Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
-1-
BARISAN DAN DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA
PENGERTIAN BARISAN DAN DERET
Barisan yaitu susunan bilangan ya...
-2-
Jawab : …………….
Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U5 21= dan U10 41= . Tentukan U15 !
Jawab : …………….
LATIHAN...
-3-
])1(2[
2
1
bnanSn −+= Sn : jumlah n suku pertama
U S Sn n n= − −1
Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !
a) 1+3+5+...sampai 5...
-4-
4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3
5. Tentukan U8 jika S n...
-5-
Jadi
9,3,13
1,3,9
3
1
0)3)(13(031031333
3 2
abilangannyr
abilangannyr
rrrrrxr
r
⇒=
⇒=
=−−⇔=+−⇒=++
Contoh 5: Tentukan x...
-6-
nnn
n
nnn
n
ararararararrS
rxarararararaS
++++++=
++++++=
−−
−−−
1232
1232
.............
..............
-
n
nn ararSS ...
-7-
S
a r
r
a
r
r
r
n
n n
=
−
−
=
−
−
−
( )1
1 1 1
Untuk n → ∞ maka :
=∞S
∞→n
Lim
)
11
(
r
r
r
a n
−
−
−
Untuk –1 < r < 1 ...
-8-
3. NOTASI SIGMA
Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan
digunakan notasi sigm...
-9-
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
+
−
−
n
k
k
n
k
ki
i
k
xe
n
n
d
kc
ib
ka
1
6
0
10
1
7
3
2
7
1
2.
2
.
3)1(.
.
)45(.
2. Tulislah dal...
-10-
Misal untuk sembarang n = k maka )1(
2
.....321 +=++++ k
k
k benar.
Sehingga untuk n = k+1 :
)2(
2
1
2
)1(2
)1(
2
)1(...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

4

Share

Download to read offline

Barisan dan deret, notasi sigma, dan induksi matematika

Download to read offline

notasi sigma

Related Books

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Related Audiobooks

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Barisan dan deret, notasi sigma, dan induksi matematika

