Baris Deret Matematika

1. Notasi Sigma,
Barisan dan Deret
Aritmatika
KELOMPOK 8
1. Nida Cahyawati
2. Rissa Srirahayu
3. Siti Sarah
4. Suhendi

2. Standar Kompetensi:
Menerapkan konsep barisan dan deret dalam
pemecahan masalah
Kompetensi Dasar:
o Menggunakan notasi Sigma
o Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan
o Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika
o Menyelesaikan model Matematika yang berkaitan
dengan deret aritmatika.

3. BARISAN
DAN DERET
ARITMATIKA
NOTAS
ISIGMA
SELESAI

4. NOTASI
SIGMA
SIFAT-SIFAT
Leonhard Euler
Notasi sigma:

merupakan huruf Yunani untuk abjad S.
Diambil dari kata “Sum” yang berarti
penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk
meringkas penulisan penjumlahan bentuk
panjang dari jumlah suku-suku yang
merupakan variabel berindeks atau suku-suku
suatu deret.
Pemakaian notasi ini diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard
Euler pada tahun 1755 dalam buku Institutiones Calculi Differentialis.
KONSEP
SEJARAH

5. NOTASI
SIGMA
SIFAT-SIFAT
SEJARAH KONSEP
Jadi secara umum suku ke-k pada
barisan tersebut dapat dinyatakan
dalam bentuk 2k – 1, dengan
k = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Sehingga dengan notasi sigma
bentuk jumlahan barisan tersebut
dapat ditulis :
Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
Dimana:
Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1
Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1
Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1
Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1
Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1
Suku ke-6 =11 = 2.6 – 1








6
1
k
1)
-
(2k
11
9
7
5
3
1
1 2

6. NOTASI
SIGMA
SIFAT-SIFAT
SEJARAH KONSEP
Bentuk:
Dibaca “Sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6” atau “Jumlah
2k – 1 untuk k = 1 sampai k = 6”
Dimana 1 disebut batas bawah dan 6 disebut batas atas, lambang k
dinamakan indeks atau variabel.



6
1
)
1
2
(
k
k
Sehingga secara umum: n
n
n
k
k a
a
a
a
a
a 




 

 1
3
2
1
1 ...
1 2
CONTOH SOAL

7. 2. Nyatakan dalam bentuk sigma dari:
a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9
 

10
1
k
)
1
k
b
k
(a
)
1
4
2
(
)
1
3
2
(
)
1
2
2
(
)
1
1
2
(
)
1
2
(
4
1















k
k
24
9
7
5
3 




1. Hitung nilai dari: 


4
1
)
1
2
(
k
k
Jawab:
Jawab:
Contoh Soal

8. NOTASI
SIGMA
SEJARAH KONSEP
1 2
SIFAT-SIFAT
Untuk a,
b dan n
bil. bulat
berlaku:

9. NOTASI
SIGMA
SEJARAH KONSEP
1 2
SIFAT-SIFAT

10. Pola dan
Barisan
Bilangan
Sejarah
Barisan
Aritmatika
Deret
Aritmatika
Aplikasi

11. POLA DAN BARISAN BILANGAN
- Pola bilangan adalah aturan suatu barisan bilangan
a. Pola bilangan ganjil : 1,3,5,7…
b. Pola bilangan genap : 2,4,6,8 ...
- Barisan bilangan adalah bilangan yang ditulis secara berurutan
berdasarkan pola atau aturan tertentu.
- Anggota barisan bilangan dituliskan sebagai berikut:
U1, U2, U3 , . . . , Un-1, Un

12. Menurut cerita, pada umur 10 tahun, Gauss muda membuat gurunya terkagum-
kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret
aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Metoda yang mengira
daftar angka-angka dari 1 sampai 100, adalah penambahan yang berurut
memasangkan terminologi dari kebalikan yang tiada batas dan hasil jumlah
yang serupa: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, dan seterusnya untuk
suatu total penjumlahan dari 50 x 101 = 5050. Metode yang diperkenalkan oleh
Gauss di usia belia itu masih belum tergantikan hingga saat ini.
SEJARAH BARISAN DAN
DERET ARITMATIKA
Carl Friedrich Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss (Gauss) dilahirkan di
Braunschweig, Electorate Brunswick - Lineburg, Jerman
pada tanggal 30 April 1777.
Ada beberapa cerita tentang kegeniusan awalnya. Saat
umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi
kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya.

13. BARISAN ARITMATIKA
Minggu
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
APRIL 2015
4 5
2 3
APA PERSAMAAN
DARI BARISAN
BARISAN TADI?
PERHATIKAN BARISAN
BILANGAN YANG
TERBENTUK DI SAMPING!
1

14. Barisan yang terbentuk adalah:
1) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
2) 1, 8, 15, 22, 29
3) 2, 8, 14, 20, 26
4) 6, 14, 22, 30
Dimana selisih dua suku
berurutan pada tiap barisan
selalu tetap. Selisih ini disebut
dengan beda (b)
Barisan bilangan yang demikian
dinamakan barisan aritmetika.
BARISAN ARITMATIKA
Sehingga, secara umum barisan
aritmetika didefinisikan sebagai
berikut:
Misalkan un menyatakan suku ke-n
suatu barisan, maka barisan tersebut
disebut barisan aritmetika jika un+1  un
selalu bernilai tetap untuk setiap n.
un+1  un disebut beda barisan tersebut
dilambangkan b. Sehingga ditulis:
un+1  un = b
4 5
2 3
1

