1. Getaran
(Vibrations)
gerak periodik, gerak harmonik, osilasi, atau getaran
periodic motion , harmonic motion, oscillation, or vibration
1
2. Mobil berosilasi naik-turun
ketika melewati lubang
Bandul jam dinding
benda di ujung pegas
Getaran adalah gerakan bolak balik yang dialami suatu
benda terhadap titik kesetimbangan.
2
3. Suatu balok diikat pada ujung pegas,
m : massa balok (kg)
k : tetapan pegas (N/m)
O : adalah titik kesetimbangan (posisi pegas tidak tertarik atau tertekan)
Dimanapun balok berada dari posisi setimbang maka balok cendrung kembali
ke posisi setimbang oleh gaya F. Gaya yang memiliki sifat seperti ini disebut
gaya pemulih (restoring force).
3
4. Bila bandul ditarik ke posisi P, lalu
dilepaskan maka bandul akan bergerak
bolak balik secara teratur dalam lintasan
P – O - Q – O – P – O – Q - ...
demikian seterusnya.
Satu getaran adalah gerak balok dalam lintasan P – O - Q – O – P
Beberapa parameter yang menentukan karaktersitik getaran:
Amplitudo ( A ) : simpangan maksimum atau terjauh (meter)
Perioda ( T ) : waktu untuk menempuh satu getaran (sekon)
Frekuensi ( f ) : jumlah getaran yang terjadi dalam satu satuan
waktu (Hertz)
4
5. Gerak harmonik sederhana
Perhatikan sistem balok pegas di atas permukaan
horizontal tanpa gesekan. Bila pegas tidak ditarik
atau ditekan balok berada pada posisi O (posisi
kesetimbangan). Bila balok ditarik ke kanan, maka
pegas akan menarik balok ke kiri dengan gaya:
F = −kx
Percepatan (a) ~ perpindahan (x)
F = ma
Arah a berlawanan dengan perpindahan.
−kx = ma
k Bila pada benda bekerja gaya yang arahnya
a =− x selalu berlawanan dengan arah perpindahan
m
maka benda akan mengalami gerak harmonik
k = konstanta pegas (N/m) sederhana (GHS).
m = massa beban (kg)
5
6. Solusi Persamaan Getaran
k d 2x k
a =− x =− x
m dt 2
m
Jika (k/m) ditulis dengan ω2 maka persamaan menjadi
d 2x
= −ω 2 x ... (1)
dt 2
Persamaan (1) disebut persamaan getaran. Salah satu fungsi yang memenuhi
persamaan ini adalah fungsi sinusoidal (sinus-cosinus).
x(t ) = A cos ( ωt + φ ) ... (2)
Substitusi persamaan (2) ke (1)
dx d
= A cos( ωt + φ ) = −ωA sin ( ωt + φ )
dt dt
6
7. d 2x d
= −ω A sin ( ωt + φ ) = −ω 2 A cos ( ωt + φ )
dt 2 dt
d 2x Persamaan (2) memenuhi persamaan getaran dan disebut solusi
2
ω
=− 2 x persamaan getaran.
dt x(t)
T
A
x(t ) = A cos ( ωt + φ ) t
-A
x : simpangan setiap saat (posisi terhadap titik setimbang) dlm meter.
A : Amplutudo atau simpangan maksimum dalam meter.
ω : frekuensi sudut dalam radian/sekon
φ : tetapan fasa atau sudut fasa dalam derjat atau radian
( ωt + φ ) : fasa 7
8. x(t ) = A cos ( ωt + φ )
Persamanan getaran adalah fungsi trigonometri. Diketahui bahwa
fungsi triginometri periodik dan berulang terhadap waktu dalam 2π
rad. Perioda (T) adalah waktu untuk benda menempuh satu siklus.
Maka nilai x pada t akan sama dengan nilai x pada ( t + T ).
Sedangkan fasa naik 2π dalam waktu T sehingga,
ω +φ +2π =ω t +T ) +φ
t (
2π =ωT
T =2π/ ω
ω=2π/ T =2π f
8
9. Perioda gerak balok pada ujung pegas
d 2x k
=− x ω
dt 2
m f =
2π
d 2x
2
ω
=− 2 x 1 k
dt f =
2π m
k
ω= 1
m T=
f
ω disebut frekuensi sudut
m
T = 2π
ω = 2πf k
9
11. Kurva simpangan (x) terhadap waktu (t)
x
φ ω
T
A
t
-A
x = A cos ( ω + )
t φ
2π
ω = 2π f =
T
11
12. Amplitudo
Tiga getaran dengan fasa dan frekuensi yang sama tapi dengan amplitudo
berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu adalah
seperti gambar di bawah.
x
A3
A2
A1
t
12
13. Frekuensi dan Perioda
Dua getaran dengan amplitudo yang sama tapi dengan frekuensi yang
berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu adalah
seperti gambar di bawah.
