Matematika Teknik

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1
Barisan
Barisan Tak Hingga
Kekonvergenan barisan tak hingga
Sifat – sifat barisan
Barisan Monoton

Barisan Tak Hingga
Barisan dg n suku, dinyatakan dalam bentuk : a1,a2,…,an.
a1 : suku ke–1,
a2 : suku ke–2
an : suku ke–n.
Definisi
Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari
bilangan−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.

Barisan Tak Hingga
{ }∞
=1
n
n
a
Definisi
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana
daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga
adalah

Barisan Tak Hingga
Contoh
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Penentuan an hanya bersifat coba –coba.
K
,
8
,
6
,
4
,
2
{ }∞
=1
n
n
2
K
,
6
4
,
5
3
,
4
2
,
3
1
∞
=






+ 1
n
n
2
n

Kekonvergenan barisan
tak hingga
Definisi
Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila
atau
L
a
lim n
n
=
∞
→
ε
ε <
−
≥
∋
>
∃
>
∀ L
a
,
N
n
0
N
0 n

tak hingga
Contoh 1
Periksa kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena
maka divergen
∞
=






+ 1
n
2
1
n
n
∞
=
+
∞
→
1
n
n
lim
2
n
∞
=






+ 1
n
2
1
n
n

tak hingga
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk
menyelesaikannya digunakan teorema berikut :
Misal ,bila maka
untuk x ∈ R.
∞
=






1
n
n
2
e
n
∞
∞
→
∞
→ n
2
n
e
n
lim
( )
n
f
an
= ( ) L
x
f
lim
x
=
∞
→
( ) L
n
f
lim
n
=
∞
→

tak hingga
Jawaban (lanjutan)
Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka
Berdasarkan teorema maka .
Karena nilai limitnya menuju 0, maka
Konvergen menuju 0.
x
x e
x
2
lim
∞
→
=
( ) x
2
e
x
x
f =
x
2
x e
x
lim
∞
→
0
e
n
lim n
2
n
=
∞
→
∞
=






1
n
n
2
e
n
0
e
2
lim x
x
=
=
∞
→

tak hingga
Contoh 3
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Dg menggunakan prinsip apit
Sehingga
Jadi barisan diatas konvergen ke 0
∞
=






1
n
n
cos
n
1
π
0
cos
lim =
∞
→ x
x
x
π
0
cos
lim =
∞
→ n
n
n
π

Sifat – sifat barisan
Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu
konstanta, maka
1.
2.
3.
4.
5.
k
k
lim
n
=
∞
→
n
n
n
n
a
lim
k
a
k
lim ∞
→
∞
→
=
( ) n
n
n
n
n
n
n
b
lim
a
lim
b
a
lim ∞
→
∞
→
∞
→
±
=
±
( ) n
n
n
n
n
n
n
b
lim
a
lim
b
a
lim ∞
→
∞
→
∞
→
=
0
b
lim
,
b
lim
a
lim
b
a
lim n
n
n
n
n
n
n
n
n
≠
= ∞
→
∞
→
∞
→
∞
→

Barisan Monoton
Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan
menjadi 4 macam :
1. Monoton naik bila
2. Monoton turun bila
3. Monoton tidak turun bila
4. Monoton tidak naik bila
1
n
n
a
a +
<
1
n
n
a
a +
>
1
n
n
a
a +
≤
1
n
n
a
a +
≥

Deret Tak Hingga
Definisi
Deret tak hingga merupakan jumlahan dari : a1+a2+…+an .
Notasi deret tak hingga : .
Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan
barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :
Dan
{ }∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1
n n
a
n
n
S
lim
∞
→
1
1
a
S =
3
2
1
3
a
a
a
S +
+
=
M
n
3
2
1
n
a
...
a
a
a
S +
+
+
+
=
2
1
2
a
a
S +
=
{ } ....
,
S
...,
,
S
,
S
S k
2
1
1
n
n =
∞
=

Deret Tak Hingga
Contoh
Selidiki apakah deret konvergen ?
Jawaban
Karena , maka konvergen menuju
1.
Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus
dan bersifat coba – coba.






