This document discusses stability analysis of control systems using concepts like gain margin, phase margin, and Nyquist stability criterion. It begins by defining gain margin and phase margin, which are used to determine the relative stability of a closed-loop system from its open-loop transfer function. Next, it provides an example of calculating gain and phase margins for a given transfer function. Finally, it introduces the Nyquist stability criterion, which relates the open-loop frequency response to closed-loop stability by examining how the open-loop transfer function maps the complex plane.
En esté trabajo vamos a ver que las transformaciones se pueden considerar como sistemas de coordenadas definidos respecto a un sistema de coordenadas global, y veremos la ventaja de comprender esta dualidad en el ámbito de los gráficos por ordenador
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de cualquier punto de un espacio vectorial.
Estos sistemas de coordenadas son de suma importancia ya que para resolver problemas de electrotástica, magnetostática y
campos variables en el tiempo, tenemos que tener un conocimiento previo de cómo utilizarlos y cómo hacer cambios de bases
vectoriales entre ellos para que la resolución de los problemas sea menos compleja.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Para adentrarnos en el tema de transformación de coordenadas, considero que es importante conocer primeramente, la definición y/u concepto
de lo que es un sistema de coordenadas, así que iniciando desde este punto, tenemos que:
Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un
punto u objeto geométrico.
El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las
puede representar con letras, como por ejemplo (la coordenada-x). El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría
analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica“.
Teniendo esto en claro, podemos definir a aquello que se conoce como Transformación de coordenadas… Entonces, tenemos que:
La transformación de coordenadas es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.
Analíticamente, la ley se expresa por una o mas ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación.
También se define como el cambio de posición de los ejes de referencia en un sistema de coordenadas, ya sea por traslación, rotación, o ambas. El propósito de dicho cambio por lo general es simplificar la ecuación de una curva para manejo posterior.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES
Primero definiremos a cada sistema de coordenadas…
Coordenadas Rectangulares:son aquellas que nos permiten determinar la ubicación de un punto mediante dos distancias y refiriéndolas a una dirección base y a un punto base.
En esté trabajo vamos a ver que las transformaciones se pueden considerar como sistemas de coordenadas definidos respecto a un sistema de coordenadas global, y veremos la ventaja de comprender esta dualidad en el ámbito de los gráficos por ordenador
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de cualquier punto de un espacio vectorial.
Estos sistemas de coordenadas son de suma importancia ya que para resolver problemas de electrotástica, magnetostática y
campos variables en el tiempo, tenemos que tener un conocimiento previo de cómo utilizarlos y cómo hacer cambios de bases
vectoriales entre ellos para que la resolución de los problemas sea menos compleja.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Para adentrarnos en el tema de transformación de coordenadas, considero que es importante conocer primeramente, la definición y/u concepto
de lo que es un sistema de coordenadas, así que iniciando desde este punto, tenemos que:
Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un
punto u objeto geométrico.
El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las
puede representar con letras, como por ejemplo (la coordenada-x). El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría
analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica“.
Teniendo esto en claro, podemos definir a aquello que se conoce como Transformación de coordenadas… Entonces, tenemos que:
La transformación de coordenadas es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.
Analíticamente, la ley se expresa por una o mas ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación.
También se define como el cambio de posición de los ejes de referencia en un sistema de coordenadas, ya sea por traslación, rotación, o ambas. El propósito de dicho cambio por lo general es simplificar la ecuación de una curva para manejo posterior.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES
Primero definiremos a cada sistema de coordenadas…
Coordenadas Rectangulares:son aquellas que nos permiten determinar la ubicación de un punto mediante dos distancias y refiriéndolas a una dirección base y a un punto base.
Simple Regression presentation is a
partial fulfillment to the requirement in PA 297 Research for Public Administrators, presented by Atty. Gayam , Dr. Cabling and Mr. Cagampang
I am Martina J. I am a Signals and Systems Assignment Expert at matlabassignmentexperts.com. I hold a Master's in Matlab, from the University of Maryland. I have been helping students with their assignments for the past 9 years. I solve assignments related to Signals and Systems.