T1 Getaran1
x T2
Getaran2
t
f 2 = 2 f1 T2 = 1 T1
2
13
14. Tetapan Fasa
Dua getaran dengan amplitudo yang sama tapi dengan tetapan fasa yang
berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu adalah
seperti gambar di bawah.
x
t
14
15. 1. Sebuah bandul melakukan 20 getaran dalam waktu 10 detik,
berapa periode and frekuensi getaran bandul tersebut ?
waktu total t 10
Perioda(T ) = = = = 0,5
jumlah getaran N 20
1 1
f = = = 2 Hz
T 0.5
15
16. Sebuah pegas dengan konstanta gaya pegas sebesar 20 N/m diberi beban 5
kg. Dari keadaan setimbang, pegas ditarik dengan gaya sebesar 20 N.
Tentukanlah:
a. simpangan maksimum
b. periode getarannya
c. frekuensi getarannya
F 20
a. F = kx → x = = =1 m
k 20
m 5
b. T = 2π = 2π = 3,14 sekon
k 20
1 1
c. f = = Hz
T π
16
17. Perioda sebuah bandul 4 sekon. Hitung panjang tali penggantung bandul itu
jika percepatan gravitasi adalah 10 m/s2.
L 2 L
T = 2π → T = 4π
2
g g
T 2 g 40
L= = 2 m
4π 2
π
17
18. Posisi, Kecepatan dan Percepatan Getaran
x(t ) = A cos ( ωt + φ )
x
t
dx
v(t ) = = − Aω sin ( ωt + φ )
dt
v
t
18
19. x(t ) = A cos ( ωt + φ )
x
t
dv
a (t ) = = − Aω 2 cos ( ωt + φ ) = −ω 2 x(t )
dt
a
t
19
20. P O Q O P
x
Perhatikan, pada simpangan terjauh
t
kelajuan adalah nol sedangkan besar
percepatan maksimum. Kelajuan
maksimum di titik kesetimbangan dan v
percepatan nol di posisi ini.
t
a
t
20
21. Suatu mesin piston berputar pada 4000 rpm (rotation per minute)
dengan amplitude 5 cm:
ω = 4000 × 2π / 60 radians/sekon
= 419 se kon −1
x = (5,00 cm)cos ωt
aMAX = ω 2 x = 0,05 m × (419 s −1 ) 2 = 8770 m/s 2
21
22. Suatu benda mengalami GHS dengan amplitudo 0,500 m
dan frekuensi 2,00 Hz. Tentukan (a) perpindahan, (b)
kecepaatan, dan (c) percepatan pada waktu 0,0500 s.
Solusi:
Diketahui: A = 0,500 m, f = 2,00 Hz, t = 0,0500 s.
ω = 2π f = 2π (2,00 Hz) = 4,00π rad/s
ωt = (4,00π rad/s)(0,0500 s)
= 0,200π rad = 0,628 rad
x = A cos(ωt ) = (0,500 m)cos(0,628 rad) = 0, 405 m
22
23. v = - Aω sin(ω t )
v = −(0,500 m)(4π rad/s)sin(0,628 rad)
v = −3,69 m/s
a = Aω cos(ω t )
2
a = −(0,500 m)(4π rad/s) cos(0,628 rad)
2
a = −63,9 m/s 2
23
25. Suppose you double the amplitude of the motion:
1) What happens to the maximum speed?
b) Doubles
c) 4 x Larger
d) Doesn’t change
2) What happens to the maximum acceleration?
b) Doubles
c) 4 x Larger
d) Doesn’t change
3) What happens to the the total energy?
b) Doubles
c) 4 x Larger
d) Doesn’t change
25
26. Getaran Bandul
Bola bermassa m tergantung pada sebuah tali
yang panjang L. Bandul ditarik dengan sudut
L
kecil kemudian dilepas dan akibat tarikan gaya
gravitasi maka bandul akan berayun (osilasi)
m
26
27. Bola di tarik oleh gaya tegangan tali
(T ) dan gaya gravitasi mg.
Komponen tangensial gaya gravitasi
adalah mgsinθ.
Arahnya selalu menuju θ = 0 atau
titik kesetimbangan dan
berlawanan dengan perpindahan
(berfungsi sebagai gaya pemulih).