+
−
∑
∞
=
1
k
1
k
1
1
k
1
n
n
1
n
1
1
Sn
+
=
+
−
=
1
1
n
n
lim
S
lim n
n
n
=
+
= ∞
→
∞
→ 1
k
1
k
1
1
k
+
−
∑
∞
=

Deret Suku Positif
Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-
sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang
sering digunakan :
1. Deret geometri
2. Deret harmonis
3. Deret-p
Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral
∑
∞
=1
n
n
a

Deret Suku Positif
Deret geometri
Bentuk umum :
Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :
Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga
. untuk r ≠ 1.
Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r.
1
n
3
2
1
k
n
1
k
r
a
...
r
a
r
a
r
a
a
r
a −
−
=
+
+
+
+
+
=
∑
1
n
3
2
n
r
a
...
r
a
r
a
r
a
a
S −
+
+
+
+
+
=
n
1
n
3
2
n
r
a
r
a
...
r
a
r
a
r
a
S
r +
+
+
+
+
= −
n
n
n
r
a
a
S
r
S −
=
−
( )
r
1
r
1
a
S
n
n
−
−
=

Deret Suku Positif
Deret geometri (lanjutan)
Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret
geometri :
1.Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , deret divergen
2.Bila | r |<1, maka , deret konvergen ke
3.Bila | r | >1, maka , deret divergen
∞
=
∞
→
na
lim
n
0
r
lim n
n
=
∞
→ r
1
a
−
∞
=
∞
→
n
n
r
lim

Deret Suku Positif
Deret harmonis
Bentuk umum :
Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari
Sn nya, yaitu
∑
∞
=1
n n
1
n
1
....
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
Sn +
+
+
+
+
+
+
+
+
=
.....
16
1
....
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 +






+
+
+






+
+
+
+






+
+
+
=

Deret Suku Positif
Deret harmonis (lanjutan)
Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen.
2
1
....
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 +
+
+
+
+
+
+
+
+
=
....
16
1
....
16
1
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
1
1
S n
2
+






+
+
+






+
+
+
+






+
+
+
>
∞
=
+
∞
→ 2
n
1
lim
n
2
n
1+
=

Kedivergenan
Deret Tak Hingga
Bila deret konvergen, maka .
kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah
Bila ,maka deret akan divergen.
Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,
maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu
dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.
∑
∞
=1
n
n
a 0
a
lim n
n
=
∞
→
0
a
lim n
n
≠
∞
→
∑
∞
=1
n
n
a

Kedivergenan
Deret Tak Hingga
Contoh
Periksa apakah konvergen ?
Jawaban
Jadi divergen
n
1
2
1
lim
n +
=
∞
→
∑
∞
= +
1 1
2
n n
n
1
n
2
n
lim
a
lim
n
n
n +
=
∞
→
∞
→
∑
+
∞
=1
n 1
n
2
n
0
2
1
≠
=

Uji Deret Positif
1. Uji integral
2. Uji Banding
3. Uji Banding limit
4. Uji Rasio
5. Uji Akar

Uji Deret Positif
Uji integral
Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun, ,
maka integral tak wajar dari f(x) adalah:
Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak
ada, maka deret divergen.
Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret
konvergen.
∑
∞
=1
n
n
a
( ) ( ) dx
x
f
lim
dx
x
f
b
1
b
1
∫
∫ ∞
→
∞
=

Uji Deret Positif
Contoh 1: Uji Integral Deret–p
Bentuk umum :
Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau
divergen, digunakan integral tak wajar yaitu
Misal maka .
Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1
sampai ∞.
∑
∞
=1
n
p
n
1
( ) p
n
n
1
n
f
a =
= ( ) p
x
1
x
f =

Uji Deret Positif
Deret–p (lanjutan)
Integral tak wajar dari f(x) adalah
Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar
tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen.
Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga
akan divergen.
dx
x
1
lim
b
1
p
b
∫
∞
→
=
dx
x
1
1
p
∫
∞ b
1
p
1
b p
1
x
lim




−
=
−
∞
→ p
1
1
p
1
b
lim
p
1
b −
−
−
=
−
∞
→

Uji Deret Positif
Deret–p (lanjutan)
Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :
1. Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen
2. Bila 0≤ p<1, maka ,sehingga deret
divergen
3. Bila p>1, maka ,
sehingga deret konvergen.
( ) 1
p
b b
1
p
1
1
p
1
lim −
∞
→ −
−
−
=
∞
=
−
−
−
−
∞
→ p
1
1
p
1
b
lim
p
1
b
p
1
1
p
1
b
lim
p
1
b −
−
−
−
∞
→ 1
p
1
−
=

