kalkulus

1. TKSL211201
Fungsi Dua Peubah
Departemen Matematika FMIPA UGM
1/42

2. Kontrak Pembelajaran

3. Deskripsi Matakuliah
Mata kuliah ini membahas tentang fungsi beberapa perubah, limit derivatif fungsi
beberapa perubah, aplikasi derivative untuk penentuan nilai ekstrim fungsi 2 perubah,
integral ganda dan aplikasinya pada beberapa bangun geometri, persamaan diferesial
elementer dan teknik- teknik penyelesaiannya, transformasi Laplace dan penentuan
penyelesaian persamaan diferesial elementer dengan syarat awal, beberapa fungsi
khusus (Fungsi Khas) dan sifat-sifatnya, deret Fourier.
2/42

4. Rencana pembelajaran
Minggu Topik
1 Fungsi dengan dua peubah
2 Turunan parsial, limit, dan kontinuitas
3 Diferensial, turunan berarah dan gradien, serta at-
uran rantai
4 Nilai ekstrim fungsi dua peubah
5 Integral rangkap dua
6 Integral rangkap dua di Sistem Koordinat kutub
7 Aplikasi integral rangkap dua
3/42

5. Referensi Utama
• Bacon, H.M., 1955, Differential and Integral Calculus, McGraw Hill
• Murray Spiegel, 2008, Schaum’s Outlines: Kalkulus Lanjut (Edisi 2), Erlangga
• Sever Engel Popescu, 2013, Differential Calculus for Engineers and Beginning
Mathematicians, LAMBERT Academic Publishing
• Purcell, Varbeg, Rigdon, 2003, Kalkulus jilid 2 (Edisi 8), Erlangga
4/42

6. Penilaian
• Tugas PR
• Kuis
• UTS
• Keaktifan
5/42

7. 1. Definisi dan Grafik

8. Fungsi n Variabel
Definisi
Diberikan D himpunan n-tuple bilangan real (x1, x2, x3, . . . , xn). Fungsi bernilai real f pada D
adalah aturan pemasangan bilangan real (unik)
w = f (x1, x2, . . . , xn)
dengan setiap elemen D. Himpunan D disebut domain fungsi. Himpunan nilai w hasil pemetaan
oleh f disebut dengan range fungsi. Simbol w adalah variabel dependen/terikat dari f , dan f
disebut fungsi dengan n variabel bebas x1 sampai xn. Selain itu, xj juga disebut variabel masukan
(input variables) dan w disebut variabel hasil (output variable).
Pada pambahasan selanjutnya akan difokuskan pada fungsi dengan dua atau tiga variabel independen.
6/42

9. Contoh: Fungsi Dua dan Tiga Variabel
Contoh
Berikut beberapa contoh fungsi dua dan tiga variabel.
(a) f (x, y) = 3
(b) f (x, y) = x2
+ y2
− 2
(c) f (x, y) = sin xy +
x
p
x2 + y2
(d) f (x, y, z) =
p
x2 + y2 + z2
(e) f (x, y, z) = x + y + z − 2
7/42

10. Domain dan Range Fungsi Dua dan Tiga Variabel
8/42

11. Domain Fungsi
Berikut diberikan contoh domain fungsi f (x, y) =
p
y − x2 yang terdiri dari daerah diarsir serta
pembatas parabola y = x2
.
9/42

12. Memvisualkan Fungsi Dua Variabel
Fungsi z = f (x, y) = −y
10/42

13. Memvisualkan Fungsi Dua Variabel
Fungsi z = f (x, y) = 1 − x2
− y2
11/42

14. Level Curve, Grafik dan Permukaan
Definisi
Himpunan titik pada bidang dimana fungsi f (x, y) bernilai konstan f (x, y) = c disebut kurva level
(level curve) dari f . Himpunan semua titik (x, y, f (x, y)) pada bidang, untuk (x, y) di domain fungsi
f , disebut grafik (graph) dari f . Grafik fungsi f juga disebut permukaan (surface) z = f (x, y).
12/42

15. Kurva Level
Berikut diberikan contoh grafik dan beberapa kurva level fungsi f (x, y) = 100 − x2
− y2
.
13/42

16. Kurva Kontur
Bidang z = c sejajar dengan bidang-xy dan memotong permukaan z = f (x, y) menghasilkan kurva
kontur (contour curve). Berikut diberikan contoh grafik dan kurva kontur fungsi
f (x, y) = 100 − x2
− y2
.
14/42

17. Contoh Kurva Level dan Kurva Kontur
Fungsi z = f (x, y) = x2
+ y2
.
15/42

18. Level Permukaan
Definisi
Himpunan titik-titik (x, y, z) pada bidang dimana fungsi dengan tiga variabel independen bernilai
konstan f (x, y, z) = c disebut level permukaan (level surface) dari f .
16/42

19. Level Permukaan
Berikut diberikan contoh level permukaan fungsi f (x, y, z) =
p
x2 + y2 + z2 berbentuk bola kosentris.
17/42

20. Level Permukaan Fungsi Dua Variabel
18/42