Ingeniería de control: Tema introductorio estabilidad

w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tecnológico Nacional de
México
Instituto Tecnológico de
Matamoros
CONTROL II
TEMA INTRODUCTORIO: ESTABILIDAD

ESTABILIDAD
Se determina a partir de la posición de los
polos en el plano s en lazo cerrado. Si un polo esta
en el semiplano derecho, con el tiempo se
convertirá en el polo dominante haciendo que el
sistema oscile de forma creciente o crezca
monótonamente. Si los polos en lazo cerrado se
encuentran en el semiplano izquierdo de s, el
sistema será estable.
La estabilidad o inestabilidad de un sistema
es una propiedad del sistema en si mismo y, por
tanto, no depende de las entradas o excitaciones
del sistema.

Los sistemas con los polos en los ejes oscilan
sin crecimiento.
1. En la practica esta oscilación aumenta con el
ruido. El ritmo al que aumenta es proporcional a
la potencia del ruido.
2. Es aconsejable evitarlos.
El criterio de estabilidad relativa implica que
los polos tienen que tener su parte real mayor que
 o que ts < 4/

Criterio de estabilidad de Routh
El criterio determina si existen o no polos en
el semiplano derecho sin necesidad de determinar
los valores de los polos.
Si la F.T. de lazo cerrado de un sistema tiene
un denominador de la forma:
Con an0, (se extraen los polos que sean
cero de forma previa). Todos los coeficientes se
suponen reales si cumplen lo siguiente:
n
n
n
n
n
o a
s
a
s
a
s
a
s
a 



 


1
2
2
1
1 ...

1. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo
en presencia de un coeficiente positivo el
sistema es inestable puesto que eso implica
que hay una o varias raíces complejas con la
parte real mayor o igual que cero lo que fuerza
al sistema a oscilar de forma creciente
2. La condición es necesaria pero no suficiente
para la estabilidad.
3. Si todos los coeficientes son negativos se
puede multiplicar por -1 a todo el polinomio sin
que cambien sus propiedades.

Si todos los coeficientes son positivos, éstos
se ordenan de acuerdo con el siguiente patrón:
Donde:
• El proceso continua hasta la n-esima fila.
• El arreglo completo de los coeficientes es
triangular.
0
0
1
1
0
1
1
0
2
3
1
1
2
0
g
s
c
c
c
b
b
b
s
a
a
s
a
a
a
s
P
P
n
n
n
n















1
3
0
2
1
0
a
a
a
a
a
b


1
5
0
4
1
1
a
a
a
a
a
b


0
1
1
3
0
0
b
a
b
a
b
c



El criterio de estabilidad de Routh plantea
que el numero de raíces del polinomio con partes
reales positivas es igual al numero de cambios de
signo de los coeficientes de la primera columna del
arreglo.
La condición necesaria y suficiente para que
un sistema sea estable es que TODOS LOS
COEFICIENTES DE LA PRIMERA COLUMNA
SEAN POSITIVOS.

Ejemplo 1
Determinar si el polinomio
tiene raíces inestables.
SOLUCIÓN:
3 2
( ) 3 3 1
A s s s s
   
1
0
3
8
1
3
3
1
0
2
3
s
s
s
s
Al no tener cambios de signo en la primera
columna se concluye que no tiene raíces
inestables y por lo tanto el sistema es estable.

Ejemplo 2
Determinar si el polinomio
tiene raíces inestables
SOLUCIÓN:
1
)
( 2
3



 s
s
s
s
A
3
2
0
1 1
1 1
2 0
1
s
s
s
s

Tiene raíces inestables, aunque esto puede ser
apreciado fácilmente ya que uno de los
coeficientes del polinomio es negativo.
El arreglo de Routh nos permite ver dos cambios
de signo en la primera columna lo que significa dos
raíces inestables.