Uji Deret Positif
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan deret
Jawaban
Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji
integral yaitu :
Misal , maka
Perhitungan integral tak wajar :
dx
x
ln
x
1
lim
b
2
b ∫
∞
→
=
∑
∞
=2
n
n
ln
n
1
( )
n
ln
n
1
n
f
an =
=
x
ln
x
1
)
x
(
f =
dx
x
ln
x
1
2
∫
∞
( )] ∞
=
=
∞
→
b
2
b
x
ln
ln
lim

Uji Deret Positif
Contoh 2 (lanjutan)
Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral
tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga
divergen.
∑
∞
=2
n
n
ln
n
1

Uji Deret Positif
Uji Banding
Bila untuk ∀n ≥ N, berlaku bn ≥ an maka
a. Bila konvergen, maka juga konvergen
b. Bila divergen, maka juga divergen
.
∑
∞
=1
n
n
b ∑
∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1
n
n
a ∑
∞
=1
n
n
b

Uji Deret Positif
Contoh 1
Uji kekonvergenan
Jawaban
Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih
yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.
Dapat dipilh sebagai deret pembanding.
Karena dan merupakan deret
p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen
∑
∞
= +
1
n 2
n
1
∑
∞
=1
n n
3
1
∑
∞
=1
n n
3
1
n
3
1
2
n
1
≥
+

Uji Deret Positif
Contoh 2
Uji kekonvergenan
Jawaban
Dengan uji banding, digunakan deret pembanding ,
dimana . Karena merupakan deret
konvergen, maka juga konvergen.
∑
∞
= +
1
n
2
5
n
3
∑
∞
=1
n
2
n
3
2
2
n
3
5
n
3
≤
+
∑
∞
=1
n
2
n
3
∑
∞
= +
1
n
2
5
n
3

Uji Deret Positif
Contoh 3
Uji kekonvergenan
Jawaban
Karena untuk , maka deret pembanding yang
digunakan adalah .Karena dan
merupakan deret konvergen, maka juga konvergen
∑
∞
=
−
1
n
2
1
n
n
tan
2
n
tan
,
n 1 π
<
∞
→ −
∑
∞
=1
n
2
2
n
π
2
2
2
1
n
n
n
tan π
≤
−
∑
∞
=1
n
2
2
n
π
∑
∞
=
−
1
n
2
1
n
n
tan

Uji Deret Positif
Uji Banding Limit
Misal dan , merupakan deret suku positif dan
, berlaku
1.Bila 0<L < ∞ , maka kedua deret bersama-sama konv/divergen
2.Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka .
juga konvergen
3.Bila L = ∞ dan adalah deret divergen maka .
juga divergen
∑
∞
=1
n
n
a ∑
∞
=1
n
n
b
n
n
n b
a
lim
L
∞
→
=
∑
∞
=1
n
n
b ∑
∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1
n
n
b ∑
∞
=1
n
n
a

Uji Deret Positif
Contoh 1
Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Deret pembanding yang digunakan adalah dan diketahui
sebagai deret divergen ( sebagai ).
Karena . dan deret pembandingnya
divergen, maka . juga divergen.
∑
∞
= +
+
1
n
2
3
2
3
n
n
5
n
∑
∞
=1
1
n n
∑
∞
=1
n
n
b
5
1
3
5
lim 2
3
3
=
+
+
=
∞
→ n
n
n
L
n
∑
∞
= +
+
1
n
2
3
2
3
n
n
5
n

Uji Deret Positif
Contoh 2
Jawaban
Deret pembanding yang digunakan adalah dan
diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).
Karena . dan deret
pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama
divergen .
∑
∞
= +
1
i
2
5
n
1
∑
∑
∞
=
∞
=
=
1
n
1
n
2 n
1
n
1
1
/
1
1
1
lim
1
lim
5
lim 2
2
2
2
2
=
+
=
+
=
+
=
∞
→
∞
→
∞
→ n
n
n
n
n
L
n
n
n

Uji Deret Positif
Uji Rasio
Misal merupakan deret suku positif dan
maka berlaku
1. Bila ρ<1, maka deret konvergen
2. Bila ρ>1, maka deret divergen
3. Bila ρ=1, maka uji gagal
∑
∞
=1
n
n
a
n
1
n
n a
a
lim +
∞
→
=
ρ