Terapkan Hukum II Newton untuk arah tangesial:
d 2s
∑ Ft = −mg sin θ = m dt 2
Dimana s adalah perpindahan bola sepanjang lengkungan. Karena s = Lθ dan L
nilainya tetap maka persamaan menjadi:
d 2θ g
2
= − sin θ
dt L 27
28. Untuk sudut kecil maka sin θ ~ θ, sehingga
persamaan dapat ditulis menjadi
d 2θ g
=− θ
dt 2 L
Sekarang kita punya ekspresi yang sama dengan
persamaan sebelumnya yang merupakan persamaan
untuk gerak harmonik (balok di ujung pegas), yaitu
d 2x
= −ω 2 x
dt 2
Dapat disimpulkan bahwa gerak bandul untuk perpindahan kecil adalah gerak
harmonik sederhana. Dengan frekuensi angular:
g
ω=
L
2π L
Dengan perioda gerak:
T= = 2π
ω g
28
29. Bandul Fisis
Jika suatu objek menggantung berosilasi pada
titik tetap yang tidak melewati titik massa dan
tidak dapat dianggap sebagai titik massa, maka
sistem tidak bisa diberlakukan sebagai bandul
sederhana. Kasus ini disebut bandul fisis.
Perhatikan benda tegar yang berputar pada titik O sehingga
mempunyai jarak d dari pusat massa. Gaya gravitasi
melakukan torsi pada sumbu melewati O, dan besar torsi
adalah mgd sinθ,
Gunakan hukum gerak: ∑τ = Iα
d 2θ
dimana I adalah momen inersia terhadap O: − mgd sin θ = I 2
dt
29
30. Untuk sudut kecil maka sin θ ~ θ, persamaan menjadi
d 2θ mgd
= − θ = −ω θ
2
dt 2 I
Persamaan ini mempunyai bentuk yang sama dengan persamaan untuk
bandul sederhana, gerak bandul fisis juga GHS. Dengan solusi:
θ = θmaks cos(ωt +φ)
Bila: I = md 2
mgd
ω=
I Yaitu bila semua massa terpusat pada
pusat massa (CM) maka persamaan
2π I menjadi sama dengan persamaan untuk
T= = 2π bandul sederhana.
ω mgd
30
31. OSILATOR TEREDAM
Gerak osilasi yang dipelajari selama ini adalah
untuk sistem ideal (gaya pemulih linier).
Dalam banyak sistem nyata, gaya seperti
gesekan, menghalangi gerak. Sehingga, energi
mekanik sistem berkurang dengan waktu, dan
gerak dikatakan teredam (damped).
Salah satu contohnya adalah bila gaya penghalang sebanding dengan
kelajuan objek dan dalam arah yang berlawanan dengan gerak. Misalnya
terjadi pada benda yang bergerak pada udara.
31
32. Gaya penghalang dapat dinyatakan sebagai R = - bv (dimana b adalah
konstanta yang disebut koefisien redaman) dan gaya pemulih adalah F = -
kx maka Hukum II Newton dapat ditulis sebagai
∑F x = −kx − bv = max
dx d 2x
− kx − b = m 2
dt dt
Bila gaya penghalang kecil dibanding gaya
pemulih maksimum, yaitu bila b kecil,
maka solusi persamaan di atas
b
cos( ωt + φ )
− t
x = Ae 2m
32
33. Frekuensi angular osilasi adalah
2 2
k b b
ω= − = ω2 −
m 2m 2m
k
ωo =
m
ωo adalah frekuensi angular bila tidak ada
gaya penghalang (osillator tidak teredam)
dan disebut frekuensi natural sistem.
Bila magnitudo dari gaya penahan maksimum R = bvmaks < kA
sistem dikatakan underdamped.
Saat nilai R mendekati nilai kA maka nilai amplitudo turun semakin cepat
(Kurva biru gambar 13.29.)
33
34. Bila nilai b mencapai nilai kritis bc sehingga bc / 2m = ωo
Sistem tidak berosilasi dan dikatakan critically damped. Dalam kasus ini,
sekali dilepas dari pada posisi tidak setimbang, kembali ke keadaan setimbang
dan diam di posisi itu. (Kurva merah gambar 13.20)
34
35. Bila medium kental sehingga gaya penahan lebih besar daripada gaya
pemulih, Rmaks > bvmaks dan b / 2m > ωo
Sistem dikatakan overdamped. Sistem tidak berosilasi, tetapi kembali ke
posisi setimbang. Ketika redaman naik, waktu yang diperlukan untuk
mencapai kesetimbangan juga naik (Kurva hitam gambar 13.29).
35