Aplicación de Control
Función de transferencia de lazo: 3
)
1
( 
s
KC
Función de transferencia de lazo cerrado:
3
3 2
3
( ) ( 1)
( ) 3 3 (1 )
1
( 1)
C
c
C c
K
K
C s s
K
R s s s s K
s

 
   


El intervalo de valores en el que los polos de
lazo cerrado son estables están dados por:
0

C
K

3
2
0
1 3
3 1
8
8
0 , 8
0
3
3
1 0 , 1
1
C
C
C
c
c c
C
s
s K
K
K
K
s
K K
s K



  
    

8
0 
 C
K
Por tanto:
8
1 

 C
K
C
K
s
s
s
s
A 



 1
3
3
)
( 2
3
Finalmente:

Casos especiales
Si un valor de la primera columna es cero y
alguno de los valores de su fila es distinto de cero
se continua el proceso sustituyendo el cero por un
valor infinitesimal positivo .
Si todos los valores de una fila son cero
significa que existen raíces de igual magnitud
radialmente opuestas en el plano s. Entonces esa
fila se sustituye por la derivada de un polinomio
auxiliar obtenido de la línea anterior. Se continua
con el proceso normalmente. Eso significa que
existen dos pares de raíces que son parte de las
raíces de la ecuación original y alguna de ellas
puede estar en la parte real positiva.

Ejemplo 3
Del ejemplo anterior considere Kc=8. Entonces:
El arreglo de Ruth queda como:
Si el signo del coeficiente que está
encima de  es igual al signo que está
debajo de él quiere decir que hay un par de raíces
imaginarias.
En caso de que hubiera signos diferentes arriba y
abajo de  significa que hay un cambio de signo.
9
3
3
)
( 2
3



 s
s
s
s
A
9
0
0
9
3
3
1
0
2
3
s
s
s
s



Ejemplo 4
Considere la ecuación:
El arreglo de coeficientes es:
El polinomio auxiliar se forma
con los coeficientes del segundo renglón:
Esto indica que hay dos pares de raíces de igual
magnitud y signo opuesto. Para encontrarlos se
deriva el polinomio auxiliar, sus coeficientes se
colocan en el tercer renglón del arreglo y se
continua el proceso de Ruth:
50
25
48
24
2
)
( 2
3
4
5





 s
s
s
s
s
s
A
0
0
50
48
2
25
24
1
3
4
5
s
s
s


50
48
2
)
( 2
4


 s
s
s
P
s
s
s
P 96
8
)
( 3
'



El arreglo completo es:
Vemos que hay un cambio de
signo en la primera columna del
nuevo arreglo. Por tanto la ecua-
ción original tiene una raíz en la
parte real positiva. Despejando raíces del polinomio
auxiliar obtenemos:
Aquí se observa que la ecuación original tiene una
raíz en la parte real positiva, por lo que el sistema
es inestable.
50
0
7
.
112
50
24
96
8
50
48
2
25
24
1
0
1
2
3
4
5




s
s
s
s
s
s
1
1
2



s
s
5
25
2
j
s
s





Actividad 1 Problemas
1. Para cada una de las siguientes ecuaciones
características determine la estabilidad del
sistema:
a)
b)
c)
0
8
6
2 2
3
4




 s
s
s
s
0
10
11
4
2
2 2
3
4
5





 s
s
s
s
s
0
63
3
24
4 2
3
4
5





 s
s
s
s
s

2. Considere el sistema de la figura. Determine el
rango de valores de K para la estabilidad.
3. Determine el rango de valores de K para la
estabilidad de un sistema cuya ecuación
característica es:

Método del Lugar Geométrico de
las Raíces (LGR)
La característica básica de la respuesta transitoria
de un sistema se relaciona estrechamente con la
ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema
tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de
dichos polos depende del valor de la ganancia de
lazo elegida.
Un diseñador debe conocer cómo se mueven los
polos en lazo cerrado en el plano s conforme varía
la ganancia de lazo.

Desde el punto de vista del diseño, un simple
ajuste de la ganancia en algunos sistemas mueve
la ubicación de los polos en lazo cerrado a las
posiciones deseadas. Por tanto, el problema de
diseño se centrará en la selección de un valor de
ganancia adecuada.
Si el ajuste de la ganancia no produce por sí solo
un resultado conveniente, será necesario agregar
al sistema un compensador.
Los polos en lazo cerrado son las raíces de la
ecuación característica.

W. R. Evans diseñó un método sencillo
denominado Método del Lugar Geométrico de las
Raíces (LGR), y en él se grafican las raíces de la
ecuación característica del sistema en lazo cerrado
conforme la ganancia varía de cero a infinito.
Dicha gráfica muestra claramente cómo contribuye
cada polo o cero en lazo abierto a las posiciones de
los polos en lazo cerrado.