  1. 1. -1- BARISAN DAN DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret. Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan Geometri. 1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG) 1.1 BARISAN ARITMETIKA Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b. Contoh-contoh barisan Aritmetika : 1) 1,3,5,.... bedanya b = ... 2) 0,5,10,... bedanya b = ... 3) 100,97,94,... bedanya b = ... 4) 3 2 , 7 2 ,11 2 ,... bedanya b = ... . Suku ke-n barisan aritmetika Jika suku pertama = U1 = a dan beda = b, maka : Un = a + (n – 1) b Un : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih b = 1−− nn UU Contoh 1 : Tentukan beda dari : a) 1,5,9 b) 10, 8 1 2 ,7,... Jawab : a) …………. b) …………. Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... ! Jawab : …………… Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 ! Jawab : ………….. Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... ! Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  2. 2. -2- Jawab : ……………. Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U5 21= dan U10 41= . Tentukan U15 ! Jawab : ……………. LATIHAN SOAL 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut ! a) 3.5.7,... c) 20,17,14,... b) 1,1 1 2 ,2,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,... 2. Tentukan suku yang diminta ! a) 4,10,16,... suku ke-25 b) 20 3 ,18 3 ,16 3 ,... suku ke-40 3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut : a) b = 4, U6 21= , a = ... b) a = -5, U20 33= , b = ... c) a = 9, b = -2, Un = −19 , n = ... d) U4 1= , U7 8= − , a = ... , b = ... e) U3 7 1 2 = , U6 15= , U10 =... 4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu ! 5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika ! 6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan ! 1.2DERET ARITMETIKA Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan. Jumlah n suku pertama deret aritmetika abababUbUUS UbUbUbabaaS UUUUUS nnnn nnnn nnn ++++++−+−+= +−+−++++++= +++++= − )()2(.......)2()( )()2(..........)2()( ....... 1321 + )(2 )()()(........)()()(2 nn nnnnnnn UanS UaUaUaUaUaUaS += ++++++++++++= S n a Un n= + 1 2 ( ) , karena U a n bn = + −( )1 , maka : Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  3. 3. -3- ])1(2[ 2 1 bnanSn −+= Sn : jumlah n suku pertama U S Sn n n= − −1 Contoh 1: Hitunglah jumlahnya ! a) 1+3+5+...sampai 50 suku b) 2+5+8+...+272 Jawab : a) …………….. b) ……………. Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192 Jawab : …………… Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 ! Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = 1S =…….. Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = 2S = …… Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = 1S - 2S = …….. Contoh 4: Tentukan U10 jika S nn = 2 Jawab : ………… LATIHAN SOAL 1. Tentukan jumlah dari : a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... + 53 d) 25+21+17 + ... + 1 2. Tentukan x jika ; a) 1+3+5+ ... + x = 441 b) 1+5+9+ ... + x = 561 3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut : a) a = 2, S b22 737= =, ... b) b=5,U S10 1546= =, ... c) U U S4 7 109 18= = =, , ... Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  4. 4. -4- 4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3 5. Tentukan U8 jika S n nn = +2 2 6. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m, jika bola pantulannya 1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6 2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR) 2.1 BARISAN GEOMETRI Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r. Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,... Jawab : ………….. Suku ke-n barisan geometri Jika suku pertama u a1 = dan rasio = r, maka : 1− = n n arU Dimana 1− = n n U U r Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,.... Jawab : ……………. Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,... Jawab : ……………… Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 4= dan U5 16= . Tentukan U8 ! Jawab : ………………. Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu ! Jawab : Misal ketiga bilangan itu xrx r x ,, maka 32727.. 3 =⇔=⇔= xxxrx r x Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  5. 5. -5- Jadi 9,3,13 1,3,9 3 1 0)3)(13(031031333 3 2 abilangannyr abilangannyr rrrrrxr r ⇒= ⇒= =−−⇔=+−⇒=++ Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri ! Jawab : …………….. LATIHAN SOAL 1. Tentukan suku yang diminta dari barisan : a) 1,3,9,..... suku ke-7 b) 3,6,12,....suku ke-8 c) 16,8,4, ... suku ke-10 2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan : a) 1 4 1 2 1, , ,.... b) 2 2 2 4, , ,.... 3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut : a) a U U= = =4 324 6, , ... b) b U a= = = 1 3 35, , ... c) U U U3 6 58 64= = − =, , ... d) U U U3 5 21 25= = =, , ... 4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu ! 5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri ! 6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 ! 2.2 DERET GEOMETRI Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri. Jumlah n suku pertama deret geometri Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  6. 