Uji Deret Positif
Contoh
Jawaban
Dengan uji rasio diperoleh
Karena ρ = 0 < 1 , maka konvergen.
∑
=
n
1
i
2
!
n
n
( ) 0
)
1
(
1
1
lim
)
1
(
)
1
(
lim
!
!
)
1
(
)
1
(
lim
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
+
=
+
+
=
∞
→
∞
→
∞
→ n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ρ
∑
=
n
1
i
2
!
n
n

Uji Deret Positif
Uji Akar
Misal merupakan deret suku positif dan ,
maka berlaku
1. Bila r < 1, maka deret konvergen
2. Bila r > 1, maka deret divergen
3. Bila r = 1, maka uji gagal
∑
∞
=1
n
n
a n
n
n
a
lim
r
∞
→
=
∑
∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1
n
n
a

Uji Deret Positif
Contoh
Jawaban
Dengan uji akar diperoleh
Karena , maka konvergen.
∑
=
n
1
i
n
n
e
2
e
2
e
2
lim
r n
n
n
n
=
=
∞
→
∑
=
n
1
i
n
n
e
2
1
e
2
r <
=

Uji Deret Positif
Panduan Pemilihan uji deret
Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka
dapat dipilih uji banding atau uji banding limit
Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan
atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n
Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –
sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral

Deret Ganti Tanda
Definisi
Adalah deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu
berbentuk . dengan an> 0 untuk
semua n dilakukan uji tersendiri.
Notasi deret ganti tanda adalah . atau .
Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila
a. (monoton tak naik)
b.
∑
=
+
−
n
1
i
n
1
n
a
)
1
( ∑
=
−
n
1
i
n
n
a
)
1
(
n
1
n a
a
0 ≤
≤ +
0
a
lim n
n
=
∞
→
...
a
a
a
a 4
3
2
1 +
−
+
−

Deret Ganti Tanda
Contoh
Tentukan kekonvergenan deret
Jawaban
ini merupakan deret ganti tanda dg
Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :
a. .
b. Nilai
( )
( )
∑
∞
=
+
+
+
−
1
n
1
n
1
n
n
3
n
1
n
n a
a ≤
+1
( )
1
n
n
3
n
an
+
+
=
0
a
lim n
n
=
∞
→

Deret Ganti Tanda
a.
Karena jadi {an} adalah monoton tak naik.
b.
Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.
( ) ( ) ( )
1
3
2
1
4
+
+
≤
+
+
+
n
n
n
n
n
n
( )
( )( )
1
6
1
1
6
5
4
3
2
4
2
2
1
≤
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
1
a
a
n
1
n
≤
+
( )
0
1
n
n
3
n
lim
a
lim
n
n
n
=
+
+
=
∞
→
∞
→
( ) ( )
( ) 1
3
1
2
1
4
1
≤
+
+
+
+
+
=
+
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n

Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Deret dikatakan konvergen
mutlak, bila deret mutlak konvergen
(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).
bila divergen, maka juga divergen.
Kovergen bersyarat : konvergen tetapi
divergen.
Semua uji deret positif dpt digunakan utk uji deret mutlaknya
K
+
+
+
=
∑
∞
=
3
2
1
1
n
n a
a
a
a
|
a
|
a
a
a 3
2
1
1
n
n +
+
=
∑
∞
=
∑
∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1
n
n
a

Konvergen Bersyarat
Contoh 1
Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji
banding, dimana deret pembandingnya adalah maka
diperoleh bahwa untuk semua nilai n.
Karena merupakan deret konvergen, maka
juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.
∑
∞
=1
n
3
n
n
cos π
∑
∞
=1
n
3
n
n
cos π
∑
∞
=1
n
3
n
1
3
3
n
1
n
n
cos
≤
π
∑
∞
=1
n
3
n
1
∑
∞
=1
n
3
n
n
cos π
∑
∞
=1
n
3
n
n
cos π

Konvergen Bersyarat
Contoh 2
Tentukan apakah konvergen mutlak atau
bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah .
Dengan uji rasio diperoleh .
Karena ρ=0<1, maka konvergen.
Sehingga konvergen mutlak.
( )
∑
∞
=
−
1
n
n
n
!
n
2
1
∑
∞
=1
n
n
!
n
2
( ) n
1
n
n 2
!
n
!
1
n
2
lim
+
=
+
∞
→
ρ
∑
∞
=1
n
n
!
n
2
( )
∑
∞
=
−
1
n
n
n
!
n
2
1
0
1
n
2
lim
n
=
+
=
∞
→