Visit matlabassignmentexperts.com or email info@matlabassignmentexperts.com.
You can also call on +1 678 648 4277 for any assistance with Signals and Systems assignments.
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Welcome to WIPAC Monthly the magazine brought to you by the LinkedIn Group Water Industry Process Automation & Control.
In this month's edition, along with this month's industry news to celebrate the 13 years since the group was created we have articles including
A case study of the used of Advanced Process Control at the Wastewater Treatment works at Lleida in Spain
A look back on an article on smart wastewater networks in order to see how the industry has measured up in the interim around the adoption of Digital Transformation in the Water Industry.
NUMERICAL SIMULATIONS OF HEAT AND MASS TRANSFER IN CONDENSING HEAT EXCHANGERS...ssuser7dcef0
Power plants release a large amount of water vapor into the
atmosphere through the stack. The flue gas can be a potential
source for obtaining much needed cooling water for a power
plant. If a power plant could recover and reuse a portion of this
moisture, it could reduce its total cooling water intake
requirement. One of the most practical way to recover water
from flue gas is to use a condensing heat exchanger. The power
plant could also recover latent heat due to condensation as well
as sensible heat due to lowering the flue gas exit temperature.
Additionally, harmful acids released from the stack can be
reduced in a condensing heat exchanger by acid condensation. reduced in a condensing heat exchanger by acid condensation.
Condensation of vapors in flue gas is a complicated
phenomenon since heat and mass transfer of water vapor and
various acids simultaneously occur in the presence of noncondensable
gases such as nitrogen and oxygen. Design of a
condenser depends on the knowledge and understanding of the
heat and mass transfer processes. A computer program for
numerical simulations of water (H2O) and sulfuric acid (H2SO4)
condensation in a flue gas condensing heat exchanger was
developed using MATLAB. Governing equations based on
mass and energy balances for the system were derived to
predict variables such as flue gas exit temperature, cooling
water outlet temperature, mole fraction and condensation rates
of water and sulfuric acid vapors. The equations were solved
using an iterative solution technique with calculations of heat
and mass transfer coefficients and physical properties.
Overview of the fundamental roles in Hydropower generation and the components involved in wider Electrical Engineering.
This paper presents the design and construction of hydroelectric dams from the hydrologist’s survey of the valley before construction, all aspects and involved disciplines, fluid dynamics, structural engineering, generation and mains frequency regulation to the very transmission of power through the network in the United Kingdom.
Author: Robbie Edward Sayers
Collaborators and co editors: Charlie Sims and Connor Healey.
(C) 2024 Robbie E. Sayers
Final project report on grocery store management system..pdfKamal Acharya
In today’s fast-changing business environment, it’s extremely important to be able to respond to client needs in the most effective and timely manner. If your customers wish to see your business online and have instant access to your products or services.
Online Grocery Store is an e-commerce website, which retails various grocery products. This project allows viewing various products available enables registered users to purchase desired products instantly using Paytm, UPI payment processor (Instant Pay) and also can place order by using Cash on Delivery (Pay Later) option. This project provides an easy access to Administrators and Managers to view orders placed using Pay Later and Instant Pay options.
In order to develop an e-commerce website, a number of Technologies must be studied and understood. These include multi-tiered architecture, server and client-side scripting techniques, implementation technologies, programming language (such as PHP, HTML, CSS, JavaScript) and MySQL relational databases. This is a project with the objective to develop a basic website where a consumer is provided with a shopping cart website and also to know about the technologies used to develop such a website.
This document will discuss each of the underlying technologies to create and implement an e- commerce website.
HEAP SORT ILLUSTRATED WITH HEAPIFY, BUILD HEAP FOR DYNAMIC ARRAYS.