6. -6- nnn n nnn n ararararararrS rxarararararaS ++++++= ++++++= −− −−− 1232 1232 ............. .............. - n nn ararSS −=− 1, 1 )1( 1 )1( ≠ − − = − − = r r ra r ra S nn n dimana U S Sn n n= − −1 Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+.... Jawab : …………… Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243 Jawab : ……………… Contoh 3: Tentukan n jika 1 2 2 2 2552 + + + + =.... n Jawab : ……………… LATIHAN SOAL 1. Tentukan jumlah dari : a) 1 4 1 2 1 10+ + + =.... ...S b) 36+18+9+.... S6 =... c) 2 2 2 2 8+ + + =... ...S 2. Tentukan jumlah dari : a) 1/3+1+3=....+81 b) 32+16+8+....+1/8 3. Tentukan n jika : a) 3 3 3 3 3632 3 + + + + =... n b) 2 2 2 2 10222 3 1 + + + + =− ... n 4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a) U U S1 3 550 200= = =, , ... b) a r S nn= = = =1 3 29524, , , ... c) S r a8 15 5 6 1 2 = = =, , ... 5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula ! 2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  7. 7. -7- S a r r a r r r n n n = − − = − − − ( )1 1 1 1 Untuk n → ∞ maka : =∞S ∞→n Lim ) 11 ( r r r a n − − − Untuk –1 < r < 1 maka : =∞S rr a − − − 1 0 1 sehingga =∞S r a −1 syarat –1 < r < 1 Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1 Contoh 1: Hitung .... 4 1 2 1 1 +++ Jawab : ……………… Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !) Jawab : ………………. Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9, maka tentukan rasionya ! Jawab : ……………………. LATIHAN SOAL 1. Hitunglah jumlahnya dari : a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+…. b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+…. c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+…. d. 1/2+1/3+2/9+…. h. ....122 +++ 2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a. r = -2/5, =∞S 15 maka a = …. b. a = 2, 8 1 3 =U maka =∞S …. c. 27 1 ,9 72 == UU maka =∞S …. d. 8 1 , 2 9 531 ==+ UUU maka =∞S …. 3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti 4. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya. Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  8. 8. -8- 3. NOTASI SIGMA Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan "" b ai ix dimana I sebagai indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan ix adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil. ∑= b ai x1 dibaca “sigma dari ix untuk harga i dari a sampai b”. Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari ∑= + 5 1 )12( k k Jawab : ∑= + 5 1 )12( k k = ………………… = ………… Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28 Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = ………….. Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik. ∑∑ + = − = = ck cn cn k n n xx 0 Contoh 3 : Ubahlah ∑= + 5 0 )34( k k menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 ! Jawab : ∑∑∑ = + == −=+−=+ 12 7 75 7 5 0 )254(3)7(4)34( kkk kkk LATIHAN SOAL 1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari : Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  9. 9. -9- ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = + − − n k k n k ki i k xe n n d kc ib ka 1 6 0 10 1 7 3 2 7 1 2. 2 . 3)1(. . )45(. 2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut : 144.........941. 56.........642. 256.......421. 20 21 ...... 3 4 2 3 2. 101......261710. 41......951. 74......852. ++−+− −−+− ++++ ++++ ++++ −−−−− ++++ g f e d c b a 3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5 ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = + − − − n i x x n k i i d c nb ka 0 10 7 10 3 8 0 2 1 . 2. )210(. )43(. 4. INDUKSI MATEMATIKA Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli. Misalkan Pn suatu pernyataan dan n∈Asli sedemikian sehingga : 1. nP benar untuk n = 1 2. Misal kP benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan 1+kP benar pula, maka nP benar untuk n∈Asli. Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula. Contoh 1 : Buktikan )1( 2 .....321 +=++++ n n n dengan menggunakan induksi matematika ! Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = )11( 2 1 + benar. Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  10. 10. -10- Misal untuk sembarang n = k maka )1( 2 .....321 +=++++ k k k benar. Sehingga untuk n = k+1 : )2( 2 1 2 )1(2 )1( 2 )1()1( 2 )1(......321 + + = + ++=+++=++++++ k kk k k kk k kk benar. Jadi )1( 2 .....321 +=++++ n n n benar untuk n∈Asli. LATIHAN SOAL Buktikan dengan induksi matematika ! ( ) 738.9 33.8 2.7 1222........222.6 )11( 2 5 )530(.......152025.5 11)212(.....6810.4 2 )15( )35(.......1272.3 )12(.......531.2 )1(2.....642.1 2 3 2 32 2 2 + +− + −=++++ −=−++++ −=−++++ − =−++++ =−++++ +=++++ n nn darifaktor nndarifaktor nndarifaktor nnn nnn nn n nn nnn Barisan dan Deret, Notasi Sigma, dan Induksi Matematika
  • EduarHulu

    Sep. 9, 2021
  • imamfattahillah

    Oct. 24, 2017
  • LisaQriana

    Aug. 20, 2017
  • AirazzahraPelangi

    Jul. 28, 2017

notasi sigma

Views

Total views

25,354

On Slideshare

0

From embeds

0

Number of embeds

3

Actions

Downloads

218

Shares

0

Comments

0

Likes

4

×