Konvergen Bersyarat
Contoh 3
Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen.
Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda
a. (monoton tak naik)
Diperoleh bahwa benar
b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.
Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret
mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .
( )
∑
∞
=
−
1
n
n
n
1
1
∑
∞
=1
n n
1
n
n a
a ≤
+1
n
n
1
1
1
≤
+
0
n
1
lim
a
lim
n
n
n
=
=
∞
→
∞
→
( )
∑
∞
=
−
1
n
n
n
1
1

Uji rasio untuk
kekonvergenan mutlak
Misal deret dengan suku tak nol dan ,
tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :
• Bila r<1, maka konvergen mutlak
• Bila r>1, maka divergen
• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)
Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .
∑
∞
=1
n
n
a
n
1
n
n a
a
lim
r
+
∞
→
=
∑
∞
=1
n
n
a
∑
∞
=1
n
n
a

Konvergen Bersyarat
Contoh 1
Tentukan apakah konvergen mutlak atau
divergen?
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
Karena , maka konvergen mutlak.
( )
e
n
1
n
lim 3
3
n
+
=
∞
→
( )
∑
∞
=
−
1
n
n
3
n
e
n
1
( )
3
n
1
n
3
n n
e
e
1
n
lim
r +
∞
→
+
=
( )
∑
∞
=
−
1
n
n
3
n
e
n
1
1
e
1
r <
=
e
1
=

Konvergen Bersyarat
Contoh 2
Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
Karena r > 1, maka divergen .
( )
2
1
n
lim
n
+
=
∞
→
( )
∑
∞
=
−
1
n
n
n
2
!
n
1
( )
!
n
2
2
!
1
n
lim
r
n
1
n
n +
∞
→
+
=
( )
∑
∞
=
−
1
n
n
n
2
!
n
1
∞
=

Deret Pangkat
Bentuk umum :
Contoh deret pangkat
1.
2.
3.
K
K +
+
+
+
+
=
∑
∞
=
n
n
2
2
1
0
n
0
n
n x
a
x
a
x
a
a
x
a
( ) ( ) ( ) ( ) ...
b
x
a
b
x
a
b
x
a
a
b
x
a n
n
2
2
1
0
n
0
n
n +
−
+
+
−
+
−
+
=
−
∑
∞
=
K
K
K +
+
+
+
+
=
∑
∞
=
n
2
0
n
n
x
x
x
1
x
( )
( )
K
+
−
+
−
=
−
∑
∞
= !
6
x
!
4
x
!
2
x
1
!
n
2
x
1
6
4
2
0
n
n
2
n
( ) ( )
K
+
−
+
−
+
=
+
−
∑
∞
= 5
1
x
4
1
x
2
1
2
n
1
x 2
0
n
n

Deret Pangkat
Interval Kekonvergenan
Yaitu Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret.
Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki
ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –
masing deret.
( )n
0
n
n b
x
a −
∑
∞
=

Deret Pangkat
Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :
Selang konvergensi untuk deret
• Deret konvergen hanya di x = 0
• Deret konvergen mutlak di x ∈ R
• Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau
ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
Selang konvergensi untuk deret
1. Deret konvergen hanya di x = b
2. Deret konvergen mutlak di x ∈ R
3. Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)
atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
n
0
n
n x
a
∑
∞
=
( )n
0
n
n b
x
a −
∑
∞
=

Deret Pangkat
Contoh 1
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Deret akan konvergen untuk semua nilai x atau x ∈R
0
1
n
x
lim
n
=
+
=
∞
→
∑
∞
=0
n
n
!
n
x
( ) n
1
n
n x
!
n
!
1
n
x
lim
r
+
=
+
∞
→

Deret Pangkat
Contoh 2
Jawaban
Bila x=0 maka r = 0, bila x≠0 maka r = ∞
Jadi deret konvergen untuk x = 0
1
n
x
lim
n
+
=
∞
→
∑
∞
=0
n
n
x
!
n
( )
n
1
n
n x
!
1
n
!
n
x
lim
r
+
=
+
∞
→

Deret Pangkat
Contoh 3
Jawaban
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai r yang memenuhi
adalah –3 < x < 3.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
2
n
1
n
3
x
lim
n +
+
=
∞
→
( )
( )
∑
∞
= +
−
0
n
n
n
n
1
n
3
x
1
( )
( )
n
n
1
n
1
n
n x
1
n
3
2
n
3
x
lim
r
+
+
= +
+
∞
→
1
1
.
3
x
<
=

Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = - 3 adalah sebagai
berikut :
• Saat x = -3 → deretnya menjadi → Deret ini
diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .
• Saat x = 3 → deretnya menjadi → dengan
uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah
∑
∞
= +
0
n 1
n
1
( )
∑
∞
= +
−
0
n
n
1
n
1
1
3
x
3 ≤
<
−

Deret Pangkat
Contoh 4
Jawaban
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah 4 < x < 6.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
1
n
2
n
n
5
x
lim 2
2
n +
+
−
=
∞
→
( )
∑
∞
=
−
1
n
2
n
n
5
x
( )
( ) ( )n
2
2
1
n
n 5
x
n
1
n
5
x
lim
r
−
+
−
=
+
∞
→
1
5 <
−
= x

Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai
berikut :
• Saat x = 4 → deretnya menjadi → karena
. konvergen maka deret ganti tandanya juga
konvergen. .
• Saat x = 6 → deretnya menjadi yang merupakan
deret-p yang diketahui konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah
( )
∑
∞
=
−
1
n
2
n
n
1
1
∑
∞
=0
n
2
n
1
∑
∞
=1
n
2
n
1
6
x
4 ≤
≤

Operasi-operasi
deret pangkat
1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,
pembagian, dan substitusi
2. Turunan deret :
3. Integral deret :
∑
=





 ∑
∞
=
−
∞
= 1
n
1
n
n
0
n
n
n
x x
a
n
x
a
D
C
x
1
n
a
dx
x
a
dx
x
a 1
n
0
n
n
n
0
n 0
n
n
n
n +
∑
+
=
∫ ∑ ∑ ∫
= +
∞
=
∞
=
∞
=

Deret Pangkat
Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan
an = 1 .
Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri,
maka diperoleh
Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi
yang memuat x.
∑
∞
=1
n
n
x
...
x
x
x
1
x
1
1 3
2
+
+
+
+
=
−
1
x <
...
u
u
u
1
u
1
1 3
2
+
+
+
+
=
−
1
u <
:Selang kekonvergenan

Deret Pangkat
Contoh 1
Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Dengan menggunakan deret geometri
x
1
1
+
( )
x
1
1
x
1
1
−
−
=
+
( )
x
1
1
x
1
1
−
−
=
+
...
x
x
x
1 3
2
+
−
+
−
=
1
x
x <
=
−
1
x <

Deret Pangkat
Contoh 2
Jawaban
Dengan menggunakan jawaban sebelumnya
x
1
x
+
( )
( ) ...
x
x
x
x
...
x
x
x
1
x
x
1
x
x
1
x 4
3
2
3
2
+
−
+
−
=
+
−
+
−
=
−
−
=
+
Selang kekonvergenan : | x | < 3

Deret Pangkat
Contoh 3
Jawaban
Jadi






−
+
x
1
x
1
ln
( ) ( )
x
1
ln
x
1
ln
x
1
x
1
ln −
−
+
=






−
+
( ) ( )
∫ ∫ −
−
−
−
=
+
+
+
+
−
=
−
−
=
− ...
x
3
1
x
2
1
x
dx
...
x
x
x
1
dx
x
1
1
x
1
ln 3
2
3
2
( ) ( )
∫ ∫ −
+
−
=
+
−
+
−
=
+
=
+ ...
x
3
1
x
2
1
x
dx
...
x
x
x
1
dx
x
1
1
x
1
ln 3
2
3
2
( ) ( ) ...
x
5
2
x
3
2
x
2
x
1
ln
x
1
ln
x
1
x
1
ln 5
3
+
+
+
=
−
−
+
=






−
+

Deret Pangkat
Contoh 4
Jawaban
adalah turunan dari sehingga
( )2
x
1
1
+
( )2
x
1
1
+ x
1
1
+
−
( )
( ) ...
x
4
x
3
x
2
1
dx
...
x
x
x
1
d
dx
x
1
1
d
x
1
1 3
2
3
2
2
+
−
+
−
=
+
−
+
−
−
=






+
−
=
+

Deret Pangkat
Contoh 5
Nyatakan dalam deret pangkat Taylor pusat x=2
Jawaban
Dengan menggunakan deret geometri
Selang kekonvergenan:
x
1
2
)
2
(
1
1
2
1
)
2
(
2
1
1
−
−
−
=
−
−
−
=
x
x
x