15. BARISAN ARITMATIKA
Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a
dengan beda b maka:
Sehingga barisan aritmetika U1, U2, U3, ..., Un
Menjadi: a, a + b , a + 2b , ..., a + (n – 1) b
Dengan demikian, suku
ke-n barisan aritmetika
dirumuskan sebagai
berikut:
Un = a + (n – 1) b
Ket: a = suku pertama
b = beda (Un – Un–1)
CONTOH SOAL
4 5
2 3
1

16. Contoh Soal
Diketahui barisan aritmatika dengan u3 = 3 dan u8 = 13.
Tentukan : a. suku pertama dan bedanya
b. suku ke-50
Jawab:
a. u8 = a + 7b = 13 b. un = a + (n-1)b
u3 = a + 2b = 3 _ _ u50 = -1 + (50 – 1).2
5b = 10 = -1 + 49.2
b = 2 = -1 + 98
b = 2  a + 2.2 = 3 = 97
a = -1

17. BARISAN ARITMATIKA
Nilai Tengah
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah
apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku ke-
t atau Ut merupakan suku tengah, maka
banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku
terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).
Sehingga diperoleh hubungan:
Ut = (U1 + U(2t – 1) )
Karena U(2t – 1)
merupakan suku akhir
dari deret tersebut dan
U1 merupakan suku
awal, maka:
Ut = ( Uawal + Uakhir)
atau
Ut = ( a + Un)
½
½
½
4 5
2 3
1

18. BARISAN ARITMATIKA
Sisipan
Sisipan yaitu bilangan yang diletakkan diantara dua
bilangan. Banyaknya bilangan yang disisipkan
tergantung pada yang diminta. Setelah disisipkan,
barisan akan tetap menjadi barisan aritmetika.
Barisan aritmatika awal: a, U2, U3,…, Un dgn beda = b
barisan aritmatika baru:
Berdasarkan pengamatan antara barisan awal dan
barisan baru, diperoleh hubungan berikut ini:
CONTOH SOAL
Sehingga diperoleh
beda yang baru adalah:
Dan Kemudian
banyaknya suku baru
(n`) adalah:
dengan k banyaknya
bilangan yang
disisipkan.
n’ = (n-1)k +n
4 5
2 3
1

19. Contoh Soal
Diantara bilangan 20 dan 160 disisipkan 11 bilangan,
sehingga terjadi sebuah barisan aritmetika.
Tentukanlah :
1. Beda barisan aritmetika baru.
2. Suku tengah barisan aritmatika baru dan letaknya.
JAWABAN

21. DERET ARITMATIKA
2 3
1
Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika.
Bentuk umum: U1 + U2 + U3 + ... + Un
Atau a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n-1)b)
Kita dapat menentukan suku-suku pada deret aritmetika sebagai berikut.
Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut dilambangkan dengan Sn
maka:
Sn = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)
Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a
+
2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b)
sebanyak n

22. DERET ARITMATIKA
CONTOH SOAL
2 3
1

23. Contoh Soal
Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7.
Penyelesaian:
Jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7 adalah
252 + 259 + 266 + ... + 994.
Deret bilangan ini merupakan deret arimetika dengan
a = 252, b = 7, dan Un = 994 sehingga :
Un = a + (n – 1)b
994 = 252 + (n – 1)7
994 = 252 + 7n – 7
994 = 245 + 7n
7n = 994 – 245
7n = 749
n = 107
Jadi, jumlahnya adalah 66.661
Sn = n/2 (a + Un )
Maka:
S107 = 107/2 (252 + 994)
= 66.661

24. DERET ARITMATIKA
CONTOH SOAL
2 3
1

25. Contoh Soal
Diketahui Sn = 2n2 + 3n. Tentukan Suku ke 10 Deret tersebut.
Penyelesaian :
Cara biasa:
Sn = 2n2 + 3n
Un = Sn – Sn-1
S10 = 2.102 + 3.10
= 200 + 30
= 230
S9 = 2.92 + 3.9
= 162 + 27
= 189
Jadi, U10 = 230 – 189 = 41
Sn = 2n2 + 3n
Dengan rumus :
Jika: Sn = an2 + bn,
Maka: Un = 2an + (b–a)
Un = 2.(2)(10) + (3-2)
= 40 + 1
= 41

26. Aplikasi Barisan dan Deret Aritmatika
Di dalam kehidupan sehari-hari sering kita
temukan aplikasi yang berkaitan dengan konsep
barisan aritmatika. Contoh kecil adalah tangga
dari sebuah rumah. Tangga memiliki anak
tangga yang ketinggiannya bertambah secara
beraturan. Hal ini merupakan penerapan konsep
barisan aritmatik.
Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam
kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila
perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-
nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang
bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya. Model
perkembangan usaha merupakan penerapan teori Baris dan Deret. Perkembangan
usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan
dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung.

27. TERIMAKASIH