Ejemplo Introductorio
Sea el siguiente sistema de control:
Las funciones de transferencia de lazo abierto y de lazo
cerrado son:
La ecuación característica de lazo cerrado:
Cuyas raíces son:

Dándole diferentes valores a K desde cero hasta infinito se
obtiene la siguiente tabla y gráfica
K s1 s2 Respuesta Transitoria
0 -4 0 Sobreamortiguado
1 -3.732 -0.257 “
2 -3.414 -0.585 “
3 -3 -1 “
4 -2 -2 Amortiguamiento crítico
5 -2+j -2+j Subamortiguado
8 -2-2j -2+2j “
13 -2-3j -2+3j “
… … … “
 -2-j -2+j “

Condiciones de Magnitud y Ángulo
Considere el siguiente sistema de control, la
función de transferencia de lazo cerrado es:
La ecuación característica de este sistema es:
O bien:
Como G(s)H(s) es un cociente de polinomios de s,
por tanto, es una cantidad compleja y se puede
representar en forma polar con su magnitud y
ángulo de fase.

Condición de ángulo:
Condición de magnitud:
Los valores de s que cumplen tanto la condición de
ángulo como la de magnitud, son las raíces de la
ecuación característica (polos en lazo cerrado). El LGR
es una gráfica de los puntos del plano complejo que
sólo satisfacen la condición de ángulo.
Las raíces de la ecuación característica (polos en lazo
cerrado) que corresponden a un valor específico de la
ganancia se determinan a partir de la condición de
magnitud.

Por ejemplo, si G(s)H(s) está dada por:
en donde −p2 y −p3 son polos complejos conjugados, el
ángulo de G(s)H (s) es:
O bien:
La magnitud de G(s)H(s) para este sistema es:

Reglas Generales para construir la
gráfica del LGR
Consideraciones preliminares:
• Las trayectorias del lugar geométrico de las raíces
empiezan en los polos en lazo abierto de G(s)H(s)
con K=0 y terminan en los ceros de G(s)H(s) o en
el infinito (ceros finitos o ceros en infinitos) con
K=.
• Cada parte del lugar geométrico de las raíces
sobre el eje real se extiende sobre un rango de un
polo o cero a otro polo o cero.

• Cuando el LGR tiende a infinito (s) lo hace en
forma asintótica (en línea recta).
• Cuando existen trayectorias entre dos polos
reales, entonces existen puntos de ruptura o
desprendimiento, donde la gráfica del LGR deja el
eje real y se mueve al plano complejo.
• Si existen trayectorias entre dos ceros reales,
entonces existirán puntos de ingreso, donde la
gráfica del LGR entra al eje real.
NOTA: Los puntos de ruptura e ingreso
corresponden a puntos en el plano s donde existen
raíces múltiples.

El procedimiento para graficar los LGR es:
1. Determinar los LGR sobre el eje real.
2. Determinar las asíntotas de los LGR.
3. Determinar los puntos de ruptura o
desprendimiento, o bien los puntos de ingreso,
según sea el caso.
4. Determinar los puntos en donde los LGR cruzan
el eje imaginario, si es el caso.
5. Seleccionar puntos de prueba en una vecindad
amplia del eje s=j y el origen. Todos aquellos
que cumplan la condición de ángulo
pertenecerán a la gráfica del LGR.

En caso de que G(s)H(s) tenga polos o ceros
complejos conjugados, después de encontrar la
asíntotas. En el paso 3 se deben calcular los
ángulos de salida (polos) o ángulos de llegada
(ceros) de las ramas del LGR. Para ello se
selecciona un punto de prueba y se mueve en la
cercanía precisa del polo complejo (o del cero
complejo), considerando que no cambia la suma de
las contribuciones angulares de todos los otros
polos y ceros.
Después de calcular dichos ángulos se continúa
con el procedimiento normal.

Ejemplo 1
Considere el sistema de la figura:
a) Trace la gráfica del lugar geométrico de las
raíces de acuerdo al procedimiento.
b) Determine el valor de K tal que el factor de
amortiguamiento relativo  de los polos
dominantes complejos conjugados en lazo
cerrado sea 0.5.

SOLUCIÓN a):
La función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s)
está dada por:
Las condiciones de magnitud y ángulo son:
Magnitud:
Ángulo:
Una vez definidas ambas condiciones se empieza a
trabajar el procedimiento de 5 pasos.