+





 −
+





 −
+
−
= ...
2
2
2
2
1
2
1
1
2
x
x
x
1
2
2
<
−
x
4
0
2
|
2
|
1
2
2
<
<
⇔
<
−
⇔
<
−
x
x
x

Deret Taylor dan Maclaurin
Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat
digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,
dimana nilai-nilai a0,a1,a2,… diperoleh dari penurunan f(x) di
x = b sampai turunan ke-n, yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) K
+
−
+
−
+
−
+
= 3
3
2
2
1
0 b
x
a
b
x
a
b
x
a
a
x
f
( )
( )
( )
!
'
1
0
n
b
f
a
b
f
a
b
f
a
n
n =
=
=
M

Atau f(x) bisa dituliskan sebagai
Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial
taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial
taylor, dinamakan deret taylor.
Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret Maclaurin
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )n
n
b
x
n
b
f
b
x
b
f
b
x
b
f
b
x
b
f
b
f
x
f −
+
+
+
−
+
−
+
−
+
=
!
!
3
!
2
3
'
'
'
2
'
'
'
K
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n
n
3
'
'
'
2
'
'
'
x
!
n
0
f
x
!
3
0
f
x
!
2
0
f
x
0
f
0
f
x
f +
+
+
+
+
= K

Contoh 1
Perderetkan ke dalam deret Maclaurin
Jawaban
Sehingga
( ) ( ) 1
0
f
e
x
f x
=
→
=
( ) ( ) 1
0
f
e
x
f '
x
'
=
→
=
( ) ( ) 1
0
f
e
x
f '
'
x
'
'
=
→
=
( ) ( ) 1
0
f
e
x
f '
'
'
x
'
'
'
=
→
=
M
( ) ( ) 1
0
f
e
x
f n
x
n
=
→
=
ℜ
∈
=
+
+
+
+
= ∑
∞
=
x
,
!
n
x
!
3
x
!
2
x
x
1
e
0
n
n
3
2
x
K
( ) x
e
x
f =

Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam
deret Maclaurin
M
( )
( )
ℜ
∈
+
−
=
+
−
+
−
= ∑
∞
=
+
x
,
!
1
n
2
x
1
!
7
x
!
5
x
!
3
x
x
x
sin
0
n
1
n
2
n
7
5
3
K
( )
( )
ℜ
∈
−
=
+
−
+
−
= ∑
∞
=
x
,
!
n
2
x
1
!
6
x
!
4
x
!
2
x
1
x
cos
0
n
n
2
n
6
4
2
K
( ) ( ) 1
x
1
,
1
n
x
1
4
x
3
x
2
x
x
x
1
ln
0
n
1
n
n
4
3
2
≤
<
−
+
−
=
+
−
+
−
=
+ ∑
∞
=
+
K
( ) 1
x
1
,
1
n
2
x
1
7
x
5
x
3
x
x
x
tan
0
n
1
n
2
n
7
5
3
1
≤
≤
−
+
−
=
+
−
+
−
= ∑
∞
=
+
−
K
1
x
,
x
x
x
x
x
1
x
1
1
0
n
n
4
3
2
<
=
+
+
+
+
+
=
− ∑
∞
=
K

Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau
maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat
seperti pada bagian sebelumnya, misal :
K
+
−
+
−
=
7
x
5
x
3
x
x
7
5
3
M x
Cos
x
tan 1
−
( )
dx
x
Sin
d
= K
+
−
+
−
=
!
6
x
!
4
x
!
2
x
1
6
4
2
dx
x
1
1
2
∫
+
=
dx
!
7
x
!
5
x
!
3
x
x
d
7
5
3








−
+
−
=
dx
x
x
x
1 6
4
2
K
+
−
+
−
= ∫

Soal Latihan
A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen
1. 2.
3. 4.
5. 6.
M
∞
=






+ 1
n
2
1
n
2
n
∞
=






+ 1
n
2
n
sin
1
n
2
n π
( ) ∞
=





 +
1
n
2
n
1
n
ln
∞
=










+






1
n
n
n
2
2
1
{ }∞
=
−
1
n
n
n
cos
e
∞
=






1
n
2
!
n
n

Soal Latihan
A (Lanjutan)
7. 8.
9. 10.
11. 12.
M
∞
=






−
−
1
n
n
2
n
n
2
6
e
e
2
e
( )
∞
=





 −
1
n
n
n
4
π
∞
=






1
n
n
n
2
e
∞
=






− 1
n
2
n
n
∞
=
















+
1
n
n
n
1
1
{ }∞
=1
n
n n

Soal Latihan
A (Lanjutan)
13. 14.
B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?
1. 2.
3. 4.
M
( )
∞
=
+