Heap sort is a comparison-based sorting technique based on Binary Heap data structure. It is similar to the selection sort where we first find the minimum element and place the minimum element at the beginning. Repeat the same process for the remaining elements.
Hybrid optimization of pumped hydro system and solar- Engr. Abdul-Azeez.pdffxintegritypublishin
Advancements in technology unveil a myriad of electrical and electronic breakthroughs geared towards efficiently harnessing limited resources to meet human energy demands. The optimization of hybrid solar PV panels and pumped hydro energy supply systems plays a pivotal role in utilizing natural resources effectively. This initiative not only benefits humanity but also fosters environmental sustainability. The study investigated the design optimization of these hybrid systems, focusing on understanding solar radiation patterns, identifying geographical influences on solar radiation, formulating a mathematical model for system optimization, and determining the optimal configuration of PV panels and pumped hydro storage. Through a comparative analysis approach and eight weeks of data collection, the study addressed key research questions related to solar radiation patterns and optimal system design. The findings highlighted regions with heightened solar radiation levels, showcasing substantial potential for power generation and emphasizing the system's efficiency. Optimizing system design significantly boosted power generation, promoted renewable energy utilization, and enhanced energy storage capacity. The study underscored the benefits of optimizing hybrid solar PV panels and pumped hydro energy supply systems for sustainable energy usage. Optimizing the design of solar PV panels and pumped hydro energy supply systems as examined across diverse climatic conditions in a developing country, not only enhances power generation but also improves the integration of renewable energy sources and boosts energy storage capacities, particularly beneficial for less economically prosperous regions. Additionally, the study provides valuable insights for advancing energy research in economically viable areas. Recommendations included conducting site-specific assessments, utilizing advanced modeling tools, implementing regular maintenance protocols, and enhancing communication among system components.
Saudi Arabia stands as a titan in the global energy landscape, renowned for its abundant oil and gas resources. It's the largest exporter of petroleum and holds some of the world's most significant reserves. Let's delve into the top 10 oil and gas projects shaping Saudi Arabia's energy future in 2024.
Immunizing Image Classifiers Against Localized Adversary Attacksgerogepatton
This paper addresses the vulnerability of deep learning models, particularly convolutional neural networks
(CNN)s, to adversarial attacks and presents a proactive training technique designed to counter them. We
introduce a novel volumization algorithm, which transforms 2D images into 3D volumetric representations.
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and CIFAR-100) and ImageNet Large Scale Visual Recognition Challenge (ILSVRC12) datasets, showcasing
accuracy improvements over previous techniques. The results indicate that the combination of the volumetric
input and curriculum learning holds significant promise for mitigating adversarial attacks without necessitating
adversary training.
We have compiled the most important slides from each speaker's presentation. This year’s compilation, available for free, captures the key insights and contributions shared during the DfMAy 2024 conference.
Ingeniería de control: Tema 2a Estabilidad relativa y criterio de estabilidad de NYQUIST
1. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tecnológico Nacional de
México
Instituto Tecnológico de
Matamoros
CONTROL II
TEMA IIa: ESTABILIDAD RELATIVA Y CRITERIO DE
ESTABILIDAD DE NYQUIST
2. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Utiliza los conceptos de margen de ganancia y margen
de fase, así como el criterio de estabilidad de Nyquist
para analizar la estabilidad de un sistema de control.
Competencia Específica
3. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
SUBTEMAS
1.5 Margen de fase y margen de ganancia.
1.6 Criterio de estabilidad de Nyquist.
4. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
1.5 Márgenes de Ganancia y de Fase
Son conceptos que se utilizan para analizar la
estabilidad de un sistema utilizando los diagramas de
Bode.
El método permite determinar la estabilidad relativa de
un sistema de control en lazo cerrado con un simple
análisis del sistema en lazo abierto.
Margen de ganancia (MG):
Es una medida de la estabilidad relativa, se define como
la magnitud del recíproco de la función de transferencia
de lazo abierto y se calcula a la frecuencia c, a la cual,
el ángulo de fase es de -180º.
5. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
MG =
1
G(jωc)
= −20 log G(jωc)
Donde:
G jωc = −180°
ωc = frecuencia de cruce de ganancia o frecuencia
crítica.
MARGEN DE FASE (m):
Es una medida de la estabilidad relativa y se define
como la suma de 180º al ángulo de fase g de la función
de transferencia de lazo abierto de ganancia unidad.
m = 180° + jωg °
6. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Donde:
G jωg = 1 ó G jωg dB
= 20 log 1 = 0 dB
ωg = frecuencia de cruce de ganancia.
ESTABILIDAD RELATIVA:
Los conceptos de margen de ganancia y margen
permiten determinar la estabilidad de un sistema según
el siguiente criterio:
Un sistema es estable si MG > 0 y m > 0
Estos conceptos no solo indican la estabilidad en
términos absolutos sino que permiten dar un margen de
que tan lejos está un sistema de la estabilidad o
inestabilidad, esto ya que entre más pequeños se hagan
los valores del margen de ganancia y de fase más
tendera el sistema hacia la inestabilidad y viceversa.
7. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
EJEMPLO 1
Determine los márgenes de ganancia y fase para un sistema
cuya función de transferencia de lazo abierto está dada por:
G s =
5
s(s2 + 2s + 4)
SOLUCIÓN:
G jω =
5
4jω
jω 2 + 2jω + 4
4
=
1.25
jω 0.25 jω 2 + 0.5jω + 1
G(jω) =
1.25
0.25 jω 3 + 0.5 jω 2 + jω
=
1.25
−0.5ω2 + jω 1 − 0.25ω2
En dB:
G(jω) dB = 20 log 1.25 − 20 log ω − 20 log 1 − 0.25ω2 2 + 0.5ω 2
G jω = 0° − 90° − tan−1
0.5ω
1 − 0.25ω2
8. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Para calcular el margen de ganancia buscamos la
frecuencia donde el ángulo sea -180.
−180° = 0° − 90° − tan−1
0.5ωc
1 − 0.25ωc
2
Observamos que la tangente inversa será 90 en c=n, es
decir, en la frecuencia de corte del factor cuadrático.
jω 2
4
=
jω
2
2
=
jω
ωn
2
→ ωn = ωc = 2 rad
s
A esa frecuencia calculamos el margen de ganancia:
G(j2) =
1.25
−0.5 2 2 + j(2) 1 − 0.25(2)2
G(j2) =
1.25
−2 + j2 − j2
=
1.25
2
= 0.625
MG = −20 log 0.625 = 4.08 dB
9. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Para calcular el margen de fase buscamos la frecuencia
donde la magnitud sea 1 o 0 dB .
G(jωg) =
1.25
−0.5ωg
2 + jωg 1 − 0.25ωg
2
= 1
Entonces
1.25
−0.5ωg
2 2
+ ωg − 0.25ωg
3 2
= 1
1.25
0.25ωg
4
+ ωg
2 − 0.5ωg
4 + 0.0625ωg
6
= 1
Elevando al cuadrado ambos términos:
1.5625
0.0625ωg
6 − 0.25ωg
4
+ ωg
2
= 1
0.0625ωg
6
− 0.25ωg
4
+ ωg
2
− 1.5625 = 0
10. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Resolviendo en Matlab:
De las 6 raíces 4 son complejas y 2 son reales. De las 2
reales tomamos la frecuencia positiva. Entonces:
ωg = 1.443 rad
s
Obtenemos el ángulo de fase a esa frecuencia y
calculamos el margen de fase:
G jω = 0° − 90° − tan−1
0.5(1.443)
1 − 0.25(1.443)2
= −146.4°
11. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Márgenes de Ganancia y de Fase en Matlab
El comando “margin” calcula el margen de ganancia
(MG), el margen de fase (m) y las correspondientes
frecuencias de cruce (c y g)
Cuando se introduce el comando margin, Matlab
produce las representaciones de Bode con los
márgenes de ganancia y de fase marcados con líneas
verticales. En la parte superior de la gráfica aparecen los
valores de ambos márgenes, así como las
correspondientes frecuencias de cruce de ganancia. Los
argumentos requeridos para este comando son el
numerador y denominador de la función de
transferencia, es decir:
margin(num,den)
12. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
m = 180 − 146.4 ° = 33.6°
Se observa que MG>0 y m>0, entonces el sistema es
estable.
