanselisasi
Berarti
Sehingga adalahpemetaaninjektif.
Karena adalah homomorfisma injektif dan surjektif,
Maka adalah isomorfismadari ke .
Terbukti

3. Teorema2 :TeoremaIsomorfismaKedua
Andaikan suatugelanggang.Bila dan masing-masing adalah ideal dari dan
Maka adalah ideal dari dan
Bukti :
1. Akan ditunjukkan dan adalah ideal dari
 Akan ditunjukkan merupakan ideal dari
Karena dan masing-masingmerupakan ideal, maka
a. danberakibat . Dengandemikian
b. Ambilsembarang maka dan
Karena dan masing-masing merupakan ideal, maka dan
. Dengandemikian
c. Ambilsembarang , maka dan
Karena dan masing-masing merupakan ideal makauntuksembarang ,
berlaku dan
Dengandemikian
Jadi, terbuktibahwa merupakan ideal pada
 Akan ditunjukkan merupakan ideal dari
Perhatikanbahwa
Karena dan masing-masing merupakan ideal, maka
a. danberakibat . Dengandemikian
b. Ambilsembarang maka dan
Untuksetiap dan
Karena dan masing-masing merupakan ideal, maka dan
.
Dengandemikian
Sifatkomutatif
Sifatasosiatif
Karena dan

4. maka
c. Ambilsembarang , pilih
Untuksetiap dan
Karena dan masing-masing merupakan ideal makauntuksembarang ,
berlaku dan
Dengandemikian
Sifatdistributif
sifatkomutatif
sifatasosiatif
Jadi, terbuktibahwa merupakan ideal pada
Terbukti dan adalah ideal dari
Sehinggagelanggangfaktor dan
adalahterdefinisidenganbaik.Perhatikanbahwagelanggangfaktor
Maka
2. DefenisiPemetaan :
oleh
Akan ditunjukkanbahwa adalah homomorfismasurjektifdengan .
Teorema 1 (TeoremaIsomorfismaPertama) menjaminbahwa :
Ambilsembarang diperoleh
Defenisipemetaan
Teoremagelanggangfaktor

5. Dan
Defenisipemetaan
Teoremagelanggangfaktor
Sehingga adalahsuatuhomomorfismagelanggang.
Lebihlanjutuntuksetiap adalahanggotadari
Maka
Jadi, korespondenuntuksetiapanggota di ada anggota
maka . Sehingga adalahsuatuhomomorfismasurjektif.
3. Akan ditunjukkan
Perhatikanbahwadefenisi
Misalkan adlahelemendari
Maka
Jadi, …….persamaan (1)
Sebaliknya, misalkan elemen di
Maka,

6. Jadi, …….persamaan (2)
Dari persamaan (1) danpersamaan (2) makadidapatkan .
Jadi, homomorfismasurjektif di dan kernelhomomorfismaadalah .
Terbukti
Teorema3 :TeoremaIsomorfismaKetiga
Andaikan adalahsuatugelanggang. Bila dan masing-masing adalah ideal dari
sehingga , maka
Bukti :
1. Akan ditunjukkanbahwasimboldiatasadalahsama.
Karena adalah ideal dari , makasimbol juga sama
Demikianjuga, adalah ideal dari , maka simbol juga sama
SelanjutnyadiperkuatolehDefenisi Ideal adalah ideal dari , dan adalah ideal dari
berlakuhubungan . Jadijelasbahwa adalah subring di , karena juga ideal
di . Makasimbol adalahsama.
Akan ditunjukkanbahwa , jika adalah elemen peubah di maka
Selanjutnya adalah subring di , jika dan adalah duaanggota di
maka
,
adalah ideal

7. Jika adalah elemen peubah di dan adalah elemen peubah di
maka
,
dan
dan adalah ideal di
dan
dan
Jadi, adalah ideal di
2. Akan ditunjukkan bersifatsurjektif
Didefenisikanpemetaan
atau
Pemetaan mengawetkan kedua komposisidi , jika dan adalah
dua anggota subset di .
Maka
Sifatkomutatif
Defenisipemetaan
Teoremagelanggangfaktor
Dan
Defenisipemetaan
Teoremagelanggangfaktor
Jadi, bersifat surjektifkarenakorespondenmasing-masing subset anggota di
adalah subset anggota di maka

8. Jadi, adalah homomorfisma dari pada
Yaitu, adalah homomorfismasurjektifdi .
3. Akan ditunjukkanbahwa kernel homomorfismaadalah
Didefenisikan
Misalkan elemendari
Maka
Selanjutnya adalah homomorfisma surjektifdi , dan kernel dari koresponden
homomorfisma sesuai dengan TeoremaIsorfismaPertamamakakitadapat
.
Terbukti .
Akibat:
Andaikan adalah suatu gelanggangdenganunsurkesatuan. adalah suatu lapangan
jikadanhanyajika tidak mempunyai ideal sejati.
Bukti :
AkibatTeorema14.2.14 (halaman 197) menyatakanbahwaJika adalah suatu lapangan,
maka tidakmempunyai ideal sejati.
Sebaliknya, andaikan tidak mempunyai ideal sejati.Akibatnya adalah ideal maksimal
dari . Teorema 14.3.3 (halaman 200)menjamin adalah suatu
lapangan.Selanjutnyaperhatikanbahwapemetaan yang didefenisikan oleh
untuk semua adalah suatuhomomorfismagelanggang .
Teorema1 (TeoremaIsorfismaPertama)menjaminbahwa . Jadi R
adalahsuatulapangan.
TerbuktiR adalahsuatulapangan.