1. Materi 12
Aturan Rantai
Pengantar.
Bayangkan usaha untuk mencari turunan
F(x) = (2x2 – 4x + 1)60
Pertama anda harus mengalikan bersama ke 60 faktor-faktor kuadrat 2x2 – 4x + 1 dan
kemudian mendiferensialkan polinom derajat 120 yang dihasilkan.
Untung saja terdapat cara yang lebih baik. Setelah anda mempelajari aturan rantai, anda
akan mampu menuliskan jawaban.
F’(x) = 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)
Secepat anda menggerakkan pensil anda. Sebenarnya aturan rantai demikian pentingnya
sehingga anda jarang lagi mendiferrensialkan suatu fungsi tanpa memakainya. Tetapi agar
dapat menyatakan aturan tersebut sebagaimana mestinya, kita perlu memperkenalkan
suatu terobosan pada notasi D kita.
Notasi Dx
Jika suatu masalah menyangkut lebih dari dari satu variabel, akan sangat membantu untuk
mempunyai sarana penulisan (notasi) untuk menunjukkan variabel mana yang sedang
ditinjau pada suatuu saat tertentu. Jadi, jika y = s2x3 dan kita ingin memperlakukan x sebagai
varibel bebas dan s sebagai konstan, maka dengan menulis Dxy akan memperoleh
Dxy = Dx(s2x3) = s2Dx(x3) = s2 . 3x2 = 3s2x2
Lambang Dxy ini dapat dibaca sebagai turunan y terhadap x.
Lebih penting adalah contoh berikut.
Andaikan y = u60 dan u = 2x2 – 4x + 1. Maka Duy = 60u59 dan Dxu = 4x – 4. Tetapi perhatikan
bilamana kita menggntikan u = 2x2 – 4x + 1 dalam y = u60 , kita peroleh :
Y = (2x2 – 4x + 1)60
Dengan demikian, adalah beralasan untuk menanyakan apa dan bagaimana Dxy ini dikaitkan
dengan Duy dan Dxu? Secara lebih umum, bagaimana anda mendiferensialkan suatu fungsi
komposit?
Pendiferensialan Fungsi Komposit
2. Jika Tina dapat mengetik dua kali lebih cepat daripada Mona dan Mona dapat mengetik tiga
kali lebih cepat daripada Dono, maka Tina dapat mengetik 2.3 = 6 kali lebih cepat daripada
Dono. Kedua laju tersebut dikalikan.
Andaikan bahwa
Y = f(u) dan u = g(x)
menentukan fungsi komposit y = f(g(x)). Karena suatu turunan menunjukkan laju perubahan,
kita dapat mengatakan bahwa
Y berubah Duy kali secepat u
U berubah Dxu kali secepat x
Kelihatannya beralasan untuk menyimpulkan bahwa
Y berubah Duy . Dxu kali secepat x
Ini memang benar dan kita akan memberian bukti formal dalam materi berikutnya. Hasilnya
disebut Aturan Rantai.
Teorema A : Aturan rantai
Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y = f(g(x)) = fog(x). Jika g
terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka fog terdiferensialkan di x dan
(fog)’(x) = f’(g(x)) . g’(x)
yakni,
Dxy = Duy . Dxu
Dengan cara yang sama, jika diketahui
w = f(s) dan s = g(t)
maka
Dtw = Dsw . Dts
Penerapan Aturan Rantai
Contoh 1: jika y = (2x2 – 4x + 1)60 , carilah Dxy
3. Penyelesaian :
Kita pikirkan ini sebagai : y = u60 dan u = 2x2 – 4x + 1
Jadi :
Dxy = Duy . Dxu
= (60u59).(4x – 4)
= 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)
= 240(x – 1)( 2x2 – 4x + 1)59
Contoh 2 : jika y = 1/ (2x5 – 7)3 , carilah Dxy
Penyelesaian :
Pikirkan begini : y =
1
𝑢3 = u-3 dan u = 2x5 – 7
Jadi :
Dxy = Duy . Dxu
= (-3u-4).(10x4)
=
−3
𝑢4 . 10x4
=
−30𝑥4
(2𝑥5 − 7)4
Contoh 3 : jika y = sin(x3 – 3x), cari Dxy
Penyelesaian:
Y = sin u dan u = x3 – 3x
Jadi
Dxy = Duy . Dxu
= (cos u).(3x2 – 3)
= [cos(x3 – 3x)].(3x2 – 3)
= (3x2 – 3).cos(x3 – 3x)
4. Contoh 4 : cari Dt (
𝑡3
− 2𝑡 + 1
𝑡4 + 3
)
13
Penyelesaian :
Pikirkan secara ini dalam mencari Dty, dimana
Y = u13 dan u =
𝑡3
− 2𝑡 + 1
𝑡4 + 3
Maka,
Dty = Duy . Dtu
= 13u12.
( 𝑡4
+ 3)(3𝑡2
− 2) − (𝑡3
− 2𝑡 + 1)(4𝑡3
)
(𝑡4 + 3)2
= 13 (
𝑡3
− 2𝑡 + 1
𝑡4 + 3
)
12
.
