1. Dokumen tersebut membahas tentang getaran mekanik dan persamaan matematika yang mewakilinya. 2. Ada dua jenis getaran mekanik yaitu getaran bebas tak teredam dan getaran bebas teredam. 3. Persamaan-persamaan diferensial yang mewakili kedua jenis getaran tersebut dijelaskan beserta penyelesaiannya.

1. TUGAS GETARAN MEKANIS (FUNGSI MATEMATIKA GETARAN MEKANIS )
NAMA : SAFRUL EPENDI NIM : 120401005 DEPARTEMEN TEKNIK MESIN UNIVERSITAS SUMATERA UTARA 2014

2. 1
Getaran Mekanik Getaran adalah gerakan bolak-balik yang melewati titik setimbangnya dalam suatu interval waktu tertentu. Getaran memiliki hubungan erat dengan gerak osilasi benda dan gaya yang berhubungan dengan gerak tersebut. Semua benda yang mempunyai massa dan elastisitas mampu bergetar, jadi kebanyakan mesin dan struktur rekayasa (engineering) mengalami getaran sampai derajat tertentu dan rancangannya biasanya memerlukan pertimbangan sifat osilasinya. Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri (inherent), dan jika ada gaya luas yang bekerja. Sistem yang bergetar bebas akan bergerak pada satu atau lebih frekuensi naturalnya, yang merupakan sifat sistem dinamika yang dibentuk oleh distribusi massa dan kekuatannya. Semua sistem yang memiliki massa dan elastisitas dapat mengalami getaran bebas atau getaran luar. Contoh getaran mekanis dalam kehidupan sehari hari adalah: Hampir semua alat gerak mempunyai masalah getaran karena adanya ketidak seimbangan mekanisme, contohnya :
1. Mechanical failures karena material fatigue
2. Getaran dapat mengakibatkan keausan yang lebih cepat
3. Dalam proses manufaktur, getaran dapat menyebatkan hasil akhir yang buruk
4. Selain efek yang merusak, getaran dapat digunakan untuk hal hal yang berguna.
5. Getaran digunakan dalam conveyors getar, mesin cuci, sikat gigi elektrik.
6. Getaran juga digunakan dalam pile driving, vibratory testing of materials.
7. Getaran digunakan untuk menaikan efisiensi dari proses permesinan seperti casting dan forging.

3. 2
PERSAMAAN GETARAN MEKANIS DALAM BENTUK MATEMATIKA Dalam system getaran dibagi dalam dua bentuk getaran
1. Getaran bebas tak teredam
2. Getaran bebas teredam
Kedua persamaan diatas dapat dibuat dalam bentuk persamaan matematika yakni
1. Getaran bebas
Dalam bentuk persamaan matematika getaran mekanik bebas adalah sebagai berikut: Persamaan secara umum 푚푢 + 푐푢 + 푘푢=푝 (푡) Karena kecepatan dan perpindahan saat 푡=0 adalah 푢 0 =푢0 푑푎푛 푢 0 =푢 0 Maka 푢 + 2 휔푛푢 +휔푛 2 푢= 휔푛 2 푘 푝 (푡) 푑푖푚푎푛푎 휔푛 2= 푘 푛  푐 푐푐푟 dimana 푐 푐푐푟 = 2 푚 휔푛= 2푘 휔푛 Di Dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan diferensial terdiri dari penyelesaian sesungguhnya dan penyelesaian komplemen/pelengkap, maka dengan 푝 푡 =0 푚푢 + 푐푢 + 푘푢=0 푢 + 2 휔푛푢 +휔푛 2 푢= 0 Dengan 푢=퐶 푒푠 푡 Maka

4. 3
( 푠 2+ 2 휔푛푠 + 휔푛 2 ) 퐶 푒푠 푡=0 supaya dapat nilai yang valid untuk semua nilai t, maka ( 푠 2+ 2 휔푛푠 + 휔푛 2 )=0 NB : persamaan polynomial derajat n dalam besaran 푠 2 yang mempunyai n buah harga 푠 2
Jika persamaan getaran bebas secara umum diubah kedalam bentuk getaran khusus maka:
1. Getaran bebas tak terdam ( undamped )
Persmaannya 푚푢 + 푘푢=0 푎푡푎푢 푢 +휔푛 2 푢= 0 Maka persamaan karakteristik yang sesuai 푠 2+ 휔푛 2=0 Maka akar persamaan diatas adalah : 푠 1,2 = ±푖 휔푛 푑푖푚푎푛푎 푖= −1 Sehingga penyelesaian umum 푢= 퐶1 푒푖 휔푛 푡 + 퐶2 푒−푖 휔푛 푡
Dengan menggunakan persamaan euler maka 푒±푖휃=cos휃 ±i sin휃 Jika dalam persamaan trigonometri maka : 푢=퐴1cos휔푛푡 ±A2 sin휔푛푡

5. 4
2. Getaran bebas teredam
푚푢 + 푐푢 + 푘푢=0 푎푡푎푢 푢 + 2 휔푛푢 +휔푛 2 푢= 0 Sehingga persamaan yang sesuai 푠 2+ 2 휔푛푠 + 휔푛 2 )=0 dan akarnya adalah 푠 1,2 = −휔푛± 휔푛 

6. 5
Dalam kasus getaran bebas teredam ada tiga kasus yang harus diper hatikan yaitu
1. Crytically damped (
Maka persamaan umumnya dari
푠 1,2 = −휔푛± 휔푛 menjadi 푠 1,2 = - 휔푛 solusinya menjadi 푢 푡 = ( 푐1+ 푐2 ) 푒 − nt
2. Overdamped (
푠 1,2 = −휔푛± 휔푛  Sehingga menjadi 푠 1,2 = −휔푛± 휔∗ 푑푖푚푎푛푎 휔∗=휔푛 

7. 6
3. Underdumped (0
푠 1,2 = −휔푛± 휔푛  푠 1,2 = −휔푛± 푖 휔푑 푑푖푚푎푛푎 휔푑 =휔푛 