+
−
1
n
2
1
n
1
n
1
1
∞
=






1
n
n
2
n
e
100
∑
∞
=1
n n
n
ln
∑
∞
= +
1
n
3
n
5
n
3
n
∑
∞
= +
1
n 1
n
n
1
∑
∞
= −
+
1
n
3
6
n
1
n
3

Soal Latihan
B. (lanjutan)
5. 6.
7. 8.
9. 10.
M
∑
∞
=1
n
n
!
n
60
∑
∞
=
+
1
n
n
!
n
n
2
5
∑
∞
=1
n
n
2
e
n
ln
∑
∞
=1
n
n
e
1
∑
∞
=1
n
3
n
n
cos π
( )
( )
∑
∞
= +
1
n
n
2
!
2
n
2
2
!
n

Soal Latihan
B. (lanjutan)
11. 12.
13. 14.
15. 16.
M
∑
∞
=1
n
2
!
n
n
sin
5
( )
∑
∞
= +
1
n
18
5
n
2
1
∑
∞
= +
1
n
5
2
n
n
( )
∑
∞
=
+
1
n
n
4
!
n
!
4
!
4
n
∑
∞
=
−
1
n
3
1
n
n
tan
( )
∑
∞
=
+
+
+
−
1
n
1
n
2
n
3
1
n
1

Soal Latihan
B. (lanjutan)
17. 18.
19. 20.
21. 22.
M
( )
∑
∞
=
−
−
1
n
n
n
e
1
( ) n
3
1
n
1
n
e
n
1
∑
∞
=
+
−
∑
∞
=
+
1
n
5
2
n
5
n
cos
∑
∞
=






1
n
n
3
1
n
∑
∞
= −
1
n
2
n
n
3
1
∑
∞
= −
1
n
3 2
n
n
6
1

Soal Latihan
B. (lanjutan)
23. 24.
C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan
konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen
1. 3.
2. 4.
M
∑
∞
=






−
+
1
n
n
1
n
2
2
n
3
∑
∞
= +
1
n 5
n
1
( )
∑
∞
=
+
−
1
n
1
n
n
3
1
1
( )
∑
∞
=
−
1
n
5
n
n
4
( )
n
1
n
1
n
1
n
3
2
n
1
∑
∞
=
+






−
+
−
∑
∞
= +
1
n
2
1
n
n
cos
n π

Soal Latihan
D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut
1. 4.
2. 5.
3. 6.
M
( )
∑
∞
=
−
0
n
n
n
!
n
x
1
( ) ( )
∑
∞
=
+ +
−
1
n
n
1
n
n
1
x
1
( )
∑
∞
=
−
0
n
n
n
2
3
x
( )
∑
∞
=
+
+
−
0
n
1
n
n
1
n
x
2
∑
∞
=2
n
n
n
ln
x
n
0
n
n
x
2
!
n
∑
∞
=

Soal Latihan
D. (Lanjutan)
7. 8.
9. 10.
E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat
1. 2.
M
K
+
−
+
−
4
x
3
x
2
x
x
4
3
2
K
+
−
+
−
!
6
x
!
4
x
!
2
x
1
6
4
2
( ) ( ) ( )
K
+
+
−
+
+
+
−
!
3
3
x
!
2
3
x
3
x
1
3
2
( ) ( ) ( )
K
+
−
+
−
+
−
+
6
3
x
8
5
3
x
4
4
3
x
2
3
1 3
2
( ) x
ln
x
f = ( ) x
3
e
x
f =

Soal Latihan
E. (Lanjutan)
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
M
( ) x
e
x
x
f =
( ) 2
x
4
1
1
x
f
−
=
( ) 2
x
sin
x
f =
( ) x
3
1
e
x
f −
=
( )
x
1
1
x
f
+
=
( ) ( )
x
1
ln
x
x
f +
=
( )
x
3
1
x
x
f
2
+
=
( ) ( )
x
3
ln
x
x
f =

Matematika Teknik

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Matematika Teknik

Similar to Matematika Teknik (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Matematika Teknik