Esto se puede comprobar aplicando la función escalón a
la función de transferencia de lazo cerrado.
En Matlab:
13. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
EJEMPLO 2
Determine los márgenes de ganancia y fase en Matlab
para el sistema del ejemplo anterior:
G s =
5
s(s2 + 2s + 4)
SOLUCIÓN:
14. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
EJEMPLO 3
Evalúe la estabilidad de dos sistemas cuyas funciones
de transferencia de lazo abierto están dadas por:
1. G s =
3s + 1
s(5s3 + 3𝑠2 + 4s + 2)
2. G s =
3s + 1
5s3 + 3𝑠2 + 4s + 2
SOLUCIÓN:
Resolvemos ambos sistemas en Matlab utilizando el
comando margin.
Sistema 1
15. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
De acuerdo al resultado
se observa que MG=-19.5 dB
a c=0.879 rad/s y m=-
71.9 a g=1.12 rad/s.
Por tanto se concluye que el
sistema es inestable porque
los márgenes son negativos,
comprobemos con la
respuesta al escalón en lazo
cerrado.
16. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Sistema 2
En la figura se observa que MG= a c= rad/s y m=17 a
g=1.15 rad/s. Por tanto, el sistema es estable,
comprobemos con la respuesta al escalón en lazo cerrado.
17. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
NOTA:
Para obtener un desempeño satisfactorio del sistema el
margen de fase debe estar entre 30 y 60 y el de
ganancia debe ser mayor a 6dB.
18. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
1.6 Criterio de estabilidad de Nyquist
El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la
respuesta en frecuencia de lazo abierto con la
estabilidad en lazo cerrado.
Se basa en un teorema de la variable compleja que se
fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano
complejo.
TRANSFORMACIÓN DE CONTORNOS EN EL PLANO
s
Suponga que se quiere transformar una serie de valores
de s en el plano s, donde todos ellos forman una
trayectoria cerrada o contorno , utilizando la función:
F s = 2s + 1
19. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene
su representación en el plano F(s). Se evalúan todos los
puntos del contorno y se obtiene un contorno en el plano
F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva
la misma forma que el contorno del plano s,
(Transformación conforme).
Ambos contornos se consideran que tienen un sentido
positivo.
20. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Ahora, se transforma el mismo contorno en plano s,
utilizando otra función de transformación:
En este caso la transformación es no conforme pero
conserva el sentido positivo.
Existe una característica muy interesante que ocurre
cuando el contorno del plano s encierra a ceros o polos la
función:
21. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
1. Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
el mismo sentido del contorno en plano s.
2. Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o
polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra
al origen.
3. Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
sentido contrario.
22. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
1. Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
el mismo sentido del contorno en plano s.
2. Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o
polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra
al origen.
3. Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
sentido contrario.
23. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
4. Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un
polo de la función, el contorno en el plano F(s) no
encierra al origen.
24. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Todos estos resultado son consecuencia del principio del
argumento (Teorema de Cauchy).
TEOREMA DE CAUCHY:
Si un contorno en el plano s rodea Z ceros y P polos de
F(s) y no pasa a través de ningún polo o cero de F(s)
cuando el recorrido es en la dirección del movimiento del
reloj a lo largo de contorno s, el contorno
correspondiente en el plano F(s), rodea al origen de
dicho plano, N = Z – P veces en la misma dirección.