1. Determinar los LGR sobre el eje real:
Se ubican, mediante cruces, los polos en lazo abierto,
s=0, s=-1 y s=-2, en el plano complejo.
NOTA 1: Los ceros se ubicarían mediante círculos.
Para determinar los LGR sobre el eje real, se
selecciona un punto de prueba s sobre dicho eje en la
vecindad de cada uno de los polos (o ceros) y se les
aplica la condición de ángulo.
NOTA 2: Si el punto de prueba está a la derecha del
polo (o cero) su contribución es 0. Pero si está a la
izquierda del polo (o cero) su contribución es 180.

a) Eje real positivo:
b) Entre 0 y -1:
No es posible satisfacer la
condición de ángulo.
Por tanto, no hay un LGR
sobre el eje real positivo.
Sí se satisface la condición
de ángulo.
La parte del eje real
negativo entre 0 y - 1 forma
parte del LGR.

c) Entre -1 y -2:
d) Entre -2 y -:
No es posible satisfacer la
Por tanto, no hay un LGR
entre -1 y -2.
Sí se satisface la condición
de ángulo.
La parte del eje real
negativo entre -2 y - forma
parte del LGR.

El resultado del paso 1 es que existen lugares
geométricos de las raíces sobre el eje real negativo
entre 0 y -1 y entre -2 y -.
2. Determinar las asíntotas del LGR:
Las asíntotas de los LGR, conforme s tiende a
infinito, se determinan aplicando las siguientes
fórmulas:

Número de asíntotas (#As):
Centroide de las asíntotas (o):
Ángulos de las asíntotas (As):
Para el caso de este problema tenemos:

El resultado del paso 2 se muestra en la siguiente
figura:
3. Determinar puntos de ruptura o
desprendimiento:
Existe un procedimiento para obtener este tipo de
puntos de ruptura o desprendimiento.

a) Se parte de la ecuación característica y se
despeja K
b) Derivar K con respecto a s e igualar a cero la
ecuación resultante.
c) Obtener las raíces de la ecuación obtenida en el
inciso (b).
d) Seleccionar el o los puntos de ruptura del
sistema (no todas las raíces cumplen).
La primera raíz está entre -1 y 0 donde hay LGR y
la segunda entre -1 y -2 donde no hay LGR.

Por tanto se selecciona la primera raíz como único
punto de ruptura o desprendimiento.
La ganancia en ese punto de ruptura es:

4. Determinar los puntos donde las ramas del LGR
cruzan el eje imaginario.
Estos puntos se pueden encontrar de dos maneras:
a) Por el criterio de estabilidad de Routh.
b) Sustituyendo s=j en la ecuación característica
y resolver.
Criterio de estabilidad de Routh:
Se parte de la ecuación característica del sistema
en lazo cerrado
Con este polinomio se hace el arreglo de Routh.

La ganancia crítica se obtiene de:
El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar:
Las frecuencias en los puntos de cruce con el eje
imaginario son, por tanto, =√2. El valor de
ganancia que corresponde a los puntos de cruce es
K=6.
Ecuación auxiliar

Sustituyendo s=j en la ecuación característica:
Un enfoque alternativo es suponer que s=j en la
ecuación característica, igualar con cero tanto la
parte imaginaria como la parte como la real y
después despejar  y K.

5. Seleccionar puntos de prueba en una amplia
vecindad del eje j y el origen y aplicar la
Todos los puntos que
cumplan la condición de
ángulo pertenecen a la
gráfica del LGR
Gráfica del LGR con la
información obtenida.

SOLUCIÓN b):
Los polos en lazo cerrado con =0.5 se encuentran
sobre las líneas que pasan por el origen y forman
los ángulos ±cos-1, con el eje real negativo.
En este caso: ±cos-1(0.5)=60 con el eje real
negativo.

A partir de la Figura, tales polos en lazo cerrado
con =0.5 se obtienen del modo siguiente:
s1 = -0.3337 + j0.5780, s2 = -0.3337 –
j0.5780
El valor de K que producen tales polos se
encuentra a partir de la condición de magnitud,
del modo siguiente:
=1.0383
Tal y como se muestra en la figura.
Observe que, a partir del paso 4, se aprecia que
para K=6, los polos dominantes en lazo cerrado
se encuentran sobre el eje imaginario. Esto
indica que el sistema exhibirá oscilaciones
sostenidas.