(3𝑡6
− 2𝑡4
+ 9𝑡2
− 6 ) − (4𝑡6
− 8𝑡4
+ 4𝑡3
)
(𝑡4 + 3)2
= 13 (
𝑡3
− 2𝑡 + 1
𝑡4 + 3
)
12
.
(−𝑡6
+ 6𝑡4
− 4𝑡3
+ 9𝑡2
− 6 )
(𝑡4 + 3)2
Segera anda akan mempelajari untuk membuat pengenalan dalam hati tentang variabel
antara tanpa menuliskannya. Jadi, seorang pakar segera menuliskan :
Dx(cos 3x) = (-sin 3x).3 = -3sin3x
Dx(x3 + sinx)6 = 6(x3 + sin x)5. (3x2 + cos x)
Dt (
𝑡
cos 3𝑡
)
4
= 4(
𝑡
cos 3𝑡
)
3
.
cos3𝑡 − 𝑡(− sin 3𝑡)3
𝑐𝑜𝑠2 3𝑡
=
4𝑡3
(𝑐𝑜𝑠 3𝑡 + 3𝑡 sin 3𝑡)
𝑐𝑜𝑠5 3𝑡
Aturan Rantai Bersusun
Andaikan : y = f(u) dan u = g(v) dan v = h(x)
Maka,
Dxy = Duy . Dvu . Dxv
5. Contoh 5 : cari Dx [sin3(4x)]
Penyelesaian :
Pikirkan ini untuk mencari Dxy, dimana
Y = u3 dan u = sin v dan v = 4x
Maka ,
Dxy = Duy . Dvu . Dxv
= 3u2 . cos v . 4
= 12 sin2(4x) cos(4x)
Di sini juga, anda akan segera melakukan penggantian ini dalam kepala dan menuliskan
jawabnya dengan segera. Mungkin membantu jika anda perhatikan bahwa, dalam
pendiferensialan fungsi komposit bersusun, anda bekerja mulai tanda kurung paling luar ke
arah dalam, seperti mengupas bawang.
Marilah kita kerjakan contoh 5 sekali lagi, dengan membuat gamblang apa yang baru kita
katakan
Dx[sin(4x)]3 = 3sin2(4x).Dxsin(4x)
= 3sin2(4x) Cos(4x). Dx(4x)
= 3sin2(4x) cos(4x) . 4
= 12sin2(4x) cos(4x)
Contoh 6. Cari Dx{sin[cos(x2)]}
Penyelesaian :
Dx{sin[cos(x2)]} = cos[cos(x2)].Dx[cos(x2)]
= cos[cos(x2)].-sin(x2).Dx(x2)
= cos[cos(x2)].-sin(x2).2x
= -2x.sin(x2).cos[cos(x2)]
Soal-Soal Latihan
6. Dalam soal-soal 1 – 20, carilah Dxy
1. Y = (2 – 9x)15
2. Y = (4x + 7)23
3. Y = (5x2 + 2x – 8)5
4. Y = (3x3 – 11x)7
5. Y = (x3 – 3x2 + 11x)9
6. Y = (2x4 – 12x2 + 11x – 9)10
7. Y = (3x4 + x – 8)-3
8. Y = (4x3 – 3x2 + 11x – 1)-5
9. Y =
1
(3𝑥4 + 𝑥 − 8)9
10. Y =
3
(4𝑥3 + 11𝑥)7
11. Y = sin(3x2 + 11x)
12. Y = cos(4x5 – 11x)
13. Y = sin3x
14. Y = cos5x
15. Y = (
𝑥2
− 1
𝑥 + 4
)
4
16. Y = (
3𝑥 − 1
2𝑥 + 5
)
6
17. Y = sin (
3𝑥 − 1
2𝑥 + 5
)
18. Y = cos (
𝑥2
− 1
𝑥 + 4
)
19. Y = (4x – 7)2(2x + 3)
20. Y =
(3𝑥2
+ 2 )2
2𝑥2 − 5
Dalam soal 21 – 26, cari turunan yang ditunjukkan
21. Dt (
3𝑡 − 2
𝑡 + 5
)
3
22. Ds (
𝑠2
− 9
𝑠 + 4
)
23. Dt (sin3t)
24. Dt (cos4t)
25. Dx (
sin 𝑥
cos 2𝑥
)
3
26. Dt [sint tan(t2 + 1)]
Dalam soal 27 – 30, hitung turunan yng ditunjukkan
27. F’(3) jika f(x) = (
𝑥2
+ 1
𝑥 + 2
)
3
28. G’(1) jika G(t) = (t2 + 9)3(t2 – 2)4
7. Dalam soal 29 – 32, gunakan aturan rantai bersusun (contoh 5) untuk mencari turunan yang
ditunjukkan
29. Dx[sin4(x2 + 3x)]
30. Dt[cos5(4t – 19)]
31. Dt[sin3t(cos t)]
32. Dx[x sin2(2x)]