CRITERIO DE NYQUIST:
Sea la ecuación característica:
1 + G s = 0 →
K i=1
m
s + si
k=1
n
s + sk
= 0
25. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F(s)
deben de estar localizados en la parte izquierda del
plano s. Por tal motivo se escoge un contorno en el
plano s que encierre toda la parte derecha del plano y
por medio del teorema de Cauchy se determina que
ceros están dentro del contorno. Esto se logra
graficando en el plano F(s) y observando el número de
rodeos al origen.
Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo
abierto G(s) por ser relativamente más sencillo,
entonces:
1 + G s = 0 → G s = −1
Con este cambio los rodeos se analizarán sobre el punto
(-1 + j0) del plano F(s).
26. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST:
Un sistema de retroalimentación es estable si y
solamente si, el contorno G en el plano G(s) no rodea
el punto (-1 +j0) cuando el número de polos de G(s) en
la parte derecha del plano s es cero.
27. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Un sistema de control con retroalimentación es estable
si y solamente si, en el contorno G el número de
rodeos al punto (-1 +j0) en el sentido contrario al
movimiento del reloj es igual al número de polos de G(s)
con partes reales positivas.
ESTABILIDAD RELATIVA Y CRITERIO DE NYQUIST
El criterio de estabilidad de Nyquist se define en
términos del punto (-1 + j0) en la gráfica polar. La
proximidad a ese punto determina la estabilidad relativa
de un sistema.
El margen de ganancia. Se define como el recíproco de
la ganancia G(jω) para la frecuencia en que el ángulo
de fase alcanza -180°.
28. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
El margen de ganancia es el factor por el cual se tendrá
que multiplicar la ganancia del sistema para que el lugar
geométrico pase a través del punto (-1 + j0).
El margen de fase, se define como el ángulo de fase
que se debe girar el lugar geométrico G(j) para que el
punto de magnitud unitaria pase a
través del punto (-1 + j0) en el plano G(j).
29. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
EJEMPLO:
Realice la gráfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de:
)
5
)(
4
(
)
(
s
s
s
K
s
G
SOLUCIÓN:
Para realizar el contorno primero se divide el contorno en cuatro tramos:
s
G
Plano s
j
s
0
j
0
Tramo 1 (T1). Se evalúa la función desde la
frecuencia hasta , (gráfica polar).
0
Tramo 2 (T2). Desde la frecuencia a la
frecuencia . En este caso se cambia
la variable s de la función por donde
representa un radio de valor infinito y es
una evaluación angular de 90º a -90º.
j
j
j
e
j
e
Tramo 3 (T3). Se evalúa la función desde la
frecuencia hasta , (espejo de la
gráfica polar).
0
j
Contorno s
1
T
2
T
3
T
4
T
30. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tramo 4 (T4). Desde la frecuencia a la
frecuencia . En este caso se cambia la
variable s de la función por donde
representa un radio de valor muy pequeño y es
una evaluación angular de -90º a 90º. El tramo se
diseña para rodear a posibles ceros o polos en el
origen de la función a evaluar.
0
0
j
e
j
e
T1. Se cambia en la función la variable s por y se obtiene la gráfica polar
j
20
4
5
)
5
)(
4
(
)
(
)
5
)(
4
(
)
( 2
2
3
j
j
K
j
j
j
K
j
G
s
s
s
K
s
G
se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del denominador
)
20
(
9
)
20
(
9
)
20
(
9
)
( 2
2
2
2
2
2
j
j
j
K
j
G
31. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
400
41
)
20
(
400
41
9
)
( 3
5
2
2
4
K
j
K
j
G
Para obtener la gráfica polar se evalúa la ecuación resultante desde hasta
0
0
j
K
K
j
K
G
400
9
)
0
(
400
)
0
(
41
)
0
(
)
)
0
(
20
(
400
)
0
(
41
)
0
(
9
)
0
( 3
5
2
2
4
0
0
)
(
400
)
(
41
)
(
)
)
(
20
(
400
)
(
41
)
(
9
)
0
( 3
5
2
2
4
j
K
j
K
G
Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar valores
muy pequeños para aproximar y valores muy grande de para aproximar
cuando
0
.
32. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Entonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la gráfica polar.
0
como a la frecuencia el valor es final es 0+j0,
se tiene que la gráfica polar llega a cero por el
cuadrante superior izquierdo. Como se inició en el
cuadrante inferior izquierdo, existe un cruce por el
eje real y su valor se obtiene al igualar a cero la
parte imaginaria de la ecuación resultante:
400
41
)
20
(
0 3
5
2
K
j
20
2
20
0
y esta frecuencia se evalúa en la parte real
400
)
20
(
41
)
20
(
9
)
Re( 2
4
K
180
1
)
Re(
K
Se obtiene otro punto para la
gráfica. Con ellos se dibuja de
manera aproximada la gráfica
polar. (Nota: para una mejor
aproximación de la gráfica, se
pueden evaluar más frecuencias)
j
180
K
Figura. Gráfica polar.
jv
u
33. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
T2. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde 90º a -90º
j
e
)
5
)(
4
(
)
(
s
s
s
K
s
G
)
5
)(
4
(
)
(
j
j
j
e
e
e
K
j
G
Infinito
Infinito
pequeño
pequeño
3
3
0
)
)(
(
)
( j
j
j
j
j
e
e
K
e
e
e
K
j
G
Plano s
j
s
0
j
0
Contorno s
2
T
El punto ej90 en el plano s mapea al punto
0-270 = 0-90 en el plano F(s).
El punto ej80 en el plano s mapea al punto
0-240 en el plano F(s).
El punto e-j30 en el plano s mapea al punto 090 .en
el plano F(s).
Se evalúan todos los puntos posible hasta deducir
que el tramo 2 forma en el plano F(s)
34. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
El resultado es tres medias vueltas de radio cero empezando en 90º con dirección
antihoraria.
jv
u
0
radio
Plano F(s), tramo 2.
T3. Es el espejo de la gráfica polar (tramo 1)
0
180
K
jv
u
Plano F(s), tramo 2.
T4. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde -90º a 90º
j
e
)
5
)(
4
(
)
(
s
s
s
K
s
G
)
5
)(
4
(
)
(
j
j
j
j
e
e
e
K
e
G
muy muy pequeño relativ, grande
35. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
j
j
j
j
e
e
K
e
K
e
G
)
5
)(
4
(
)
(
Plano s
j
s
0
j
0
Contorno s
2
T
El punto en el plano s mapea al punto . en
el plano F(s).
º
90
e
º
90
e
El punto en el plano s mapea al punto .
en el plano F(s).
º
45
e
º
45
e
P
j
0
j
Plano F(s)
Contorno . Tramo 4.
P
36. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
0
j
180
K
Figura. Gráfica de Nyquist.
jv
u
T1
T3
T4
T2
1
Criterio de Nyquist:
Como el sistema no tiene polos inestables en
lazo abierto, para que sea estable se necesita
que no haya rodeos al punto -1. Entonces el
rango de estabilidad es
180
0
K
37. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Criterio de estabilidad de Nyquist en Matlab
Utilizando el comando nyquist de Matlab se obtiene la
traza polar de una función de transferencia para todo el
rango de frecuencias de -. Analizando esta traza
podemos verificar si se presentan cualquiera de los
siguientes casos:
1. Si el punto -1 + j0 no está rodeado, entonces el
sistema será sistema es estable siempre y cuando
no haya polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho
del plano “s”; de lo contrario, el sistema será
inestable.
38. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
2. Si el punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces
en sentido contrario al de las agujas del reloj,
entonces el sistema será estable si el número de
rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj
es igual al número de polos G(s)H(s) en el semiplano
derecho del plano “s”; de lo contrario, el sistema será
inestable.
3. Si el punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces
en el sentido de las agujas del reloj, entonces el
sistema será inestable.