Para K>6, los polos dominantes en lazo cerrado se
encuentran en el semiplano derecho del plano s,
produciendo un sistema inestable.
Por tanto, el rango de estabilidad de K para este
sistema es:
0 < K < 6
LGR en Matlab
En Matlab, el comando rlocus proporciona la
gráfica del LGR para cualquier función de
transferencia.
Así, para el sistema que se está analizando
tenemos:

Ejemplo 2
Considere el sistema de la figura:
Encuentre la gráfica del lugar geométrico de las
raíces (LGR).
SOLUCIÓN:
Condición Magnitud:
𝐾(𝑠 + 2)
𝑠2 + 2𝑠 + 3
= 1

Para la condición de ángulo necesitamos encontrar
los polos:
Con Matlab:
𝑠1= −1 + 𝑗 2
𝑠2= −1 − 𝑗 2
La F.T. de lazo abierto del sistema quedaría como:
G s =
K(s + 2)
(s + 1 − j 2)(s + 1 + j 2)

Condición de Ángulo:
 s + 2 −  s + 1 − j 2 −  s + 1 + j 2 = ±180° 2k + 1
Aplicando el procedimiento:
1. Determinar los LGR sobre el eje real:
NOTA: La aportación de polos (o ceros) complejos
sobre cualquier punto sobre el eje real es de 360.
a) Eje real positivo:
0 - 360 = -360  No hay LGR
b) Entre 0 y -2:
0 - 360 = -360  No hay LGR
c) Entre -2 y -
180 - 360 = -180  Si hay LGR

El resultado del paso 1 es que existe LGR sobre el
eje real negativo de -2 a -.
2. Determinar Asíntotas del LGR:
#As = n − m = 2 − 1 = 1 asíntota
𝜎𝑜 =
𝑝𝑖 − 𝑧𝑖
𝑛 − 𝑚
=
−1 + 𝑗 2 − 1 − 𝑗 2 − (−2)
1
= 0
𝐴𝑠 =
±180°(2𝑘 + 1)
𝑛 − 𝑚
= +180°
El resultado del paso 2 es que existe una asíntota
que inicia en 0 (origen) y como es de +180
coincide con el eje real negativo.
Antes de determinar puntos de ingreso
necesitamos encontrar ángulos de salida de los
polos complejos conjugados

Las ramas de los LGR iniciarán en los polos
complejos por lo que necesitamos encontrar los
ángulos de salida:
3. Determinar ángulos de salida de los polos
complejos:
Se coloca un punto de prueba en la vecindad de
uno de los dos polos y se aplica la condición de
ángulo:
1 − θ1 − θ2 = ±180°(2k + 1)
Trazando líneas auxiliares del polo 1 al
polo 2 y al cero se forman los ángulos
1’ y 2’. Con 2’=90.

Y 1’ se obtiene del triángulo rectángulo formado
aplicando la tangente inversa
1
′
= tan−1 2 = 55°
La condición de ángulo quedaría como:
1
′
− θ1 − θ2
′
= −180°
El ángulo de salida buscado es 1. Despejando
utilizando los resultados anteriores tenemos:
θ1 = 180° + 1
′
− θ2
′
= 180° + 55° − 90° = 145°
Por analogía para el polo 2 el ángulo de salida
sería de -145
Una vez determinados los ángulos de salida, las
ramas del LGR deben ingresar al eje real entre -2 y
-, pues es donde existe LGR.

4. Determinar puntos de ingreso
Este paso se hace exactamente igual al de los
puntos de ruptura o desprendimiento, pues
matemáticamente se refiere a puntos donde
ocurren raíces múltiples:
1 +
K(s + 2)
s2 + 2s + 3
= 0 → K = −
s2
+ 2s + 3
s + 2
dK
ds
= −
s + 2 2s + 2 − s2
+ 2s + 3
s + 2 2
= 0
s2 + 4s + 1 = 0
s = -3.7321 Si es punto de ingreso
s = -0.2679 No es punto de ingreso

Como las ramas del LGR iniciarán en los polos
complejos y terminarán en los ceros, esta gráfica
no tendrá cruces por el eje imaginario. Por tanto
con la información obtenida ya se puede trazar la
gráfica.
Gráfica del LGR En Matlab

Actividad 2 (Problemas)
1. Un sistema de control con retroalimentación
unitaria tiene la siguiente función de
transferencia de lazo abierto.
G s =
K
s s + 2 (s + 4)
a) Utilice el procedimiento adecuado para obtener
la gráfica del LGR.
b) Encuentre el valor de K de manera que =0.5.
c) Compruebe los resultados de los incisos
anteriores utilizando Matlab.

2. Un sistema de control con retroalimentación
unitaria tiene la siguiente función de
transferencia de lazo abierto.
G s =
K
s s2 + 4s + 11

3. Considere el sistema de control de la siguiente
figura.

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